MATEMÁTICAS BÁSICAS J 2 4(2 ) 7{{3XS)) + 2 + 2 + 2 2 {3XS) 2 (3XS) 2 {3XS) + 2 2(2 S) 16 60 + lOS 60 = 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 191 60 'ectangular de 32Sm de largo por 180m de ancho, ros para ponerle alambrado. ¿Cuántas estacas hay 48 24 12 6 go como a lo 2 2 2 2 3 3 1 3 2 Luego 72 =2 Luego 48 = 24 3 3 Así que el m.c.m. de 72 y 48 es 2 4 3 2 = 144 . Como la rueda mayor tiene 72 dientes, para "recorrer" 144 dientes debe dar 144 = 2 72 • vueltas (y la pequeña 144 = 3 vueltas) . 48 Como la rueda mayor da 10 vueltas por minuto, entonces para dar 1 vuelta gastará . de ellos. I 10 de minuto, y para dar 2 vueltas empleará 2 minutos; esto es, 2 (60) = 12 segundos. 10 10 Por lo tanto, cada 12 segundos coinciden los dientes de las dos ruedas con la posición original. FACTORIZACIÓN y ECUACIONES POLINÓMICAS Casos más comunes de factorización 1. ax + ay = a{x + y) - 2. X2 - / =(x -yXx+y) (Ver figura 1) 3. 4. x 2 - 2xy X2 +2xy+/ ={X+y)2 S. x 2 +{a+b)x+ab={x+ ; (x+ ) 7. x 3 +3x 2 y+ 3xy 2 +y3 ={x+y? 9. x 3 - y3 = (x - yXx 2 + xy + / ) y2 = {x - y)2 (Ver figura 2) 6. acx 2 +(ad + bc) x + bd = (ax + bXcx + d) 8. 1 x3_ 3x 2y+3x/_y3 ={x-y? 2 10. x 3 +y3 =(x+yXx - xy+/) 27 MATEMÁTICAS BÁSICAS p(x) k .... . , . . ............ . .. . . , , , , , , .......... ". •••• .. .. •' I ...... l' , .. .. .... l' .. ...... .. " •• •• .. " .. " .. " .. , .. .. .. l' , .... .. :;:::lCx-y)(x+y)I:;:. - .................... :::~ , .... .. " . .................. .... . .. . . " ...... . .. . xy x x Como k = p( r), entonces si p( r) = O, se tendrá .... . .............. . .... . . .... .......... .......... ... . .............. . .... . - ...... .. .............. ........ -1 .. ........ .. .. .... . . ...... . . . . . . . ........ .... .................. ........ ...... ...... . . " ...... . ...... .......... 2 Ejemplo: Comprobar que polinomio p(x) en la fo Y x x FIGURA 1 Solución: FIGURA 2 p(-2)=(-2)3 p(K) . Por el teorema del cual es el cociente de la Polinomios y Teorema del factor Sea p( x) = a o + a ¡x + ... + a nX n a o' a ¡ , ..., a n E R (a n :;é ! un polinomio de grado n con coeficientes O). Sea rER. Si p(r)=O, es decir, si a o +a¡r+ ... +anr n =0, r se dice una raíz real de . , p(x) . Es claro que si x - r es un factor de p(x), es decir, p(x) factoriza en la fonna Luego q(x)=x2-x+1 p(x)=(x - r)q(x) para cierto polinomio q(x), entonces r es una raíz de p(x). El recíproco de la anterior afinnación también es cierto: Otra forma de obtener Teorema del factor: Sea p(x) lm polinomio de grado n, n ~ 1 . Si r es una raíz de p(x), entonces x - r es un factor de p(x), es decir, p(x) se puede factorizar en la fonna: A continuación se mu x - r: Sea p( x) = ax 3 + bx 2 + p(x)= (x - r )q(x) p(x siendo q(x) un polinomio de grado n-l. En efecto or el algoritmo de la división existe un polinomio q(x), de grado n - 1 , Y una constante k tales que p(x) = (x - r)q(x) +~ Luego q(x) = ax 2 + ( donde q(x) es el cociente y k el residuo de la división de p(x) por x - r : 28 J MATEMÁTICAS BÁSICAS p(x) ~ k q(x) xy x Como k=p(r), entonces si p(r) = O, se tendrá p(x)=(x-r)q(x) . 2 Ejemplo: Comprobar que r = -2 ' es raíz de p(x)=x 3 +x 2 -x+2 polinomio p(x) en la fonna p(x)= (x + 2)q(x). Y v factorizar el Solución: p(-2)=(-2)3 +(_2)2 - (- 2)+2=-8+4+2+2=0. Luego r=-2 es raíz de p(K) . Por el teorema del factor p(x) = (x - (- 2))q(x) para cierto polinomio q(x) de grado 2, el cual es el cociente de la división de p(x) por x - (- 2) = x + 2 : Ix+ 2 x 3 + x J -x+ 2 - x 3 _ 2x J entes xJ 2 - X +1 -x -x+2 x:l + 2x x+2 -x-2 O roco Otra fonna de obtener el cociente q(x) es empleando división sintética. A continuación se muestra el método a seguir cuando p(x) es de grado tres y se divide por (x), x -r: Sea p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Como p(x) = (x - r )q(x) + p(r), entonces p(x)-p(r)=ax 3 +bx 2 + cx + d-(ar 3 + br 2 + cr + d) =a(x 3 -r3}+b(x 2 -r 2}+ c(x-r) = (x-r)[a(x 2 +xr + r 2}+ b(x + r) + c] ," a =(x-r)[ax 2 + (ar + b)x + ar 2 + br + c] Luego q(x) = ax 2 +"(ar + b)x + ar 2 + br + c, y esto se puede indicar como sigue: v... 29 MATEMÁTICAS BÁSICAS OEfTq:ECA "~F' GOM BlDLlOI e 2 ar + br b a ar ar 2+ br + e ar+b a Coeficiente de x de q(x) Coeficiente de x2 de q(x) d + br 2 + cr (x+a}+(-a)= x+[a+(-a)] = x+O= ~ x= Como ya se dijo, el número b + (- a) se denc ar 3+ br2+ cr + d I T 1 ar 3 - T Residuo T énnino independiente de q(x) (Lo que está suman • Consideremos la ec dada, se "despeja" Para el ejemplo anterior: -1 1(-2) 1+1(-2) =-1 Este esquema de división 2 1(-2)+ 1(_2)2 -1(-2)+1(-2) + 1(-2) 2 2 3 3 2-1(-2)+ 1(-2) + 1(-2) = O -1+1(-2)+1(-2)= 1 sint~tica lL 2 se puede,presentar en forma resumida como sigue: -2 -1 2 -1 1 2 Así que (Lo que está mu -2 o • Consideremos I a :t:. O. Para "de /' En este esquema de división sintética, los coeficientes del polinomio cociente q(x) se leen en la última fila y de izquierda a derecha (1 -1 1); O es el residuo de la división. Ecuaciones polinómicas • Consideremos la ecuación x + a = b con a, b E R. La incógnita x, en la écuación dada, se "despeja" como sigue: 30 Se sigue que si b ~IOAO NACIONAL. DE COLOMBIA m, ~ MATEMÁTICAS BÁSICAS SEllE MEDELLIOI'I"r"'CAS DE 81 ;t~:ECA .. r. GOMEl. (x +a)+(-a)= b+(-a) x + [a + (- a)] = b + (- a) e 2 ar + br 2 x+O=b+(-a) d x=b+(-a) ar 3 + br2 + cr ar + br + e q(') ¡ Como ya se dijo, el número b + (- a) se denota b - a , así que x+a=b<::>x=b-á énnino independiente de q(x) (Lo que está sumando en un miembro de una ecuación, pasa al otro miembro a restar) • Consideremos la ecuación ax = b con a, b dada, se "despeja" como sigue: . E R ya*- O" La incógnita x, en la ecuación I I -(ax)= -b a a b Ix =­ a b x=­ a Así que b ax = b <::> x =­ \ a (Lo que está multiplicando en un miembro de una ecuación y es no nulo, pasa al otro miembro a dividir) • Consideremos la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = O donde a, b, c E R y a *- O" Para "despejar" la incógnita x, en esta' ecuación, podemos proceder como sigue: n ax 2 + bx + c = O <::> x 2 + b x + c = O a a 2 <::>x + b x+ ( b)2 = (b)2 2a 2a a 2 b)2 b -4ac <::> ( x+ = 2a 4a 2 Se sigue que si b 2 - 4ac 2 O, entonces 31 c a