LECCI´ON 1: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Problema

LECCIÓN 1: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Problema 1 .- Considera el siguiente modelo de memorización de un poema por dos
estudientes: Julen y Berta. Si L(t) representa la porción de poema aprendida después de
t minutos, donde L = 0 corresponde a no saber nada del poema y L = 1 a saberlo entero,
la tasa de memorización de Julen es proporcional a la cantidad que le queda por aprender,
con una constante de proporcionalidad igual a 2. Y la tasa de Berta es proporcional al
cuadrado de lo que le queda por aprender con una constante de proporcionalidad igual a
3. Es decir, las ecuaciones que modelan el proceso de memorización de Julen y Berta son:
dLJ
= 2(1 − LJ ) y
dt
dLB
= 3(1 − LB )2
dt
donde LJ (t) y LB (t) son las porciones del poema memorizadas por Julen y Berta, respectivamente, en el tiempo t.
(a) ¿ Qué estudiante tiene una tasa más rápida de aprendizaje en t = 0 si ambos
empiezan la memorización juntos y no han visto antes el poema?.
(b) ¿ Qué estudiante tiene una tasa más rápida de aprendizaje en t = 0 si ambos
empiezan la memorización juntos habiendo aprendido ya la mitad del poema?.
(c) ¿ Qué estudiante tiene una tasa más rápida de aprendizaje en t = 0 si ambos
empiezan la memorización juntos habiendo aprendido ya un tercio del poema?.
(d) Haz un bosquejo de las función LJ (t) y LB (t) en cada uno de los tres casos.
El objetivo del ejercicio siguiente es trabajar las soluciones de la ecuación diferencial
que aparece en la sección sobre flujo calorı́fico radial de los apuntes . Conviene que repases
dicha sección antes de hacerlo.
Problema 2 .- Considera la ecuación diferencial que modeliza la temperatura en cada
punto del material aislante que rodea a una tuberı́a cilı́ndrica de longutud L por la que
circula gas a una cierta temperatura:
dT
H
1
=−
dr
2πkL r
donde H y k son, respectivamente, el flujo de calor radial y la conductividad térmica del
material aislante, ambas constantes.
(a) Resuelve la ecuación diferencial analı́ticamente. Es decir, encuentra una expresión
que dé la temperatura de cada punto del material aislante en función de su distancia
al centro de la tuberı́a.
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(b) Utilizando las condiciones T (a) = T1 y T (b) = T2 , donde a y b son los radios de los
cilindros entre los que se encuentra el material aislante, demuestra que el flujo de
calor radial es
2πkL(T2 − T1 )
H=
.
ln(b/a)
Y que la temperatura en todos los puntos a distancia r del centro de la tuberı́a es
T (r) = T2 −
ln(r/a)
(T2 − T1 ).
ln(b/a)
En los ejercicios 3 a 6 vamos a estudiar el fenómeno de la desintegración radiactiva.
Por experimentación se sabe que ésta se comporta de acuerdo con el siguiente principio:
La tasa a la que una cantidad de un isótopo radiactivo se desintegra es proporcional a la
cantidad de isótopo presente. La constante de proporcionalidad depende únicamente de la
partı́cula radiactiva considerada.
Problema 3 .- Llamando t al tiempo (variable independiente), r(t) a la cantidad de
isótopo radiactivo particular presente en el tiempo t (variable dependiente) y −λ a la tasa
de desintegración (nótese el signo menos para que λ > 0):
(a) Escribe un modelo (una ecuación diferencial) para la desintegración radiactiva de
un isótopo particular.
(b) Si la cantidad de isótopo presente en t = 0 es r0 , escribe el Problema de Condición
Inicial correspondiente a este modelo.
(c) Resuelve el Problema de Condición Inicial usando técnicas cualitativas y analı́ticas.
Problema 4 .- La vida media de un isótopo radiactivo es el tiempo que tarda una
cantidad de material radiactivo en desintegrarse a la mitad de su cantidad original.
(a) La vida media del carbono 14 (C-14) es de 5230 años. Determina la constante λ del
C-14.
(b) La vida media del yodo 131 (I-131) es de 8 dı́as. Calcula la constante de la tasa de
desintegración del I-131.
(c) ¿ Cuáles son las unidades de las constantes de desintegración de los apartados anteriores?
(d) Para estimar la vida media de un isótopo, podrı́amos comenzar con 1.000 átomos
del isótopo y medir el tiempo que tardan 500 de ellos en desintegrarse; o podrı́amos
comenzar con 10.000 átomos del isótopo y medir lo que tardan en desintegrarse
5.000 de ellos. ¿ Obtendrı́amos la misma respuesta?. Explı́calo.
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Problema 5 .- El fechado de carbono es un método para determinar el tiempo transcurrido desde la muerte del material orgánico. Las hipótesis implı́citas en el fechado por
carbono son las siguientes:
El C-14 constituye una porción constante del carbono total que la materia viva
ingiere de forma regular, y
una vez que la materia muere, el C-14 presente se desintegra, pero ningún átomo
nuevo es agregado a la materia.
Entonces, al medir la cantidad de C-14 que aún permanece en la materia orgánica y
compararla con la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva, puede calcularse el
“tiempo desde la muerte”. Usando la constante de la tasa de desintegración del C-14
encontrada en el ejercicio anterior, calcula el tiempo desde la muerte si
(a) el 88 % del C-14 original aún está presente en la materia.
(b) el 12 % del C-14 original aún está presente en la materia.
(c) el 2 % del C-14 original aún está presente en la materia.
(d) el 98 % del C-14 original aún está presente en la materia.
Problema 6 .- El isótopo radiactivo I-131 se usa en el tratamiento de la hipertiroides.
El I-131 administrado a un paciente se acumula de forma natural en el tiroides, donde se
desintegra y acaba como parte de esta glándula.
(a) Supongamos que se requieren 72 horas para enviar el I-131 del productor al hospital.
¿ Qué porcentaje de la cantidad originalmente enviada llega al hospital? (Véase el
ejercicio 4).
(b) Si el I-131 se almacena en el hospital durante 48 horas adicionales antes de ser usado,
¿ Cuánto queda de la cantidad original enviada por el productor cuando el material
radiactivo comience a utilizarse?.
(c) ¿ Cuánto tiempo le costará al I-131 desintegrarse completamente de manera que el
hospital pueda deshacerse de los residuos sin precauciones especiales?.
Problema 7 .- Averigua si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que se dan, las
funciones que se indican.
1.
y 00 = x2 + y 2 , y =
1
;
x
3
C 2 − x2
;
2x
2.
(x + y)dx + xdy = 0, y =
3.
y 00 − (λ1 + λ2 )y 0 + λ1 λ2 y = 0, y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x ;
4.
x00 (t) + ω 2 x(t) = 0, x(t) = C1 cos(ωt);
5.
x00 − 4x = 0, x(t) = 2 cosh 2t − 3 senh 2t;
6.
(1 + (x0 )2 )3 = (cx00 )2 , (t − a)2 + (x − b)2 = c2 ;
7.
x2 w000 + xw0 − w = 0, w(x) = x;
8.
y 2 (z − yz 0 ) = z(z 0 )2 , z 2 = cy 2 + c2
9.
w00 (θ) − (1 + 2 tg2 θ)w(θ) = 0, w(θ) = A sec θ + B(sen θ + θ sec θ);
½
x = cos t
0
x + yy = 0,
y = sen t
½
t = ses
(1 + tx)x0 + x2 = 0,
x = e−s
½
x = s + arc
0
0
√ sen s
x = y + arc sen y ,
s2
y = 2 − 1 − s2
10.
11.
12.
Dada una solución general, es posible, en ocasiones, obtener de ella una ecuación diferencial de la que es solución. La idea básica para conseguirlo es derivar la solución a fin de
aislar las constantes arbitrarias y proceder a su eliminación. Las correspondientes ecuaciones diferenciales tendrán un orden no mayor que el número de constantes arbitrarias
en la solución general dada.
Problema 8 .- Para cada una de las siguientes soluciones generales, encuentra una ecuación diferencial de la que es solución:
(a)
(c)
(e)
(g)
x(t) = c1 + c2 t + c3 t2
(b) y(t) = c1 cos 3t + c2 sen 3t
u(x) = A cosh x + B senh x + x (d) u(s) = cs + c − c3
w(θ) = A sen θ + cos θ
(f ) x2 + y 2 + 2c1 x + 2c2 y + c3 = 0
x(t) = c1 cos 2t + c2 sen 2t + c3 cosh 2t + c4 senh 2t
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