1. Indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones

Hoja nº 5. Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales .
1.
Indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
2
dy
 dy 
a )   senx + 3 xy + y 2e x = 0
dx
 dx 
2
  dy  2 
 dy 
b)   = 3x 1 +   
  dx  
 dx 


3
3
c)
2.
d2y
 dy 
+ 5x 2   + 6 y = 0
2
dx
 dx 
Seleccionar entre las siguientes ecuaciones las que son lineales:
a)
dy
+ x2 − 1 = 0
dx
b) dy = ( x 2 − y 2 ) dx
d )( 2 + y 2 ) dx − ( xy + 2 y + y 3 ) dy = 0
3.
c ) ydx + ( xy + x − 3 y )dy = 0
e) 2 x
d3y
d2y
2
+
(
3
x
−
1
)
= senx
dx 3
dx 2
Demostrar que cada una de las funciones definidas es solución de la correspondiente ecuación
diferencial.
a ) f ( x ) = x + e − x para la ecuación y '+ y = x + 1.
b) f ( x) = 2e 3x − 5e 4x para la ecuación y ' '−7 y '+12 y = 0 .
c )v (t ) = sent + cos t para la ecuación v ' cos t + vsent = 1.
d ) f ( x) = e x ( 2 x + 1) para la ecuación y ' ' = 2 y'− y.
4.
Demostrar que familia de funciones indicada satisface la ecuación diferencial correspondiente:
d2y
dy
−2
− 8 y = 0.
2
dx
dx
C
y''
b) y = C1 x + 2 + C3 para la ecuación y ' ' '+3 = 0.
x
x
a ) y = C1e 4 x + C 2e −2 x para la ecuación
5.
Determinar los valores de m para los que f ( x ) = e mx es solución de y ' ' '+3 y ' '+4 y '+2 y = 0 .
6.
Aplicar, si es posible, el teorema de existencia y unicidad a las siguientes ecuaciones diferenciales e
indicar en qué recintos la ecuación admite solución única.
a ) y ' = tg ( y )
b) y ' = x 2 seny
c ) y '− y − x = 0
y −1
d ) y ' = 1 − cot gy
e) y ' = 2
f ) y'= x2 − y
x + x+1
7.
Un barco ve frenado su movimiento por la acción de resistencia del agua que es proporcional a la
velocidad del barco. Escribir la ecuación que expresa la velocidad del barco.
8.
a)Calcular la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas 2 y + 3x − C = 0.
b)Calcular la ecuación diferencial asociada a la familia de elipses x 2 − y 2 = ax.
c)Calcular la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y = C1e x + C2 e − x .
d)Calcular la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y = e x ( ax + b).
Análisis matemático-2IM1-2IM2
PROBLEMAS