MATEMATICAS. 1er Curso de QUIMICA. HOJA de ejercicios H5

MATEMATICAS. 1er Curso de QUIMICA.
HOJA de ejercicios H5: Posibles respuestas.
1. Llamemos α al ángulo que forma la aguja horaria de un reloj con la vertical. Dar el valor de sen(α)
cuando sean exactamente las 12, las 2, las 3, y las 8. Usando la derivada, hallar el error que se introduce
en esos valores si el reloj está ligeramente adelantado: por ejemplo dt = n segundos.
Respuesta:
hora: 12 √ 2
s = sen(α) = 0
3/2
ε[s] = h
h/2
3
√8
1
− 3/2
−h2 /2 −h/2
(n segundos de adelanto).
πn
21600
√
Salvo un detalle: si en el caso de las 8 h tomamos el ángulo sin signo, entonces sen(α) = 3/2 , pero
en cambio h tiene signo opuesto al de n .
!
, con h = dα =
2. Para cada una de las funciones siguientes, hallar el error, absoluto y relativo, que producirá
en sus
√
valores un pequeño error dx en la x . Usar primero un valor concreto, por ejemplo x = 2 , y ver si la
respuesta se extiende o no sin problemas a cualquier otro valor (en cada caso, c es una constante dada).
f1 (x) = c/x ;
Respuesta:
f (x) ε[f (x)] = df
f2 (x) = cx2 ;
f3 (x) = x + cx3 ;
f4 (x) = exp(cx) .
εr [f (x)] = df /f (x)
c/x
−c dx/x
−dx/x = −εr [x]
cx2
2cx dx
2 dx/x = 2εr [x]
x + cx3 (1 + 3cx2 ) dx (1 + 3cx2 ) dx/(x + cx3 )
exp(cx) c exp(cx) dx
c dx
2
si x #= 0 (para que esté definida f (x))
si x #= 0 (de lo contrario, df = cdx2 )
si no se anula ni f (x) ni f ! (x) (eso depende de x y c)
sin excepciones !!!
!
3. Estudiar qué error (absoluto) se transmite al log(x) si hacemos con el valor de x una de estas cosas:
• sumarle un pequeño dx ;
• aumentarlo (o reducirlo) en una pequeña proporción, como un ±1% .
Hacer lo mismo para las funciones: log10 (x) ; a log(b/x) , donde a, b son constantes dadas.
Respuesta: Como log! (x) = 1/x , el error absoluto de log(x) es dx/x = εr [x] ; si llamamos p a la
proporción (con su signo) en la que aumenta x , estamos tomando x + dx = (1 + p)x , es decir
dx = p x ,
ε[log(x)] = p (donde p NO está en porcentaje, claro, sino en “tanto por 1”).
log(x)
εr [x]
p
Como log10 (x) =
, esa constante divide al error: ε[log10 (x)] =
=
.
log(10)
log(10)
log(10)
Como log(b/x) = log(b) − log(x) , la constante b no cambia1 el ε[− log(x)] = −εr [x] y la constante a
simplemente multiplica ese error:
ε[a log(b/x)] = −aεr [x] .
!
4. Comprobar que las dos funciones exp(x) , exp(−x) cumplen la ED f !! = f ; explicar por qué también
la cumplirán sus combinaciones lineales f (x) = a exp(x) + b exp(−x) .
¿Cuál de ellas cumplirá f (0) = 0 , f ! (0) = 1 ?
La llamamos seno hiperbólico, senh(x) .
¿Y cuál de ellas cumplirá f (0) = 1 , f ! (0) = 0 ?
La llamamos coseno hiperbólico, cosh(x) .
Comprobar que una de ellas es par, la otra impar, y cada una es la derivada de la otra.
Hallar qué valores de x cumplirán la igualdad cosh(x) = 2 ; ¿qué precisión debe tener la respuesta para
que la igualdad se cumpla con un error cosh(x) − 2 < 10−6 ?
Respuesta: Lo primero, porque ambas cumplen f ! = ±f , y lo segundo, porque la expresión f !! − f es
lineal en f , luego si se anula para esas dos funciones, también para sus c. lineales.
Las c. lineales buscadas son: cosh(x) = (exp(x) + exp(−x))/2 , senh(x) = (exp(x) − exp(−x))/2 .
Es inmediato que cosh! (x) = (ex − e−x )/2 = senh(x) , y viceversa; también es obvio que cosh(x) es par:
cosh(x) = (ex + e−x )/2 = cosh(−x) , y su derivada impar2 .
Para lo que queda, llamemos y = exp(x) ; necesitamos 2 = (y + 1/y)/2 , es decir
√
0 = y 2 − 4y + 1 = (y − 2)2 − 3 , que da y± = 2 ± 3 , x = log(y± ) ;
son valores opuestos, ya que y+ y− = 22 − 3 = 1 ; era inevitable, ya que cosh es par.
√
Como√cosh! (x) = senh(x) = (y+ − y− )/2 = 3 , podemos permitirnos en x un error que no supere
10−6 / 3 > 5E-7 ; es decir, basta darlo con 6 decimales: x = ±1.316958 .
!
1 Podrı́amos
2 Esto
hablar de log(b/x) con b, x < 0 ; todo vale en ese caso usando |b|, |x| , lo que cambia sólo un signo: dx/|x| = −εr [x] .
es cierto siempre: f (x) es par si f (x) − f (−x) = 0 , que al derivar da f ! (x) + f ! (−x) = 0 : f ! impar; y viceversa.
5. Un atleta inicia su salto de longitud despegando del suelo con un ángulo de 30o y velocidad de 11 m/s.
(a) Hallar la longitud L del salto usando el valor g = 9.81 m/s2 para la gravedad (e ignorando el efecto
–importante– de los movimientos que pueda hacer con su cuerpo durante el salto).
(b) La expresión que resulta es una función de la velocidad inicial v , del ángulo de despegue α y de
la constante g , pero todos ellos son valores aproximados. Usando las derivadas de esa expresión y
los valores dados, hallar cuánto variará L con una pequeña variación de esos valores, por ejemplo
con 1o más en el ángulo o un cm/s en la v , o si usamos para g la aproximación usual: 10 m/s2 .
(Hallar fórmulas en función de cada incremento dα , dv , dg , pero observar lo que dan en los casos
sugeridos; cuidado con las unidades).
Respuesta:
(a) Las componentes de la velocidad son:
!
lo que da, con nuestros datos: L = 10.68 m .
vertical: v sen(α) ⇒ el salto dura: t = 2v sen(α)/g
horizontal: v cos(α) ⇒ L = v cos(α)t = sen(2α)v 2 /g
(b) Suponiendo cada vez exactos los otros datos, el incremento de cada uno produce:
2 cos(2α)v 2
dα ; con dα = π/180 , dL = 0.215 m ;
g
sen(2α)2v
dL =
dv ; con dv = 0.01 m/s , dL = 1.94 cm ;
g
sen(2α)v 2
dL = −
dg ; si usamos g = 10 ms2 , es dg = 0.19 m/s2 , dL = −0.207 m .
g2
COMENTARIO: Incluso en este caso, con un error del 2% en g , la aproximación de dL que da la
derivada es muy buena, como se puede verificar calculando directamente L con g = 10 m/s2 .
!
dL =
6. La ley que sigue la cantidad de un cierto isótopo radiactivo presente en una muestra de material formado
hace tiempo es la siguiente:
N (t) = N exp(−λt)
0
donde N (t) es el número de átomos de ese isótopo que quedan cuando ha transcurrido un tiempo t , N0
es por lo tanto la cantidad inicial: N (0) = N0 , y la constante λ > 0 es caracterı́stica de cada isótopo
(mayor para los que “decaen” más rápido). Esa cantidad inicial puede conocerse: por ejemplo la materia
orgánica, en el momento de formarse, utiliza C procedente de la atmósfera, donde la proporción entre
los isótopos 12 C y 14 C (radiactivo) se mantiene aproximadamente constante; por eso, la cantidad N (t)
observada hoy permite deducir el valor de t , es decir la edad de un material orgánico fósil.
Se llama semi-vida (half-life) de un cierto isótopo al tiempo T que cumple N (T ) = N0 /2 , es decir el
que tardan en decaer la mitad de los átomos inicialmente presentes.
(a) Dar la relación que hay entre las constantes λ, T de un isótopo dado.
Sabiendo que para el 14 C es T = 5730 años, hallar el correspondiente valor de λ , con sus unidades.
(b) Si en una cierta muestra se observa número de átomos de 14 C hoy = N (t) = 0.13 N0 , deducir la
edad t que este método le asigna.
(c) Como se indicó arriba, el valor supuesto de N0 puede tener un pequeño error, porque la proporción
de 14 C en la atmósfera ha tenido variaciones a lo largo de la historia; también el valor dado para
la semi-vida T tiene una precisión limitada.
Con las derivadas
! de la expresión usada al hallar t , deducir qué efecto dt tendrá sobre el resultado
un pequeño porcentaje de error en N0 (como ±1% ), o bien
un pequeño error (como 10 años) en el valor de T.
¿Dependen ambas respuestas del valor N (t)/N0 dado en el apartado anterior?
Respuesta:
(a) N (T )/N0 = 1/2 = e−λT , luego λT = log(2) = 0.693 . Si T = 5730 años, λ = 1.21E-4/año .
"
#
"
#
1
N0
N0
Nactual
(b) t = log
= T log2
, de donde
= 0.13 ⇒ t = 16900 años.
λ
Nactual
Nactual
N0
"
#
N0
(c) Un εr [N0 ] = 1% equivale a un ε[log(N0 )] = 0.01 , y eso produce en t = T log2
Nactual
T
un error absoluto dt =
0.01 = 82.7 años, cualquiera que sea Nactual .
log(2)
Por el contrario, el error absoluto dT se convierte en dt simplemente multiplicando por el factor
log2 (N0 /Nactual ) = 2.94 , que sı́ depende de ese 13% observado.
!