Unidad 4

Unidad 4
Números complejos
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Comprenderá el concepto y las propiedades de los números
complejos.
• Manejará las distintas notaciones para los números complejos.
• Realizará operaciones con los números complejos en sus distintas
notaciones.
• Aplicará las propiedades de los números complejos en la resolución
de ecuaciones.
números
complejos
Introducción
E
n cursos anteriores aprendimos a resolver ecuaciones del tipo x2–a=0,
lo cual es muy sencillo, sólo se deben seguir unos pasos muy
simples del álgebra:
Ecuación inicial:
x2 − a = 0
Sumando a en ambos términos:
x2 = a
Aplicando raíz cuadrada:
x=
a
Con anterioridad resolvimos cuando a>0, el problema es ¿qué pasa si a
es negativo?
En la unidad 3 quedó pendiente encontrar la solución de x2+1=0. Siguiendo
los pasos del álgebra tendríamos que resolver la raíz cuadrada de –1. ¿Existe tal
número? Un número que al multiplicarse por sí mismo su producto sea –1 no
existe en los reales, pero eso no es problema, se puede definir. Y ésta es la definición
de un número muy especial, i. En este capítulo estudiaremos estos números que
complementan a los reales para encontrar las soluciones de ecuaciones como
x2+1=0. Estos números se llaman imaginarios y cuando se utilizan junto con
números reales se llaman números complejos.
En este capítulo estudiaremos las operaciones y propiedades de los números
imaginarios y de los números complejos, así como su aplicación en la resolución de
ecuaciones.
4.1. Números imaginarios: operaciones fundamentales y potenciación
Debido a que no existe un número a en los reales tal que (a)(a)=–1, fue
necesario definir a los números imaginarios.
143
Álgebra
superior
La unidad de los números imaginarios es
−1 y se representa por la
2
2
letra i. De modo que: ( −1)( −1) = ( −1) = i = −1 .
Por ejemplo: −4 = (4)(−1) = 4 −1 = 2 i
Todas las propiedades de los números reales son también propiedades de
los números imaginarios, sólo hay que tener cuidado para manejar i a partir de
su definición.
Para sumar números imaginarios sólo es necesario sumar los números que
los acompañan, así:
3i+5i=(3+5)i=8i
Otro ejemplo:
7 i − 9 i + 4 i = (7 − 9 + 4)i = 2 i
Para multiplicar números imaginarios se multiplican los números reales que
los acompañan y se resuelven las potencias de i teniendo en cuenta que i 2=–1.
Así,
(3i)(2i)=6i2=–6
Y si multiplicamos los números imaginarios: 7i, –5i y 4i se tiene:
(7 i)(−5i)(4 i) = −140 i3 = (−140)i ⋅ i 2 = (−140 i)(−1) = 140 i
Por convención, no se permite que los números imaginarios estén en el
denominador de ninguna expresión matemática. Por ejemplo, si se tiene:
2
,
i3
entonces se debe cambiar la expresión a la forma ai con a real. Para este fin,
recordemos que i2=–1, entonces:
2
2
2
2
=
=
=−
3
2
i
i
i( i ) i(−1)
después, multiplicando el numerador y el denominador por i, se tiene:
−
Por lo tanto:
2( i)
2
2i
2i
=−
=− 2 =−
= −(−2 i) = 2 i
i
i( i)
(−1)
i
2
= 2i
i3
144
números
complejos
Ejercicio 1
1. Suma los siguientes números imaginarios: i, 4i, 7i y 9i.
2. Multiplica 4i por 5i y el resultado multiplícalo por 3i.
3. ¿Si i 2=–1, entonces cuánto valdrá i 3 y cuánto i 4?
4.2. Definición de número complejo, forma binómica, igualdad, conjugado
y forma cartesiana (pareja ordenada)
Ahora tenemos dos conjuntos importantes de números: los números reales
y los imaginarios. ¿Qué tipo de número resultaría de la suma de un número real,
a, con uno imaginario, bi? Al sumar un número real con un número imaginario
se obtiene un número complejo.
El conjunto de los números complejos se representa con la letra C. Los
números complejos tienen la forma binómica:
z=a+bi,
donde a y b son números reales e i cumple con i2=–1. El número a es
llamado parte real y se denota a=Re(z), y el b parte imaginaria, denotada
por b=Im(z).
Basándose en el hecho de que cada número complejo a+bi está
completamente determinado por dos reales a y b, la representación geométrica
14
Álgebra
superior
consiste en asociarle a cada número de éstos la pareja ordenada (a,b), la cual tiene
asociado un punto en el plano complejo. El número imaginario i tendrá asociada
la pareja (0,1).
Los puntos sobre el eje de las abcisas, que llamaremos eje real, corresponde
a los números reales de la forma x+0i, y los puntos sobre el eje de las ordenadas,
que llamaremos eje imaginario, corresponde a los números imaginarios que son
de la forma 0+yi.
Ahora definiremos la manera como se van a sumar y a multiplicar los
números complejos.
Dados z=a+bi y w=c+di que pertenecen a C, la manera de sumarlos es:
z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
La interpretación geométrica de la suma de z+w se obtiene mediante el
uso de la regla del paralelogramo:
14
números
complejos
Donde la suma de z y w es el punto que indica la diagonal del
paralelogramo.
Por ejemplo, sumemos los complejos (3+8i) y (7+2i):
(3+8i)+(7+2i)=10+10i
La suma de (4–11i) y (3+5i) es:
(4–11i)+(3+5i)=(7–6i)
La manera algebraica de multiplicar un número real, e, y un complejo,
z=a+bi, es:
e(a+bi)=(ea+ebi)
La interpretación geométrica de esta multiplicación es:
Por ejemplo, el número 5 multiplicado por el complejo z=7–2i tiene como
producto:
5z=5(7–2i)=(5)(7)–(5)(2)i=35–10i,
mientras que el número –3 y el complejo w=7+3i tienen como producto:
–3w=–3(7+3i)=(–3)(7)+(–3)(3)i=–21–9i
La manera algebraica de multiplicar dos números imaginarios z y w es:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+(ad+bc)i–bd=ac–bd+(ad+bc)i
por lo que:
(a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(ad+bc)i
14
Álgebra
superior
La interpretación geométrica de la multiplicación se expondrá en el apartado
5.4.
Por ejemplo, la multiplicación entre los complejos (3+5i) y (1+2i) es:
(3+5i)(1+2i)=(3⋅1–5⋅2)+(3⋅2+5⋅1)i=(3–10)+(6+5)i=–7+11i
y la multiplicación de (4–3i) y (–2+i) es:
(4–3i)(–2+i)=[4⋅(–2)–(–3)⋅1]+[4⋅1+(–3)⋅(–2)]i=
(–8+3)+(4+6)i=–5+10i
La igualdad entre los números complejos se establece de la siguiente
manera:
a+bi=c+di ⇔ a=c y b=d.
Por ejemplo, para que un número complejo (a+bi) sea igual a 9+4i es
necesario que a=9 y b=4.
Al complejo a–bi se le llama conjugado del complejo de z=a+bi, y se
obtiene cambiándole el signo a la parte imaginaria de z, y se escribe como:
z = a − bi
La interpretación geométrica del complejo conjugado z es la reflexión del
complejo z con respecto al eje real, así:
Por ejemplo, el conjugado del número complejo (7+4i) es (7–4i), y el
conjugado de (–9–5i) es [–9–(–5i)]=(–9+5i).
148
números
complejos
El producto de dos números conjugados z=a+bi y z = a − bi es un
número real:
zz = ( a + bi)( a − bi) = a 2 + b 2
Ahora, si multiplicamos al complejo (6+7i) por su conjugado (6–7i) se
tiene, aplicando la definición de multiplicación entre números complejos:
(6+7i)(6–7i)=62+72=36+49=85
Los números reales coinciden con sus conjugados y un número que es
igual a su conjugado es real. En efecto si a+ib=a–ib entonces b=–b y esto sólo
sucede si b=0.
Unos cuantos ejemplos muestran la sencillez con la que se operan los
complejos. Por ejemplo, encontremos (1+i)3. Como
(1+i)2=(1+i)(1+i)=0+2i=2i,
entonces:
(1+i)3=(1+i) (1+i)2=(1+i)(2i)=–2+2i
Los números complejos también pueden aparecer en cocientes, por ejemplo,
calculemos:
(2 + i)(1 − 2 i)
3− i
Al igual que los números imaginarios, por convención, no se permite
que los números complejos estén dividiendo una expresión, ya que nosotros
conocemos números de la forma a+ib con a y b en los reales pero no de la
forma a/ib. La manera de resolver este problema es recordar que un complejo
multiplicado por su conjugado nos da un número real, entonces multiplicando
el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, (3+i) se
tiene:
(2 + i)(1 − 2 i)(3 + i) (2 + i)(1 − 2 i)(3 + i)
,
=
(3 − i)(3 + i)
10
14
Álgebra
superior
Ahora, resolviendo para el numerador:
(2 + i)(1 − 2 i)(3 + i) (4 − 3 i)(3 + i) 15 − 5i 3 1
=
=
= − i
10
10
10
2 2
Otro ejemplo, calculemos:
(7 + 3 i) (8 + 5i) − (11 + 2 i)
(5 + 4 i)
Empezamos por multiplicar, en el numerador y en el denominador por el
complejo conjugado de (5+4i), es decir, por (5–4i), para no tener un número
complejo en el denominador:
(7 + 3 i) (8 + 5i) − (11 + 2 i)
=
(5 + 4 i)
(7 + 3 i) (8 + 5i) − (11 + 2 i) (5 − 4 i)
(5 + 4 i)(5 − 4 i)
(7 + 3 i) (8 + 5i) − (11 + 2 i) (5 − 4 i)
41
Y resolviendo para el numerador se tiene:
(7 + 3 i) (8 + 5i) − (11 + 2 i) (5 − 4 i)
41
=
(7 + 3 i)(−3 + 3 i)(5 − 4 i)
=
41
(−30 + 12 i)(5 − 4 i) (−102 + 180 i)
=
41
41
Por tanto el resultado es el número complejo:
−
102 180
+
i
41
41
Ejercicio 2
1. Reduce los siguientes complejos a la forma a +bi
a) (7–i)+(–6+3i)–(4+3i)
b) (2+i)(1+3i)
10
=
números
c)
d)
complejos
(4 + 3 i)(1 − 2 i)
7−i
(3 + 4 i )(5 + 2 i)
3i
4.3. Forma polar, módulo y argumento, conversiones de la forma binómica
a la polar y viceversa
Observemos que el número complejo z=a+bi también puede determinarse
por la distancia que hay del origen al punto (a,b), que llamaremos magnitud de
z o módulo de z, y el ángulo θ, que va del eje real positivo al segmento que une
al origen con (a,b), que llamaremos argumento de z.
Antes de determinar la forma del complejo a+bi en términos de su módulo
y argumento identifiquemos bien estas definiciones.
Llamamos módulo del número complejo z=a+ib, denotado por z,
al número real positivo z =
a 2 + b 2 y al argumento de z lo denotaremos
como Arg(z)= θ, teniendo como fórmulas para calcularlo:
θ = tan −1
FG b IJ ,
H aK
θ = cos −1
F aI
GH z JK
11
ó θ = sen −1
b
z
Álgebra
superior
Ahora escribamos al complejo z=a+ib en términos de su módulo y su
argumento:
a
Dado z=a+bi, de la siguiente figura, tenemos que cos θ =
y
z
b
senθ =
donde θ=Arg(z). Por lo que:
z
a=|z|cosθ
y
b=|z|senθ
obtenemos:
z=a+bi= |z|cosθ+i|z|senθ
por lo que se tiene la expresión conocida como forma polar del complejo z:
z=|z|(cosθ+isenθ)
La representación geométrica del complejo z en su forma polar es:
La forma polar de los complejos nos va a ser muy útil para calcular potencias
y sacar raíces de números complejos, como veremos en el siguiente apartado.
Ilustremos mediante algunos ejemplos la manera de encontrar la forma
polar de algunos complejos.
a) Para encontrar la forma polar de z=–4 se tiene que |z|=4 y
−1 −4
= cos −1 (−1) = 180°
Arg(z)= cos
4
FG IJ
H K
Por lo que:
z=4(cos180º+isen180º)
12
números
complejos
b) Para encontrar la forma polar de z=–1+i se tiene que z = 12 + 12 =
y Arg(z)=cos–1 −1 / 2 = 135°
d
2
i
Por lo que:
z = 2 (cos 135°+ isen135° )
Ejercicio 3
Encontrar la forma polar de los siguientes números complejos:
1. z=6i
2. w=–4–3i
3. v=–2+i
4.4. Multiplicación y división en forma polar: teorema de De Moivre,
potencias y raíces
Así como se tiene una manera de multiplicar a los números complejos en
su forma binómica, ahora definiremos la forma de multiplicar a los números
complejos en su forma polar.
Sea z=a+bi y w=c+di y supongamos que la forma polar de estos complejos
es:
z=r(cosθ+isenθ) y w= r' (cos θ' +isen θ' ),
donde r es el módulo de z, r' es el módulo de w, θ es el argumento de z y θ' es
el argumento de w. Si multiplicamos los números complejos z y w, en su forma
polar, y agrupamos factores tenemos:
13
Álgebra
superior
zw=r r' (cosθ+isenθ)(cos θ' +isen θ' )
zw=r r' [(cosθcos θ' –senθsen θ' )+i(senθcos θ' +sen θ' cosθ)]
y usando las identidades trigonométricas:
cosθcos θ' –senθsen θ' =cos(θ+ θ' )
senθcos θ' +sen θ' cosθ=sen(θ+ θ' )
se llega al resultado:
zw=rr[cos(θ+ θ' )+isen(θ+ θ' )]
Ahora podemos dar la interpretación geométrica de la multiplicación. El
producto de la multiplicación de dos complejos, w y z, es la multiplicación de sus
módulos y la suma de sus argumentos de la siguiente manera:
Podemos generalizar esta regla para cualquier número de factores:
z1·z2···zn=r1r2···rn[cos(θ1+θ2+···+θn)+isen(θ1+θ2+···+θn)]
Si se tratara del mismo número complejo multiplicado por sí mismo n
veces entonces obtenemos:
zn= rn [cosθ+isenθ]n=rn [cos(nθ)+isen(nθ)]
conocida como la fórmula de De Moivre. Donde n es un entero positivo. Por
ejemplo, para calcular (1+i)16 convertimos (1+i) a su forma polar:
(1 + i) = 2 (cos 45°+ isen 45° )
y después todo es muy sencillo:
(1 + i)16 =
2 (cos 16 ⋅ 45°+ isen16 ⋅ 45° )
16
14
números
complejos
= 256(cos 720°+ isen720° )
Pero, ¿qué pasa si el exponente n es un número entero negativo?
z − n = r − n (cos θ + isenθ)− n
Para resolver el caso general, primero notemos que:
1
(cos θ + isenθ)−1 =
cos θ + isenθ
Pero multiplicando por el conjugado de (cosθ+isenθ), se tiene:
cos θ − isenθ
1
= cos θ − isenθ
=
cos θ + isenθ cos 2 θ + sen 2 θ
en tanto que cos2θ+sen2θ=1. Ahora, como cosθ=cos(–θ) y –(senθ)=sen(–θ),
entonces la última expresión se puede escribir:
cos(−θ) + isen(−θ)
(cos θ + isenθ)−1 = cos(−θ) + isen(−θ)
De lo que:
Generalizando se obtiene:
z–n=r–n[cos(–nθ)+isen(–nθ)] que es la fórmula de De Moivre para
exponentes enteros negativos.
Con ayuda de las fórmulas de De Moivre podemos encontrar una
manera sencilla de dividir números complejos. Sea z=r(cosθ+isenθ) y
w= r' (cos θ' +isen θ' ), su cociente lo podemos representar como:
r(cos θ + isenθ)
z
=
= r cos θ + isenθ r '(cos θ'+ isenθ')
w r '(cos θ'+ isenθ')
a
f
−1
=
[r (cosθ + isenθ )] [cos(−θ ') + isen(−θ ')] = [cos(θ − θ ') + isen(θ − θ ')]
1
r'
r
r'
ya que se utilizaron las identidades trigonométricas:
cosθcos∝–senθsenb=cos∝+b
senθcos∝–sen θ' cosb=sen∝+b
1
Álgebra
superior
Podemos elevar un número complejo a cualquier potencia, pero ¿se podrá
encontrar la raíz n–ésima de un complejo? La respuesta es sí, y para esto veamos
la siguiente definición:
Se les llama raíces n–ésimas de un número complejo z a los números
complejos, w, que cumplen con la ecuación:
wn=z
Para encontrarlas escribamos a z y w en su forma polar:
z=r(cosθ+isenθ) y w= r' (cos θ' +isen θ' )
entonces, utilizando la fórmula de De Moivre, wn=z, se escribe como:
wn= r' n(cos(n θ' )+isen(n θ' ))=r(cosθ+isenθ)=z
Como los números complejos iguales tienen igual módulo, tenemos:
r' n=r
donde r' está determinada sin ambigüedad como:
r' = n r
Los argumentos de números complejos iguales pueden diferir sólo por
múltiplos de 360º teniendo así que:
n θ' =θ+k360º, o θ' =(θ+k360º)/n
donde k es un entero.
Obtener la expresión para las raíces w:
w=
n
FG
H
r cos
θ + 360° k
θ + 360° k
+ isen
,
n
n
IJ
K
donde k es un entero, pero el número de raíces distintas es sólo n. Para
obtener todas las raíces distintas es suficiente con tomar en la fórmula
k=0,1,2,...,n–1.
Por ejemplo, encontremos las raíces de la ecuación w 4=3+4 i.
Dado que 3+4i=5(cos53º+isen53º) la fórmula para la raíz es:
LM FG 53°+360° kIJ + isenFG 53°+360° kIJ OP
N H 4 K H 4 KQ
w = 5 cos
4
1
números
complejos
Las cuatro raíces se obtienen sustituyendo en la ecuación anterior k=0, 1,
2 y 3, teniendo como resultado:
w1=1.5(cos13.25°+isen13.25°)
w2=1.5(cos103.25°+isen103.25°)
w3=1.5(cos193.25°+isen193.25°)
w4=1.5(cos283.25°+isen283.25°)
Geométricamente las raíces son:
Otro ejemplo: encontremos las raíces de la ecuación v3=–2+2i.
Como –2+2i= 8 (cos135º+i sen135º), entonces, tomando en cuenta
que:
3
8 =
6
8,
La fórmula para la raíz es:
v=
6
LM FG 135°+360° kIJ + i senFG 135°+360° kIJ OP
H 3 KQ
N H 3 K
8 cos
Las tres raíces son:
v1 = 2 (cos 45°+ i sen 45° )
v2 = 2 (cos 165°+ isen165° )
v3 = 2 (cos 285°+ isen285° )
Geométricamente las raíces se representan:
1
Álgebra
superior
Encontremos las raíces de la ecuación z4=–5+i.
Como la forma polar de –5+i es:
z 4 = 26 (cos 168.69°+ i sen168.69° )
Entonces:
4
26 =
8
26 ,
La fórmula para la raíz queda:
LM FG 168.69°+360° kIJ + isenFG 168.69°+360° kIJ OP
KQ
K H
4
4
N H
z = 26 cos
8
Las cuatro raíces son:
z1 = 1.72(cos 42.17 °+ isen 42.17 ° )
z2 = 1.72(cos 132.17 °+ isen132.17 ° )
z3 = 1.72(cos 222.17 °+ isen 222.17 ° )
z4 = 1.72(cos 312.17 °+ isen312.17 ° )
Geométricamente estas raíces se representan así:
Ejercicio 4
Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones:
1. w4=–16i
2. z3=1–i
3. v5=4+5i
18
números
complejos
4.5. Forma exponencial o de Euler: equivalencia entre la
forma polar y exponencial. Multiplicación y
división; potenciación y radicación
En el siglo xvIII el matemático Euler descubrió una manera abreviada de
escribir los números complejos que facilitó las operaciones entre ellos. Su notación
está basada en una relación del número e con las funciones trigonométricas coseno
y el seno. La relación es:
eiθ=cosθ+isenθ
Gracias a esta relación la notación para los números complejos se simplifica,
de ser:
z=r(cosθ+isenθ)
Se convierte en la forma de Euler:
z=reiθ
Donde r es el módulo de z y θ es su argumento.
Ahora, la multiplicación entre complejos toma una notación más sencilla.
Sea:
w= reiθ y z= r' ei θ'
la multiplicación de estos dos complejos es:
wz=r r' ei(θ+ θ' )
Por ejemplo, si w=5ei30° y z=7ei45°, entonces:
wz=(5ei30°)(7ei45°)=(5)(7)ei(30°+45°)=35ei(75°)
El cociente entre los complejos w y z es:
w
r
= e i(θ − θ ')
z
r'
Por ejemplo, si w=28ei57° y z=7ei35°, entonces el cociente de w entre z es:
w 28e i57 ° 28 i(57 °−35°)
=
=
= 4 e i 22 °
e
z
7
7 e i35°
1
Álgebra
superior
Elevar un número a una potencia dada n también es más sencillo de
escribir:
w n = r n e inθ
Por ejemplo el cuadrado del número complejo w=9e i25° es:
w2=(9e i25°)2=(9)2e i2(25°)=81e i50°
Obtener la raíz de un número complejo también se facilita:
n
w=
d i
n
FG θ + 360° k IJ
n K
r e Hn
i
Con k=0,1,2,..., n–1. La notación de Euler es de gran ayuda para denotar
a los números complejos y para hacer operaciones con ellos.
Por ejemplo, si w=8e i60°, entonces las raíces cúbicas de w son:
3
w=
d i
3
FG 60° + 360° k IJ
3
3 K
8 eH
i
para k=0
2ei(20°+0°)=2ei20°
para k=1
2ei(20°+120°)=2ei140°
para k=2
2ei(20°+240°)=2ei280°
Ahora daremos otros ejemplos. Multiplicamos los números (3+7i) y (4+i).
Como:
3+7i=7.62(cos66.80°+isen66.80°) y 4+i=4.12(cos14.04°+isen14.04°)
Entonces:
3+7i=7.62e i66.80° y 4+i=4.12e i14.04°
Por lo tanto:
(3+7i)(4+i)=(7.62ei66.80°)(4.12ei14.04°)=[(7.62)(4.12)]ei(66.80°+14.04°)
(3+7i)(4+i)=31.39ei80.84°
10
números
complejos
En el siguiente ejemplo, obtengamos las raíces de z4=4+9i.
Como:
4+9i=9.84(cos66.04°+isen66.04°)
Entonces:
4+9i=9.84e i66.04°
Las raíces están dadas por la ecuación:
FG 66.04 ° + 360° k IJ
4 K
z = 9.84 e H 4
i
4
Donde k=0,1,2 y 3. Por último las raíces son:
z1=1.77ei16.51°
z2=1.77ei106.51°
z3=1.77ei196.51°
z4=1.77ei286.51°
Último ejemplo, realicemos la operación:
zv 3
w
Donde z=5ei90°, v=67ei35° y w=85ei54°. Sustituyendo los valores se tiene:
i 90 °
i 35° 3
c5e hc67 e h
c85e h
i 54 °
desarrollando la expresión al cubo:
c5e hc67 e h = c5e h a67 f e
c85e h
c85e h
i 90 °
i 35° 3
i 90 °
i 54 °
3
i 3( 35°)
i 54 °
=
i 90 °
i105°
c5e hc300763e h
c85e h
i 54 °
ahora, haciendo la multiplicación:
i 90 °
i105°
c5e hc300763e h = (5)(300763)e
c85e h
c85e h
i 54 °
i(105°+90 °)
i 54 °
11
=
i195°
c1503815e h
c85e h
i 54 °
Álgebra
superior
y después la división:
i195°
c1503815e h = FG 1503815IJ e
c85e h H 85 K
i 54 °
i(195°−54 °)
= 17691.94 e i141°
Notemos que cuando es necesario hacer varias operaciones de
multiplicación y división con los números complejos resulta más sencillo utilizar
la notación de Euler.
Ejercicio 5
1. Convierte los siguientes números complejos a notación de Euler:
a) 3+5i
b) 5i
a) 34(cos15º+i sen15º)
2. Sea z=3+4i, v=1+2i y w=i. Encuentra el resultado de las siguientes
operaciones usando la notación de Euler.
a)
b)
c)
d)
z/v
(zv)/w
z3
v1/4
12
números
complejos
Problemas resueltos
1. A la suma de 2+3i y 6+4i, multiplíquela por 5+i.
Respuesta:
(2 + 3 i) + (6 + 4 i)
La suma es:
(2 + 6) + (3 + 4)i = 8 + 7 i
La multiplicación es:
(8 + 7 i)(5 + i) =
(8)(5 + i) + 7 i(5 + i) =
(8 ⋅ 5) + (8 ⋅ i) + (7 i ⋅ 5) + (7 i ⋅ i) =
(40) + (8 i) + (35i) + (7 i 2 ) =
(40) + (8 i) + (35i) + (−7) =
(33 + 43 i)
2. Encuentra:
a) (3+2i)2
b) (3+2i)3
Respuestas:
a) (3 + 2 i)2 =
(3 + 2 i)(3 + 2 i) =
(3)(3 + 2 i) + (2 i)(3 + 2 i) =
(3 ⋅ 3) + (3 ⋅ 2 i) + (2 i ⋅ 3) + (2 i ⋅ 2 i) =
(9) + (6 i) + (6 i) + (4 i 2 ) =
(9) + (12 i) + (−4) =
(5 + 12 i)
13
Álgebra
superior
b) (3 + 2 i)3 =
(3 + 2 i)(3 + 2 i)2 =
(3 + 2 i)(5 + 12 i) =
(3)(5 + 12 i) + (2 i)(5 + 12 i) =
(3 ⋅ 5) + (3 ⋅ 12 i) + (2 i ⋅ 5) + (2 ⋅ 12 i) =
(15) + (36 i) + (10 i) + (24 i 2 ) =
(15) + (46 i) + (−24) =
(−9 + 46i)
3. Reduce la expresión
(4 + 3 i) + (2 − 7 i) 5 − 9 i
Respuesta:
3 + 8i
(4 + 3 i) + (2 − 7 i) 5 − 9 i
3 + 8i
d
d
i
i
La suma incluida es:
(4 + 3 i) + (2 − 7 i) = ( 4 + 2) + (3 i − 7 i) = (6 − 4 i)
realizando la multiplicación del numerador y aplicando el conjugado:
(6 − 4 i)(5 − 9 i) = (6 − 4 i)(5 + 9 i) =
multiplicando el numerador:
(6)(5 + 9 i) + (−4 i)(5 + 9 i) =
(6 ⋅ 5) + (6 ⋅ 9 i) + (−4 i ⋅ 5) + (−4 i ⋅ 9 i) =
(30) + (54 i) − (20 i) − (36 i 2 ) =
(30) + (34 i) − (−36) =
(66 + 34i)
14
números
complejos
desarrollar la división:
(66 + 34 i)
=
3 + 8i
multiplicar y dividir por el conjugado del denominador:
(66 + 34 i)(3 − 8 i)
=
(3 + 8 i)(3 − 8 i)
multiplicar el numerador:
(66 + 34 i)(3 − 8 i) =
(66)(3 − 8 i) + (34 i)(3 − 8 i) =
(66 ⋅ 3) + 66 ⋅ (−8 i) + (34 i ⋅ 3) + 34 i ⋅ (−8 i) =
b
g
b
(198) − (528 i) + (102 i) − (272 i ) =
(198) − ( 426 i) + (272) =
g
2
(470) − (426 i)
en el denominador se tiene:
(3 + 8 i)(3 − 8 i) = (9 + 64) = 73
efectuar la división:
(470) − (426 i)  470   426 i 
=
−

73
 73   73 
4. Encuentra la forma binomial de:
a) 8(cos50°+isen50°)
b) 3(cos136°+isen136°)
Respuesta:
a) 8(cos50°+isen50°)=8cos50°+8sen50°i=5.14+6.13i
b) 3(cos136°+isen136°)=3cos136°+3sen136°i=–2.16+2.08 i
1
Álgebra
superior
5. Encuentra las raíces de z4=3–i
Respuesta:
3 − i = 10 cos (−18.43° ) + i sen (−18.43° ) las raíces son de la forma:
  −18.43 + 360 k 
8
 −18.43 + 360 k  
z = 10 cos 
 + i sen 

4
4



 
es decir:
z1 = 1.33[cos85.39° + i sen85.39°]
z2 = 1.33[cos175.39° + i sen175.39°]
z3 = 1.33[cos 265.39° + i sen 265.39°]
z4 = 1.33[cos355.39° + i sen355.39°]
6. Sea z=4+7i y w=5+2i, usando la notación de Euler encuentra
Respuesta:
z=8.06(cos60.25°+isen60.25°)=8.06 e60.25i y
w=5.39(cos21.8°+isen21.8°)=5.39e21.80i, entonces:
w
5.39 e 21.8 i
2.32 e10.9 i
=
=
= 0.29 e −49.35 i
z
8.06 e 60.25 i
8.06 e 60.25 i
7. Resuelve la ecuación (2+4i)2x+6ix=7
Respuesta:
(2 + 4 i)2 x + 6 ix = 7
a4 − 16f + (8 + 8)i x + 6 ix = 7
(−12 + 16 i) x + 6 ix = 7
(−12 + 22 i) x = 7
1
w
z
números
x=
x=
x=
x=
complejos
7
−12 + 22 i
7(−12 − 22 i)
(−12 + 22 i)(−12 − 22 i)
−84 − 154 i
144 + 484
−84 − 154 i
628
x=−
21
77
−
i
157 314
1
Álgebra
superior
Problemas propuestos
1. Obtén el resultado de
2. Reduce
a3 + 2 if +
(4 + 6 i)
(3 + 7 i) 8 + 4 i
d
6 + 4i
i
i
5 + 3i
3. Encuentra la forma polar de:
a) z=6+7i
b) w=11+9i
4. Encuentra las raíces de w3=11+23i
5. Usando la notación de Euler calcula z/wx, donde z=3+7i, w=4+9i y
x=5+i.
6. Resuelve la ecuación 5x+(4+6i)x+4i=0
18
números
complejos
Autoevaluación
1. ¿Cuál es el resultado de (9–3i)[(–3i)+(9+6i)]?
a)
b)
c)
d)
81+9i
72
90
9+81i
2. La reducción de
5 − 5i
3
−5 − 5 i
b)
3
c) 5 + 5 i
3
−
5
+ 5i
d)
3
(1 + 7 i)(2 − 4 i)
es:
(2 + 4 i)(3 i)
a)
3. La forma polar de 6+6 i es:
a)
b)
c)
d)
8.49(cos45°+i sen45°)
6(cos0°+isen0°)
6(cos45°+isen45°)
8.49(cos0°+isen0°)
4. La que no es raíz de w3=3–3i es:
a)
b)
c)
d)
1.62(cos225°+i sen225°)
1.62(cos65°+isen65°)
1.62(cos105°+isen105°)
1.62(cos345°+isen345°)
1
Álgebra
superior
5. 4e45°i dividido entre 2e20°i tiene como resultado:
a)
b)
c)
d)
0.5e–2.25°
2e2.25°
0.5e–25°
2e25°
6. La solución de (3i)2x+(4+i)x=4 es:
a)
b)
c)
d)
−10 − 20 i
13
−16 − 2 i
13
−10 − 2 i
13
26 − 2 i
13
10
números
complejos
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. i+4i+7i+9i=21i
2. (4i)(5i)=20i2=–20
(–20)(3i)=–60i
3. i3=(i2)(i)=–i
i4=(i3)(i)=(–i)(i)=–i2=–(–1)=1
Ejercicio 2
1. a) (7–6–4)+(–1+3–3)i=–3–i
b) (2–3)+(1+6)i=–1+7i
c)
(4 + 6) + (3 − 8)i 10 − 5i (10 − 5i)(7 + i)
=
=
=
7−i
7−i
(7 − i)(7 + i)
(70 + 5)(10 − 35)i 75 − 25i 3 1
=
= − i
49 + 1
50
2 2
d)
(3 − 4 i)(5 + 2 i) (15 + 8) + (6 − 20)i 23 − 14 i
=
=
=
3i
3i
3i
(23 − 14 i)(−3 i) −42 − 69 i −42 23
=
=
−
i
(3 i)(−3 i)
9
9
3
Ejercicio 3
1. z =
02 + 6 2 = 6 y
Arg( z) = cos −1
0
= cos −1 0 = 90° , z = 6(cos 90°+ i sen90° )
6
11
Álgebra
superior
 −3 
2. w = (−4)2 + (−3)2 = 5 y Arg( w) = tan −1 
 = 216.81° de lo que
 −4 
w=5(cos216.81°+isen216.81°)
3. v =
−1
2 2 + 1 = 2.24 y Arg( v) = cos
−2
= 153.43° , por tanto
2.24
v=2.24(cos153.43°+isen153.43°)
Ejercicio 4
1. –16i=16(cos270°+isen270°) las raíces son de la forma:
w=
4
LM FG 270 + 360kIJ + i senFG 270 + 360kIJ OP
H 4 KQ
N H 4 K
16 cos
para k=1, k=2, k=3 y k=0 se tiene, respectivamente:
w1 = 2 cos 157.5°+ i sen157.5°
w2 = 2 cos 247.5°+ i sen247.5°
w3 = 2 cos 337.5°+ i sen337.5°
w4 = 2 cos 67.5°+ i sen67.5°
2. 1 − i = 2 cos (−45° ) + i sen (−45° ) las raíces son de la forma:
  −45 + 360 k 
6
 −45 + 360 k  
z = 2 cos 
 + i sen 

3
3



 
para k=1, k=2 y k=0 se tiene:
z2 = 1.12 [cos 225° + i sen 225°]
z3 = 1.12 [cos345° + i sen345°]
z1 = 1.12 [cos105° + i sen105°],
respectivamente.
12
números
complejos
3. 4 + 5i = 41(cos 51.34°+ i sen51.34° )
LM FG 51.34 + 360kIJ + isenFG 51.34 + 360kIJ OP
N H 5 K H 5 KQ
v = 10 41 cos
para k=0, 1, 2, 3, 4
v1 = 1.45 cos 10.26 + isen 10.26
v2
v3
v4
v5
a f a f
= 1.45 cosa82.26f + isena82.26f
= 1.45 cosb154.26g + isenb154.26 g
= 1.45 cosa226.26f + isena226.26f
= 1.45 cosa298.26f + isena298.26f
Ejercicio 5
1. a) 3+5i= 34 (cos59.04°+isen59.04°)=5.83ei59.04°
b) 5i=5 (cos90°+isen90°)=5ei90°
c) 34(cos15°+isen15°)=34ei15°
2. Tomando en cuenta que: z=5ei53.13°, v= 3 ei54.74° y w=ei90°, entonces:
a)
b)
5 i(53.13°−54.71°)
e
= 2.89 e −1.61° i
3
b5gd 3 i e
i53.13°+54.74 °−90°)
1
= 8.66 e i17.87 °
c) 53 e 3(53.13°) i = 125e i159.39°
d)
8
FG 54.74° IJ
3e H 4 K
i
= 1.15e i13.69°
13
Álgebra
superior
Respuestas a los problemas propuestos
1.
122 + 14 i
13
2. 0.55–0.5i
3. a ) 9.22(cos49.40°+isen49.40°)
b) 14.21(cos39.29°+isen39.29°)
4. w1=25.5(cos141.48°+isen141.48°)
w2=25.5(cos261.48°+isen261.48°)
w3=25.5(cos21.48°+isen21.48°)
5. 0.15e–10.6i
6.
−24 − 36 i
117
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. b)
3. a)
4. b)
5. d)
6. c)
14