Aplicaciones de la derivada.

Cálculo Diferencial
M. I. Víctor Manuel Romero Medina
mayo de 2004
Contents
1 Aplicaciones de la derivada
1.1 Extremos en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Teorema de Rolle y el teorema del valor medio . . . . . . .
1.3 Funciones crecientes y dcrecientes y el criterio de la primera
1.4 Concavidad y el criterio de la primera derivada . . . . . . .
1.5 Concavidad y el criterio de la segunda derivada . . . . . . .
1.6 Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . .
. . . . . .
derivada .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
3
4
4
4
Chapter 1
Aplicaciones de la derivada
Nota: Las notas de este tema están basadas en el libro de texto recomendado: Larson Hostetler Edwards. Cálculo.
Volumen I. Capítulo 3, Editorial Mc Graw Hill. Sexta edición. México, 1999.
Objetivo
Que el alumno aplique correctamente los conceptos fundamentales de la derivada, tales como extremos de un
intervalo, el teorema del valor medio (Teorema de Rolle), el criterio de la primera derivada (funciones crecientes y
decrecientes) y el criterio de la segunda derivada (concavidad), al análisis de una función,y al análisis de problemas
de optimización que se presentan comúnmente en ingeniería.
1.1
Extremos en un intervalo
en el cálculo se dedica mucho esfuerzo a estudiar el comportamiento de una función f sobre un intervalo I. ¿tiene
f un valor máximo en I? ¿Y un valor mínimo? ¿Dónde es creciente la función? ¿Y donde es decreciente? En
este capítulo aprenderemos a aprovechar las derivadas con el …n de responder cuestiones de esta clase y veremos
porqué son relevantes en las apoicaciones cotidianas.
De…nición de extremos.
Sea f de…nida en un intervalo I que contiene a c.
1. f (c) es el (valor) mínimo de f en I si f (c) · f (x) para todo x en I.
2. f (c) es el (valor) máximo de f en I si f (c) ¸ f (x) para todo x en I.
El máximo y el mínimo de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos,
de la función en ese intervalo. el mínimo y el máximo de una función en un itervalo se llaman también el mínimo
absoluto y el máximo absoluto de la función en el intervalo.
Theorem 1
Teorema de los valores extremos.
Si f es continua en un intervalo cerrado [a; b], entonces f alcanza un valor máximo y también un valor mínimo
en ese intervalo.
De…nición de extremos relativos.
1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f (c) es máximo, entonces f (c) se llama un
máximo relativo de f .
2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f (c) es mínimo, entonces f (c) se llama un mínimo
relativo de f .
De…nición de números críticos.
Sea f de…nida en c. Si f 0 (c) = 0 o si f 0 no está de…nida en c, se dice que c es un número crítico de f .
Theorem 2
Los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos.
2
Si f tieneun máximo relativo o un mínimo relativo en x = c, c es un número crítico de f .
Estrategia para localizar los extremos relativos en un intervalo cerrado
Para hallar los extremos relativos de una función continua f en un intervalo cerrado [a; b], debe procederse
como sigue:
1. Hallar los números críticos de f en [a; b].
2. Evaluar f en cada número crítico (a; b).
3. Evaluar f en a y en b.
4. El más grande de todos esos valores es el máximo; el más pequeño es el mínimo.
1.2
Teorema de Rolle y el teorema del valor medio
El teorema de los valores extremos establece que una función continua en un intervalo cerrado [a; b] alcanza
necesariamente un valor máximo y un valor mínimo en él. Ahora bien, estos valores pueden producirse en los
puntos terminales. El teorema de Rolle, llamado así en honor del matemático Michelle Rolle (1652-1719), establece
condiciones su…cientes para garantizar la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.
Theorem 3
Teorema de Rolle.
Sea f continua en el intervalo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b). Si
f (a) = f (b)
existe al menos un número c en (a; b)tal que f 0 (c) = 0.
Theorem 4
Teorema del valor medio.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b), existe un número c en
(a; b) tal que
f (b) ¡ f (a)
f 0 (c) =
b¡a
1.3
Funciones crecientes y dcrecientes y el criterio de la primera
derivada
De…nición de funciones crecientes y funciones decrecientes
Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de números x1 , x 2 del intervalo, x 1 < x2
implica f (x 1 ) < f (x 2 ).
Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números x 1 , x2 del intervalo, x1 < x2
implica f (x 1 ) > f (x 2 ).
Theorem 5
Criterio de crecimiento y decrecimiento.
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b).
1. Si f 0 (x) > 0 para todo x en (a; b), f es creciente en [a; b].
2. Si f 0 (x) < 0 para todo x en (a; b), f es decreciente en [a; b].
3. Si f 0 (x) = 0 para todo x en (a; b), f es constante en [a; b].
Estrategia para hallar los intervalos donde una función es creciente o decreciente
Sea f continua en (a; b). Para hallar los intervalos abiertos donde f es creciente o decreciente, seguir los pasos
que se indican.
3
1. Localizar los números críticos de f en (a; b).
2. Evluar el signo de f 0 (x)en cada uno de los intervalos que esos números críticos determínan sobre la recta
real.
3. Usar el teorema anterior para decidir si f crece o decrece en cada intervalo.
Esta estrategia es válida también si el intervalo (a; b) se sustituye por un intervalo de la forma (¡1; b),
(a; +1), o (¡1; +1).
Una función es estrictamente monótona en un intervalo si es creciente odecreciente en todo intervalo.
1.4
Concavidad y el criterio de la primera derivada
Una vez conocidos los intervalos de crecimiento o decrecimiento, es fácil localizar los extremos relativos de la
función.
Theorem 6
El criterio de la primera derivada.
Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable
en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces f 0 (c)puede clasi…carse así:
1. Si f 0 (x) cambia en c de negativa a positiva, f (c) es un mínimo relativo de f .
2. Si f 0 (x) cambia en c de positiva a negativa, f (c) es un máximo relativo de f .
1.5
Concavidad y el criterio de la segunda derivada
De…nición de concavidad
Sea f derivable en un intervalo abierto I. La grá…ca de f es cóncava hacia arriba en I si f 0 es creciente en
ese intervalo y cóncava hacia abajo en I si f ’ es decreciente.
Theorem 7
Criterio de concavidad.
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f 00 (x) > 0 para todo x en I, la grá…ca de f es cóncava hacia arriba en I.
2. Si f 00 (x) < 0 para todo x en I, la grá…ca de f es cóncava hacia abajo en I.
Theorem 8
Puntos de in‡exión.
Si (c; f (c)) es un punto de in‡exión de la grá…ca de f , entonces o bien f´ (c) = 0 o f ´ (x) no está de…nida en
x = x.
Theorem 9
Criterios de la segunda derivada.
Sea f una función tal que f 0 (c) = 0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c.
1. Si f 00 (c) > 0, entonces f (c) es un mínimo relativo.
2. Si f 00 (c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo.
Si f 00 (c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada.
1.6
Problemas de optimización
4