CLASE 5 Las ecuaciones de equilibrio pueden reescribirse + fiB = 0 ij;j (1) Considerando un desplazamiento virtual arbitrario ui (nulo en SU ), se tiene y entonces Z ( ij;j + fiB ) ui = 0 (2) ( ij;j + fiB ) ui dV = 0 (3) V Luego, se llega a la expresión correspondiente al principio de los trabajos virtuales (ec.(22) clase_4) aplicando el Teorema de la Divergencia en la expresión anterior (teniendo en cuenta además las condiciones de contorno).y que se tiene, ( ui );j = ij ij;j ui + (4) ui;j ij Reemplazando (4) en (3) R R ij;j V V ( +fiB ui dV = 0 ui R ui );j dV ij V ij ui;j dV + fiB ui dV = 0 Aplicando Teo. de la Divergencia, R ( S ui )nj dS ij como S ij nj = fi f Z V ij R V ij en ui;j dV + fiB ui dV = 0 Sf ui;j dV = Z fiB ui dV + Z S V 1 S S fi f ui f (5) (notación: ij = x i = j = 1 i = j = 3) (ver (20) clase4) i=j =2 y = ij z ui;j = ij = = ij x )+ ("x @u @x ( @v )+ @z yz xy ( @u )+ @y ( @w )+ @x zx zy xz ( @u )+ @z ( @w )+ @y z yx @v ( @x )+ y @v ( @y )+ ( @w ) @z Teniendo en cuenta la simetría de ; = x ("x )+ @v ( @u + @x )+ @y xy xz ( @u + @w )+ @z @x y ("y )+ yz ( @v + @w )+ @z @y y ("z ) y de acuerdo la las de…niciones del tensor de deformaciones ((17)-(20), clase _4) x ("x ) + xy ( xy ) + xz ( xz ) + y ("y ) + yz ( yz ) + y ("z ) = "T El integrando el lado izquierdo en (5), coincide entonces con (22) clase _4, que correspone al PTV 2 La formulación del metodo de elementos …nitos para el problema general de elasticidad, desarrollada corresponde a la formulación del equilibrio estático. En este equilibrio, las fuerzas aplicadas pueden variar con el tiempo, y los desplazamientos, también RB = N EL X (m) RB = m=1 N EL Z X m=1 H (m)T V [f B(m) (m) H (m) U k (m) H (m) ]dV (m) (m) (6) son las aceleraciones puntuales (derivadas segundas con respecto al tiempo) U (m) densidad de masa del elemento m El equilibrio está dado por M U (7) + CU + KU = R Donde M es la matriz de masa y C la matriz de ’damping’y es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en el tiempo b u(m) (x; y; z) = H (m) (x; y; z)U b u (m) (x; y; z) = H (m) (x; y; z)U u (m) b (x; y; z) = H (m) (x; y; z)U M= N EL X M (m) = m=1 C= N EL X m=1 N EL Z X V m=1 C (m) = H (m)T N EL Z X m=1 H (m) dV (m) (8) H (m)T k (m) H (m) dV (m) (9) (m) (m) V (m) Para un análisis dinámico se derán hallar M C 3 y K: Elementos Finitos para la ec. del calor 2D Z @T @ @T @ (k )+ (k ) Wi dxdy + @x @x @y @y D donde, = T + Z QWi dxdy + D Z (k q @T @n qn )W i d (10) q Z @2T @2T )Wi dxdy + k( 2 + @x @y 2 D Z QWi dxdy + D Z (k q Aplicamos Teorema de la Divergencia Z Z divF dxdy = F nd @T @n qn )W i d (11) (12) D F = (F1 ; F2 ) div F = @F1 @x + @F2 @y F1 y F2 con derivadas parciales continuas y n = (n1 ; n2 ) es el vector normal exterior a orientada de la región del plano D) (curva frontera positivamente Para F = (uv; 0) Z @v @u v + u dxdy = @x @x Z uvn1 d (13) Z @u @v v + u dxdy = @y @y Z uvn2 d (14) D Para F = (0; uv) D 4 Reemplazando v R R ( @u @v D @x @x @v @x por 2 @ v + u @x 2 )dxdy = 2 @ v ( @u @v + u @y 2 )dxdy = D @y @y 2 D k( @@xT2 + R R Para v = T; y u = Wi (11), R en (13) y v por @v @y en (14) queda @v n1 d u @x @v u @y n2 d reemplazando el primer término de la integral en @2T )Wi dxdy @y 2 se obtiene Z @Wi @T @Wi @T ( k + k )dxdy + @x @y @y D @x + Z Wi Qdxdy + D Wi = 0 Z T Z @T (k @n q Wi = Wi @Wi @T @Wi @T ( k + k )dxdy @x @y @y D @x Z kWi ( @T @T n1 + n2 )d + @x @y (15) qn )W i d = 0 en Z q Wi Qdxdy D Z Te(r; s) = h1 Tb1 + h2 Tb2 + h3 Tb3 + :::::::::::::::::: + hN TbN donde ahora hi son las funciones de forma 2D 5 W i qn d = 0 (16) Utilizando Galerkin el sistema algebraico a resolver es (Wi = hi ) K Tb = R; donde, Z ( @hi @hj @hi @hj k + k )dxdy @x @x @y @y Ri = Z Z Kij = D hi Qdxdy + D hi qn d q La formulación matricial ( conveniente para la implementación computacional) es Te = H Tb 2 " @ Te @x @ Te @y # = " @h1 @x @h1 @y @h2 @x @h2 @y @h3 @x @h3 @y @h4 @x @h4 @y ::: ::: ::: :: :: :: :: :: :: :: :: :: K Tb = QB + QS 6 @hN @x @hN @y 1 1 @hN @x @hN @y 6 6 6 6 6 6 #6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 Tb1 Tb2 Tb3 Tb4 :: :: :: :: :: TbN 1 TbN (17) (18) 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 = B Tb 7 7 7 7 7 7 7 5 Para el elemento (1), por ejemplo la matriz elemental es 2 3 b T 1 " e # 6 b 7 @h2 @h3 @h4 @h1 @T 6 T 7 @x @x @x @x @x = @h1 @h2 @h3 @h4 6 b2 7 = B (1) Tb(1) @ Te 4 T3 5 @y @y @y @y @y Tb4 (19) N EL Z X (20) K= N EL X K (m) = m=1 QB = m=1 N EL X (m) QB = QS = m=1 (m) QS N EL Z X V m=1 m=1 N EL X V B (m)T C (m) B (m) dV (m) (m) = N EL Z X (m) Sf m=1 Elemento Isoparamétrico Bidimensional 7 QH (m)T dV (m) (21) qn H S(m)T dS (m) (22) (m) b X = x1 h1 + x2 h2 + x3 h3 + x4 h4 = H X Y = y1 h1 + y2 h2 + y3 h3 + y4 h4 = H Yb 2 6 6 e b T = H T = [h1 ; h2 ; h3 ; h4 ] 6 4 Tb1 Tb2 Tb3 Tb4 (1 + r)(1 + s) 4 (1 r)(1 + s) h2 (r; s) = 4 (1 r)(1 s) h3 (r; s) = 4 (1 + r)(1 s) h4 (r; s) = 4 h1 (r; s) = 8 3 7 7 7 5 (23) (24) (25) @ Te @ Te @r @ Te @s = + @x @r @x @s @x e e @T @ T @r @ Te @s = + @y @r @y @s @y @ Te @r Se disponen de las derivadas " " @ Te @x @ Te @y # =J 1 K @ Te @r @ Te @s " (m) @ Te @r @ Te @s = # # Z =J 1 1 Q(m) B Q(m) S Z = = @h1 @r @h1 @s 1 @ Te ; @s " @y @r @y @s @x @r @x @s = y entonces, @ Te @x @ Te @y @h2 @r @h2 @s (26) # =J @h3 @r @h3 @s " @ Te @x @ Te @y 2 6 6 6 4 @h4 @r @h4 @s 1 B (m)T C (m) B (m) # (27) Tb1 Tb2 Tb3 Tb4 3 7 7 7 5 J (m) drds (28) 1 Z Z 1 1 Z 1 J (m) drds QH (29) 1 1 qn H S(m)T (m) Jl (30) ds 1 Por ejemplo, si el borde corresponde a r = 1; X = X(s) e Y = Y (s) q (m) dl = ( @x )2 + ( @y )2 ds = Jl ds @s @s y, H S(m)T = H S(m)T Teniendo en cuenta las derivadas de las funciones de forma 9 cr=1 (1 + s) 4 (1 + s) = 4 (1 s) = 4 (1 s) = 4 @h1 @r @h2 @r @h3 @r @h4 @r = (1 + r) 4 (1 r) = 4 (1 r) = 4 (1 + r) = 4 @h1 @s @h2 @s @h3 @s @h4 @s = Para un elemento con nodos de coordenadas (2; 2)(0; 1)(0; 0)(2; 0); @x @r = (1+s) 2 4 (1+s) 0 4 (1 s) 0 4 + (1 s) 2 4 10 =1 (31) (32) @y @r = (1+s) 2 4 @x @s = (1+r) 2 4 @y @s = (1+r) 2 4 J= 1 4 jJj = (1+s) 1 4 (1 s) 0 4 (1 s) 0 4 = + (1 r) 0 4 (1 r) 0 4 (1+r) 2 4 =0 + (1 r) 1 4 (1 r) 0 4 (1+r) 0 4 = + 1+s 4 3+r 4 1 1+s 0 3+r 3+r 4 Matriz de rigidez B para un elemento rectangular de 4 nodos (elasticidad 2D; tensión plana) u = h1 u b1 + h2 u b2 + h3 u b3 + h4 u b4 v = h1 vb1 + h2 vb2 + h3 vb3 + h4 vb4 "T = "x ; "y ; (33) xy (34) @v ; @y (35) donde "x = @u ; @x xy @ @x @ @y =J r=ri ;s=sj 1 @ @r @ @s "y = = @u @v + @y @x r=ri ;s=sj 11 (36) 2 @u @x @u @y =J @h1 @r @h1 @s 1 r=ri ;s=sj 0 0 @h2 @r @h2 @s 0 0 @h3 @r @h3 @s 0 0 @h4 @r @h4 @s 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 0 2 @v @x @v @y 2 4 2 4 @u @y =J 0 0 1 r=ri ;s=sj @u @x @v @y + @v @x 3 5 @h1 @r @h1 @s @h2 @r @h2 @s 0 0 0 0 @h3 @r @h3 @s 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 @h4 @r @h4 @s 1 4 = u b1 vb1 u b2 vb2 u b3 vb3 u b4 vb4 u b1 vb1 u b2 vb2 u b3 vb3 u b4 vb4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 r=ri; s=sj 1 + sj 0 0 1 + ri 1 + ri 1 + sj 2 (1 + sj ) 0 1 ri 0 1 ri (1 + sj ) (1 sj ) 0 (1 ri ) 0 (1 (1 1 ri ) sj ) sj 0 (1 + ri ) dV = J (m) drds K (m) = Z 1 1 Z 1 B (m)T C (m) B (m) 1 Elemento rectangular de 9 nodos 12 J (m) drds (37) 6 6 36 6 0 6 5 (1 + ri ) 6 6 6 1 sj 6 6 4 u b1 vb1 u b2 vb2 u b3 vb3 u b4 vb4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 Integración Numérica 2D Para una integral 2D, en un rectángulo, se aplica la integración numérica 1D en cada dirección I= = R1 R1 1 F (r; s)drds = 1 R1 R1 ( 1 F (r; s)dr)ds = 1 R1 P P P ( i F (ri ; s)wi )ds = j i F (ri ; sj )wi wj 1 XX I= F (ri ; sj )wi wj j (38) i Elementos triangulares En algunas geometrías resulta más conveniente la utilización de elementos triangulares. Se pueden hallar las funciones de forma a partir de distorsionar un elemento cuadrilétro (ver TP2) 13 Otra forma de obtener las funciones de forma es utilizar las coordenadas naturales h1 = 1 h2 = r h3 = s r s Si se quiere, por ejemplo, hallar la matriz B de la relación deformacióndesplazamiento para un elemento triangular de 3 nodos (elasticidad 2D; tensión plana) (x1 ; y1 ) = (0; 0); (x2 ; y2 ) = (4; 0) J= @x @r @x @s @y @r @y @s y (x3 ; y3 ) = (1; 3) u = h1 u b1 + h2 u b2 + h3 u b3 v = h1 vb1 + h2 vb2 + h3 vb3 = 4 0 1 3 14 (39) @u @x @u @y @v @x @v @y =J 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 r=ri ;s=sj =J 1 r=ri ;s=sj Se obtiene 2 …nalmente, 3 0 3 1 4 0 3 0 B = 12 3 3 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 5 3 0 4 2 6 6 6 6 6 6 4 2 6 6 6 6 6 6 4 u b1 vb1 u b2 vb2 u b3 vb3 u b1 vb1 u b2 vb2 u b3 vb3 3 7 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 7 5 Buscar en la bibliografía Integración numérica en triángulos 15