actualizaci´on de modelos de elementos finitos de
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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE OBRAS CIVILES
ACTUALIZACIÓN DE MODELOS DE ELEMENTOS
FINITOS DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
COMPLEJOS.
Memoria de Tı́tulo y Tesis de Grado presentada por:
EDUARDO ANTONIO MILLAS ORELLANA
Como requisito parcial para optar al tı́tulo de:
Ingeniero Civil
y al grado de:
Magı́ster en Ciencias de la Ingenierı́a Civil
Profesor Guı́a
Dr. Héctor Jensen Velasco
Noviembre de 2013
TÍTULO DE LA TESIS:
ACTUALIZACIÓN DE MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS DE SISTEMAS ESTRUCTURALES COMPLEJOS.
AUTOR:
EDUARDO ANTONIO MILLAS ORELLANA
TRABAJO DE TESIS, presentado en cumplimiento parcial de los requisitos para el tı́tulo de
Ingeniero Civil y el grado de Magı́ster en Ciencias de la Ingenierı́a Civil de la Universidad Técnica
Federico Santa Marı́a.
Dr. Hector Jensen Velasco
Dr. Fernando Labbé Zepeda
Dr. Marcos Valdebenito Castillo
Valparaı́so, Chile, Noviembre de 2013.
A mi abuela
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a mis padres, hermanas y abuela Q.E.P.D, por toda la ayuda y apoyo que me dieron
durante mi etapa de estudiante universitario. Definitivamente mis logros no habrı́an sido posible
sin su permanente apoyo y preocupación.
A mis amigos, por los gratos momentos y permanente apoyo que me dieron durante todo este
proceso.
Al profesor Héctor Jensen, por su constante motivación, buena disposición y confianza entregada.
Al profesor Marcos Valdebenito, que me dió la oportunidad de ser ayudante en una de sus
asignaturas y muchas veces me ayudó con sus conocimientos.
A Danilo Kusanovic, cuya ayuda fue fundamental en ciertas etapas de la elaboración de esta tesis.
A los profesores del departamento de Obras Civiles, por todos los conocimientos que me dieron.
Finalmente, agradezco el apoyo recibido por CONICYT en el contexto de la Beca para estudios
de Magister en Chile.
i
ABSTRACT
This work is mainly focused on the development and implementation of an advanced computational method which will be oriented to updating or identifying large finite element models. The
purpose of updating to yield a numerical model that is able to reproduce correctly the actual
behavior of a certain structure, which will be characterized, by a set of dynamic data.
The updating or identification of the finite element model is carried out by employing the socalled Bayesian Updating technique. In this regard, dynamic properties of the system such as:
section geometry, Young’s modulus and damping ratio can be identified. As it will be discussed
later on, the Bayesian updating process requires repeated dynamic analysis, which demand a high
computational cost.
The aforementioned complexity of the problem can be increased if nonlinear devices such as
isolator bearings are incorporated, or even more, if a large number of degree of freedom are taken into account. The last issue made necessary to employ a Modal Synthesis technique which
allows reducing the dimension of the model (without loss of generality) and therefore to reduce the
computational cost.
Subsequently, the concept of reliability is introduced in order to address a methodology to
include the characterization of the new structural model (the updated one), thus, the nominal
reliability can be compared to the reliability of the updated one, which obviously, is presumed to be
less due to natural phenomena involved over time. In this context, the reliability is understood as the
probability that a certain design condition will be met over a given time interval. The quantification
of this probability demands performing thousands of simulations, in which, the structural system
is subjected to seismic signals generated based on a set of parameters associated to the epicentral
distance, propagation medium, moment magnitude and so on. Therefore, the reliability problem to
be solved becomes very complex leading to the implementation of advanced simulation techniques.
Finally, a set of application examples are presented in order to demonstrate the usefulness of
the proposed methodology in real problems of earthquake engineering.
Keywords: Bayesian Updating, Modal Synthesis, Craig-Bampton Method, Simulation Technique, Stochastic Process, Random Variables
ii
RESUMEN
Este trabajo se centra en el desarrollo e implementación de métodos computacionales avanzados, orientados a la actualización o identificación de modelos complejos de elementos finitos.
Esta actualización se realiza con la intención de contar con un modelo que sea capaz de reproducir correctamente el comportamiento real de una estructura, caracterizado por una serie de datos
dinámicos.
La actualización o identificación del modelo se realiza mediante técnicas de Actualización Bayesiana, que en este contexto, puede estar orientada a caracterizar distintas propiedades de la
estructura tales como: geometrı́a de secciones, módulos de elasticidad, amortiguamiento, etc. Como
se verá en esta tesis, el proceso de Actualización Bayesiana requiere que el modelo estructural sea
sometido a repetidos análisis dinámicos, lo que involucra un alto costo computacional.
La ya mencionada complejidad de los sistemas estructurales puede deberse a la incorporación
de dispositivos no lineales como por ejemplo aisladores sı́smicos o simplemente a la gran cantidad
de grados de libertad que estos involucran. En este último caso se propone la incorporación de la
técnica de Sı́ntesis Modal que permite reducir significativamente la dimensionalidad del problema
y por ende los costos computacionales propios del proceso de actualización.
Luego se introduce el concepto de confiabilidad y se propone una metodologı́a para incorporar
la nueva caracterización del modelo estructural (modelo actualizado) en su cuantificación. De esta
forma se puede contrastar la confiabilidad original o nominal con aquella correspondiente al sistema actualizado, que, obviamente, debido al paso del tiempo y a fenómenos naturales se presume
estará disminuida. En el contexto de esta tesis la confiabilidad se entiende como la probabilidad
de que ciertas condiciones de diseño sean satisfechas en un intervalo de tiempo dado y su cuantificación requiere realizar miles de simulaciones en donde el sistema estructural se ve sometido a
solicitaciones sı́smicas que a su vez son generadas en base a un modelo caracterizado por una serie
de parámetros asociados al mecanismo de ruptura, propiedades del medio de propagación, distancia
epicentral y magnitud. Por todo lo anterior, el problema de confiabilidad se torna complejo y se
transforma en un problema de alta dimensionalidad que debe ser resuelto mediante técnicas de
simulación avanzadas también descritas en esta tesis.
Finalmente se incluye una serie de aplicaciones en que se muestra el uso de las técnicas desarrolladas en problemas prácticos y relevantes en ingenierı́a sı́smica.
Keywords: Bayesian Updating, Sı́ntesis Modal, Craig-Bampton, Técnicas de Simulación, Procesos Estocásticos, Variables Aleatorias
iii
GLOSARIO
1. Método de elementos finitos: Método numérico general utilizado para la aproximación de
soluciones de ecuaciones diferenciales parciales asociadas a diversos problemas de ingenierı́a
y fı́sica.
2. Modelo de elementos finitos: Modelo computacional que permite analizar el comportamiento de un sistema determinado.
3. Actualización Bayesiana: Método usado para ajustar un determinado modelo de elementos
finitos a una serie de datos experimentales.
4. Método de Sı́ntesis Modal: Método empleado para reducir el espacio matemático de grados
de libertad con la finalidad de disminuir los costos computacionales asociados a los análisis
dinámicos.
5. Variable aleatoria: Es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio,
es decir, una función real en el espacio muestral.
6. Ruido Blanco Gaussiano: El ruido blanco es una señal aleatoria, caracterizada porque sus
valores en instantes de tiempo distintos no tienen relación alguna entre sı́, es decir, no existe
correlación estadı́stica entre sus valores.
7. Probabilidad de primera excursión: Probabilidad de que cierta cantidad estocástica
sobrepase un valor umbral dado dentro de un intervalo de tiempo determinado.
8. Probabilidad de falla: Probabilidad de que ciertas respuestas de interés superen un valor
umbral predefinido que si bien está asociado a un buen desempeño no implica necesariamente
el colapso del sistema analizado.
9. Confiabilidad estructural: Probabilidad de que dentro de un perı́odo de referencia se
satisfagan las condiciones de un buen desempeño.
10. Costo computacional: Tiempo necesario para realizar un determinado proceso en un computador.
iv
CONTENIDO
AGRADECIMIENTOS
I
ABSTRACT
II
RESUMEN
III
GLOSARIO
IV
ÍNDICE DE FIGURAS
IX
ÍNDICE DE TABLAS
XI
1. INTRODUCCIÓN
1
1.1. Estructura del trabajo de tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. Objetivos Especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2. ACTUALIZACIÓN BAYESIANA
4
2.1. Aspectos Teóricos de la Actualización Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1. Función de Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2. Metodologı́a e Implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3. MÉTODO DE Sı́NTESIS MODAL
10
3.1. Idea General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1. Caracterización de la componente (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Método de Craig-Bampton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1. Fixed Interface Normal Modes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2. Interface Constraint Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.3. Matriz de Transformación - Coordenadas de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Sı́NTESIS MODAL EN IDENTIFICACIÓN BAYESIANA
19
4.1. Uso de Sı́ntesis Modal en Actualización Bayesiana para Identificación de Daños . . . 19
4.1.1. Fixed Interface Normal Modes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.2. Interface Constrained Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.3. Matrices de Craig-Bampton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
v
5. VALIDACIÓN DE Sı́NTESIS MODAL EN PROBLEMAS DE ACTUALIZACIÓN
23
5.1. Validación del Método de Sı́ntesis Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2. Uso de Sı́ntesis Modal en Actualización Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.1. Parámetros inciertos en la identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.2. Sismo empleado y Mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.3. Casos considerados en la identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.4. Resultados de la identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6. CONFIABILIDAD
46
6.1. Evento de Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Probabilidad de Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.1. Estimación de la Confiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7. ESTIMACIÓN DE LA CONFIABILIDAD ACTUALIZADA
51
7.1. Dominio de Falla en el Sistema Actualizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.1.1. Probabilidad de Falla Actualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2. Estimación de la Confiabilidad Actualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.1. Muestras sin condicionar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.2. Muestras condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2.3. Muestras de cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8. GENERACIÓN DE MOVIMIENTOS Sı́SMICOS
56
8.1. Modelo de Sismicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.1.1. Magnitud de Momento M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.1.2. Distancia Epicentral r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2. Excitaciones de Alta Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.2.1. Función Envolvente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.2.2. Espectro de Movimiento del Suelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3. Excitaciones de Baja Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9. APLICACIÓN 1
66
9.1. Modelo estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.2. Respuesta estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.3. Modelamiento del Sistema de Aislación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3.1. Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.2. Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.4. Identificación de los parámetros del aislador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.5. Confiabilidad y desempeño del sistema de aislación sı́smica . . . . . . . . . . . . . . 79
10.APLICACIÓN 2
81
10.1. Modelo estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.2. Incorporación del Amortiguamiento en Sı́ntesis Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3. Mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.4. Clases de modelos y Parámetros inciertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.5. Resultados de la Actualización Bayesiana del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.6. Evaluación de la Confiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
CONCLUSIONES
95
A. RESPUESTA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
97
A.1. Superposición Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2. Integración Numérica Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
BIBLIOGRAFÍA
101
ÍNDICE DE FIGURAS
3.1. Esquema de estructura dividida en componentes, definición de grados de libertad de
borde e interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Esquema Fixed Interface Normal Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3. Esquema Interface Constraint Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1. Modelo - Eje analizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2. Componentes definidas para el análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3. Matrices de rigidez.(A) Modelo de elementos finitos completo, (B) Caso 1, (C) Caso
2, (D) Caso 3 respectivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4. Aceleración del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.5. Desplazamiento lateral nodo central último piso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.6. Diferencia en desplazamiento lateral. Casos 1, 2 y 3 respectivamente . . . . . . . . . 29
5.7. Aceleración lateral nodo central último piso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.8. Diferencia aceleración lateral. Casos 1, 2 y 3 respectivamente . . . . . . . . . . . . . 31
5.9. Desplazamientos horizontales máximos nodos centrales en la altura . . . . . . . . . . 32
5.10. Distribución Uniforme inicial para θp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.11. Gerenación de mediciones (Acelerograma). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.12. Componentes empleadas en el Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.13. Componentes empleadas en Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
(CMS)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
(CMS)
M1b
(CMS)
M2a
(CMS)
M2a
(CMS)
M2b
(CMS)
M2b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.14. Secuencia de identificación θ1 - Modelo M1a
5.15. Secuencia de identificación θ1 - Modelo
5.16. Secuencia de identificación θ1 - Modelo
5.17. Secuencia de identificación θ2 - Modelo
5.18. Secuencia de identificación θ1 - Modelo
5.19. Secuencia de identificación θ2 - Modelo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1. Esquema Subset Simulation, considerando N = 1000, P0 = 0.1 . . . . . . . . . . . . 50
8.1. Parámetros inciertos del modelo Point-Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2. Función de densidad de probabilidad P (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3. Función de densidad de probabilidad P (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.4. Función envolvente para r = 15 km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.5. Espectro de Movimiento del Suelo S(f, M, r = 15 [km]) . . . . . . . . . . . . . . . . 63
ix
8.6. Aceleración y Velocidad del suelo para M = 7.0 y r = 15 [km] . . . . . . . . . . . . . 64
8.7. Aceleración y Velocidad del suelo para M = 7.0 y r = 15 [km] . . . . . . . . . . . . . 65
9.1. Aplicación N◦ 1: Modelo estructural sı́smicamente aislado . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.2. Aplicación N◦ 1: Representación de un aislador elastomérico tı́pico . . . . . . . . . . . 68
9.3. Aplicación N◦ 1: Modelo matemático de las fuerzas en un aislador . . . . . . . . . . . 69
9.4. Aplicación N◦ 1: Patrón de desplazamiento - Experimento a escala real . . . . . . . . 70
9.5. Aplicación N◦ 1: Fuerza Restauradora en dirección X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.6. Aplicación N◦ 1: Fuerza Restauradora en dirección Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.7. Aplicación N◦ 1: HDR - Carga unidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.8. Aplicación N◦ 1: LDR - Carga unidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.9. Aplicación N◦ 1: LDR + Plomo - Carga unidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.10. Aplicación N◦ 1: Efecto del núcleo central de plomo - Carga unidireccional . . . . . . 75
9.11. Aplicación N◦ 1: Modelo simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.12. Aplicación N◦ 1: Distribución inicial parámetros θ1 y θ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.13. Aplicación N◦ 1: Distribución final parámetros θ1 y θ2
. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
◦
9.14. Aplicación N 1: Histograma de las muestras asociadas al diámetro externo . . . . . . 78
9.15. Aplicación N◦ 1: Probabilidad de falla en términos de la magnitud de momento sı́smico M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.16. Aplicación N◦ 1: Probabilidad de falla en términos de la distancia epicentral r . . . . 80
10.1. Aplicación N◦ 2: Modelo estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.2. Aplicación N◦ 2: Definición de las Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3. Aplicación N◦ 2: Registro sı́smico usado en la identificación . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.4. Aplicación N◦ 2: Vista en planta - Ubicación de Acelerógrafo . . . . . . . . . . . . . . 86
10.5. Aplicación N◦ 2: Mediciones Simuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.6. Aplicación N◦ 2: Distribución Inicial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.7. Aplicación N◦ 2: Distribución Posterior modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.8. Aplicación N◦ 2: Distribución Posterior modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.9. Aplicación N◦ 2: Tendencia Distribución Posterior modelo M2 . . . . . . . . . . . . . 91
10.10.Aplicación N◦ 2: Distribución Posterior modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.11.Aplicación N◦ 2: Probabilidad de falla en términos de la magnitud de momento sı́smico M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.12.Aplicación N◦ 2: Probabilidad de falla en términos de la distancia epicentral r . . . . 94
ÍNDICE DE TABLAS
5.1. Resumen del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2. Parámetros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3. Modos retenidos en el proceso de Sı́ntesis Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4. Comparación de Perı́odos Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.5. Número de Modos considerados en Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.6. Número de Modos considerados en Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.7. Resumen identificación de daños por clase de modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1. Resumen de parámetros asociados a la ecuación 8.2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1. Aplicación N◦ 1: Parámetros Especimen HDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2. Aplicación N◦ 1: Parámetros Especimen LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3. Aplicación N◦ 1: Efecto del núcleo central de plomo en esfuerzo de corte . . . . . . . 74
9.4. Aplicación N◦ 1: Parámetros Nominales Aislador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.1. Aplicación N◦ 2: Número de Modos considerados en cada Caso . . . . . . . . . . . . . 83
10.2. Aplicación N◦ 2: Comparación para perı́odos de la estructura
. . . . . . . . . . . . . 84
◦
10.3. Aplicación N 2: Resumen identificación de daños por clase de modelo. . . . . . . . . 90
10.4. Costo computacional por etapa de identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
xi
Capı́tulo 1
INTRODUCCIÓN
Como es sabido, durante su vida útil, los sistemas estructurales pueden verse afectados por
distintos fenómenos tales como sismos, fuertes vientos, oleajes, corrosión, etc. Con lo que resulta
natural que sufran ciertos deterioros a lo largo de su vida útil, afectando su confiabilidad y seguridad.
Por esta razón es interesante contar con un método que permita realizar una re-evaluación
de la condición actual de dichas estructuras y de esta forma obtener información para realizar
predicciones de la confiabilidad [1, 2], evaluaciones de salud y daño estructural [3–11], o proponer
mejoras en la efectividad de dispositivos de control de vibraciones [12].
Precisamente, el objetivo de esta tesis es presentar el marco teórico de una metodologı́a que
permite actualizar las propiedades dinámicas de un sistema estructural, para luego, en base a
esta información ser capaz de establecer una confiabilidad actualizada. Para este propósito, se
trabaja bajo un enfoque de probabilidades Bayesianas integradas con herramientas de simulación
avanzadas [13].
La idea es aplicar técnicas de Actualización o Identificación Bayesiana que mediante datos medidos y previa información ingenieril intentan cuantificar las incertezas en los parámetros de modelos
de elementos finitos, para ası́ poder escoger el mejor modelo entre una serie de clases de modelos
propuestas. En particular, en esta tesis se adopta un algoritmo llamado Transitional Markov Chain
Monte Carlo (TMCMC) [14] el cual entrega información actualizada de los parámetros de interés,
información que es expresada a través de una función de densidad de probabilidad posterior.
Un problema que surge desde el punto de vista de costos computacionales y consumo de tiempo
es que el algoritmo TMCMC requiere realizar y repetir análisis dinámicos miles de veces. Lo que,
para modelos de elementos finitos confiables y realistas que involucran cientos de miles o incluso
millones de grados de libertad, se traduce en una demanda computacional excesiva o simplemente
inllevable. Por esta razón, el objetivo de este trabajo es, además, examinar las condiciones bajo las
cuales se puede lograr una reducción significativa del esfuerzo computacional mediante la incorporación de técnicas de Sı́ntesis Modal (transformación de Craig-Bampton) [15–17], apuntando a la
1
Capı́tulo 1. Introducción
2
reducción de los tamaños de las matrices de rigidez y de masa sin sacrificar precisión en la respuesta
ni tampoco la aplicabilidad del método de Actualización Bayesiana. Especı́ficamente, las técnicas
de Sı́ntesis Modal, son ampliamente usadas para llevar el análisis a un espacio de coordenadas
generalizadas, considerablemente reducido.
Una vez que se cuenta con una caracterización actualizada del modelo de elementos finitos, se
propone una metodologı́a que permite el cálculo de la confiabilidad del sistema estructural bajo futuras excitaciones modeladas mediante procesos estocásticos. Dicha confiabilidad es establecida como
una probabilidad de primera excursión que cuantifica la posibilidad de que el sistema estructural
tenga un comportamiento inaceptable [18–20] dentro de un periodo de referencia. La metodologı́a
esta basada en Subset Simulation (SS) y usa la técnica TMCMC basada tanto en el algoritmo de
Metropolis original como en uno modificado para generar muestras condicionadas [21, 22].
El uso de las técnicas y contenidos planteados en esta tesis se ejemplifica a través de aplicaciones en las que se muestra el proceso de actualización de las propiedades dinámicas de sistemas
estructurales mediante el uso de datos dinámicos. Entre los sistemas estructurales que se incluyen
se encuentran ejes compuestos por vigas y columnas, edificios tridimensionales de hormigón armado
y un edificio sı́smicamente aislado.
1.1.
Estructura del trabajo de tesis
Además de este capı́tulo introductorio, esta tésis cuenta con otros 9 capı́tulos, los que han sido
dispuestos en un orden lógico pasando por aspectos teóricos hasta llegar a aplicaciones prácticas.
En resumen esta tesis está estructurada de la siguiente forma:
Capı́tulo 2: Corresponde a aspectos teóricos del método de Actualización Bayesiana y su
implementación.
Capı́tulo 3: Corresponde a aspectos teóricos del método de Sı́ntesis Modal y su implementación.
Capı́tulo 4: Se explica como el método de Sı́ntesis Modal desarrollado en el capı́tulo 3 puede
ser incorporado en el proceso de Actualización de un modelo de elementos finitos (capı́tulo
2).
Capı́tulo 5: Se desarrolla una breve aplicación con el objetivo de mostrar y validar el funcionamiento conjunto de las técnicas presentadas anteriormente.
Capı́tulo 6: Se introduce el concepto de Confiablidad y se explica la metodologı́a de Subset
Simulation, técnica de simulación avanzada que será empleada en esta tesis para estimar la
confiabilidad de los sistemas estructurales.
Capı́tulo 7: Se amplia el concepto de Confiabilidad con el objetivo de poder incorporar la
información de sistemas estructurales que han sido actualizados mediante técnicas Bayesianas.
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 1. Introducción
3
Capı́tulo 8: Constituye el último capı́tulo previo a las aplicaciones. En él se explica el
procedimiento de generación sintética de movimientos sı́smicos, ya que estos serán usados en
las distintas estimaciones de confiabilidades.
Capı́tulos 9 y 10: Finalmente, en estos capı́tulo, se desarrollan 2 ejemplos de aplicaciones
prácticas que muestran el uso conjunto de las herramientas desarrolladas en los capı́tulos
anteriores.
1.2.
Objetivos Generales
1. Implementar la técnica de Actualización Bayesiana con la finalidad de poder reevaluar las
propiedades dinámicas de sistemas estructurales de interés.
2. Implementar técnicas de simulación avanzada que permitan evaluar la confiabilidad de sistemas estructurales sometidos a solicitaciones estocásticas.
3. Incorporar la información obtenida en el proceso de Actualización Bayesiana en la reevaluación
de la confiabilidad estructural (Confiabilidad Actualizada).
4. Presentar aplicaciones con modelos estructurales complejos y de interés en la práctica profesional en las que se utilicen estas metodologı́as.
1.3.
Objetivos Especı́ficos
1. Caracterizar en forma estocástica las solicitaciones sı́smicas.
2. Implementar técnicas de Sı́ntesis Modal en el cálculo de respuestas dinámicas con la finalidad
de reducir los costos computacionales intrı́nsecos en modelos estructurales de alta dimensionalidad.
3. Integrar estas técnicas de Sı́ntesis Modal en la Actualización Bayesiana de modelos de Elementos Finitos.
4. Incorporar aplicaciones con dispositivos no lineales como aisladores sı́smicos. Modelar en
forma realista, reproduciendo calibraciones experimentales.
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 2
ACTUALIZACIÓN BAYESIANA
La idea de este capı́tulo es presentar brevemente la teorı́a de una metodologı́a conocida como
Actualización o Identificación Bayesiana, que, como se verá en el desarrollo de esta tesis, permite
actualizar ciertas propiedades dinámicas de un modelo de elementos finitos asociado a un sistema
estructural real siempre y cuando se cuente con mediciones de su comportamiento dinámico.
2.1.
Aspectos Teóricos de la Actualización Bayesiana
Antes de entrar en los aspectos teóricos del proceso de Actualización Bayesiana se debe definir el
concepto de clase de un modelo. En este contexto se entenderá por clase de un modelo al conjunto de
supuestos adoptados en la generación del modelo de un sistema estrucutral. Por ejemplo, se puede
tener dos clases de modelos si se asume un modelo de corte o flexión. Sin embargo, en el contexto
de esta tesis, las clases de modelo se diferenciarán por el número de parámetros a identificar y/o
su efecto en el modelo.
Ahora, supongamos que se tiene un modelo probabilı́stico de clase M que se encuentra parametrizado según un vector de parámetros inciertos {θ} ∈ Θ ⊂ Rnp y que además se cuenta con
una serie de datos dinámicos medidos D (en este caso se propone el uso de mediciones registradas
mediante acelerógrafos ubicados en ciertos puntos conocidos de la estructura).
El objetivo de la Actualización o Identificación Bayesiana es definir una función de densidad de
probabilidad p({θ}/M, D) para el set de parámetros inciertos {θ} que esté condicionada a los datos
D, como se propone a continuación (Teorema de Bayes) [13]:
p({θ}/M, D) =
p(D/M, {θ})p({θ}/M )
p(D/M )
(2.1.1)
donde p({θ}/M ) es la función de densidad de probabilidad inicial de {θ}, p(D/M, {θ}) la función
4
Capı́tulo 2. Actualización Bayesiana
5
de likelihood, y p(D/M ) se conoce como la evidencia de M .
La distribución de probabilidad inicial refleja la plausibilidad relativa de cada modelo dentro
de la categorı́a o clase M antes de incorporar la información contenida en los datos D. El término
p(D/M, {θ}) da la probabilidad de obtener los datos D basado en un modelo caracterizado por los
parámetros {θ}. Finalmente, la evidencia del modelo clase M , p(D/M ), actúa como constante de
normalización y no afecta la forma de la distribución posterior.
2.1.1.
Función de Likelihood
La función de likelihood entrega una medida de la concordancia entre la respuesta del sistema
(dato medido) y el correspondiente output del modelo estructural. Esta medida del ajuste de cada
modelo de clase M , es decir, el valor de la función de likelihood para cada vector {θ}, estará dada
por el modelo de probabilidad que se establezca. El cuál puede ser construido a partir de la elección
de un modelo probabilı́stico para la predicción del error.
Supongamos que se tiene un modelo estructural de N grados de libertad, y {x(tn , {θ})} es el
vector de respuesta de dicho modelo en el tiempo tn = n∆t , n = 1, . . . , Nt , donde ∆t corresponde
al paso de tiempo y Nt es el número de datos disponibles. La excitación que genera la respuesta del
modelo se asume conocida. Debido a ruidos en las mediciones y errores de modelación, la respuesta
medida {y(tn )} en N0 grados de libertad (N0 ≤ N ) será diferente a la respuesta del modelo
[B0 ]{x(tn , {θ})}, donde [B0 ] es una matriz de N0 × N que selecciona los grados de libertad en los
que se cuenta con mediciones. El modelo de probabilidad para la predicción del error {e(tn , {θ})} =
{y(tn )} − [B0]{x(tn , {θ})} considerado en esta formulación está basado en el principio de la máxima
entropı́a y corresponde a una distribución gaussiana multidimensional con media cero y matriz de
covarianza [Σe ] [1, 23, 24]. El uso de esta distribución se debe a que otorga la mayor incertidumbre
entre todas las distribuciones de probabilidad para variables reales con primer y segundo momento
especificados [25]. En particular, la predicción del error {e(tn , {θ})} se modela como un ruido blanco
gaussiano discreto con media cero, esto es:
E[e(tn , {θ})] = 0, E[e(tn , {θ})e(tm , {θ})T ] = [Σe ]δnm
(2.1.2)
donde E[·] corresponde a la esperanza, δnm es la función delta kronecker, y [Σe ] la matriz de
covarianza de N0 × N0 , la cual tiene la forma [Σe ] = σe2 [I0 ] , donde [I0 ] es la matriz de identidad de
dimensión N0 × N0 , lo que implica varianzas iguales e independencia estocástica en la predicción
de errores para los diferentes canales de medición.
Usando este modelo probabilı́stico para la predicción del error se puede demostrar que la función
de likelihood p(D/M, {θ}) puede ser expresada como:
1
p(D/M, {θ}) = e− 2 J({θ}/M,D)
(2.1.3)
Donde J({θ}/M, D) corresponde a una función de medida de ajuste entre la respuesta medida y
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 2. Actualización Bayesiana
6
la respuesta del modelo en los grados de libertad medidos. Dicha función esta dada por [1,24,26,27]:
J({θ}/M, D) =
Nt
1 X
k{y(tn )} − [B0 ]{x(tn , {θ})}k2
Nt N0 n=1
(2.1.4)
donde k · k corresponde a la norma Euclidiana de un vector.
Se ha encontrado que si se dispone de un número grande de datos (Nt suficientemente grande),
los parámetros más probables para el modelo se obtienen minimizando J({θ}/M, D) respecto a
todos los parámetros de los que depende en Θ [26]. Bajo la suposición anterior, en general la
función de densidad de probabilidad final o posterior p({θ}/M, D) estará concentrada de tal forma
que se puede hablar de parámetros óptimos únicos, siendo este un caso globalmente identificable.
Sin embargo puede ocurrir que se obtenga un conjunto discreto de parámetros óptimos (Caso
localmente identificable) [28–30]. Por último, también pueden ocurrir que no se puedan identificar
los parámetros óptimos, obteniéndose infinitas soluciones (Caso estrictamente no identificable o no
identificable). Una explicación detallada de esto se puede encontrar en [2, 31].
2.1.2.
Metodologı́a e Implementación
Como se señaló anteriormente, el objetivo es definir una función de densidad de probabilidad
p({θ}/M, D) para el set de parámetros inciertos {θ} que esté condicionada a los datos D. En es-
te sentido, una dificultad en la actualización de un modelo es que el problema puede tener más
de una solución óptima. Además, el problema se torna más desafiante cuando sólo algunos grados de libertad del modelo son medidos y cuando los errores de modelación son explı́citamente
considerados.
En esta tesis se emplea un método llamado Transitional Markov Chain Monte Carlo (TMCMC)
[14]. Distintos cálculos de validación han mostrado que este enfoque resulta ser eficaz para una serie
de problemas prácticos de actualización de modelos numéricos [14, 32, 33]. Dentro de las ventajas
de utilizar este método encontramos que puede ser aplicado a un amplio rango de casos incluyendo
funciones de densidad de probabilidad posterior de altas dimensiones, distribuciones multimodales,
funciones de densidad de probabilidad que posean “peaks” (casos identificables), y funciones de
densidad de probabilidad con regiones planas, además de permitirnos estimar la evidencia P (D/M )
como un producto.
Transitional Markov Chain Monte Carlo
El método procede iterativamente desde la distribución inicial a la posterior y comienza con la
generación de muestras correspondientes a la distribución inicial en una región tal que sea capaz de
cubrir el espacio en el que se espera se encuentre la distribución posterior. Para ello se define una
serie de distribuciones intermedias como:
pj ({θ}/M, D) = c · p({θ}/M )p(D/M, {θ})αj
j = 0, 1, · · · , m
0 = α0 < α1 < . . . < αm = 1
(2.1.5)
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 2. Actualización Bayesiana
7
donde el ı́ndice j indica el número del paso o etapa, y c es una constante de normalización.
El exponente αj puede ser interpretado como el porcentaje de la información total que ha sido
provista por los datos dinámicos hasta la j-ésima iteración del procedimiento de actualización. El
primer paso (j = 0) corresponde a la distribución inicial y en la última etapa (j = m) las muestras
son generadas desde la distribución posterior. La idea es elegir valores de los exponentes αj de tal
manera que el cambio de forma entre dos distribuciones intermedias consecutivas sea pequeño. Este
pequeño cambio de forma hace posible obtener muestras de pj+1 ({θ}/M, D) basado en las muestras
de pj ({θ}/M, D) de forma eficiente. Las muestras se generan mediante cadenas de Markov a partir
de muestras guı́as, las que son seleccionadas a partir de la distribución pj ({θ}/M, D) mediante la
comparación de los pesos plausibles con respecto a pj+1 ({θ}/M, D) dada por:
w({θjk }) =
p({θjk }/M )p(D/M, {θjk })αj+1
p({θjk }/M )p(D/M, {θjk })αj
= p(D/M, {θjk })αj+1 −αj
(2.1.6)
k = 0, 1, · · · , Nj
donde el superı́ndice k = 1, . . . , Nj denota el número de muestra en el j-ésimo paso de la iteración
({θjk }, k
= 1, . . . , Nj ), y Nj corresponde al largo de la cadena en ese mismo paso (en esta tesis se
considero Nj = 1000 en todas las etapas). Cada muestra en el paso actual es generada usando el
algoritmo de Metropolis [21,22]. El punto de partida de cada cadena de Markov es una muestra del
paso anterior seleccionada de acuerdo a su peso normalizado:
w({θjk })
w̄({θjk }) = PNj
l
l=1 w({θj })
k = 1, . . . , Nj
(2.1.7)
La función de densidad de probabilidad propuesta por el algoritmo de Metropolis es una distribución gaussiana centrada en la muestra anterior de la cadena y con matriz de covarianza Σj igual
a la versión escalada de la matriz de covarianza estimada de la distribución intermedia actual:
Σj = β 2
Nj
X
l=1
w̄({θjl })[({θjl } − {θ̄j })({θjl } − {θ̄j })T ] , {θ̄j } =
Nj
X
l=1
w̄({θjl }){θjl }
(2.1.8)
donde β 2 es un parámetro usado para controlar la tasa de rechazo del algoritmo Metropolis y
para suavizar los saltos en las cadenas de Markov, en la formulación del método se sugiere usar β 2 =
0.04. Como se mencionó anteriormente, el método busca que la transición entre dos distribuciones
intermedias adyacentes sea relativamente suave. En base a esto, el grado de uniformidad de los
pesos plausibles w({θjk }), k = 1, . . . , Nj es un buen indicador de cuan cerca pj+1 ({θ}/M, D) se
encuentra de pj ({θ}/M, D). Ası́, para asegurar una transición suave entre iteraciones el parámetro
αj se escoge de tal forma que el coeficiente de variación de los pesos plausibles sea menor o igual a
un valor umbral predeterminado, es decir
σwj
6γ
Ewj
(2.1.9)
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Capı́tulo 2. Actualización Bayesiana
8
donde
Nj
2
σwj
=
X
1
[p(D/M, {θjl })αj+1 −αj − Ewj ]2
Nj − 1
l=1
Ewj
Nj
1 X
p(D/M, {θjl })αj+1 −αj
=
Nj
(2.1.10)
l=1
A continuación se repiten los pasos descritos anteriormente hasta que se alcanza αj = 1, que
corresponderı́a a generar las muestras desde la distribución posterior. En el último paso las muestras
k
({θm
}, k = 1, . . . , Nm ) estarán distribuidas asintóticamente como p({θ}/M, D).
Algoritmo
A continuación se presenta el procedimiento de Actualización Bayesiana resumido a modo de
algoritmo.
1. En la etapa inicial, j = 0, se deben generar las Nj muestras iniciales {θjk }, k = 1, · · · , Nj
a partir de la función de densidad de probabilidad que corresponda. En los ejemplos que
se presentan en esta tesis se usó siempre distribuciones uniformes. Además, en general se
usó Nj = 1000.
2. Calcular la función de likelihood pj (D/M, {θjk }) para cada una de las muestras, esto es:
1
k
pj (D/M, {θjk }) = e− 2 J({θj }/M,D)
(2.1.11)
donde J({θjk }/M, D) está dado por la ecuación 2.1.4.
3. Encontrar un valor para αj+1 tal que el coeficiente de variación de w({θjk }) sea cercano a uno,
es decir:
σwj
≈1
Ewj
(2.1.12)
w({θjk }) = p(D/M, {θjk })αj+1 −αj
(2.1.13)
donde
En el caso que αj+1 > 1 se debe imponer αj+1 = 1.
4. Calcular la evidencia correspondiente a la etapa j de la siguiente manera [14]:
Sj =
Nj
1 X
w({θjk })
Nj
(2.1.14)
k=1
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Capı́tulo 2. Actualización Bayesiana
9
5. Calcular los pesos normalizados w̄({θjk }) para cada una de las Nj muestras, esto es:
w({θjk })
w̄({θjk }) = PNj
l
l=1 w({θj })
k = 1, . . . , Nj
(2.1.15)
Realizar su suma acumulada para ası́ obtener una discretización el intervalo desde 0 hasta 1.
Además, con estos pesos normalizados calcular la matriz de covarianza Σj .
6. Comenzar a generar nuevas muestras de la siguiente manera:
a) Generar una variable aleatoria uniforme u1 entre [0, 1]. Escoger la muestra con la que
comenzará la generación de las cadenas de Markov {θjl } según el intervalo en que u1 cae
dentro del set de pesos normalizados y ordenados.
b) Generar una segunda muestra candidata {θc } mediante una distribución gaussiana centrada en {θjl }, con matriz de covarianza Σj .
c) Calcular la siguiente razón:
r=
p(D/M, {θc })αj+1
p(D/M, {θjl })αj+1
(2.1.16)
d ) Generar una segunda variable aleatoria u2 uniforme entre [0, 1] para finalmente escoger
entre las muestras candidatas según el siguiente criterio:
l
Si u2 ≤ min(1, r) =⇒ {θj+1
} = {θc }
(2.1.17)
l
Si u2 > min(1, r) =⇒ {θj+1
} = {θjl }
e) Repetir este procedimiento hasta generar las Nj muestras.
Si {θjl } es escogida por segunda vez, la nueva muestra debe ser generada usando como
l(2)
l
referencia a {θj+1
} y no {θjl }. Llamemos a la nueva muestra geenrada {θj+1 }, entonces si
l(2)
{θjl } es escogida por tercera vez, la nueva muestra debe ser generada a partir de {θj+1 }
y no desde {θjl }. Y ası́ sucesivamente.
7. Volver al paso 2.
k
8. Luego de las m etapas, las muestras {θm
}, k = 1, · · · , Nj estarán asintóticamente distribuidas
en p({θ}/M, D). Además, la evidencia p(D/M ) se puede estimar como
S=
m−1
Y
Sj
(2.1.18)
j=0
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Capı́tulo 3
MÉTODO DE SÍNTESIS MODAL
En general, ya sea para establecer la confiabilidad de estructuras o bien para realizar su Identificación Bayesiana, además de requerir cientos o miles de simulaciones, se requiere por otra parte
resolver ecuaciones de dinámica estructural con cientos o miles de grados de libertad, generándose
costos computacionales simplemente inaceptables en ingenierı́a.
Por esta razón en esta tesis se implementa un método de Sı́ntesis Modal, especı́ficamente el de
Craig-Bampton, el cuál, como se verá en algunas aplicaciones, permitirá reducir costos computacionales en forma dramática.
3.1.
Idea General
La estructura es dividida en varias (Nc ) componentes. Los grados de libertad activos de cada
componente se dividen en grados de libertad de borde (b) y grados de libertad interiores (i). En la
figura 3.1 se ejemplifica esto para una viga bi-empotrada axialmente indeformable.
3.1.1.
Caracterización de la componente (s)
Para la componente (s) se deben generar las matrices de masa y rigidez respectivas, esto es:
M (s)
K (s)
∈ Rn
(s)
×n(s)
(s)
∈ Rn
(s)
×n
(3.1.1)
(3.1.2)
Luego, para cada componente (s) se obtienen las formas particionadas según grados de libertad
10
Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
11
Componente tipo
Borde
Borde
Grados de libertad
interiores
Grados de libertad
interiores
Grados de libertad
de borde
Grados de libertad
interiores
Grados de libertad
de borde
Figura 3.1. Esquema de estructura dividida en componentes, definición de grados de libertad de
borde e interiores
interiores (i) y grados de libertad de borde (b).
(s)
[Mii ]
[M (s) ]n(s) ×n(s) =
(s)
[Mbi ]
(s)
[Kii ]
(3.1.3)
(3.1.4)
(s)
[Mib ]
(s)
[Mbb ]
(s)
[Kib ]
[K (s) ]n(s) ×n(s) =
(s)
(s)
[Kbi ] [Kbb ]
En este contexto, la suma de grados de libertad interiores (i) y de borde (b) para cada compo(s)
(s)
nente (s) se escribirá de la siguiente manera: n(s) = ni + nb .
3.2.
Método de Craig-Bampton
Como ya se señaló, la componente (s) tendrá grados de libertad interiores y de borde, de aquı́ en
adelante, para referirnos a estos grados de libertad se utilizará la siguiente notación:
{u(s) (t)}n(s) ×1 =
(s)
{ui (t)}
{u(s)
b (t)}
(3.2.1)
Donde {u(s) (t)} corresponde a los grados de libertad de la componente (s) en coordenadas
(s)
(s)
fı́sicas, {ui (t)} y {ub (t)}, también en coordenadas fı́sicas, corresponden a los grados de libertad
interiores y de borde respectivamente.
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
3.2.1.
12
Fixed Interface Normal Modes
Se obtienen restringiendo todos los grados de libertad de borde y resolviendo el siguiente problema de vectores propios:
(s)
(s)
(s)
([Kii ] − λj [Mii ]){φi }j = {0} j = 1, . . . , ni
(3.2.2)
Notar que si los modos son normalizados, entonces
(s)
(s)
(s)
[φii ]T [Mii ][φii ] = [Iii ]
(3.2.3)
(s)
(3.2.4)
(s)
(s)
(s)
[φii ]T [Kii ][φii ] = [Ωii ]
(s)
Donde [Ωii ] = diag (λj )
(s)
j = 1, . . . , ni
es la matriz diagonal de valores propios.
En la figura 3.2 se ejemplifican estos modos para el caso de la componente tipo de la figura 3.1.
Fixed interface normal mode 1
Fixed interface normal mode 2
Fixed interface normal mode 3
Fixed interface normal mode 4
Figura 3.2. Esquema Fixed Interface Normal Modes
3.2.2.
Interface Constraint Modes
(s)
Se obtienen estableciendo un desplazamiento unitario en los grados de libertad de borde {ub (t)}
y fuerzas igual a cero en los grados de libertad interiores. Planteando lo anterior como una ecuación
resulta lo siguiente:
(s)
[Kii ]
(s)
(s)
[Kib ] [ψib ]
(s)
[0ib ]
(s)
(s) = (s)
(s)
[Kbi ] [Kbb ]
[Ibb ]
[Rbb ]
(3.2.5)
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Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
13
A partir de lo cual se tiene:
(s)
(s)
(s)
[ψib ] = −[Kii ]−1 [Kib ]
(3.2.6)
Luego, los Interface Constraint Modes se definen como:
(s)
[ψib ]n(s) ×n(s)
i
b
[ψc(s) ]n(s) ×n(s) =
b
(s)
[Ibb ]n(s) ×n(s)
b
b
(3.2.7)
En la figura 3.3 se ejemplifican estos modos para el caso de la componente tipo de la figura 3.1.
Interface constraint mode 1
Interface constraint mode 2
Interface constraint mode 3
Interface constraint mode 4
Figura 3.3. Esquema Interface Constraint Modes
3.2.3.
Matriz de Transformación - Coordenadas de Ritz
Utilizando tanto los fixed interface modes como los contraint modes se define la siguiente transformación a coordenadas de Ritz:
(s)
{u (t)}
i
{u(s)
b (t)}
(s)
= [Ψ(s) ]
(s)
{P (t)}
k
{Pb(s) (t)}
(3.2.8)
n̂(s) ×1
donde {Pk (t)} corresponde a las coordenadas generalizadas para los Fixed Interface Normal
(s)
(s)
Modes, n̂(s) = nk + nb
y la matriz de transformación [Ψ(s) ] se define como:
(s)
[φik ]
[Ψ(s) ] =
(s)
[0ik ]
(s)
[ψib ]
(s)
[Ibb ]
(3.2.9)
Se debe notar que el proceso de definir la matriz de transformación anterior requiere seleccionar
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
(s)
14
(s)
(s)
(s)
(s)
sólo los primeros nk modos de [φii ], con nk << ni . El criterio para definir valores de nk puede
variar según el sistema estructural, pero en general se basa en establecer una frecuencia de corte y
(s)
es un número mucho menor que ni , lo que se traduce en la reducción de costos computacionales
deseada.
(s)
Nuevamente, si los Fixed Interface Modes están normalizados, entonces para los nk
modos
retenidos también se cumple que:
(s)
(s)
(s)
(s)
(3.2.10)
(s)
(s)
(s)
(s)
(3.2.11)
[φik ]T [Mii ][φik ] = [Ikk ]
[φik ]T [Kii ][φik ] = [Ωkk ]
(s)
Donde [Ωkk ] = diag (λj )
(s)
j = 1, . . . , nk es la matriz diagonal de valores propios retenidos.
(s)
(s)
A esta altura es importante notar que {Pb (t)} = {ub (t)} corresponde a los grados de libertad
de borde en coordenadas fı́sicas, es decir, la transformación de coordenadas de Ritz no afecta a los
grado de libertad de borde.
A continuación, a partir de la matriz de transformación de Ritz de cada componente (s) se
pueden expresar las matrices de masa y rigidez, también de cada componente (s), en coordenadas
generalizadas y reducidas {P (s) (t)} de la siguiente manera:
[M̂ (s) ] = [Ψ(s) ]T [M (s) ][Ψ(s) ]
(3.2.12)
[K̂ (s) ] = [Ψ(s) ]T [K (s) ][Ψ(s) ]
(3.2.13)
Donde el set de coordenadas {P (s) (t)} cumple con la relación: {u(s) (t)} = [Ψ(s) ]{P (s) (t)}
Luego es posible definir un único vector de coordenadas generalizadas para las (Nc ) componentes, esto es:
{P (t)}np ×1
(1)
{Pk (t)}
(1)
(1)
{P
(t)}
{P
(t)}
b
..
..
=
=
.
.
(N
)
c
{P (N c)(t)}
{P
(t)}
k
(N
)
c
{P
(t)}
b
(3.2.14)
En la relación 3.2.14 se tienen coordenadas repetidas para aquellos bordes comunes a 2 o más
componentes. Por esta razón, a partir del vector de coordenadas {P (t)} se define un nuevo vector
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Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
15
de coordenadas {q(t)}. Este es el vector de coordenadas generalizadas e independientes.
{q(t)}nq ×1
(1)
{Pk (t)}
(2)
{P
(t)}
k
.
.
.
= {P (Nc ) (t)}
k
(1)
{u
(t)}
b
.
.
.
(N
)
b
{u
(t)}
(3.2.15)
b
Para obtener este vector de coordenadas {q(t)} se define la siguiente transformación:
{P (t)} = [S]{q(t)}
(3.2.16)
Donde [S] es una matriz de ceros y unos que acopla las coordenadas generalizadas e independientes {q(t)} con las coordenadas generalizadas {P (t)}.
Finalmente, se realiza una nueva transformación para obtener las matrices de masa y rigidez de
Craig-Bampton correspondientes a las coordenadas {q(t)}
[M̂
(CB)
[K̂
]nq ×nq
(CB)
]nq ×nq
(1)
[M̂ ]
= [S]T
(1)
[K̂ ]
= [S]T
..
.
[M̂ (Nc ) ]
..
[S]
(3.2.17)
.
[K̂ (Nc ) ]
[S]
(3.2.18)
Luego, la ecuación de movimiento en términos de coordenadas generalizadas e independientes
viene dada por:
[M̂ (CB) ]{q̈(t)} + [K̂ (CB) ]{q(t)} = [S]T {fˆp (t)}
(3.2.19)
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Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
16
donde:
Términos que se definen como:
(1)
ˆ
{f (t)}
.
ˆ
.
{fp (t)} =
.
{fˆ(Nc ) (t)}
(s)
[φik ]T
Y
(s)
{fi (t)}
{fb(s) (t)}
{fˆ(s) (t)}n̂(s) ×1 =
(s)
[ψib ]T
(3.2.20)
(s)
[0] {fi (t)}
(s)
{f (t)}
[I ]
bb
(3.2.21)
b
corresponde a las fuerzas externas aplicadas a la componente (s).
Una vez resuelta la ecuación de movimiento de coordenadas generalizadas e independientes es
posible obtener las respuestas de interés para las coordenadas fı́sicas mediante la siguiente transformación:
{u(t)} = [Ŝ][Ψ][S]{q(t)}
(3.2.22)
Donde, [Ψ] = blkdiag([Ψ(1)], . . . , [Ψ(Nc ) ]) y [Ŝ] es una matriz definida según la siguiente transformación:
(1)
{ui (t)}
(1)
{u
(t)}
b
..
{u(t)} = [Ŝ]
.
(N )
c
(t)}
{u
i
{u(Nc ) (t)}
b
(3.2.23)
Es decir, es una matriz de ceros y unos que lleva desde coordenadas fı́sicas con coordenadas de
borde repetidas a coordenadas fı́sicas con coordenadas de borde sin repetir.
Reducción de grados de libertad de borde
Además de reducir el número de modos asociados a grados de libertad interiores, también es
posible reducir el número de modos relacionados con los grados de libertad de borde. Con esto se
pueden conseguir ecuaciones de movimiento cuya resolución es aún menos costosa que la recién
presentada en términos de coordenadas generalizadas e independientes.
El procedimiento para obtener esta nueva ecuación de movimiento se explica, de forma resumida
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Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
17
a continuación.
Anteriormente se introdujo el concepto de coordenadas generalizadas e independientes {q(t)},
definido como:
{q(t)}nq ×1
(1)
{P
(t)}
k
(2)
{P
(t)}
k
.
.
.
= {P (Nc ) (t)}
k
(1)
{u
(t)}
b
.
..
(N
)
b
{u
(t)}
(3.2.24)
b
A partir de estas coordenadas, para aquellas que corresponden a las de borde se define la
siguiente relación:
(l)
{ub (t)}mb (l) ×1 = [V (l) ]{η (l) (t)}
(3.2.25)
Donde l = 1, . . . , Nb y la matriz [V (l) ] se obtiene resolviendo el siguiente problema de valores y
vectores propios:
(CB)
(CB)
[K̂bl bl ][V (l) ] = [M̂bl bl ][V (l) ][Ω(l) ]
(3.2.26)
Es decir,
(CB)
(CB)
([K̂bl bl ] − ǫ2 [M̂bl bl ]){V (l) } = {0}
Donde ǫ2i
(CB)
[K̂bl bl ]
(l)
i = 1, . . . , mb
(3.2.27)
corresponden a los valores propios del problema. Por otra parte,
(l)
corresponde a la porción de la matriz reducida [K̂ (CB) ] asociada a las coordenadas {ub (t)},
(CB)
de igual forma para [M̂bl bl ].
(l)
Luego, mediante algún criterio se debe retener los primeros mk modos del borde (l). Con
(l)
(l)
mk << mb .
De esta forma se definen las coordenadas
{v(t)}nv ×1 =
(1)
{P
(t)}
k
.
.
.
(N
)
c
{Pk (t)}
{η (1) (t)}
.
.
.
{η (Nb ) (t)}
(3.2.28)
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Capı́tulo 3. Método de Sı́ntesis Modal
18
Estas nuevas coordenadas se relacionan con las coordenadas generalizadas e independientes
({q(t)}) a través de la matriz [V ], esto es:
{q(t)} = [V ]{v(t)}
(3.2.29)
Donde,
[V ]nq ×nv
(1)
[I]n(1)
k ×nk
=
..
.
[I]n(Nc ) ×n(Nc )
k
k
[V (1) ]
..
.
[V (Nb ) ]
(3.2.30)
Finalmente, se obtienen las matrices de masa y rigidez reducidas:
[M̂ ]nv ×nv = [V ]T [M̂ (CB) ][V ]
(3.2.31)
[K̂]nv ×nv = [V ]T [K̂ (CB) ][V ]
(3.2.32)
Con lo anterior, la nueva ecuación de movimiento es:
[M̂ ]{v̈(t)} + [K̂]{v(t)} = [V ]T [S]T {fˆp (t)}
(3.2.33)
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Capı́tulo 4
SÍNTESIS MODAL EN
IDENTIFICACIÓN BAYESIANA
4.1.
Uso de Sı́ntesis Modal en Actualización Bayesiana para
Identificación de Daños
La técnica propuesta para la reducción del modelo resulta muy adecuada en aplicaciones en que
interesa realizar una identificación de daños. Básicamente, la estructura se divide en un número de
componentes Nc y se supone que los deterioros de la estructura están confinados en una o más de
estas componentes, causando una reducción en su rigidez.
Con el objetivo de identificar que componente se encuentra dañada e identificar su nivel de daño
es necesario introducir una familia de µ clases de modelos M1 , . . ., Mµ , donde (en este contexto)
cada modelo se diferencia por las componentes que se asume podrı́an estar dañadas.
Para esto, cada modelo clase Mi es parametrizado por un set de parámetros {θ} que controlan
la rigidez de aquellas Nθ componentes que podrı́an estar dañadas (Nθ ≤ Nc ), mientras que para las
componentes restantes se asume una rigidez constante, consecuente con una componente sin daños.
Como se estableció en el capı́tulo 2 al realizar la Actualización Bayesiana de un modelo se busca
establecer la función de densidad de probabilidad posterior del vector de parámetros inciertos {θ},
lo que en este contexto corresponderá a identificar el grado de daño de las componentes.
Una vez finalizados los procesos de identificación para cada una de las clases de modelos se asume
como más probable aquél que maximiza la evidencia estimada según la expresión de la ecuación
2.1.18.
La aplicación de Sı́ntesis Modal en Actualización Bayesiana para la identificación de daños
19
Capı́tulo 4. Sı́ntesis Modal en Identificación Bayesiana
20
está limitada a casos en que la matriz de rigidez se puede expresar de la siguiente forma:
K({θ}) = K0 +
Nθ
X
K p θp
(4.1.1)
p=1
donde K0 y Kp , p = 1, . . . , Nθ son matrices constantes independientes de {θ}.
La limitación recién señalada tiene que ver con mejorar la eficiencia del proceso de Actualización
de modelos, pues como se verá en este mismo capı́tulo, al cumplirse lo anterior, el proceso de
generación de matrices de rigidez por componentes se realiza sólo una vez, lo que permite disminuir
considerablemente los costos computacionales.
En la formulación mostrada en la ecuación 4.1.1 se asume que cada parámetro incierto de {θ}
está asociado con una propiedad de rigidez de alguna de las componentes en que se subdivide la
estructura.
El el capı́tulo 3 se desarrolló la teorı́a del Método de Sı́ntesis Modal, a continuación se muestra
la base de su uso en Actualización Bayesiana.
Supongamos que se tiene una estructura dividida en Nc componentes, para cada componente
se tendrá lo siguiente:
K (s)
K (s)
0
=
K (s) θ
si la rigidez de la componente (s) es independiente de {θ}
p
(4.1.2)
si la rigidez de la componente (s) depende de la componente p de {θ}
Por lo tanto, para aquellas componentes que son independientes de los parámetros de {θ} el
análisis no se modifica en nada respecto a lo que se mostró en el capı́tulo 3.
Lo interesante es ver que sucede con el segundo caso, es decir, con aquellas componentes cuya
rigidez está parametrizada por algún componente de {θ}. En este caso, a partir de la ecuación 4.1.2
es notorio que:
(s)
(s)
(s)
(s)
[Kii ] = [K ii ]θp
(4.1.3)
[Kib ] = [K ib ]θp
4.1.1.
(4.1.4)
Fixed Interface Normal Modes
Si reemplazamos la ecuación 4.1.3 en la ecuación 3.2.2 para recalcular los Fixed Interface Normal
Modes se tiene:
(s)
(s)
(s)
([K ii ]θp − λj [Mii ]){φi }j = {0} j = 1, . . . , ni
O bien,
(s)
([K ii ] −
λj
(s)
[M ]){φi }j = {0}
θp ii
(4.1.5)
(4.1.6)
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Capı́tulo 4. Sı́ntesis Modal en Identificación Bayesiana
21
Lo que se puede reescribir como:
(s)
(s)
([K ii ] − λj [Mii ]){φi }j = {0}
(4.1.7)
De la ecuación 4.1.7 se puede notar que:
[Ω(s) ] = [Ω
(s)
]θp
(4.1.8)
(s)
(s)
[φii ] = [φii ]
Es decir, los Fixed Interface Normal Modes de la componente (s) son independientes de θp .
4.1.2.
Interface Constrained Modes
Los Interface Constrained Modes se obtienen reemplazando las ecuaciones 4.1.3 y 4.1.4 en la
ecuación 3.2.6, con esto se obtiene:
(s)
(s)
(s)
(s)
[ψib ] = −[K ii ]−1 [K ib ] = [ψ ib ]
(4.1.9)
(s)
Por lo tanto, los Interface Constrained Modes ([ψib ]) también resultan independientes de θp .
En base a lo anterior se puede concluir que la matriz de transformación [Ψ(s) ] definida en la
ecuación 3.2.9 no sufre modificaciones producto de la parametrización introducida.
Con esto, las matrices de masa y rigidez de cada componente (s) en coordenadas generalizadas
y reducidas {P (s) (t)} vienen dadas por:
[M̂ (s) ] = [Ψ(s) ]T [M (s) ][Ψ(s) ]
[K̂ (s) ] = [Ψ(s) ]T [K
(s)
][Ψ(s) ]θp
(4.1.10)
(4.1.11)
Donde la ecuación 4.1.11 puede ser reescrita como:
ˆ (s) ]θ
[K̂ (s) ] = [K
p
4.1.3.
(4.1.12)
Matrices de Craig-Bampton
Si se continúa el análisis de la misma forma en que se hizo en el capı́tulo 3, lo que corresponde
ahora es definir las matrices de Craig-Bampton. Dado que la matriz [S] asocia a la coordenadas
{P (t)} con las coordenadas {q(t)}, es independiente y no se ve afectada por la parametrización
introducida.
Con las expresiones derivadas anteriormente se puede notar que la matriz de masa de CraigUNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 4. Sı́ntesis Modal en Identificación Bayesiana
22
Bampton queda exactamente igual a la definida en la ecuación 3.2.17, es decir:
(1)
[M̂ ]
[M̂ (CB) ] = [S]T
..
.
[M̂ (Nc ) ]
[S]
(4.1.13)
Mientras que para la matriz de rigidez de Craig-Bampton se tendrá:
[0]
(CB)
T
[K̂
] = [S]
..
.
[K̂ (s) ]
..
.
[0]
Nθ
X
θp · [S]T
[S] +
p=1
[0]
..
.
ˆ
[K
(s)
]
..
.
[0]
[S]
(4.1.14)
Donde la primera matriz de bloques diagonales del lado derecho de la ecuación corresponden a
una matriz de bloques diagonales que contiene las matrices [K̂ (s) ] de aquellas componentes independientes de {θ} en las posiciones correspondientes a dichas componentes. Y además posee matrices
nulas en aquellas posiciones correspondientes a componentes que si dependen de {θ}.
Y siguiendo la misma lógica, la segunda matriz de bloques diagonales del lado derecho es una
matriz de bloques nulos en todas las posiciones correspondientes a las componentes que no están
influenciadas por el parámetro θp mientras que en aquellas posiciones correspondientes a las comˆ (s) ] que corresponda.
ponentes influenciadas por θ se incluyen las matrices [K
p
La ecuación 4.1.14 se puede reescribir como:
(CB)
[K̂ (CB) ] = [K̂0
]+
Nθ
X
p=1
θp · [K̂p(CB) ]
(4.1.15)
Si bien en cada simulación se debe repetir la operación de la ecuación 4.1.15, las matrices
(CB)
[K̂0
]
(CB)
y las Nθ matrices [K̂p
] se calculan sólo una vez, lo que sumado a las dimensiones de
estas matrices resulta ser muy ventajoso.
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Capı́tulo 5
VALIDACIÓN DE SÍNTESIS
MODAL EN PROBLEMAS DE
ACTUALIZACIÓN
5.1.
Validación del Método de Sı́ntesis Modal
Como se mencionó en el capı́tulo 3, el método de Sı́ntesis Modal es una eficiente alternativa
para reducir significativamente los costos computacionales. Una gran ventaja del método de Sı́ntesis
Modal es que es posible obtener la respuesta dinámica para la totalidad de los grados de libertad
que gobiernan el problema, aún cuando se trabaja una ecuación de movimiento con matrices muy
reducidas respecto a las del modelo de elementos finitos completo.
El siguiente ejemplo tiene como objetivo mostrar el funcionamiento del método de Sı́ntesis
Modal. Se trata de un eje estructural de 8 pisos, con estructuración en base a vigas y columnas, tal
como se muestra en la figura 5.1.
La modelación del problema se hizo mediante el modelo de masas consistentes para la totalidad
de grados de libertad por nodo. Las columnas miden 5 [m] de largo mientras que las vigas tienen
10 [m] de largo cada una. Tanto en columnas como en vigas se consideró un nodo cada 2.5 [m].
En base a la discretización anterior, se obtiene la información que se presenta en la tabla 5.1.
23
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
24
Aceleración del suelo
Figura 5.1. Modelo - Eje analizado
Tabla 5.1. Resumen del modelo
Parámetro
Valor
Número de elementos
160
Nodos
140
Grados de Libertad
408
En la tabla 5.2 se resumen los parámetros usados para definir la masa y la rigidez del modelo.
Tabla 5.2. Parámetros del modelo
Parámetro
EI
EA
ρlineal
Valor
Unidad
17 × 107
N/m2
25 × 108
N/m2
110
kg/m
Para mostrar como el uso de matrices reducidas influye en el grado de precisión con que el
método de Sı́ntesis Modal aproxima las respuestas de interés se trabajará con 3 casos. Estos casos
se diferencian entre sı́ por el número de Fixed Interface Normal Modes que son considerados por
cada componente.
Para definir el número de estos modos que serán considerados en el análisis, se define una
frecuencia de corte ωc y se retienen todos aquellos modos en que las frecuencias calculadas según
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
25
la ecuación 3.2.2 son menores o iguales a ρ · ωc , es decir:
p
λj ≤ ρ · ωc
(s)
(5.1.1)
j = 1, . . . , ni
Donde λj se calcula como se especificó en la ecuación 3.2.2.
Para este ejemplo, se definió ωc = 164.83 rad/s, que corresponde a la décima frecuencia natural
del eje estructural de 408 grados de libertad. Los 3 casos que se presentan en esta aplicación
corresponden a valores de ρ igual a 1, 2 y 3 respectivamente. En la tabla 5.3 se resume la información
de los 3 casos considerados.
Tabla 5.3. Modos retenidos en el proceso de Sı́ntesis Modal
Fixed Interface Normal Modes
Modos de Borde
Caso
Componente 1
Componente 2
Componente 3
Borde 1
Borde 2
Total
1
1
1
2
12
12
28
2
8
11
12
12
12
55
3
9
14
17
12
12
64
Las componentes que se mencionan en la tabla 5.3 se definen según la figura 5.2. Como se puede
ver, en este ejemplo, los bordes corresponden a los nodos centrales de las columnas en las que se
divide el sistema para definir las componentes.
Componente 3
Componente 2
Componente 1
Aceleración del suelo
Figura 5.2. Componentes definidas para el análisis
Usando el modelo de elementos finitos completo se obtiene una matriz de rigidez de 408 × 408,
la cuál posee un total de 2008 coeficientes distintos de 0. Si comparamos con lo que se definió como
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Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
26
caso 3, veremos que en este caso obtenemos una matriz de rigidez reducida de 64 × 64 con un total
de 616 coeficientes distintos de 0. Las formas y dimensiones de estas matrices se muestran en la
figura 5.3.
Número de Coeficientes=2008
Número de Coeficientes=580
0
0
(A)
(B)
50
5
# Grados de Libertad
# Grados de Libertad
100
150
200
250
300
350
10
15
20
25
400
0
100
200
300
400
0
5
# Grados de Libertad
10
15
Número de Coeficientes=607
25
Número de Coeficientes=616
0
0
(C)
(D)
10
# Grados de Libertad
10
# Grados de Libertad
20
# Grados de Libertad
20
30
40
20
30
40
50
50
60
0
10
20
30
# Grados de Libertad
40
50
0
10
20
30
40
50
60
# Grados de Libertad
Figura 5.3. Matrices de rigidez.(A) Modelo de elementos finitos completo, (B) Caso 1, (C) Caso
2, (D) Caso 3 respectivamente
En la tabla 5.4 se muestra una comparación de los 10 primeros perı́odos naturales obtenidos
a partir de las matrices reducidas del método de Sı́ntesis Modal respecto a los periodos “exactos”
obtenidos mediante las matrices correspondientes al modelo de elementos finitos completo (408
grados de libertad).
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Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
27
Tabla 5.4. Comparación de Perı́odos Naturales
MEF
Caso 1
Caso 2
Caso 3
#
T [s]
T [s]
Error %
T [s]
Error %
T [s]
Error %
1
0,5607
0,5606
1,203 ×10−2
0,5607
4,635 ×10−3
0,5607
3,500 ×10−4
2
0,1806
0,1804
3
0,1018
0,1008
4
0,0680
0,0674
5
0,0602
0,0557
6
0,0532
0,0485
7
0,0494
0,0473
8
0,0442
0,0402
9
0,0392
0,0372
10
0,0381
0,0359
1,265 ×10−1
1,001 ×100
8,519 ×10−1
7,470 ×100
8,848 ×100
4,190 ×100
9,094 ×100
5,012 ×100
5,800 ×100
0,1805
0,1017
0,0680
0,0600
0,0529
0,0494
0,0435
0,0377
0,0370
4,862 ×10−2
3,128 ×10−2
1,982 ×10−2
2,988 ×10−1
6,459 ×10−1
5,402 ×10−2
1,589 ×100
3,838 ×100
2,828 ×100
0,1806
0,1017
0,0680
0,0600
0,0531
0,0494
0,0439
0,0388
0,0380
3,486 ×10−3
2,408 ×10−2
1,847 ×10−2
2,370 ×10−1
2,554 ×10−1
4,453 ×10−2
6,034 ×10−1
9,684 ×10−1
2,357 ×10−1
A partir de estos resultados, y considerando que los modos superiores prácticamente no tienen
influencia en la respuesta dinámica, es posible notar que el uso de Sı́ntesis Modal permite obtener
buenos resultados con matrices bastante reducidas.
Especı́ficamente, para el caso 3, se observa que con matrices reducidas de 64 × 64 es posible
aproximar los 10 primeros perı́odos con errores menores a un 1 %, lo que como se verá a continuación,
es consecuente con la calidad alcanzada en la aproximación de las respuestas dinámicas.
Para analizar lo anterior, se somete a la estructura a un sismo y se realizan algunas comparaciones en términos de las respuestas obtenidas. La figura 5.4 muestra la aceleración del suelo usada
para la comparación.
0.08
0.06
Aceleración [g]
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
0
20
40
60
80
100
120
140
t [s]
Figura 5.4. Aceleración del suelo
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Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
28
En la figura 5.5 se muestra el desplazamiento lateral del nodo central del último piso obtenido usando el modelo con la matrices sin reducir. Cabe destacar que la naturaleza de la respuesta
mostrada en esta figura se explica porque hasta ahora no se ha incorporado ningún tipo de amortiguamiento. En el ejemplo desarrollado en el capı́tulo 10 se presenta una alternativa para considerar
amortiguamiento en los análisis mediante Sı́ntesis Modal.
Por otra parte, la figura 5.6 corresponde a la diferencia que se consigue al calcular el desplazamiento lateral del nodo especificado mediante Sı́ntesis Modal para cada uno de los 3 casos.
0.025
0.02
Desplazamiento [m]
0.015
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
0
20
40
60
80
100
120
140
t [s]
Figura 5.5. Desplazamiento lateral nodo central último piso
La figura 5.7 muestra la aceleración horizontal para el mismo nodo, y de la misma forma que
antes, la figura 5.8 muestra la diferencia entre dicha aceleración “exacta” y la que se obtiene
mediante Sı́ntesis Modal para cada uno de los 3 casos. Se debe notar que la magnitud de las
aceleraciones se debe a que, como se señaló anteriormente, no se ha incorporado amortiguamiento.
Los casos 1, 2 y 3 corresponden a problemas de coordedas reducidas y generalizadas que representan un 7 %, 13 % y 16 % de la totalidad del problema, respectivamente. En general el método de
Sı́ntesis Modal entregará mejores aproximaciones para los desplazamientos que para velocidades o
aceleraciones, lo cuál resulta bastante lógico si consideramos que corresponde a un método basado
en desplazamientos. De todas formas, a partir de este ejemplo se puede notar que el caso 3 produce aproximaciones bastante precisas para las distintas respuestas consideradas. Además, queda de
manifiesto que si se quiere una aproximación aún mas precisa bastará con aumentar el número de
modos retenidos.
Para finalizar, en la figura 5.9 se muestra una comparación de los 3 casos en términos de desplazamientos laterales máximos de los nodos centrales en la altura. Nuevamente, se puede apreciar
que el caso 3 entrega resultados bastante precisos.
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
29
Desplazamiento MEF − Desplazamiento SM [m]
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
80
100
120
140
t [s]
Desplazamiento MEF − Desplazamiento SM [m]
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
0
20
40
60
t [s]
Desplazamiento MEF − Desplazamiento SM [m]
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
0
20
40
60
t [s]
Figura 5.6. Diferencia en desplazamiento lateral. Casos 1, 2 y 3 respectivamente
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
30
10
8
6
2
Aceleración [m/s ]
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
0
20
40
60
80
100
120
140
t [s]
Figura 5.7. Aceleración lateral nodo central último piso
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
31
Aceleración MEF − Aceleración SM [m/s2]
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
0
20
40
60
80
100
120
140
80
100
120
140
80
100
120
140
t [s]
Aceleración MEF − Aceleración SM [m/s2]
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
0
20
40
60
t [s]
Aceleración MEF − Aceleración SM [m/s2]
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
0
20
40
60
t [s]
Figura 5.8. Diferencia aceleración lateral. Casos 1, 2 y 3 respectivamente
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
40
40
MEF
Caso 1
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
MEF
Caso 2
35
Altura [m]
Altura [m]
35
0
32
0.01
0.02
Desplazamiento [m]
0
0.03
0
0.01
0.02
Desplazamiento [m]
0.03
40
MEF
Caso 3
35
30
Altura [m]
25
20
15
10
5
0
0
0.01
0.02
Desplazamiento [m]
0.03
Figura 5.9. Desplazamientos horizontales máximos nodos centrales en la altura
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
5.2.
33
Uso de Sı́ntesis Modal en Actualización Bayesiana
Supongamos que el sistema estructural de la figura 5.1 sufre un deterioro en las columnas del
primer piso. Y que dicho deterioro se manifiesta como una reducción de un 25 % del módulo de
elasticidad E. Supongamos además que se cuenta con los siguientes datos:
Registro de un sismo que afecta a la estructura.
Mediciones de aceleraciones horizontales de los 3 primeros pisos producto de este sismo.
Como se verá en esta aplicación, es posible usar Sı́ntesis Modal para realizar la identificación
Bayesiana del módulo de Young de las columnas deterioradas.
5.2.1.
Parámetros inciertos en la identificación
Tal como se señaló en el capı́tulo 2 el objetivo del proceso de Identificación Bayesiana es, a partir
de una distribución inicial dada ser capaz de obtener una distribución final para un determinado
vector de parámetros inciertos {θ}.
En esta aplicación cada componente θp , p = 1, . . . , Nθ incluida en {θ} se relaciona a una parame-
trización del Módulo de Young E (p) de la componente estructural p que se supone está deteriorado.
Es decir, para cada componente estructural cuyo Módulo de Young se intenta identificar se debe
incluir un parámetro incierto en {θ}. La parametrización del Módulo E (p) se realiza respecto a un
valor nominal E (sin deterioro) y se logra usando θp tal como se muestra en la ecuación 5.2.1.
E (p) = θp · E
p = 1, . . . , Nθ
(5.2.1)
En esta aplicación en particular, se asume que la distribución inicial para θp es uniforme entre
[0.5, 1.5] y el número de muestras N = 1000, es decir, el Módulo de Young E (p) de la componente
estructural p variará entre un 50 % y un 150 % de un valor nominal E. La distribución inicial
uniforme del parámetro θp se ejemplifica en el histograma de la figura 5.10.
70
60
50
40
30
20
10
0
0.5
1
1.5
θp
Figura 5.10. Distribución Uniforme inicial para θp
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
5.2.2.
34
Sismo empleado y Mediciones
Como se explicó en el capı́tulo 2 (Identificación Bayesiana) para el proceso de identificación es
necesario obtener la respuesta dinámica del modelo e ir comparándola con los datos medidos y de
esta forma evaluar la plausibilidad de las muestras que intentan caracterizar al parámetro incierto.
En este caso, la comparación se hace en base a las aceleraciones horizontales de los 3 primeros
pisos, especı́ficamente aquellas correspondientes a los nodos centrales (ver figura 5.12).
Obviamente para esta estructura no se cuenta con mediciones reales y por ende deben ser simuladas. Para efectos de esta aplicación las mediciones se generan usando el modelo de elementos finitos
completo. En pocas palabras lo que se hace es someter al modelo de elementos finitos a un registro
de aceleraciones conocido, para ası́ obtener su respuesta dinámica. De entre las variables que implica dicha respuesta (desplazamientos, velocidades y aceleraciones) interesa rescatar las aceleraciones
horizontales de aquellos nodos en que se supone se encuentran instalados los acelerógrafos.
Luego, para simular los problemas propios e inherentes en las mediciones se contamina cada
aceleración con un ruido gaussiano escalado al 10 % de su respectivo valor rms.
El procedimiento mediante el cuál se simulan las mediciones se resume (esquemáticamente) en
la figura 5.11.
La primera gráfica corresponde a la aceleración horizontal calculada en un nodo de interés del
sistema estructural (supuesta ubicación de un acelerógrafo). La segunda gráfica muestra como se
considera el ruido que es inherente en mediciones de este tipo. Y, finalmente, la tercera gráfica
corresponde a la superposición de las dos anteriores y representa como, para efectos de las aplicaciones de esta tesis, se simulan las mediciones de aceleraciones horizontales consideradas en cada
una de ellas.
5.2.3.
Casos considerados en la identificación
Obviamente en la realidad es muy difı́cil conocer de manera exacta que componentes estructurales concentran los daños y más aún contar con una cuantificación de dichos daños. Por esta razón
al utilizar las técnicas de actualización Bayesiana en identificación de deterioros se deben considerar
varios escenarios posibles.
En el contexto de esta aplicación, la identificación Bayesiana se realizará en base a 2 premisas,
lo que origina dos casos distintos:
Caso 1: Se piensa que sólo las columnas del primer piso están deterioradas.
Caso 2: Se piensa que las columnas del primer y segundo piso están deterioradas.
En el caso 1, como supuestamente el deterioro estructural está concentrado en las columnas del
primer piso, será necesario identificar un único parámetro incierto asociado al módulo de Young de
las columnas del primer piso.
Por otro parte, en el caso 2 se intenta cuantificar un deterioro en las columnas tanto del primer
como en las del segundo piso. Por lo que es necesario realizar la identificación de 2 parámetros
inciertos e independientes.
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Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
35
Aceleración horizontal [g]
Aceleración en nodo de interés
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
0
20
40
60
80
100
120
140
120
140
t [s]
Simulación de ruido en Acelerógrafo
Ruido en mediciones [g]
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
0
20
40
60
80
100
t [s]
Simulación de Acelerograma: Superposición de gráficas anteriores
Acelerograma [g]
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
0
20
40
60
80
100
120
140
t [s]
Figura 5.11. Gerenación de mediciones (Acelerograma).
En base a lo anterior deben generarse 2 clases de modelo M1 y M2 y aquel que mejor representa
la situación estructural actual (caracterizada mediante mediciones) será aquel que maximiza la
evidencia.
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Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
36
Caso 1 - Modelo M1
En el caso 1 es necesario definir, como mı́nimo, dos componentes, una primera componente
asociada a las columnas del primer piso (cuyo módulo de Young se busca identificar) y una segunda
componente correspondiente al resto de la estructura.
La definición de componentes para el caso 1 se muestra en la figura 5.12.
Componente 2
Acelerógrafo
Acelerógrafo
Acelerógrafo
Componente 1
Aceleración del suelo
Figura 5.12. Componentes empleadas en el Modelo M1
Además, dentro del esquema de Sı́ntesis Modal se definen dos submodelos en la clase de modelo
(CMS)
M1 (caracterizados por el superı́ndice (CM S)). Estos son M1a
(CMS)
y M1b
respectivamente,
los que se diferencian por el número de modos o grados de libertad retenidos. Esto se hace con la
intención de comparar y mostrar la sensibilidad del proceso de Identificación Bayesiana al número
de modos retenidos.
(CMS)
Entonces, ambos submodelos (M1a
(CMS)
y M1b
) se definen según las componentes de la
figura 5.12 y el número de Fixed Interface Normal Modes considerados en cada uno se resumen en
la tabla 5.5.
Tabla 5.5. Número de Modos considerados en Modelo M1
Fixed Interface Normal Modes
Caso
Modelo
Modos de borde
Comp. 1
Comp. 2
Borde
Total
1
M1a
(CMS)
1
8
12
21
1
(CMS)
M1b
1
34
12
47
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
37
Caso 2 - Modelo M2
De igual forma que en el caso 1, con la intención de comparar y mostrar la sensibilidad del proceso
de Identificación Bayesiana al número de modos retenidos se definen dos submodelos dentro de la
(CMS)
clase de modelo M2 , estos son M2a
(CMS)
y M2b
(CMS)
Los denominados submodelos M2a
respectivamente.
(CMS)
y M2b
se definen según las componentes de la figura
5.13 y el número de modos considerado en cada uno se resume en la tabla 5.6.
Componente 4
Acelerógrafo
Acelerógrafo
Componente 3
Componente 2
Acelerógrafo
Componente 1
Aceleración del suelo
Figura 5.13. Componentes empleadas en Caso 2
Tabla 5.6. Número de Modos considerados en Modelo M2
Fixed Interface Normal Modes
Caso
Modelo
Grados de libertad de borde
Comp. 1
Comp. 2
Comp. 3
Comp. 4
Borde 1
Borde 2
Total
2
M2a
(CMS)
1
1
1
6
12
12
33
2
(CMS)
M2b
1
3
1
30
12
12
59
5.2.4.
Resultados de la identificación
El deterioro real de la estructura corresponde a una reducción de un 25 % en el Módulo de
Young respecto a un valor nominal en las columnas del primer piso.
Las figuras 5.14 y 5.15 corresponden a las etapas de identificación de lo que se llamó Caso 1.
En dichas figuras se muestra como evoluciona la distribución del parámetro θ desde la primera
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
38
(CMS)
etapa de identificación hasta la distribución en la etapa final para los modelos M1a
(CMS)
y M1b
respectivamente.
Por otra parte, las figuras 5.16, 5.17, 5.18 y 5.19 muestran la evolución en las etapas de identificación para lo que se llamó Caso 2.
Las figuras 5.16 y 5.17 corresponden a la identificación de los parámetros θ1 y θ2 para el modelo
(CMS)
M2a
.
(CMS)
Mientras que las figuras 5.18 y 5.19 muestran lo mismo, pero para el modelo M2b
.
Las distribuciones iniciales o prior (correspondientes a la etapa 0) no se incluyen, pero como ya
se especificó, se trata de una distribución uniforme entre [0.5, 1.5] como en la figura 5.10.
En general, a partir de los histogramas de las figuras 5.14 a 5.19 se aprecia que el método
de Actualización Bayesiana complementado con la simplificación de los modelos mediante Sı́ntesis
Modal es capaz de identificar correctamente los valores de θ1 y θ1 , θ2 (según sea el caso). Además,
se puede apreciar que al considerar 2 parámetros inciertos el proceso de identificación requiere
pasar por más etapas, es decir, la incorporación de la información es más lenta o paulatina. Lo
anterior resulta bastante lógico pensado que una mayor cantidad de parámetros inciertos significa
una mayor cantidad de comportamientos considerados en la identificación.
En la tabla 5.7 se resumen los resultados obtenidos. Además, con el objetivo de poder comparar
y dimensionar la eficacia y eficiencia del uso de Sı́ntesis Modal se realizaron identificaciones para
los Casos 1 y 2 usando el modelo de elementos finitos completo.
Como se señaló anteriormente, cuando realizamos la actualización de distintas clases de modelos
para un sistema estructural, el que mejor representa el comportamiento de dicho sistema, desde
el punto de vista de los datos dinámicos disponibles, es aquel que entrega un mayor valor para la
evidencia. De esta forma, a partir de los resultados de la tabla 5.7 se concluye que los modelos clase
(CMS)
1 (M1a
(CMS)
y M1b
) son capaces de reproducir mejor el comportamiento medido de la estructura
(CMS)
que los modelos clase 2 (M2a
(CMS)
y M2b
) ya que estos últimos, deben identificar un segundo
parámetro que en la clase 1 es tratado como un valor conocido.
Por otra parte, es lógico pensar que dentro de cada clase el mejor modelo será aquel que considera todos los modos y grados de libertad, lo cual se ratifica a partir de las evidencias obtenidas en
la tabla 5.7. Sin embargo, las actualizaciones que incorporan el método de Sı́ntesis Modal resultan
también bastante precisas y, en general, todas permiten obtener una distribución final acorde al
valor esperado del parámetro incierto. Ahora, si consideramos los tiempos empleados en cada identificación se hace evidente la ventaja de usar la técnica de Sı́ntesis Modal, sobre todo considerando
que un modelo estructural realista puede llegar a tener cientos de miles de grados de libertad.
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
450
39
150
Etapa 1
Etapa 2
400
350
300
100
250
200
150
50
100
50
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.5
1
150
150
Etapa 4
Etapa 3
100
100
50
50
0
0.5
1.4
θ
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
120
Etapa 5
100
80
60
40
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
(CMS)
Figura 5.14. Secuencia de identificación θ1 - Modelo M1a
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
450
180
Etapa 1
400
140
300
120
250
100
200
80
150
60
100
40
50
20
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Etapa 2
160
350
0
0.5
40
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
180
150
Etapa 4
Etapa 3
160
140
120
100
100
80
60
50
40
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
150
Etapa 5
100
50
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
(CMS)
Figura 5.15. Secuencia de identificación θ1 - Modelo M1b
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
180
41
300
Etapa 2
Etapa 1
160
250
140
120
200
100
150
80
60
100
40
50
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
120
150
Etapa 4
Etapa 3
100
80
100
60
40
50
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
180
140
Etapa 5
160
Etapa 6
120
140
100
120
80
100
80
60
60
40
40
20
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
150
Etapa 7
100
50
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
(CMS)
Figura 5.16. Secuencia de identificación θ1 - Modelo M2a
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
80
42
120
Etapa 1
Etapa 2
70
100
60
80
50
40
60
30
40
20
20
10
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
2
120
180
Etapa 3
Etapa 4
160
100
140
80
120
100
60
80
40
60
40
20
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
2
250
140
Etapa 5
Etapa 6
120
200
100
150
80
60
100
40
50
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
2
150
Etapa 7
100
50
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
(CMS)
Figura 5.17. Secuencia de identificación θ2 - Modelo M2a
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
200
43
250
Etapa 2
Etapa 1
180
160
200
140
120
150
100
80
100
60
40
50
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
150
180
Etapa 3
Etapa 4
160
140
100
120
100
80
50
60
40
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
150
140
Etapa 5
Etapa 6
120
100
100
80
60
50
40
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
1
140
Etapa 7
120
100
80
60
40
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
1
(CMS)
Figura 5.18. Secuencia de identificación θ1 - Modelo M2b
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
80
44
140
Etapa 1
Etapa 2
70
120
60
100
50
80
40
60
30
40
20
20
10
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
2
160
200
Etapa 3
Etapa 4
180
140
160
120
140
100
120
80
100
80
60
60
40
40
20
0
0.5
20
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
2
160
140
Etapa 5
Etapa 6
140
120
120
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
2
160
Etapa 7
140
120
100
80
60
40
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ
2
(CMS)
Figura 5.19. Secuencia de identificación θ2 - Modelo M2b
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 5. Validación de Sı́ntesis Modal en problemas de actualización
45
Tabla 5.7. Resumen identificación de daños por clase de modelo.
Modelo
Promedio
Evidencia
# GL
tiempo
Clase
{θ}
log(·)
Total
[s]
(CMS)
M1a
(CMS)
M1b
(MEF )
M1
0.7485
-12.4
21
609
0.7498
-8.7
47
1555
0.7500
-8.0
408
33585
(CMS)
0.7328
-37.8
33
1371
-19.4
59
2913
-14.3
408
53958
M2a
(CMS)
M2b
(MEF )
M2
1.0378
0.7460
1.0102
0.7491
1.0020
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 6
CONFIABILIDAD
En ingenierı́a resulta de gran utilidad e interés contar con un método que permita evaluar bajo
que condiciones se satisfacen las restricciones de diseño para un determinado sistema estructural.
Para estudiar esto se debe introducir el concepto de Confiabilidad, que, en el contexto de esta
tesis, se entenderá como la probabilidad de que dentro de un perı́odo de referencia se satisfagan
las condiciones de un buen desempeño. Por ejemplo, mediante un análisis de la Confiabilidad, es
posible determinar con que frecuencia una excitación sı́smica, caracterizada mediante un proceso
estocástico, produce desplazamientos o aceleraciones mayores a un valor umbral, información que
a su vez puede ser usada para introducir modificaciones que se traduzcan en optimizaciones en el
diseño.
En este capı́tulo se introduce el concepto de Confiabilidad y se explica una técnica de simulación
avanzada (Subset Simulation) que será usada para su evaluación toda vez que el problema tiene una
gran dimensionalidad debido a las excitaciones sı́smicas modeladas a través de procesos estocásticos.
6.1.
Evento de Falla
Para cuantificar la confiabilidad de un sistema sometido a excitaciones estocásticas se utilizan
probabilidades de primera excursión, para lo cual es necesario definir eventos de falla F como:
F ({x}, {z}) = DN ({x}, {z}) ≥ 1
(6.1.1)
Donde DN ({x}, {z}) corresponde a la demanda normalizada, que se define como:
DN ({x}, {z}) =
máx
i=1,...,nr
|ri (t, {x}, {z})|
rei
t∈[0,T ]
máx
(6.1.2)
[0, T ] representa al perı́odo de referencia, ri (t, {x}, {z}), i = 1, . . . , nr son las respuestas de
46
Capı́tulo 6. Confiabilidad
47
control bajo las condiciones de diseño {x} y las variables aleatorias {z} (asociadas a las excitaciones
estocásticas), y rei es el valor umbral que define el lı́mite para un buen desempeño para el tipo de
respuesta i.
El cuociente |ri (t, {x}, {z})|/e
ri compara el máximo valor de la respuesta ri (t, {x}, {z}) con
el valor máximo permitido para dicha respuesta rei . Cabe destacar que la demanda normalizada
podrı́a estar definida en términos de una respuesta mı́nima, pero, en general, en las aplicaciones de
ingenierı́a esto no se da.
Las respuestas ri (t, {x}, {z}), i = 1, . . . , nr se obtienen resolviendo la ecuación de movimiento
para el sistema estructural de interés, en general en ingenierı́a corresponden a desplazamientos
relativos y aceleraciones absolutas.
A partir de la definición de demanda normalizada presentada en la ecuación (6.1.2) se define la
función de desempeño como:
g({x}, {z}) = 1 − DN ({x}, {z})
(6.1.3)
con lo que finalmente se puede establecer un evento de falla como toda respuesta ri (t, {x}, {z})
tal que g({x}, {z}) ≤ 0.
6.2.
Probabilidad de Falla
La probabilidad de falla bajo los parámetros de diseño {x} se expresa como:
PF ({x}, {z}) =
Z
f ({z})d{z}
(6.2.1)
g({x},{z})≤0
que corresponde a una integral multidimensional en donde f ({z}) es la función de densidad de
probabilidad que caracteriza a los parámetros inciertos. En ingenierı́a, se espera que estas probabilidades de falla sean pequeñas, por ejemplo el rango [10−3 − 10−7 ], además al trabajar con sistemas
estructurales sometidos a excitaciones estocásticas, esta integral involucra una gran cantidad de
parámetros inciertos, por lo que la estimación de la confiabilidad constituye un problema de alta
dimensionalidad y costo computacional, por esta razón, resulta necesario el uso de técnicas de simulación avanzada, como por ejemplo la que se propone en este trabajo, Subset Simulation. El uso
de esta técnica ha demostrado ser eficiente en un amplio rango de problemas, incluyendo sistemas
dinámicos no lineales. Una revisión en detalle de la teorı́a de esta técnica de simulación se puede
encontrar en [34].
6.2.1.
Estimación de la Confiabilidad
Como se señaló anteriormente, para estimar la probabilidad de falla se utilizará Subset Simulation. En este enfoque, dicha probabilidad se expresa como un producto de probabilidades condicionales de eventos de falla intermedios convenientemente elegidos. De esta forma, el problema de
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 6. Confiabilidad
48
evaluar una probabilidad de falla pequeña asociada a un evento de falla poco frecuente se reemplaza por una secuencia de simulaciones de eventos más frecuentes en el espacio de probabilidad
condicional.
Con este enfoque, la probabilidad de falla PF (x) se expresa como el siguiente producto:
PF ({x}) = P(F1 ({x}))
mY
F −1
k=1
P Fk+1 ({x})/Fk ({x})
(6.2.2)
Ası́, la secuencia de eventos anidados hasta alcanzar el evento objetivo será:
FmF ({x}) ⊂ FmF −1 ({x}) ⊂ . . . ⊂ F1 ({x})
(6.2.3)
Como se puede ver, la ecuación (6.2.2) expresa la probabilidad de falla PF ({x}) como el producto de P(F1 ({x})) con una serie de probabilidades condicionales P(Fk+1 ({x})/Fk ({x})), k =
1, . . . , mF − 1.
Luego, para calcular PF ({x}) es necesario estimar las probabilidades de ocurrencia de eventos
intermedios, esto es, P(F1 ({x})) y P(Fk+1 ({x})/Fk ({x})), k = 1, . . . , mF − 1. De esta forma, el
problema de simular eventos poco recurrentes en el espacio de probabilidad original es reemplazado por una secuencia de simulaciones de eventos más frecuentes en el esapacio de probabilidad
condicional. Ası́, aunque PF ({x}) sea pequeña, si los eventos de falla intermedios se escogen apro-
piadamente, las probabilidades de falla condicionales involucradas en la ecuación 6.2.2 pueden ser
lo suficientemente grandes, facilitando de esta forma el proceso de simulación.
La probabilidad de P(F1 ({x})) se puede estimar fácilmente mediante Monte Carlo, esto es:
e 1 ({x})) =
P(F1 ({x})) ≈ P(F
N
1 X
IF ({x}, {z}j )
N j=1 1
(6.2.4)
Donde {z}j es el vector de variables aleatorias asociado a la j-ésima simulación de Monte Carlo
que caracteriza a la excitación estocástica, simuladas según la función de densidad de probabilidades
f ({z}).
Algoritmo para Subset Simulation
El método de Subset Simulation puede resumirse en los siguientes pasos:
1. Primera Fase: Monte Carlo Simulation
a) Generar N muestras aleatorias {z}j , j = 1, . . . , N . Cada muestra con dimensión nT × 1.
b) Para cada una de estas muestras calcular la máxima respuesta |ri (t, {x}, {z}j )| j =
1, . . . , N . Recordar que i se refiere al tipo de respuesta de control que interesa estudiar.
c) Ordenar las los máximos de las N respuestas del sistema desde el menor al mayor valor
en un vector h|ri ({x}, {z}j )|i.
d ) Definir el valor umbral b1 como componente ubicada en la posición (1 − P0 ) · N del
vector h|ri ({x}, {z}j )|i ordenado anteriormente. Si b1 > rei , se termina el proceso y la
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 6. Confiabilidad
49
e 1 ({x})). De lo contrario,
probabilidad de falla del sistema está dada por PF ({x}) = P(F
se avanza a la segunda fase con k = 1, siendo P(F1 ({x})) = P0 .
2. Segunda Fase: Subset Simulation
a) A partir de cada una de las N · P0 muestras cuya respuesta está sobre el valor umbral b1 ,
generar (1 − P0 )/P0 muestras condicionales mediante el algoritmo de Metropolis modifi-
cado. De esta manera se completan las N muestras requeridas en cada nivel de Subset
Simulation.
b) Se calculan los máximos absolutos de la respuesta para cada muestra y se ordenan de
menor a mayor en un vector h|ri ({x}, {z}j )|i.
c) Se define el umbral bk+1 como la componente (1 − P0 ) · N del vector h|ri ({x}, {z}j )|i.
d ) Si bk+1 < rei se repite la segunda fase con k = k + 1. De lo contrario se avanza a la tercera
fase con mF = k + 1.
3. Tercera Fase: Etapa final de Subset Simulation
a) Se calcula P(FmF /FmF −1 )
b) Finalmente, estimar la probabilidad de falla como:
PF ≈ P0mF −1 · P(FmF /FmF −1 )
(6.2.5)
Para efectos de esta tesis en general se usó N = 1000 y P0 = 0.1. La figura 6.1 ejemplifica el proceso
de cálculo de la probabilidad de falla donde N = 1000 y P0 = 0.1. Como se observa, b1 y b2 son
menores que rei mientras que b3 es mayor, por lo tanto, mF = 3. Luego, sólo se requiere calcular la
cantidad de muestras que superan el umbral de falla rei en la última etapa para estimar P(F3 /F2 )
y finalmente calcular la probabilidad de falla como PF = 0.12 · P(F3 /F2 ).
Algoritmo de Metropolis modificado
El algoritmo de Metropolis es un método empleado para generar muestras {z} condicionadas al
evento de falla Fk . El procedimiento se resume a continuación:
Notación:
k: contador de etapa.
(k)
zj : componente j-ésima de la muestra {z (k) }, j = 1, · · · , nT .
1. Escoger una muestra {z (k) } que esté incluida en la región de falla Fk .
(k+1)
2. Generar una muestra candidata {e
z (k+1) } = he
z1
(k+1) T
, . . . , zenT
i , para lo cual se deben generar
cada una de sus componentes j = 1, · · · , nT según lo siguiente:
(k)
a) Para cada una de las nT componentes de {z (k) } generar εj centrado en zj , tal que
εj ∼
(k)
U (zj
−
(k)
δ, zj
+ δ), donde δ es un parámetro que controla la dispersión de la
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 6. Confiabilidad
50
ri ({x},{z})
b3
~
ri
b2
b1
0
100
200
300
400
500
j
600
700
800
900
1000
Figura 6.1. Esquema Subset Simulation, considerando N = 1000, P0 = 0.1
distribución uniforme. Una forma práctica y sencilla para escoger δ es realizar corridas
preliminares tal que la tasa de rechazo del algoritmo sea de un 50 % ó 60 %. En general
se utiliza un valor entre 1 y 2.
b) Generar uj ∼ U [0, 1], j = 1, . . . , nT
c) Calcular la razón
Γj =
Pj (εj )
(k)
Pj (zj )
j = 1, . . . , nT
(6.2.6)
Donde Pj (·) es la función de densidad de probabilidad, que en el caso particular de la
generación de señales estocásticas corresponde a una distribución normal estándar.
d ) Definir cada componente j del candidato {e
z (k+1) } según el siguiente criterio:
(k+1)
zej
=
ε
j
si uj ≤ mı́n(1, Γj )
z (k)
j
(6.2.7)
si uj ≥ 1 − mı́n(1, Γj )
3. Finalmente, definir la nueva muestra como:
{z (k+1) } =
{e
z (k+1) } si {e
z (k+1) } ∈ Fk
{z (k) }
(6.2.8)
si {e
z (k+1) } 6∈ Fk
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Capı́tulo 7
ESTIMACIÓN DE LA
CONFIABILIDAD
ACTUALIZADA
En el capı́tulo 6 se introdujo el concepto de Confiabilidad en el contexto de los sistemas estructurales y se presentó el método de Subset Simulation que corresponde a una técnica de simulación
avanzada que a su vez requiere incorporar el método de Metropolis modificado como método de
generación de muestras condicionadas a una serie de eventos intermedios, de tal forma de poder
estimar una probabilidad de falla correspondiente a un evento mayor.
Sin embargo, lo anterior se presentó desde un enfoque en que las variables de diseño {x} de
los sistemas estructurales se consideran determinı́sticas. De esta forma, todas las incertezas se
concentran en las excitaciones sı́smicas caracterizadas por variables aleatorias {z}, modeladas de
acuerdo al procedimiento que se presenta en el capı́tulo 8. A este tipo de sistemas, en el contexto
de esta tesis se les denomina Sistemas Nominales.
En este capı́tulo en cambio, además de las excitaciones estocásticas, se considera que también
algunos parámetros estructurales son inciertos y que se encuentran caracterizados por las distribuciones posteriores p({θ}/M, D) encontradas mediante el método de Actualización Bayesiana. Por
esta razón, en este caso se habla de Sistema Actualizado.
En otras palabras, en este capı́tulo, se explica como incorporar la información obtenida en el
proceso de Actualización Bayesiana (capı́tulo 2) para estimar una Confiabilidad Actualizada, lo que,
como se verá en las aplicaciones de los capı́tulos 9 y 10, permitirá contrastar el Sistema Estructural
Nominal (con propiedades originales) con aquél caracterizado según las condiciones actualizadas.
51
Capı́tulo 7. Estimación de la Confiabilidad Actualizada
7.1.
52
Dominio de Falla en el Sistema Actualizado
Como se señaló en el capı́tulo 2, en el contexto de Actualización Bayesiana un sistema estructural puede ser representado por una serie de modelos probabilı́sticos de clase M que buscan ajustarse
a una serie de datos dinámicos medidos D, cada uno parametrizado según un vector de parámetros
inciertos {θ} ∈ Θ ⊂ Rnp . Lo anterior, sumado a que nuevamente entenderemos la confiabilidad de
sistemas estructurales estocásticos como una probabilidad de primera excursión que busca cuantificar la probabilidad de que ciertas condiciones de diseño sean satisfechas en un perı́odo de referencia,
permiten definir el dominio de falla como:
F (M ) = {{q}|DN ({q}/M ) > 1}
(7.1.1)
donde {q} corresponde al vector aumentado de parámetros inciertos del sistema, que incluye al
vector de variables aleatorias asociadas a la excitación sı́smica {z} y al vector de parámetros del
modelo estructural {θ}. Al igual que en el capı́tulo 6, DN representa a la demanda normalizada
que en esta ocasión se escribe como:
DN ({q}/M ) =
7.1.1.
máx
i=1,...,nr
|ri (t, {z}, {θ})|
t∈[0,T ]
rei
máx
(7.1.2)
Probabilidad de Falla Actualizada
La probabilidad de falla actualizada se evalúa como una integral de probabilidades condicionales
de falla ponderadas por la función de densidad de probabilidades posterior p({θ}/M, D), esto es:
P (F/M, D) =
Z
Θ
P (F/M, {θ})p({θ}/M, D)d({θ})
(7.1.3)
Esta integral incluye la función de densidad de probabilidades posterior de los parámetros inciertos {θ}, es decir aquella que se alcanza en la última etapa del proceso de Identificación Bayesiana.
De esta forma, está incorporando la información del modelo estructural que se pudo rescatar a
partir de los datos dinámicos D. Resulta difı́cil evaluar esta integral a menos que {θ} involucre
sólo un número pequeño de parámetros inciertos. En caso contrario, se deben usar métodos de
aproximaciones computacionales eficientes.
El término P (F/M, {θ}) está dado por:
P (F/M, {θ}) =
Z
Ωz
IF ({z}, {θ}/M )f ({z})d({z})
Reemplazando la relación dada por la ecuación 7.1.4 en la ecuación 7.1.3, se tiene:
Z Z
IF ({z}, {θ}/M )f ({z})p({θ}/M, D)d({z})d({θ})
P (F/M, {θ}) =
Θ
(7.1.4)
(7.1.5)
Ωz
Esta es una integral multidimensional en el espacio aumentado de parámetros. El término
IF ({z}, {θ}/M ) corresponde a la función indicatriz que es IF ({z}, {θ}/M ) = 1 si ({z}, {θ}/M )
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 7. Estimación de la Confiabilidad Actualizada
53
está en la región de falla y IF ({z}, {θ}/M ) = 0 en el caso contrario.
7.2.
Estimación de la Confiabilidad Actualizada
l
Usando el conjunto de muestras generadas en la última etapa del método TMCMC, {θm
},
l = 1, · · · , Nm , la probabilidad de falla actualizada puede estimarse directamente como:
P (F/M, D) =
Z
Θ
P (F/M, {θ})p({θ}/M, D)d({θ}) = E(P (F/M, {θ})) ≈
Nm
1 X
l
P (F/M, {θm
})
Nm
l=1
(7.2.1)
Se debe notar que esta estimación es un estimador asintóticamente insesgado de E(P (F/M, {θ}))
l
cuando el número de muestras es grande, debido a que {θm
}, l = 1, · · · , Nm está asintóticamente
distribuido como p({θ}/M, D). Aún cuando esta estimación para la probabilidad de falla actualizada
es directa, en algunos casos es bastante compleja desde el punto de vista numérico. Para superar
esta dificultad, nuevamente se propone un enfoque basado en Subset Simulation.
7.2.1.
Muestras sin condicionar
Como se mencionó anteriormente la idea básica de Subset Simulation es expresar la probabilidad de falla P (F/M, D) como el producto de una serie probabilidades condicionales. Entonces, la
probabilidad actualizada es expresada como:
P (F/M, D) = P [F1 (M, D)]
mY
F −1
P [Fk+1 (M, D)/Fk (M, D)]
(7.2.2)
k=1
La probabilidad del primer evento de falla, asociada al dominio de falla F1 , puede ser fácilmente
estimada mediante simulación de Monte Carlo como:
P [F1 (M, D)] ≈
N
1 X
IF1 ({q l(0) }/M )
N
(7.2.3)
l=1
donde {q l(0) }T = h{z l(0) }T , {θl(0) }T i es el vector aumentado de parámetros del modelo com-
puesto por las variables asociadas a la excitación {z} y por la clase de modelo {θ}. El superı́ndice
“(0)” denota que las muestras corresponden al nivel condicional 0, es decir sin condicionar. Las
cantidades {z l(0) }, l = 1, · · · , N son muestras independientes e idénticamente distribuidas simula-
das de acuerdo a la función de densidad de probabilidad f (·). Por otra parte, las muestras {θl(0) },
l = 1, · · · , N se escogen desde el conjunto de muestras que se generó en la última etapa del método
TMCMC, con probabilidad:
w({θl })
w̄({θl }) = PNm
k
k=1 w({θ })
(7.2.4)
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Capı́tulo 7. Estimación de la Confiabilidad Actualizada
54
donde el peso plausible de la muestra {θk } está dado por w({θk }) = p(D/M, {θk }), k =
1, . . . , Nm . Este esquema de generación de muestras puede interpretarse como un algoritmo de
aceptación-rechazo donde la función de densidad aproximada π(·) se define como una distribución
discreta sobre las muestras generadas en la última etapa de TMCMC. De hecho, el valor de la
función de distribución para la muestra {θk } es precisamente el peso normalizado de la muestra,
esto es, π({θk }) = w({θk }).
7.2.2.
Muestras condicionales
Con el objetivo de estimar las probabilidades condicionales, es necesario generar un conjunto
de muestras condicionales. Siguiendo la idea de Subset Simulation, entre las muestras {q l(0) }, l =
1, · · · , N habrá un número de ellas que pertenecen al evento de falla F1 . Recordemos que los
eventos de falla sucesivos se eligen de forma adaptativa usando la información de las muestras
simuladas, de modo tal que dichos eventos correspondan a valores especı́ficos de probabilidades de
falla condicionales. A partir de cada una de estas muestras condicionadas a F1 es posible generar
(usando Markov Chain Monte Carlo) un número adicional de muestras también condicionadas a
F1 hasta completar un total de N muestras {q l(1) }, l = 1, · · · , N todas pertenecientes al nivel de
condicionalidad 1. Estas muestras {q l(1) }, l = 1, · · · , N son usadas para estimar la probabilidad
P [F2 /F1 ], es decir, la probabilidad del evento F2 dado que ocurrió F1 . Esta probabilidad condicional
se estima como:
P [F2 (M, D})/F1 (M, D)] ≈
N
1 X
IF2 ({q l(1) }/M )
N
(7.2.5)
l=1
En forma similar a lo anterior, entre las muestras {q l(1) }, l = 1, · · · , N existirán muestras
pertenecientes al evento de falla F2 . Estas muestras serán las semillas utilizadas para simular un
número adicional de muestras condicionales hasta completar un total de N muestras {q l(2) }, l =
1, · · · , N pertenecientes al nivel de condicionalidad 2. Y ası́, repitiendo este proceso, es posible
generar muestras de altos niveles de condicionalidad hasta alcanzar la probabilidad de falla objetivo.
7.2.3.
Muestras de cadenas de Markov
La idea es generar una secuencia de muestras {{q 1 }, {q 2 }, · · · } a partir de una muestra {q 1 }
dada, calculando {q k+1 } a partir de {q k } (k = 1, 2, · · · ). En el contexto de esta formulación, se
asume que el número de parámetros inciertos del modelo {θ} es pequeño en comparación con el
número de variables aleatorias {z} (que caracterizan la excitación estocástica). En otras palabras, la
alta dimensionalidad del problema de confiabilidad se debe a la representación de la excitación, que
precisamente es el caso más habitualmente encontrado en sistemas dinámicos estocásticos. Basado
en el supuesto anterior y en el hecho que el algoritmo Metropolis original no funciona en espacios
de probabilidad condicional de alta dimensionalidad [21, 22, 34], es que se utiliza el algoritmo de
Metropolis modificado [34] para generar los estados candidatos del vector {z}, mientras que el
algoritmo original se utiliza en la generación de los estados candidatos del vector {θ}. Por lo tanto,
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Capı́tulo 7. Estimación de la Confiabilidad Actualizada
55
para cada componente {zjk }, j = 1, · · · , NT del vector {z k } (las primeras NT componentes de
{q k }T = h{z k }T , {θk }T i) se simula un número aleatorio ξj a partir de una función de densidad
de probabilidad propuesta πz (·). En esta implementación se selecciona una función de densidad de
probabilidad uniforme centrada en zjk . Como bien es sabido la extensión de la función de densidad
de probabilidad propuesta afecta el tamaño de la región cubierta por las muestras en las cadenas de
Markov. La elección óptima de la extensión se basa en una compensación entre la tasa de aceptación
y la correlación. Se ha observado que un buen candidato para la extensión de la distribución se
consigue cuando la tasa de aceptación de los movimientos propuestos se encuentra entre 25 % y
50 % [35, 36]. Por supuesto, la elección óptima de la extensión depende en particular del tipo de
problema.
Luego, se calcula la razón rj = fj (ξj )/fj (zjk ). La variable auxiliar ẑjk se define como ẑjk = ξj con
probabilidad mı́n(1, rj ) y ẑjk = zjk con probabilidad 1 − mı́n(1, rj ).
Para los parámetros de la clase de modelo {θ} se simula un vector aleatorio {ς} según la función
de densidad de probabilidad propuesta πθ (·). Esta función es seleccionada como una distribución
gaussiana np -dimensional centrada en la muestra {θk } con matriz de covarianza Σθ dada por
Σθ = κ 2
Nm
X
l=1
w̄({θl })[({θl } − {θ̄})({θl } − {θ̄})T ]
(7.2.6)
con
{θ̄} =
Nm
X
l=1
w̄({θl }){θl }
(7.2.7)
donde κ2 es un parámetro escalador, y {θl }, l = 1, · · · , Nm es el conjunto de muestras generadas
en la última etapa del método TMCMC. Una vez que el vector aleatorio {ς} ha sido simulado, se
calcula la relación r = p(ς/M )p(D/M, {ς})/p(θk /M )p(D/M, {θk }). El vector auxiliar {θ̂k } se define
como {θ̂k } = {ς} con probabilidad mı́n(1, r) y {θ̂k } = {θk } con probabilidad 1 − mı́n(1, r).
Finalmente se verifica si {q̂ k }T = h{ẑ k }T , {θ̂k }T i pertenece o no a la región de falla corres-
pondiente al nivel condicional. Si {q̂ k } ∈ Fi , donde Fi es el evento de falla intermedio correspondiente, la muestra es aceptada como la muestra siguiente en la cadena de Markov, es decir,
{q k+1 } = {q̂ k }. Si no la muestra es rechazada y la muestra de partida se toma como la muestra
siguiente {q k+1 } = {q k }.
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Capı́tulo 8
GENERACIÓN DE
MOVIMIENTOS SÍSMICOS
Como se señaló en los capitulos 6 y 7, el estudio de la confiabilidad de un sistema estructural, ya
sea en su caracterización Nominal o Actualizada, requiere estudiar su comportamiento bajo excitaciones sı́smicas caracterizadas a través de procesos estocásticos. Razón por la cual, se debe adoptar
algún modelo de sismicidad que permita generar sintéticamente estas excitaciones. En esta tesis se
propone la utilización de un modelo de sismicidad perteneciente a los modelos Point-Source, el cual
que permite modelar la aceleración del suelo como un proceso estocástico no estacionario determinado por la magnitud de momento sı́smico M y por la distancia epicentral r, tal como se establece
en [37] y [38]. Cabe destacar que los modelos Point-Source han sido amplia y satisfactoriamente
aplicados en ingenierı́a sı́smica.
8.1.
Modelo de Sismicidad.
Como se mencionó anteriormente, el modelo probabilı́stico de amenaza sı́smica en un lugar
especificado queda determinado por la magnitud de momento M y la distancia epicentral r que son
considerados como parámetros inciertos, esto se representa en la figura 8.1.
8.1.1.
Magnitud de Momento M
En este caso particular, el parámetro incierto asociado a la magnitud de momento sı́smico M
es modelado mediante la relación de Gutenberg-Richter truncada al intervalo M ∈ [Mmı́n , Mmáx ],
56
Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
57
Figura 8.1. Parámetros inciertos del modelo Point-Source
lo que conduce a la función de densidad de probabilidad de la ecuación (8.1.1) .
p(M ) =
b · e−b·M
− e−Mmáx ·b
(8.1.1)
e−Mmı́n ·b
donde b = 0.8 ln(10) corresponde a un factor sı́smico regional, Mmı́n = 6.0 y Mmáx = 8.0. La
relación 8.1.1 se muestra en la figura 8.2.
Luego, la función de probabilidad acumulada viene dada por:
P (M < M ∗ ) =
Z
M∗
∗
P (M )dM =
Mmı́n
e−bMmı́n − e−bM
e−bMmı́n − e−bMmáx
(8.1.2)
c aleatoria, se genera una variable aleatoria uniforme
Para la generación de una muestra M
c es tal que satisface la Ec. (8.1.3)
u ∈ [0, 1], luego M
c
e−bMmı́n − e−bM
=u
−bM
mı́n − e−bMmáx
e
8.1.2.
(8.1.3)
Distancia Epicentral r
Para el parámetro incierto r (distancia epicentral) se utiliza una distribución log-normal con
valor medio r = 15 [km] y desviación estándar σr = 8 [km]. En base a esto se definen los siguientes
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
58
2
P(M)
1.5
1
0.5
0
6
6.5
7
M
7.5
8
Figura 8.2. Función de densidad de probabilidad P (M )
parámetros:
α=
σr
,
r
σ = ln(1 + α2 ),
ν = ln
(8.1.4)
r>0
(8.1.5)
r
√
1 + α2
Entonces, la función de densidad de probabilidad está dada por
1 ln(r) − ν
1
,
exp −
P (r) = √
2
σ
2πσr
Esta función se muestra en la figura 8.3.
8.2.
Excitaciones de Alta Frecuencia
Dada una magnitud M y una distancia epicentral r, es posible obtener la aceleración en el tiempo
generando una secuencia de ruido blanco, el cual es modulado mediante una función envolvente y
luego mediante un espectro de movimiento del suelo. El procedimiento para generar excitaciones
de alta frecuencia se explica a continuación:
1. Generar una secuencia de ruido blanco discreta
r
ω(tj ) =
2π
zj
∆t
(8.2.1)
Donde zj , j = 1, . . . , nT , son variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
59
0.07
0.06
P(r)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
10
20
30
40
50
60
r
Figura 8.3. Función de densidad de probabilidad P (r)
con distribución Gaussiana, ∆t es el intervalo de muestreo, y nT es el número de tiempos
iguales que hay en la duración T de la excitación.
2. La secuencia de ruido blanco ω(tj ), (j = 1, . . . , nT ), se modula mediante una función envolvente e(t, M, r).
3. Se aplica la transformada discreta de Fourier al ruido blanco modulado, llevándolo al dominio
de las frecuencias. De esta forma se obtiene una secuencia
F (j∆f ) = αj + iβj ,
j = 1, . . . , nT /2
(8.2.2)
donde ∆f = 1/T y fmax = nT /2T . Con lo que la amplitud de este espectro está dada por
|F (j∆f )| =
q
α2j + βj2
(8.2.3)
Luego, se calcula el promedio cuadrático (Mean-Square Average) de la amplitud del espectro
v
u
T /2
u 2 nX
2
(|F (j∆f )|)
M SA = t
nT j=1
(8.2.4)
Posteriormente, para cada frecuencia el nuevo espectro será
Fb(j∆f ) =
αj
βj
+i
M SA
M SA
(8.2.5)
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
60
4. El espectro normalizado de la ecuación 8.2.5 se multiplica por un espectro de movimiento del
suelo S(f, M, r) en cada frecuencia. Esto es,
Fb (j∆f ) · S(fj , M, r),
j = 1, . . . , nT /2
(8.2.6)
5. El resultado anterior se devuelve al dominio del tiempo aplicando la transformada de Fourier
inversa obteniendo ası́ la excitación basal en el tiempo.
8.2.1.
Función Envolvente.
La función envolvente e(t, M, r) [37, 39] viene dada por
e(t, M, r) = a
t
tn
b
t
exp −c
tn
(8.2.7)
Donde los parámetros a, b y c se definen de la siguiente manera:
a=
b=
exp(1)
λ
b
(8.2.8)
−λ · ln(η)
1 + λ · (ln(λ) − 1)
(8.2.9)
b
λ
(8.2.10)
c=
Con λ = 0.2, η = 0.05.
Además,
log(fa ) = 2.181 − 0.496 · M
tn = 0.1R +
(8.2.11)
1
fa
Y la distancia radial R desde el epicentro está dada por R =
(8.2.12)
√
h2 + r2 . Finalmente la pseudo-
profundidad h viene dada por:
log(h) = 0.15 · M − 0.05
(8.2.13)
La función envolvente es tal que máx e(t, M, r) = 1 cuando t = λ · tn y e(t, M, r) = η cuando
t = tn .
Un ejemplo de la función envolvente se muestra en la figura 8.4. Se aprecia que un aumento de
la magnitud de momento sı́smico produce un aumento en la duración de la envolvente.
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
61
1.2
1
e(t,M,r)
0.8
M=6.0
M=7.0
M=8.0
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
t [s]
Figura 8.4. Función envolvente para r = 15 km
8.2.2.
Espectro de Movimiento del Suelo.
El espectro de movimiento del suelo S(f, M, r) se expresa como un producto que considera la
contribución de la fuente E(f, M ), la trayectoria P (f, r), el sitio G(f ) y el tipo de movimiento I(f ),
es decir:
S(f, M, r) = E(f, M ) P (f, r) G(f ) I(f )
(8.2.14)
La componente correspondiente a la fuente está dada por:
E(f, M ) = C · M0 (M ) Sa (f, M )
(8.2.15)
Donde C corresponde a una constante, M0 (M ) es el momento sı́smico, y Sa es el espectro de
desplazamiento de la fuente, dados por:
M0 (M ) = 101.5·M+10.7
Sa (f, M ) =
1−ε
ε
2 +
2
1 + ffa
1 + ffb
(8.2.16)
(8.2.17)
Donde fa es igual que en la ecuación 8.2.11, mientras que fb y ε se definen como:
log(fb ) = 2.410 − 0.408 · M
(8.2.18)
log(ε) = 0.605 − 0.255 · M
(8.2.19)
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
62
La constante C se define como:
C=
U · Rφ · V · F
4π · ρs · βs3 · R0
(8.2.20)
Donde los parámetros involucrados en la Ec. 8.2.20 se resumen en la tabla 8.1
Tabla 8.1. Resumen de parámetros asociados a la ecuación 8.2.20
Parámetro
Definición
Rφ = 0.55
√
V = 1/ 2
Patrón de radiación promedio
F =2
Amplificación de onda en superficie libre
ρs = 2.8 gr/cm2
Densidad en la vecindad de la fuente
βs = 3.5 km/s
Velocidad de la onda de corte en la vecindad de la fuente
R0 = 1
Distancia de referencia
Partición de velocidad total de onda de corte en la componente horizontal
Por otra parte, la componente asociada a la trayectoria, P (f, r), se define como:
P (f, r) = Z(R(r)) · exp
−π · f · R(r)
Q(f ) · βs
(8.2.21)
Donde R(r), que corresponde a la distancia radial desde el hipocentro hasta el lugar en que se
simula el movimiento, está dada por
R(r) =
p
r 2 + h2
(8.2.22)
Q(f ) se relaciona con el amortiguamiento geométrico y se considera como
Q(f ) = 180 · f 0.45
(8.2.23)
Y la función de Z(R(r)) es:
Z(R(r)) =
1
,
R(r)
1,
70
si
R(r) < 70 [km]
(8.2.24)
si
R(r) ≥ 70 [km]
Finalmente, el efecto que tienen las condiciones propias del sitio sobre las ondas sı́smicas, es
decir G(f ), se expresa como el producto de una función de disminución D(f ) con una función de
amplificación A(f ).
Donde D(f ) está dado por:
D(f ) = exp(−k0 · π · f ) , k0 = 0.03
(8.2.25)
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
63
y la función de amplificación A(f ) está basada en curvas empı́ricas que pueden encontrarse
en [37].
Y, finalmente el término asociado al tipo de movimiento I(f ) se define como:
I(f ) = (2π · f )2
(8.2.26)
La figura 8.5 muestra el espectro de aceleración del suelo, se aprecia como un incremento en la
magnitud de momento M produce un aumento en el espectro.
3
10
M=6.0
M=7.0
M=8.0
2
10
1
10
S(f,M,r)
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
−4
10
−1
10
0
1
10
10
2
10
f [hz]
Figura 8.5. Espectro de Movimiento del Suelo S(f, M, r = 15 [km])
La figura 8.6 representa la aceleración y velocidad que experimenta el suelo para un movimiento
de M = 7.0 y r = 15 [km]. Mediante el mismo procedimiento es posible generar otras señales para
valores de M y de r que se requiera.
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
64
3
0.3
2
1
Velocidad [m/s]
Aceleración [m/s2]
0.2
0
−1
0.1
0
−0.1
−0.2
−2
−0.3
−3
0
5
10
15
0
5
t [s]
10
15
t [s]
Figura 8.6. Aceleración y Velocidad del suelo para M = 7.0 y r = 15 [km]
8.3.
Excitaciones de Baja Frecuencia
Otra alternativa empleada para generar una señal estocástica es mediante un pulso de velocidad.
El procedimiento se describe en detalle en [37]. Este método permite incorporar componentes de
baja frecuencia en la excitación. El procedimiento para obtener una señal de este tipo se describe
a continuación:
1. Generar una señal de aceleración (aHF (t)) para un M y r dados mediante el modelo pointsource.
2. Generar una señal de velocidad para una falla cercana según:
A
v(t) =
2
2πfp
· (t − t0 )
· cos (2πfp · (t − t0 ) + ν)
1 + cos
γ
(8.3.1)
3. Obtener una señal de aceleración (aLF (t)) diferenciando la velocidad del punto anterior.
4. Calcular la transformada de Fourier (F F T ) de las aceleraciones generadas en los paso 1 y 3.
5. Definir kFHF (f )k y kFLF (f )k, amplitudes de la transformada de Fourier de aHF (t) y aLF (t)
respectivamente. A partir de esto definir kF (f )k = kFHF k − kFLF k.
6. Construir una aceleración a∗ (t) tal que:
a) La amplitud de su transformada de Fourier sea igual a kF (f )k.
b) Su fase coincida con la fase de la transformada de Fourier de aHF (t).
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Capı́tulo 8. Generación de Movimientos Sı́smicos
65
7. Finalmente, superponer a∗ (t) con aLF (t), obteniendo de esta forma una aceleración con componentes de baja frecuencia.
a(t) = a∗ (t) + aLF (t)
(8.3.2)
3
0.3
2
1
Velocidad [m/s]
Aceleración [m/s2]
0.2
0
−1
0.1
0
−0.1
−0.2
−2
−0.3
−3
0
5
10
t [s]
15
0
5
10
t [s]
Figura 8.7. Aceleración y Velocidad del suelo para M = 7.0 y r = 15 [km]
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
15
Capı́tulo 9
APLICACIÓN 1
Actualización y evaluación de confiabilidad de sistema sı́smicamente aislado
Los aisladores sı́smicos han sido usados en muchas estructuras a nivel mundial con la finalidad de
proteger frente a un evento sı́smico severo las componentes estructurales y no estructurales, además
de mejorar las condiciones para los ocupantes. Entre sus ventajas se encuentra que requieren un
bajo costo inicial y de mantención en comparación a otros dispositivos de absorción de energı́a
(pasivos, semi-activos, activos).
El objetivo de esta aplicación es mostrar la actualización de un modelo de elementos finitos
que incorpora dispositivos no lineales como es el caso de una base sı́smicamente aislada. Mediante modificaciones en sus propiedades geométricas, se supondrá un deterioro de los aisladores, él
que posteriormente será determinado mediante el proceso de Actualización Bayesiana, para luego
mostrar cómo la nueva información del modelo puede ser utilizada para realizar un análisis de
confiabilidad actualizado.
9.1.
Modelo estructural
En este ejemplo se considerará el edificio tridimensional de hormigón armado de la figura 9.1.
Para el hormigón se asumió lo siguiente: Módulo de Young E = 2.5 × 1010 [N/m2 ], Módulo
de Poisson ν = 0.2. La masa total del primer y segundo piso es 7.0 × 105 [kg] y 6.0 × 105 [kg]
respectivamente. La masa de la plataforma base también es 6.0 × 105 [kg]. La altura de cada piso
es de 3.5 [m]. Las losas son de 0.25 [m] de espesor y se modelan como diafragmas. Se consideró un
66
Capı́tulo 9. Aplicación 1
67
Figura 9.1. Aplicación N◦ 1: Modelo estructural sı́smicamente aislado
amortiguamiento de 3 % en los modos de la superestructura.
En la base se disponen 20 aisladores elastoméricos compuestos de capas de goma y acero. La
modelación de los sistemas de aislación en sı́ se explica detalladamente en la sección 9.3
9.2.
Respuesta estructural
El sistema estructural es excitado por una aceleración en dirección x. El procceso de identificación se usa un sismo medido, mientras que en análisis de confiabilidad las excitaciones se modelan
como se explicó en el capı́tulo 8. La respuesta del sistema (base aislada más superestructura) se
obtiene resolviendo la ecuación de movimiento del modelo. La ecuación de movimiento de la superestructura se puede expresar de la siguiente manera:
[Ms ]{ẍs (t)} + [Cs ]{ẋs (t)} + [Ks ]{xs (t)} = −[Ms ][Gs ]({ẍb (t)} + {ẍg (t)})
(9.2.1)
donde {xs (t)} es el vector de desplazamientos relativos a la base, {ẍb (t)} es el vector de despla-
zamientos de la base relativos al suelo, {ẍg (t)} es el vector con la excitación sı́smica,[Ms ], [Cs ], [Ks ]
corresponden a la matriz de masa, amortiguamiento y rigidez de la superestructura respectivamente.
Finalmente, [Gs ] es la matriz de coeficientes de influencia para el sismo.
Por otra parte, la ecuación de movimiento de la base se escribe como:
([Gs ]T [Ms ][Gs ] + [Mb ])({ẍb (t)} + {ẍg (t)}) + [Gs ]T [Ms ]{ẍs (t)}
+[Cb ]{ẋb (t)} + [Kb ]{xb (t)} + {fis (t)} = {0}
(9.2.2)
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
68
donde [Mb ] es la matriz de masa de la base, [Cb ] es la matriz de amortiguamiento correspondiente
a la componente viscosa del sistema de aislación, [Kb ] es la matriz de rigidez del sistema de aislación,
especı́ficamente la componente elástica, finalmente, {fis (t)} es el vector que contiene la componente
no lineal de las fuerzas del sistema de aislación.
Si se combinan ambas ecuaciones se obtiene la ecuación de movimiento del sistema estructural
completo:
[Ms ][Gs ]
[Ms ]
{ẍs (t)} [Cs ] [0] {ẋs (t)}
+
{ẍb (t)}
{ẋb (t)}
[Gs ]T [Ms ] [Mb ] + [Gs ]T [Ms ][Gs ]
[0] [Cb ]
{0}
[Ms ][Gs ]
[Ks ] [0] {us (t)}
+
=
{ü
(t)}
−
g
{ub (t)}
{fis (t)}
[0] [Kb ]
[Mb ] + [Gs ]T [Ms ][Gs ]
(9.2.3)
En estas ecuaciones se asume que la superestructura permanece elástica y que la base es rı́gida
en su plano. La solución del sistema de ecuaciones combinado se obtiene de manera iterativa en
cada instante debido a la no linealidad de los dispositivos de aislación.
9.3.
Modelamiento del Sistema de Aislación
Un aislador elastomérico está compuesto por capas de goma y acero, además en algunos casos se
incluye un núcleo central de plomo para aumentar el amortiguamiento. Estos dispositivos soportan
a la estructura verticalmente, proveen flexibilidad horizontal, y a la vez ejercen una fuerza restauradora y suministran un amortiguamiento histerético. La figura 9.2 muestra una representación
esquemática de un aislador elastomérico, donde tr es el espesor de una capa de goma, De es el
diámetro externo del aislador y Di el diámetro central.
Figura 9.2. Aplicación N◦ 1: Representación de un aislador elastomérico tı́pico
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
9.3.1.
69
Modelo Matemático
El comportamiento de los aisladores es caracterizado mediante un modelo analı́tico que es capaz
de reproducir una serie de experimentos a escala real realizados para este tipo de dispositivos
[40, 41]. En base a los resultados de dichos experimentos, se asume en el modelo que la fuerza
restauradora que ejerce uno de estos aisladores está compuesta por una fuerza dirigida hacia el
origen y otra fuerza en una dirección aproximadamente opuesta a la dirección del movimiento, tal
como se esquematiza en la figura 9.3. La dirección del movimiento {q(t)} se define en términos del
vector de desplazamiento {p(t)} (trayectoria del aislador) mediante la ecuación 9.3.1, la que, como
se puede apreciar, corresponde a una ecuación diferencial no lineal de primer orden.
Posición parte superior del aislador
−fs (t){q(t)}
−fe (t){pu (t)}
{f (t)}
Trayectoria del
desplazamiento
Origen
y
(Posición de la base del aislador)
x
Figura 9.3. Aplicación N◦ 1: Modelo matemático de las fuerzas en un aislador
{q̇(t)} =
1
||{ṗ(t)}|| {ṗu (t)} − ||{q(t)}||n {qu (t)} ;
α
{p(0)} = {0}{q(0)} = {0}
(9.3.1)
donde {ṗ(t)} es el vector de velocidad, {ṗu (t)} y {qu (t)} son vectores unitarios que indican la
dirección de {ṗ(t)} y {q(t)} respectivamente, y || · || es la norma Euclidiana.
Los parámetros α y n son constantes positivas que se relacionan con el desplazamiento y la
suavidad en la fluencia respectivamente.
Una vez que el vector {q(t)} es conocido, la fuerza restauradora {f (t)} se expresa en términos
del vector unitario de desplazamiento {p(t)} y del vector {q(t)} como
{f (t)} = −fe (t){pu (t)} − fs (t){q(t)}
(9.3.2)
donde fe (t) es la componente no lineal elástica y fs (t) corresponde a una componente elastoplástica/plástica.
Para dichas fuerzas se definen los siguientes esfuerzos de corte:
τe =
fe
Ar
(9.3.3)
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
70
τs =
fs
Ar
(9.3.4)
Donde Ar corresponde al área de elastómero.
Además, en base a resultados experimentales [40], se puede establecer que τr y τs se relacionan
cuadrática o cúbicamente con la deformación de corte promedio, la que se define como:
γ(t) =
k{p(t)}k
Hr
(9.3.5)
Donde Hr = tr · nr es la altura total de elastómero en un aislador, siendo nr el número de capas
de elastómero.
9.3.2.
Calibración
Como se señaló anteriormente, las esfuerzos τe y τs se relacionan cuadrática o cúbicamente con
la deformación de corte promedio. El objetivo de la calibración del modelo de un aislador es definir
estas relaciones, además de los valores de los parámetros α y n.
La figura 9.4 muestra un patrón de desplazamientos bidireccionales al que se sometieron estos
dispositivos en un experimento a escala real.
60
Dirección X
Dirección Y
Desplazamiento [cm]
40
20
0
−20
−40
−60
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
t [s]
Figura 9.4. Aplicación N◦ 1: Patrón de desplazamiento - Experimento a escala real
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
71
Aislador Elastomérico de Alto Amortiguamiento (HDR).
Tabla 9.1. Aplicación N◦ 1: Parámetros Especimen HDR
Parámetro
Valor
Unidad
Altura total de elastómero
Hr
0.141
m
Diámetro externo
De
0.700
m
Diámetro central
Di
0.015
m
Mediante la calibración se obtienen las siguientes relaciones (τr y τs en [M pa]):
τr =
0.22 · γ,
si γ ≤ 1.8
0.22 · γ + 0.20 · (γ − 1.8)2 , si γ > 1.8
(9.3.6)
τs = 0.25 + 0.02 · γ + 0.016 · γ 3
(9.3.7)
Al someter a este espécimen a los desplazamientos bidireccionales antes mostrados se obtienen
las curvas de histéresis mostradas en las figuras 9.5 y 9.6 respectivamente.
Fuerza Restauradora en X [kN]
1200
0
−1200
−60
0
Desplazamiento en X [cm]
60
Figura 9.5. Aplicación N◦ 1: Fuerza Restauradora en dirección X
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
72
Fuerza Restauradora en Y [kN]
1200
0
−1200
−60
0
Desplazamiento en Y [cm]
60
Figura 9.6. Aplicación N◦ 1: Fuerza Restauradora en dirección Y
Si el mismo espécimen se somete a un desplazamiento unidireccional igual al que antes se
caracterizó como dirección X, se obtiene la curva mostrada en la figura 9.7
Fuerza Restauradora [kN]
1200
0
Aislador HDR
Hr= 0.141 [m]
De= 0.700 [m]
Di= 0.015 [m]
Amortiguamiento=15.6 %
−1200
−60
0
Desplazamiento en [cm]
60
Figura 9.7. Aplicación N◦ 1: HDR - Carga unidireccional
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
73
Aislador Elastomérico de Bajo Amortiguamiento (LDR).
A modo de comparación se presentan la curva de histéresis de un aislador de bajo amortiguamiento con propiedades geométricas similares (pero no idénticas) al mostrado anteriormente.
Tabla 9.2. Aplicación N◦ 1: Parámetros Especimen LDR
Parámetro
Valor
Unidad
Altura total de elastómero
Hr
0.162
m
Diámetro externo
De
0.700
m
Diámetro central
Di
0.100
m
Para este aislador, las ecuaciones de τr y τs son las siguientes:
τr =
0.35 · γ,
si γ ≤ 1.8
0.35 · γ + 0.20 · (γ − 1.8)2 , si γ > 1.8
(9.3.8)
τs = 0.125 + 0.015 · γ + 0.012 · γ 3
(9.3.9)
La curva de histéresis que se obtiene al someter este espécimen al patrón de desplazamientos
unidireccional (dirección X) se muestra en la figura 9.8.
Fuerza Restauradora [kN]
1200
0
Aislador LDR
Hr= 0.162 [m]
De= 0.700 [m]
Di= 0.100 [m]
Amortiguamiento=8.0 %
−1200
−60
0
Desplazamiento en [cm]
60
Figura 9.8. Aplicación N◦ 1: LDR - Carga unidireccional
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
74
Aislador Elastomérico de Bajo Amortiguamiento (LDR) con Núcleo Central de Plomo.
El objetivo de la inclusión de un núcleo central de plomo en un aislador es aumentar el amortiguamiento y la rigidez horizontal. Este efecto se puede incorporar fácilmente en el modelo antes
presentado.
En la figura 9.3 se identificaron las fuerzas fe (t) y fs (t) respectivamente. Fı́sicamente, la fuerza
fe (t), se entiende como una fuerza elástica, mientras que fs (t) se entiende como una componente
elastoplástica/plástica que absorve energı́a debido al elastómero. Entonces, conceptualmente, si
queremos incorporar el efecto del núcleo central de plomo, es decir, aumentar el amortiguamiento
se debe modificar la expresión de τs . Para ello escribimos lo siguiente:
fs∗ = f plomo + fs
(9.3.10)
Reemplazando la ecuación 9.3.10 en la ecuación 9.3.4 se obtiene:
τs∗ = τsplomo + τs
(9.3.11)
Donde, τs se puede calcular fácilmente como:
τsplomo =
Ap
· τplomo
Ar
(9.3.12)
Para τplomo es usual adoptar un valor de 8.5 [M P a].
La tabla 9.3 muestra el valor de τsplomo que se debe agregar al espécimen de bajo amortiguamiento
para incorporar el efecto de un núcleo central de plomo de 10 [cm] de diámetro.
Tabla 9.3. Aplicación N◦ 1: Efecto del núcleo central de plomo en esfuerzo de corte
Dplomo
De
Ap
Ar
τsplomo
[m]
[m]
[m2 ]
[m2 ]
[M P a]
0.100
0.700
0.00785
0.3770
0.1771
De esta forma, la ecuación 9.3.9 queda de la siguiente forma:
τs = (0.125 + τsplomo ) + 0.015 · γ + 0.012 · γ 3
(9.3.13)
La curva de histéresis que se obtiene al someter este espécimen al patrón de desplazamientos
unidireccional (dirección X) se muestra en la figura 9.9.
Finalmente, se incluye la figura 9.10 para mostrar el efecto de la inclusión de un núcleo central
de plomo comparando ambas curvas de histéresis.
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
75
Fuerza Restauradora [kN]
1200
0
Aislador LDR + Plomo
Hr= 0.162 [m]
De= 0.700 [m]
Di= 0.100 [m]
Amortiguamiento=18.7 %
−1200
−60
0
Desplazamiento en [cm]
60
Figura 9.9. Aplicación N◦ 1: LDR + Plomo - Carga unidireccional
Fuerza Restauradora [kN]
1200
0
LDR
LDR + Plomo
−1200
−60
0
Desplazamiento en [cm]
60
Figura 9.10. Aplicación N◦ 1: Efecto del núcleo central de plomo - Carga unidireccional
9.4.
Identificación de los parámetros del aislador
En este ejemplo no se utilizó la técnica de Sı́ntesis Modal debido a que la superestructura es
relativamente pequeña y el interés está centrado en la base aislada. Por lo que, para mayor simplicidad, se trabajó con un problema plano correspondiente a un eje de la estructura, simplificación
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
76
que no afecta a la generalidad de los resultados.
Obviamente, se asume que el sistema estructural está construido y que se cuenta con mediciones
de acelerógrafos para un sismo dado. La actualización del modelo se basa en mediciones de la
aceleración del suelo (registro sı́smico) y de la base o plataforma aislada, tal como se representa
en la figura 9.11. El registro sı́smico utilizado en este caso corresponde a la componente N-S del
terremoto de 2010 medido en Concepción, escalado a un 50 %. Especı́ficamente se utilizaron sólo
los primeros 45 [s] de este registro, con un ∆t = 0.02, lo que corresponde a Nt = 2251 (número de
datos). La supuesta aceleración medida de la plataforma aislada se genera calculando la aceleración
absoluta de la base y luego agregando un ruido Gaussiano escalado al 10 % del valor rms de dicha
aceleración.
Acelerógrafo
Aceleración del suelo
Figura 9.11. Aplicación N◦ 1: Modelo simplificado
En este ejemplo se utilizaron aisladores elastoméricos de bajo amortiguamiento (LDR) sin núcleo
central de plomo. Las propiedades nominales H r , De y Di se resumen en la tabla 9.4.
Tabla 9.4. Aplicación N◦ 1: Parámetros Nominales Aislador
Parámetro
Valor
Unidad
Altura total de elastómero
Hr
0.17
m
Diámetro externo
De
0.85
m
Diámetro central
Di
0.10
m
Sin embargo, en el sistema de aislación utilizado para la generación de mediciones se usó:
Hr = 0.20 [m] De = 0.75 [m] y Di = 0.10 [m]. Este sistema de aislación sı́smica es más flexible que
el Sistema Nominal cuyas propiedades se especificaron en la tabla 9.4, ya que con estos cambios en
las propiedades del sistema de aislación se busca representar el efecto de grandes deformaciones y
esfuerzos de corte desarrollados en estos dispositivos durante un sismo severo.
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
77
Para el proceso de identificación se asumieron dos parámetros inciertos independientes θ1 y θ2
relacionados con De y Hr respectivamente. Es decir, se realizó la siguiente parametrización:
D e = θ1 D e
(9.4.1)
Hr = θ 2 H r
Como distribución inicial se consideraron distribuciones uniformes independientes en el rango
[0.7, 1.5]. Es decir, De variará entre [0.60 , 1.28] [m] mientras que Hr lo hace entre [0.12 , 0.26] [m].
Además, el número de muestras en cada paso de TMCMC es 1000, esto es Nj = 1000, j = 1, . . . , m.
En la figura 9.12 se presenta la distribución inicial asumida para los parámetros inciertos θ1 y
θ2 , mientras que en la figura 9.13 se muestra la distribución final que se obtiene luego del proceso
de identificación. Además se incluye el par θ1 y θ2 asociado al sistema nominal.
1.5
1.4
1.3
θ2
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.7
0.8
0.9
1
1.1
θ1
1.2
1.3
1.4
1.5
Figura 9.12. Aplicación N◦ 1: Distribución inicial parámetros θ1 y θ2
Como se puede observar en esta última figura, el rango en que varı́an los parámetros se reduce,
lo que significa que la amplia incertidumbre de la distribución inicial para los parámetros (De , Hr )
disminuye. En la distribución posterior, las muestras asociadas al diámetro exterior se encuentran
distribuidas en torno al valor correspondiente al sistema actual de 0.75 [m] (θ1 = 0.88) tal como se
muestra en el histograma de la figura 9.14. Por otro lado, en la figura 9.13 se observa que, si bien
las muestras se distribuyen en torno al valor esperado para el sistema actual 0.20 [m] (θ2 = 1.17),
la altura de los dispositivos es identificable sólo parcialmente a partir de los datos provistos. Este
resultado es razonable dado que existen una serie de resultados numéricos que validan el hecho de
que la respuesta de la base aislada es relativamente insensible a la altura de los aisladores en el
rango considerado (12cm ≤ Hr ≤ 26cm) [42].
Los resultados de la figura 9.13 también sugieren cierta correlación lineal entre los parámetros θ1
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
78
1.5
1.4
1.3
θ2
1.2
1.1
1
Sistema Nominal
0.9
0.8
0.7
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
θ1
1.3
1.4
1.5
Figura 9.13. Aplicación N◦ 1: Distribución final parámetros θ1 y θ2
y θ2 . Esta correlación es consistente pues el sistema estructural se hace más rı́gido con un aumento
del diámetro exterior de los aisladores. Y, contrariamente, se hace más flexible con un aumento en
la altura de los aisladores. Entonces, un aumento en el diámetro exterior de la goma es compensado
por un aumento en la altura de la misma, de esta forma todos los puntos que siguen la tendencia
corresponden a modelos de aislación sı́smica cuya respuesta en la base es similar.
250
Diámetro Modelo
Nominal
200
150
100
50
0
60
70
80
90
100
110
120
De [cm]
Figura 9.14. Aplicación N◦ 1: Histograma de las muestras asociadas al diámetro externo
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
9.5.
79
Confiabilidad y desempeño del sistema de aislación sı́smica
El desempeño del sistema sı́smicamente aislado se evalúa en términos de la probabilidad de que
la base exceda un cierto desplazamiento lı́mite. Este desplazamiento de la base relativo al suelo
(o drift de la base) junto a otras respuestas tales como el drift de entrepisos o las aceleraciones
absolutas de la superestructura suelen ser las cantidades que interesa controlar durante el diseño
de un sistema aislado.
El dominio de falla relacionado al drift de la base se define como:
xbx (t, {z}, {θ})
> 1}
t∈[0,T ]
x∗bx
F (M ) = {q T = h{z}T , {θ}T i|d(q/M ) = máx
(9.5.1)
donde {q} representa el vector aumentado con los parámetros del sistema, xbx (t, {z}, {θ}) repre-
senta el desplazamiento de la base en dirección x y x∗bx es el valor lı́mite para dicho desplazamiento
que en este ejemplo se consideró de 30 [cm].
En base a este evento de falla se puede establecer la confiabilidad del sistema de aislación tanto
para el sistema nominal como para el sistema actualizado, entendiendo por sistema actualizado
aquel que queda descrito por la distribución de θ1 y θ2 mostrada en la figura 9.13.
La probabilidad de falla en el los sistemas nominal y actualizado en términos de la magnitud
de momento sı́smico M se muestra en la figura 9.15. Se considera un rango entre 7.0 y 8.0 para
dicha magnitud mientras que la distancia epicentral se fijó en 15 [km]. Como se puede ver en esta
figura, la probabilidad de falla aumenta, en ambos sistemas, a medida que la magnitud de momento
también aumenta. Por otra parte, en la figura 9.16 se establece la probabilidad de falla de ambos
sistemas en términos de la distancia epicentral r, la cual se hace variar entre 5.0 y 30 [km]. En este
caso la magnitud de momento sı́smico se fijó en 7.4. Como era de esperarse la probabilidad de falla
disminuye a medida que la distancia epicentral aumenta.
Además, a partir de estas figuras se observa que la probabilidad de falla es mayor en el sistema
actualizado que en el sistema nominal, alcanzándose diferencias significativas (más de un orden de
magnitud) en algunos casos. Estas diferencias se deben a que el sistema actualizado mediante el
enfoque Bayesiano incorpora incertezas y además el sistema de aislación en este caso es más flexible.
Estos resultados muestran la importancia y la factibilidad de usar datos dinámicos para obtener
una mejor caracterización del desempeño de un sistema estructural dado, incluso si este incorpora
dispositivos con comportamiento no lineal.
Lo cual resulta muy alentador, considerando que en términos prácticos, es más común encontrar
sistemas para el monitoreo de la respuesta sı́smica en aquellos sistemas estructurales que incluyen
dispositivos de disipación de energı́a o bien aislación sı́smica.
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Capı́tulo 9. Aplicación 1
80
0
10
−1
Probabilidad de Falla
10
−2
10
−3
10
−4
10
Sistema Nominal
Sistema Actualizado
−5
10
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
M
Figura 9.15. Aplicación N◦ 1: Probabilidad de falla en términos de la magnitud de momento sı́smico
M
0
Probabilidad de Falla
10
−2
10
−4
10
−6
10
−8
10
5
Sistema Nominal
Sistema Actualizado
10
15
20
25
30
r
Figura 9.16. Aplicación N◦ 1: Probabilidad de falla en términos de la distancia epicentral r
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Capı́tulo 10
APLICACIÓN 2
Actualización y evaluación de daño en modelo tridimensional
10.1.
Modelo estructural
En este ejemplo se considerará el edificio tridimensional de hormigón armado de la figura 10.1.
Como se puede ver en la figura, corresponde a un edificio de 10 pisos, estructurado en base a
columnas, vigas y losas. Para el hormigón se asumió una densidad de 2.5 [T /m3 ], Módulo de Young
E = 2.34 × 1010 [N/m2 ] y Módulo de Poisson ν = 0.3.
En cuanto a la estructuración, las columnas son de sección 80 × 90 [cm2 ] (dirección x e y
respectivamente), las vigas son de sección 30 × 60 [cm2 ] entre los pisos 1 a 5, mientras que de los
pisos 6 a 10 son de sección 25 × 50 [cm2 ]. Las losas son de 30 [cm] de espesor. Además, la altura de
cada piso es de 3.5 [m]. Por último, el amortiguamiento se consideró como un 2 % modal.
Con esta estructuración, los 3 perı́odos fundamentales resultan: 1.09 [s], 1.08 [s] y 1.04 [s].
Dichos perı́odos corresponden a modos traslacionales en dirección “y”, dirección “x” y torsional
respectivamente.
Este edificio se modeló con más de 15000 grados de libertad, de esta manera se obtiene un modelo
suficientemente detallado y realista. Sin embargo, al igual que en la aplicación del capı́tulo 5, en
los análisis dinámicos se utiliza el método de Sı́ntesis Modal. Para ello, la estructura se dividió en
las 6 componentes que se muestran en la figura 10.2 y se definen a continuación:
81
Capı́tulo 10. Aplicación 2
82
z
y
x
Figura 10.1. Aplicación N◦ 2: Modelo estructural
Componente 1:
columnas del primer piso.
Componente 2:
vigas y losas del primer piso.
Componente 3:
columnas del segundo piso.
Componente 4:
vigas y losas del segundo piso.
Componente 5:
columnas del tercer piso.
Componente 6:
resto de la estructura.
Con esta definición de componentes se generan 2 bordes iguales, correspondientes a los nodos
en que se unen las vigas y columnas en los pisos 1 y 2 respectivamente, y un tercer borde correspondiente a la unión de las columnas del tercer piso con el resto de la estructura (Componente 5 y
6 respectivamente). Cada uno de estos bordes contiene un total de 288 grados de libertad.
Como ya hemos visto en el capı́tulo 3, al utilizar el método de Sı́ntesis Modal se debe definir
el número de modos interiores, por componente, que se considerarán en el análisis. Para esto, se
definieron distintas combinaciones y se analizaron los errores de aproximación de los 12 primeros
perı́odos naturales de la estructura. Los casos considerados se resumen en la tabla 10.1 mientras
que en la tabla 10.2 se muestran los errores en las aproximaciones de los perı́odos de la estructura.
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
83
Componente 1
Componente 2
Componente 3
Componente 4
Componente 5
Componente 6
Figura 10.2. Aplicación N◦ 2: Definición de las Componentes
Cabe destacar que el criterio utilizado para definir cuántos grados de libertad interiores considerar en cada uno de estos casos se basó en lo siguiente:
p
λj ≤ ρ · ωc
(s)
(10.1.1)
j = 1, . . . , ni
Donde ωc = 54.93 rad/s corresponde a la duodécima frecuencia natural del modelo de elementos
finitos. Por otra parte, los valores de ρ dependen de que componente se esté considerando. En las
componentes 1, 3 y 5 se utilzó ρ = 18 al definir los casos 1 y 2, mientras que para el caso 3 se
usó ρ = 19. En las componentes 2 y 4 se usó ρ = 4 en la definición de los casos 1 y 2, mientras que
el caso 4 es con un valor de ρ = 5. Finalmente, en la componente 6 se usaron ρ = 1, 3, 4 en los casos
1, 2 y 3 respectivamente.
Es importante señalar que dada la naturaleza de las componentes 1, 3 y 5 existen paquetes
de frecuencias (modos interiores tienen frecuencias repetidas) por esta razón el número de modos
interiores siempre resulta múltiplo de 48 (igual al número de columnas de la estructura).
Tabla 10.1. Aplicación N◦ 2: Número de Modos considerados en cada Caso
Fixed Interface Normal Modes
Caso
Comp. 1
Comp. 2
Comp. 3
Comp. 4
Comp. 5
Comp. 6
Borde
Total
1
48
33
48
33
48
8
864
1082
2
48
33
48
33
48
155
864
1229
3
96
40
96
40
96
340
864
1572
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
84
Tabla 10.2. Aplicación N◦ 2: Comparación para perı́odos de la estructura
MEF
Caso 1
Caso 2
Caso 3
#
T [s]
T [s]
Error %
T [s]
Error %
T [s]
Error %
1
1.0867
1.0867
1.828 × 10−3
1.0867
1.634 × 10−4
1.0867
3.174 × 10−5
2
1.0793
1.0793
3
1.0358
1.0357
4
0.3675
0.3671
5
0.3629
0.3625
6
0.3476
0.3457
7
0.1946
0.1939
8
0.1882
0.1876
9
0.1802
0.1759
10
0.1262
0.1262
11
0.1197
0.1197
12
0.1144
0.0819
2.229 × 10−3
9.932 × 10−3
1.079 × 10−1
9.854 × 10−2
5.387 × 10−1
3.435 × 10−1
3.403 × 10−1
2.378 × 100
3.440 × 10−2
5.284 × 10−2
2.838 × 101
1.0793
1.0358
0.3675
0.3628
0.3475
0.1946
0.1882
0.1801
0.1262
0.1197
0.1143
5.944 × 10−5
1.638 × 10−4
3.175 × 10−3
9.085 × 10−3
8.992 × 10−3
1.487 × 10−2
3.737 × 10−2
3.750 × 10−2
2.295 × 10−2
3.206 × 10−2
3.421 × 10−2
1.0793
1.0358
0.3675
0.3629
0.3476
0.1946
0.1882
0.1801
0.1262
0.1197
0.1143
3.436 × 10−5
5.345 × 10−5
1.974 × 10−3
2.005 × 10−3
3.105 × 10−3
1.102 × 10−2
1.204 × 10−2
1.584 × 10−2
2.224 × 10−2
2.564 × 10−2
2.584 × 10−2
Observando la tabla 10.2 se puede apreciar que el caso 1 presenta problemas para aproximar
el noveno y duodécimo perı́odo, mientras que para los casos 2 y 3 todos los errores son menores
que un 0.1 % sin producirse diferencias importantes. Luego, bajo este este criterio para los análisis
asociados a Identificación Bayesiana resultarı́a indiferente considerar el caso 2 o 3. Sin embargo, se
considerará el caso 2, ya que no se espera una pérdida de calidad en los análisis y además implica
un menor costo computacional.
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
10.2.
85
Incorporación del Amortiguamiento en Sı́ntesis Modal
Como se señaló anteriormente, en este ejemplo se consideró que la estructura cuenta con un
amortiguamiento modal del 2 %, sin embargo, en la teorı́a presentada en la sección 3 no se hizo
referencia a ninguna metodologı́a para incorporar el amortiguamiento en el análisis al usar de
Sı́ntesis Modal. A continuación se explica brevemente una estrategia para poder incorporar el
amortiguamiento sin dejar de lado el objetivo principal que es reducir significativamente los costos
computacionales.
Supongamos un sistema estructural cuya ecuación de movimiento está dada por:
[M ]{ẍ(t)} + [C]{ẋ(t)} + [K]{x(t)} = {F (t)}
(10.2.1)
Es sabido que esta ecuación puede ser reescrita en coordenadas modales desacopladas de la
siguiente forma:
[Φ]T [M ][Φ]{r̈(t)} + [Φ]T [C][Φ]{ṙ(t)} + [Φ]T [K][Φ]{r(t)} = [Φ]T {F (t)}
(10.2.2)
Y, si la matriz de modos [Φ] se encuentra normalizada respecto a la matriz de masa [M ], esta
ecuación se convierte en una serie de ecuaciones desacopladas dadas por:
r̈i (t) + 2di ωi ṙi (t) + ωi2 ri (t) = {φi }T {F(t)},
i = 1, . . . , N
(10.2.3)
Entonces, la idea es usar Sı́ntesis Modal para obtener estas ecuaciones a través de aproximaciones
para ωi y también para los modos de vibrar {φi }. En el capı́tulo 3, especı́ficamente en la ecuación
3.2.19, se cuenta con las matrices [M̂ (CB) ] y [K̂ (CB) ], si se resuelve el problema de valores y vectores
propios para estas matrices, se tiene:
([M̂ (CB) ] − ω̂i2 [K̂ (CB) ]){q̂r } = {0}
(10.2.4)
Donde ω̂i representa la aproximación de ωi buscada. Y los modos de vibrar pueden ser aproximados mediante las matrices de transformación introducidas en el capı́tulo 3 y los vectores propios
{q̂r } obtenidos al resolver 10.2.4, esto es:
{φi } ≈ {φ̂i } = [Ŝ][Ψ][S]{q̂r }
(10.2.5)
Finalmente, si se normalizan los modos aproximados {φ̂i } respecto a la matriz de masa del
sistema total [MMEF ] (modelo sin reducir), se pueden plantear ecuaciones en coordenadas modales
aproximadas, introduciendo el amortiguamiento en forma modal.
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 10. Aplicación 2
10.3.
86
Mediciones
Por tratarse de una estructura creada para efectos ilustrativos, no se cuenta con mediciones
reales, por lo que éstas deben ser generadas artificialmente. Para ello se repite el procedimiento
explicado en la sección 5.2.2, especı́ficamente en la figura 5.11. Es decir, se somete al modelo de
elementos finitos completo (más de 15000 grados de libertad) a un sismo conocido (figura 10.3) y se
obtienen las aceleraciones en ciertos nodos de interés, luego estas mediciones se contaminan con un
ruido Gaussiano escalado por su respectivo valor rms a un 5 %. En este ejemplo se supuso que se
contaba con acelerógrafos capaces de medir en dirección “x” en los cuatro primeros pisos, ubicados
en el sector que se muestra en la figura 10.4.
Es importante recordar que en la práctica, el sismo empleado en la generación de mediciones,
corresponderı́a a un sismo real registrado en el suelo base del edificio o bien en un suelo relativamente
cercano.
Aceleración [g]
0.2
0
−0.2
0
50
100
150
t [s]
Figura 10.3. Aplicación N◦ 2: Registro sı́smico usado en la identificación
y
Acelerógrafo
x
Figura 10.4. Aplicación N◦ 2: Vista en planta - Ubicación de Acelerógrafo
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 10. Aplicación 2
87
En la figura 10.5 se muestran las mediciones generadas para este ejemplo. Como se puede
apreciar en esta figura, dichas mediciones tienen una duración cercana a los 150 [s], sin embargo,
para efectos de identificación se usaron sólo 100 [s], con ∆t = 0.05, lo que corresponde a Nt = 2001
(número de datos).
Acelerograma [g]
Primer Piso
0.5
0
−0.5
0
50
100
150
100
150
100
150
100
150
Acelerograma [g]
t [s]
Segundo Piso
0.5
0
−0.5
0
50
Acelerograma [g]
t [s]
Tercer Piso
0.5
0
−0.5
0
50
Acelerograma [g]
t [s]
Cuarto Piso
0.5
0
−0.5
0
50
t [s]
Figura 10.5. Aplicación N◦ 2: Mediciones Simuladas
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 10. Aplicación 2
10.4.
88
Clases de modelos y Parámetros inciertos
En este ejemplo se considera que la estructura está dañada en las columnas del primer piso,
y que dicho daño se representa como una disminución de un 20 % del módulo de Elasticidad. Sin
embargo, en la realidad, el nivel de daños y las componentes estructurales en las que se concentra
no son conocidas a priori. Por esta razón es necesario trabajar con más de una clase de modelo
y luego en base a los resultados de la identificación, especı́ficamente la evidencia, discriminar que
clase de modelo se ajusta mejor acorde a los datos medidos con los que se cuenta.
Las clases consideradas y los respectivos parámetros inciertos asociados son los siguientes:
Clase 1: Un parámetro incierto θ1 , asociado al módulo de elasticidad de la componente 1
(columnas del primer piso).
Clase 2: Dos parámetros inciertos θ2 y θ3 , asociados a los módulos de elasticidad de las
componentes 1 y 3 respectivamente (columnas del primer y segundo piso).
Clase 3: Tres parámetros inciertos θ4 , θ5 y θ6 , asociados a los módulos de elasticidad de las
componentes 1, 3 y 5 (columnas del primer, segundo y tercer piso).
10.5.
Resultados de la Actualización Bayesiana del Modelo
En el proceso de identificación, para cada una de las 3 clases consideradas, se utilizó una distribución inicial Uniforme entre [0.5, 1.5], es decir, se considera un módulo de elasticidad entre un
50 % y un 150 % del valor nominal. Esta distribución inicial ya se supuso en la aplicación presentada
en la sección 5, pero para mayor claridad se vuelve a representar en la figura 10.6.
70
60
50
40
30
20
10
0
0.5
1
θp
1.5
Figura 10.6. Aplicación N◦ 2: Distribución Inicial
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
89
Como ya sabemos, en este ejemplo se concentró el daño en las columnas del primer piso, por lo
que es esperable que el modelo que mejor se adapta a los datos medidos sea el modelo M1 . Además,
por la naturaleza de los modelos M2 y M3 es esperable que estos también sean capaces de identificar
los daños en la estructura, pero en forma menos eficiente que el modelo M1 , ya que al modificar las
propiedades de otros pisos el algoritmo de Identificación debe ser capaz de discriminar entre más
comportamientos posibles.
Lo anterior se ratifica al observar la tabla 10.3. En dicha tabla se incluyen los valores promedios
obtenidos mediante el proceso de identificación y las respectivas evidencias para cada clase de
modelo. Aquı́ se puede apreciar que el modelo M1 efectivamente es, entre todos, el que mejor se
ajusta pues su mayor evidencia ası́ lo indica. Por otra parte observando el valor promedio y la
distribución final o posterior alcanzada (figura 10.7) se observa que la actualización en este caso es
bastante precisa.
En segundo lugar tenemos el modelo M2 , cuyos valores promedios se ajustan relativamente bien
a la realidad del problema. Los histogramas finales de los parámetros θ2 y θ3 asociados a este modelo
se muestran en la figura 10.8. Aquı́ se puede apreciar que la identificación del daño en el primer
piso arroja mejores resultados que la identificación de la situación de las columnas del segundo
piso, lo que es bastante natural considerando que el comportamiento dinámico global del modelo
es más sensible a modificaciones en las propiedades del primer piso. En la figura 10.9 se graficó la
distribución final de las muestras asociadas a los parámetros θ2 y θ3 del modelo M2 . Aquı́ se puede
apreciar que existe una tendencia lógica en el ordenamiento final de las muestras, pues se observa
como un aumento de la rigidez de las columnas del primer piso se compensa con una disminución
en la rigidez de las columnas del segundo piso y viceversa.
Finalmente, en la figura 10.10 se muestran los histogramas finales para el modelo M3 , en ellos
se pueden evidenciar que la disminución en la rigidez está presente sólo en las columnas del primer
piso. Si bien, los modelos M2 y M3 no son capaces de generar distribuciones posterior lo suficientemente concentradas para los parámetros inciertos asociados a las columnas de los pisos 2 y 3, su
consideración cobra importancia pues validan los resultados alcanzados en el modelo M1 . Es decir,
valida el hecho de considerar el daño sólo en el primer piso. Por lo anterior, es recomendable que,
al realizar la actualización de un modelo de elementos finitos, se considere un número amplio de
modelos (distintos escenarios posibles respecto a los parámetros inciertos) para ası́ ser capaces de
considerar distintas alternativas y también ser capaces de validar o descartar unos a otros.
Para terminar, un aspecto tremendamente importante de señalar corresponde a los tiempos
empleados en el proceso de actualización de este modelo de elementos finitos. Precisamente, por
motivos de tiempo, no se realizó el proceso de actualización usando las matrices sin reducir, pero es
posible estimar el tiempo que éste habrı́a tomado en cada etapa de identificación. Esta información
se resume en la tabla 10.4. En esta tabla se establece el tiempo necesario aproximado en una
etapa del proceso de Actualización Bayesiana para 2 alternativas en el análisis dinámico: la primera
corresponde a una integración directa tanto para las matrices sin reducir como para las matrices
reducidas (matrices de Craig Bampton), mientras que en la segunda alternativa se empleo análisis
modal considerando sólo los primeros 15 modos. Como se observa en esta tabla, en el caso de
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
Capı́tulo 10. Aplicación 2
90
integración directa la reducción de tiempo es dramática mientras que en el segundo caso el factor
de reducción es cercano a 18.
Tabla 10.3. Aplicación N◦ 2: Resumen identificación de daños por clase de modelo.
Modelo
Promedio
Evidencia
Clase
{θ}
log(·)
M1
0.7997
-335
0.7908
M2
-425
1.0251
0.7915
M3
-576
1.0099
1.0204
Tabla 10.4. Costo computacional por etapa de identificación
Matrices reducidas
Solución directa
Matrices sin reducir
Análisis modal
Solución directa
Análisis modal
30 min
39000 min
548 min
120 min
150
Parámetro
Modelo Nominal
100
50
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ1
Figura 10.7. Aplicación N◦ 2: Distribución Posterior modelo M1
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
91
150
150
Parámetro
Modelo Nominal
Parámetro
Modelo Nominal
100
100
50
50
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
θ2
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ3
Figura 10.8. Aplicación N◦ 2: Distribución Posterior modelo M2
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
θ3
0
0.5
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
θ2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Figura 10.9. Aplicación N◦ 2: Tendencia Distribución Posterior modelo M2
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
92
180
180
160
140
140
120
120
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0.5
Parámetro
Modelo Nominal
160
Parámetro
Modelo Nominal
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0
0.5
1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
θ4
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ5
180
160
Parámetro
Modelo Nominal
140
120
100
80
60
40
20
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
θ6
Figura 10.10. Aplicación N◦ 2: Distribución Posterior modelo M3
10.6.
Evaluación de la Confiabilidad
El desempeño de este sistema estructural puede ser analizado en base a distintas respuestas
de interés, entre las que podemos encontrar: desplazamientos máximos por piso, desplazamientos
relativos máximos, aceleraciones máximas, etc.
En este ejemplo se propone analizar lo que sucede con el desplazamiento máximo de techo
en dirección “x”. Para lo cual se estudia la probabilidad de que un nodo en particular exceda un
desplazamiento umbral de x∗techox igual a 35 [cm] (1 % de la altura del edificio) tanto para el Sistema
Nominal como para el Sistema Actualizado, donde este último está caracterizado por la distibución
posterior alcanzada en el modelo M1 (figura 10.7).
El dominio de falla relacionado al desplazamiento de techo se define como:
F (M ) = {q T = h{z}T , {θ}T i|d(q/M ) = máx
t∈[0,T ]
xtechox (t, {z}, {θ})
> 1}
x∗techox
(10.6.1)
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
93
donde {q} representa el vector aumentado con los parámetros del sistema y xtechox (t, {z}, {θ})
representa el desplazamiento en el nodo de interés en dirección “x”.
La probabilidad de que el desplazamiento horizontal de techo en dirección “x” exceda el valor
umbral de 35 [cm] se analizó para distintos sismos, en un primer caso controlados por su magnitud
de momento M y en un segundo caso controlados por la distancia epicentral r. Los resultados se
muestran en las figuras 10.11 y 10.12 respectivamente.
En el primer caso, se consideró un rango entre 7.0 y 8.0 para la magnitud mientras que la
distancia epicentral se fijó en 15 [km]. Y en el segundo caso se fijó la magnitud de momento sı́smico
en 7.4 y se hizo variar la distancia epicentral entre 5.0 y 30 [km].
En ambas figuras se puede observar que la incorporación de infomación relativa al daño en las
columnas del primer piso en el Sistema Actualizado produce curvas de probabilidad de excedencia
mayor que aquellas correspondientes al Sistema Nominal (sin información de daños). Por otra parte,
a medida que la probabilidad de falla aumenta, la diferencia entre ambos sistemas disminuye, debido
a que comienza a controlar la magnitud o bien la cercanı́a al epicentro y no el daño propiamente
tal. Para este evento (desplazamiento de techo en dirección “x”) el daño supuesto no produce
diferencias muy significativas en la confiabilidad, debido a que se trata de una estructura bastante
flexible, sin embargo permite evidenciar un uso posible para la información obtenida en el proceso
de identificación. Obviamente a este análisis se pueden incorporar otros eventos como por ejemplo
desplazamiento relativos, aceleraciónes, etc.
0
Probabilidad de Falla
10
−2
10
−4
10
Sistema Nominal
Sistema Actualizado
−6
10
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
M
Figura 10.11. Aplicación N◦ 2: Probabilidad de falla en términos de la magnitud de momento
sı́smico M
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Capı́tulo 10. Aplicación 2
94
0
10
−2
Probabilidad de Falla
10
−4
10
−6
10
−8
10
−10
10
5
Sistema Nominal
Sistema Actualizado
10
15
20
25
30
r
Figura 10.12. Aplicación N◦ 2: Probabilidad de falla en términos de la distancia epicentral r
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CONCLUSIONES
Conclusiones Generales
A partir de los temas presentados en esta tesis se puede concluir que la metodologı́a de Actualización Bayesiana constituye un método bastante útil, pues como se pudo establecer, permite
monitorear y caracterizar las condiciones actuales de un determinado Sistema Estructural. Además,
el hecho de que en los últimos años es cada vez más recurrente la instalación de dispositivos que
permiten determinar el comportamiento sı́smico o dinámico de estructuras, hace posible pensar en
la utilización de este método como una herramienta concreta para realizar monitoreos de salud
estructural.
Por ejemplo, hoy en dı́a es común que en aquellas estructuras que incorporan mecanismos
de disipación de energı́a o sistemas de aislación sı́smica se incluya también acelerógrafos con la
finalidad de captar la eficiencia de estos dispositivos. En esta tesis se comprobó que este tipo de
estructuras perfectamente pueden ser evaluadas mediante esta técnica de Actualización Bayesiana.
De hecho, esto es lo que se hizo en la aplicación de la sección 9, donde se pudo ver que el método
de Actualización Bayesiana también permite evaluar y actualizar las propiedades asociadas a los
dispositivos de control de la respuesta, en este caso el sistema de aislación, existiendo como único
requisito que aquello que se intenta actualizar tenga una influencia clara en la respuesta que ha
sido medida.
También se mostró que, una vez que se cuenta con un modelo computacional capaz de reproducir el comportamiento actualizado de la estructura real, es posible estudiar su confiabilidad bajo
distintos criterios. Esto es lo que se hizo en las aplicaciones de los capı́tulos 9 y 10, donde, por medio
de métodos de simulación avanzada, se estableció la probabilidad de excedencia de dos eventos de
interés práctico. De esta forma, en la práctica, se puede lograr la detección de problemas en sus
primeras etapas, lo que a su vez permite reducir significativamente los costos de reparación logrando
estructuras más seguras y eficientes.
Sin embargo, todo lo anterior resultarı́a impracticable pese a que se cuente con datos dinámicos
pertenecientes a estructuras reales, ya que la gran dimensionalidad de estas estructuras, sumado a
la gran cantidad de análisis que deben realizarse tanto en el proceso de actualización como en el
de estimación de confiabilidad, generarı́an costos computacionales que terminarı́an por desechar la
aplicación de estas técnicas. Por esta razón, se implementó la técnica de Sı́ntesis Modal, especı́ficamente el método de Craig-Bampton, lo que permitió trabajar con matrices considerablemente más
pequeñas sin tener que incurrir en simplificaciones como por ejemplo reducir la dimensionalidad en
95
Conclusiones
96
la modelación de las estructuras.
En general, se puede concluir que el uso conjunto de las herramientas presentadas, es decir, las
técnicas de Actualización Bayesiana, las técnicas para determinar la Confiabilidad Estructural Nominal y Actualizada y finalmente la incorporación del método de Craig-Bampton permiten trabajar
y obtener resultados favorables aún cuando se trate de modelos estructurales complejos.
Conclusiones Especı́ficas
Identificación Bayesiana
Una aplicación práctica del método de Identificación Bayesiana en conjunto con el método de
Sı́ntesis Modal requiere contar con datos medidos del comportamiento dinámico de la estructura,
pero también requiere un criterio ingenieril acertado ya que como se vió en este trabajo, es necesario definir clases de modelos diferenciados por el número de componentes y/o parámetros que se
consideran inciertos. Se debe tener presente que el resultado de un proceso de identificación es una
caracterización general o global de ciertas variables que tienen influencia en la respuesta dinámica
de una estructura. En general, a partir de este trabajo, la recomendación es definir distintas clases de modelos y para cada una de ellas obtener la evidencia para ası́ discriminar en base a ésta
qué clase de modelo se ajusta mejor a la realidad medida.
Confiabilidad Actualizada
El método propuesto para estimar la Confiabilidad Actualizada permite, mediante una adaptación del algoritmo de Subset Simulation, incorporar la información entregada por el proceso de
Identificación Bayesiana a través de la distribución posterior y también los pesos o importancias
relativas de cada muestra. Para analizar la Confiabilidad se pueden proponer múltiples eventos de
interés ingenieril, por lo que este tipo de análisis constituye una herramienta muy útil y práctica
para caracterizar de mejor manera el comportamiento dinámico de un sistema estructural.
Sı́ntesis Modal Aplicada a la Identificación Bayesiana
El método de Sı́ntesis Modal implementado constituye una herramienta muy útil para reducir
los costos computacionales asociados tanto al proceso de Identificación como a la estimación de la
Confiabilidad. Esto se pudo apreciar en el ejemplo del capı́tulo 10 al comparar los tiempos requeridos
en una etapa de actualización para un modelo de 15420 grados de libertad. Además, en la medida
que la dimensionalidad de los modelos sea mayor, la incorporación de Sı́ntesis Modal será aún más
necesaria.
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Apéndice A
RESPUESTA DEL SISTEMA
ESTRUCTURAL
En este trabajo, las respuestas del sistema estructural que interesa y es necesario determinar
serán los desplazamientos y aceleraciones. Por otra parte, las solicitaciones corresponden siempre a
aceleraciones basales horizontales en una dirección dada.
Para obtener dichas respuestas es necesario resolver la ecuación de movimiento del sistema,
la cual queda definida por propiedades como la geometrı́a, tipo de materiales y obviamente las
solicitaciones. A continuación se presentan algunas metodologı́as empleadas para su resolución.
A.1.
Superposición Modal
La ecuación de movimiento para un sistema de N grados de libertad en oscilación libre está dada
por
[M ]{ẍ(t)} + [K]{x(t)} = {0}
(A.1.1)
donde {x(t)} corresponde al vector de desplazamientos, [M ] a la matriz de masas y [K] a la
matriz de rigidez.
Suponiendo que la solución a la Ec. (A.1.1) está dada por
{x(t)} = {φ} sin (ωt + ψ)
(A.1.2)
97
Apéndice A. RESPUESTA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
98
Reemplazando la Ec. (A.1.2) en la Ec. (A.1.1), se obtiene
[K] − ω 2 [M ] {φ} = 0
(A.1.3)
La solución no trivial corresponde a la solución de la ecuación caracterı́stica del problema de
valores propios
det [K] − ω 2 [M ] = 0 =⇒ ω1 , ω2 , . . . , ωn
(A.1.4)
donde ωi corresponden a las frecuencias del sistema, tal que ω1 < ω2 < . . . < ωn . Luego, el
problema de vectores propios
[K] − ω 2 [M ] {φi } = {0} =⇒ {φ1 }, {φ2 }, . . . , {φn }
(A.1.5)
donde {φi } corresponde al modo de vibrar asociado a la frecuencia ωi . Luego. la solución está da-
da por
{x(t)} =
N
X
i=1
{φi } sin (ωi t + ψi )
(A.1.6)
Redifiniendo
{x(t)} = [Φ]{q(t)}
(A.1.7)
Reemplazando la Ec. A.1.7 en la Ec. A.1.1 se obtiene
[M ][Φ]{q̈(t)} + [K][Φ]{q(t)} = {0}
(A.1.8)
Premultiplicando la Ec. (A.1.8) por [Φ]T
[Φ]T [M ][Φ]{q̈(t)} + [Φ]T [K][Φ]{q(t)} = {0}
(A.1.9)
donde
[Φ]T [M ][Φ] = diag(Mi∗ ),
[Φ]T [K][Φ] = diag(ωi2 Mi∗ ),
i = 1, . . . , N
i = 1, . . . , N
(A.1.10)
(A.1.11)
Luego, debido a que ambas matrices obtenidas son diagonales, el sistema queda desacoplado
resultando N ecuaciones independientes
q̈i (t) + ωi2 qi (t) = 0,
i = 1, . . . , N
(A.1.12)
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Apéndice A. RESPUESTA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
99
Los modos de vibrar {φi } pueden ser normalizarlos respecto a la matriz de masas mediante
{φi }
{φ̂i } = p
,
{φi }T [M ]{φi }
i = 1, . . . , N
(A.1.13)
Con lo anterior se obtiene
[Φ̂]T [M ][Φ̂] = [I]
(A.1.14)
[Φ̂]T [K][Φ̂] = diag(ωi2 )
(A.1.15)
Luego, al incorporar amortiguamiento y solicitaciones a la ecuación del movimiento, la ecuación
resultante es
[M ]{ẍ(t)} + [C]{ẋ(t)} + [K]{x(t)} = {F(t)}
(A.1.16)
La matriz [C] corresponde a la matriz de amortiguamiento del sistema. En caso de tener amortiguamiento clásico se tiene que
[Φ̂]T [C][Φ̂] = diag(2di ωi )
(A.1.17)
Donde di corresponde al coeficiente crı́tico de amortiguamiento del modo i, por lo tanto no es
necesario obtener en forma explı́cita la matriz de amortiguamiento al resolver los sistemas utilizando
superposición modal. Premultiplicando por [Φ̂]T y reemplazando la Ec. (A.1.7) en la Ec. (A.1.16),
se obtienen N sistemas desacoplados de la forma
q̈i (t) + 2di ωi q̇i (t) + ωi2 qi (t) = {φi }T {F(t)},
A.2.
i = 1, . . . , N
(A.1.18)
Integración Numérica Directa
Bajo ciertas condiciones resulta conveniente integrar directamente la ecuación del movimiento
sobre todo cuando no se tienen sistemas con amortiguamiento clásico como por ejemplo en los
sistemas con aislación sı́smica. Se desarrollarán las ecuaciones para resolver la Ec. (A.2.1) usando
el método de Newmark.
Ecuación de Movimiento:
[M ]{ẍ(t)} + [C]{ẋ(t)} + [K]{x(t)} = {F(t)}
(A.2.1)
{ẋ(t + ∆t)} = {ẋ(t)} + ((1 − γ) {ẍ(t)} + γ{ẍ(t + ∆t)}) ∆t
(A.2.2)
Se tiene que
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Apéndice A. RESPUESTA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
{x(t + ∆t)} = {x(t)} + {ẋ(t)}∆t +
100
1
− β {x(t)} + β{ẍ(t + ∆t)} ∆t2
2
(A.2.3)
de la Ec. (A.2.3) se obtiene
{ẍ(t + ∆t)} =
1
1
({x(t + ∆t)} − {x(t)}) −
{ẋ(t)} −
2
β∆t
β∆t
1
− 1 {ẍ(t)}
2β
(A.2.4)
Reemplazando las Ecs. (A.2.2) y (A.2.4) en la Ec. (A.2.1), escrita en el tiempo t + ∆t se obtiene
[M ] γ[C]
+
+
β[K]
xn+1
∆t2
∆t
[M ]
[M ] γ[C]
{x(t)}
+
+
= β{F(t + ∆t)} +
+
(γ
−
β)[C]
{ẋ(t)}
∆t2
∆t
∆t
∆t
1
− 1β [M ] +
(γ − 2β)[C] {ẍ(t)}
2
2
(A.2.5)
Algoritmo
1. Dados {x(0)} y {ẋ(0)}, se calcula {ẍ(0)} de la Ec. (A.2.1).
2. Calcular {x(∆t)} de la Ec. (A.2.5).
3. Calcular {ẍ(∆t)} de la Ec. (A.2.4).
4. Calcular {ẋ(∆t)} de la Ec. (A.2.2).
Los parámetros β y γ están relacionados con la estabilidad del método. Tomando valores β = 1/4
y γ = 1/2, el método es incondicionalmente estable.
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BIBLIOGRAFÍA
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