FACULTAD DE ARQUITECTURA – UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA Examen de Matemática – 16 XII 2009 EJERCICIO I Dado el cubo ABCDEFGH donde A (0, 0, 0) , B (k , 0, 0) y E (0, 0, k ) con k > 0 (a) Determine las ecuaciones del plano (BDG ) y de la recta EC . (b) Pruebe que EC ⊥ (BDG ) y determine I : {I } = EC ∩ (BDG ) (c) Determine la ecuación de la esfera Ω sabiendo que su centro es E y que es tangente al plano BDG . (d) Halle el valor de k sabiendo que el volumen del sólido encerrado por la esfera Ω es 36π . Solución. Z E F H G A I B D U x C y Solución Examen de Matemática – Diciembre 2009 Parte (a) B (k , 0, 0) , D (0, k , 0) , G (k , k , k ) Plano (BDG ) : x + y − z = k E (0, 0, k ) , C (k , k , 0) Recta EC : x = λ , y = λ , z = k − λ , λ ∈ R Parte (b) G G n(BDG ) ⊥ (BDG ) , n(BDG ) = (1, 1, −1)⎪⎫⎪ G G ⎬ ⇒ n(BDG ) = v EC ⇒ EC ⊥ (BDG ) G G ⎪⎪⎭ v EC & EC , v EC = (1, 1, −1) {I } = (BDG ) ∩ EC ⎧⎪x + y − z = k ⎪⎪ ⎪⎪x = λ 2k → λ + λ − (k − λ) = k ⇒ 3λ = 2k ⇒ λ = ⎨ ⎪⎪y = λ 3 ⎪⎪ ⎪⎩z = k − λ ⎛ 2k 2k k ⎞⎟ I = ⎜⎜ , , ⎝ 3 3 3 ⎠⎟⎟ Parte (c) ρ : radio de Ω ρ = dist (E , I ) ⎛ 2k 2k k ⎞⎟ ⎛ −2k −2k 2k ⎞⎟ E − I = (0, 0, k ) − ⎜⎜ , , =⎜ , , ⎟⎟ ⎝ 3 3 3 ⎠⎟⎟ ⎝⎜ 3 3 3 ⎠ 2k ⎛ 2k ⎞2 k > 0, ρ = 3 ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 3 ⎝3⎠ 3 ⎛ 2k ⎞2 Ω : x 2 + y 2 + (z − k )2 = ⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ Ω : x 2 + y 2 + (z − k )2 = Parte (d) VΩ = 4k 2 3 4 3 πρ 3 4 ⎛ 2k ⎞⎟3 4 ⎜⎛ 8k 3 ⎞⎟ 32 3 3 3 ⎟= π ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = π ⎜3 3 πk 3 = 36π ⇒ k = 3 ⎝ 3⎠ 3 ⎜⎝ 27 ⎠⎟⎟ 27 2 Facultad de Arquitectura – Universidad de la República Página | 2 Solución Examen de Matemática – Diciembre 2009 EJERCICIO II Sea R la región del plano XOY cuya área se expresa por A (R ) = Página | 3 (a) (b) (c) (d) ∫ 1 dx 0 ∫ −2 x 2 + 4 x +2 1− 1−(x −1)2 dy + ∫ 2 dx 1 ∫ −3 x +7 1− 1−(x −1)2 dy Represente la región R en un sistema de coordenadas cartesianas. Plantee A (R ) invirtiendo el orden de integración. Calcule A (R ) Realice un bosquejo del cuerpo cuyo piso es R y su techo está dado por z = 3 ∀y / y ≤ 1 ∧ z = 4 − y ∀ y / y > 1 (e) Plantee por integrales dobles el volumen de dicho cuerpo (f) Calcule el volumen. Solución Parte (a) y x Parte (b) ∫ 1 0 dy ∫ 1+ 1−(y −1)2 1− 1−(y −1)2 dx + ∫ 1 2 dy ∫ 7 −y 3 0 dx + ∫ 4 2 dy ∫ 7−y 3 1− 2− y 2 dx Facultad de Arquitectura – Universidad de la República Solución Examen de Matemática – Diciembre 2009 Parte (c) π 23 + 2 6 A (R ) = Parte (d) z Página | 4 y x Parte (e) V= ∫ 2 dx 0 ∫ 1 1− 1−(x −1)2 3dy + ∫ 1 0 dx ∫ −2 x 2 + 4 x +2 (4 − y )dy + 1 + ∫ 1 2 dx ∫ −3 x +7 (4 − y )dy 1 Parte (f) A= 3π 71 + 2 10 Facultad de Arquitectura – Universidad de la República Solución Examen de Matemáttica – Diciembre 2009 EJER RCICIO III Se considera la rregión D de la figura fi adjunta. Sus bordes estáán dados por las l siguientes ecuaciones: Página | 5 y = 4 − x 2 , y = 5 − 4 − x 2 , x = 2 , x = −2 (a) Plantee P por in ntegrales dobless, en los do os ordenes, ∫∫ f (x , y )dxdy . D (b) Determine, D justificcadamente, el valo or de la integral doble d anterior f (x , y ) = −x . cuando c (c) Halle H el valor de d la integral doble cuando f (x , y ) = y 2 . Se recomienda r no callcular directamentee la integral. ∫∫ (2y − 5) dxddy < 4 ∫∫ y dxdyy 2 (d) Explique E por qué sin calcular 2 D D las l integrales. Soluución Partte (a) ∫∫ f (x , y )dydx = ∫∫ f (x , y )dxdy = D D + ∫ ∫ 2 ∫ 2 −2 3 2 dx dy 0 d dy ∫ ∫ ∫ 2 −2 5− 4−x 2 4 −x 2 − 4−y 2 −2 f (x , y )dy f (x , y )dx + f (x , y )dx + ∫ 5 dy 3 + ∫ 3 5 dy ∫ ∫ ∫ 2 dy 0 ∫ 2 4−y 2 − 4−(y −5)2 −2 2 4−(y −5)2 f (x , y )dx + f (x , y )dx + f (x , y )dx Facultad de Arrquitectura – Univversidad de la Repúública Solución Examen de Matemática – Diciembre 2009 Parte (b) ∫∫ −xdxdy = −M y (D ) D Como la región D es simétrica respecto al eje OY , M y (D ) = 0 , entonces Página | 6 ∫∫ −xdxdy = 0 D Parte (c) ∫∫ y dxdy = I 2 x (D ) D Considerando D compuesta por figuras simples: D1 rectángulo, D2 semicírculo de diámetro OX , D2 semicírculo de diámetro incluido en la recta y = 5 , se obtiene 4 × 53 3 π × 24 I x (D2 ) = = 2π 8 4 × 2 ⎞⎟2 ⎛ 4 × 2 ⎞⎟2 ⎤ ⎜⎛ π × 22 ⎞⎟ 160 π × 24 ⎡⎛ ⎟ = 52π − I x (D3 ) = + ⎢⎜⎜5 − ⎟⎟ − ⎝⎜⎜ ⎟⎟ ⎥⎥ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 8 3π 3π ⎦ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎣ I x (D1 ) = I x (D ) = I x (D1 ) − I x (D2 ) − I x (D3 ) I x (D ) = 220 − 54 π Facultad de Arquitectura – Universidad de la República Solución Examen de Matemática – Diciembre 2009 Parte (d) Es conocido que I xG (D ) < I x (D ) Planteando lo anterior utilizando la definición de momento de inercia Página | 7 ∫∫ D 5 ⎞2 ⎛ ⎜⎜y − ⎟⎟⎟ dxdy < ⎝ 2⎠ ∫∫ y dxdy 2 D Desarrollando el integrando del primer miembro ∫∫ D (2y − 5)2 dxdy < 4 ∫∫ y dxdy 2 D Por linealidad 1 4 ∫∫ (2y − 5) dxdy < ∫∫ y dxdy 2 D 2 D Multioplicando ambos miembros por 4 ∫∫ (2y − 5) dxdy < 4 ∫∫ y dxdy 2 D 2 D Facultad de Arquitectura – Universidad de la República