taller modelos de probabilidad 2011 - Campus Virtual

UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A
UNIVERSIDAD DEL VALLE – FACULTAD DE INGENIERIA
Especialización en Logística – Maestría Ingeniera Industrial
Asignatura: Modelación Estadística
Profesor: Jaime Mosquera Restrepo
TALLER No. 3
(Modelos de Probabilidad para Variables Discretas y Continuas)
A. Distribuciones de Probabilidad Continuas y Discretas
1.
Una variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 10 siendo
P(X = x) = 0,4 – mx1/4
a)
Obtener el valor de m para que P sea efectivamente una función de probabilidad.
b)
c)
Calcular: P[X ≥ 7], P[X < 5] y P[3 ≤ X < 8].
Calcular el valor esperado.
2.
Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de
muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1,
respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco
exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente,
Defínase la variable aleatoria X como la ganancia anual del producto. Determine la
función de probabilidad de X.
3.
Cierta válvula tiene una duración en horas expresada como una variable aleatoria X con
densidad de probabilidad dada por:
c/x2 ; si x ≥ 60
f(x) =
0 ; si x < 60
a) Encuentre c para que f(x) sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
b) Obtenga una expresión para la función de distribución acumulada.
c) Determine la media (E(X)) de la duración de la válvula.
d) Para cubrir una actividad de riego, usted ha dispuesto de un sistema de 7 válvulas,
todas nuevas, basta con que una de ellas falle para que sea necesario intervenir el
sistema de riego. La actividad tiene una duración aproximada de 100 horas, que
probabilidad existe de que el sistema sea intervenido antes de terminar su misión.
4. La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es:
1.25
74.6 75.4.
Calcule lo siguiente:
a) P(X<74.8)
b) P(X<74.6 o X >75.2)
c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3
milímetros, cual es la proporción de bigas que cumple con las especificaciones?
B. Modelos de Probabilidad para variables discretas
5. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable Poisson. Suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.
a)
b)
c)
d)
6.
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamas en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban 3 llamadas o menos en una hora?
Cual es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos?
El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una Variable
Aleatoria con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 18 vehículos al mes
(se trabaja seis días a la semana).
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?
b) El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de
30 U.F por vehículo, si vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F.,
y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuánto cree usted que gana el individuo por
día?.
7.
Durante la segunda guerra mundial los alemanes desarrollaron las bombas cohetes, con
los cuales atacaban las bases militares de los aliados en la ciudad de Londres, El
comando militar aliado sospechaba que estas bombas tenían algún dispositivo de
dirección, lo cual solo lo pudieron averiguar al finalizar la guerra. Para realizar su prueba
utilizaron estadísticas de combate a través del registro de la ubicación del impacto de
cada una de las bombas enviadas. Para ello, la zona de Londres fue dividida en 576
regiones cuadradas de igual longitud y se contabilizaron el número de impactos recibidos
por cada región. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
Impactos Recibidos
#Regiones
0
1
2
3
4
5
229
211
93
35
7
1
Según los datos obtenidos, considera usted que existe la posibilidad de que los cohetes
fueran dirigidos, o representan tan solo un evento aleatorio?
8.
Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0.1.
a)
Como se puede observar existe un riesgo de que algún pasajero se quede sin vuelo,
podría usted evaluarlo?
b) Los costos fijos de un vuelo ascienden a $10.000.000, mientras que cada tiquete es
vendido por $150.000. El costo de perder la reserva para el pasajero es de $40.000
(el resto de dinero le es devuelto), mientras que por políticas de calidad, a cada
pasajero que se queda sin vuelo, le son entregados en tiquetes de vuelo el
equivalente al doble del valor que ha cancelado. Podría usted evaluar la ganancia
esperada por cada vuelo? Si el vuelo se realiza de forma semanal, cual sería la
ganancia esperada durante un año de operaciones?
c) Si se desean ganancias diarias que en promedio supere los $10.000.000, cual debería
ser el valor mínimo del tiquete?
9.
En cierta región petrolera, la probabilidad de que una exploración sea exitosa es de 0,15.
El transporte de la maquinaria y la operación de cada perforación representan unos
costos que se han tazado en 10000 dólares, mientras que se espera que en un hallazgo se
encuentren 50000 galones de petróleo, cuyo precio base es de 1,5 dólares/galón.
a) Cual sería la probabilidad de perder dinero si se realizan 2, 3, 5, 10 o 15
perforaciones?
b) Se ha planeado explorar en la zona un total de 15 ubicaciones. ¿Cual considera usted
que puede ser la ganancia esperada?
c) Cuál sería su recomendación respecto al número de perforaciones de manera que se
maximice la utilidad esperada.
d) Suponga que por política ambiental de la zona, solo se dispone de permiso para
realizar 3 extracciones efectivas, por cada perforación no exitosa se debe pagar una
multa equivalente de 20000 dólares. Que probabilidad existe de realizar más de 10
extracciones? Cuál es el monto esperado de la multa?
10.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar:
a) Una imperfección en 3 minutos.
b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.
c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.
11.
A partir de los registros históricos de una empresa se ha estimado que con la disposición
de 10 artículos por día en el inventario, se conseguirá un nivel de servicio del 80%. Para
los indicadores de servicio al cliente sería desastroso que durante un mes se presenten 5
o más eventos de stockout, siendo acreedor a un llamado de atención.
a) Cuál es la probabilidad de que se genere tal llamado de atención en el siguiente mes
(22 días hábiles).
b) Si se desea que la probabilidad de un llamado de atención sea de tan solo un 5%,
para que nivel de servicio debería planearse el inventario por día?
12.
El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo
de ocupado se refiere, de tal forma que la probabilidad de encontrar una línea
desocupada es tan solo del 5%. Cierta persona, algo corto de paciencia, dice no dedicar
más de 5 intentos para lograr la comunicación
a) Que probabilidad existe de que esta persona obtenga comunicación.
b) Si esta persona desea que su probabilidad de obtener comunicación supere el 60%,
cuantos intentos le recomendaría realizar.
13. De un proceso se toma cada hora una muestra de 20 partes. Lo común es que el 1% de las
partes requieran volver a ser procesadas. Sea X el número de partes de una muestra de 20
que necesitan ser reprocesadas se sospecha de un problema en el proceso si X es mayor
que su media por mas de 3 desviaciones estándar.
a) Si el porcentaje de partes que es necesario volver a procesar permanece en 1%, cual
es la probabilidad de que X sea mayor que su media por mas de tres desviaciones
estándar?
b) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta al 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1?
c) Si el porcentaje de partes que es necesario reprocesar aumenta a 4%, cual es la
probabilidad de que X sea mayor que 1 por lo menos en una de las muestras
tomadas las próximas 5 horas?
14.
Cierta empresa, muy cautelosa en el control de calidad de su producto final, ha
implementado como política de verificación la ejecución de un plan de inspección sobre
su producto estrella, el cual despacha en lotes de 50 unidades. Dado que la inspección de
cada unidad es bastante costosa, ha decidido realizar inspección por muestreo,
seleccionando un total de 5 unidades de producto desde el lote, de tal manera que solo se
despachara aquel lote en el que no se observen unidades defectuosas. Basta con una
unidad defectuosa encontrada (entre las 5 muestreadas) para que el lote sea revisado en
su totalidad, reemplazando las unidades defectuosas por unidades conformes y
posteriormente despachando al cliente.
Durante la conformación del último lote, por un error involuntario, se presentaron 4
unidades defectuosas. El jefe de producción se pregunta acerca de la posibilidad de que
este lote haya llegado con defectos al cliente final. Podría usted ayudarle a calcular tal
probabilidad.
15.
El número de baches en una sección de una carretera interestatal que requieren
reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media
de dos baches por milla.
a) Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de cinco
millas?
b) Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c) Si el número de bache está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de esta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, que
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución Poisson?
C. Modelos de Probabilidad para variables continuas
16.
Suponga que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme, con media 1 y
varianza 4/3. Calcular p[X < 0].
17.
Suponga que X tiene distribución uniforme continua en el intervalo [1.5; 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de X.
b) Cual es el valor de P(X< 2.5)?
18.
La demanda semanal de paquetes de detergente en un establecimiento posee carácter
aleatorio, con un comportamiento aproximadamente normal con media 500 paquetes y
desviación estándar de 20. Cual debería ser el número de paquetes que debe tener en
stock el establecimiento para poder atender la demanda con una probabilidad superior al
90%.
19.
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse
con una distribución normal con media 6000 kg por centímetro cuadrado y una
desviación estándar de 100 kg por centímetro cuadrado.
a) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg/cm²?
b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800
y 5900 kg/cm²?
c) Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
20.
Suponga que el LEAD TIME de su proveedor estrella es una variable aleatoria con
media de 6 horas y distribución exponencial: Un cliente particular ha solicitado 5 envíos
de este producto, uno por día, con el requerimiento de que el producto sea despachado
antes de las 4:00 pm, de tal manera que la entrega se haga efectiva antes de la hora
máxima de recepción del cliente (5:00 pm). Por políticas de la empresa usted solo podrá
solicitar el suministro a su proveedor de forma diaria y para ser muy previsivo usted
decide realizar el pedido en horas de la mañana (8:00 a.m). De tener algún fallo durante
en los 5 envíos, el cliente cancelaria las negociaciones con su empresa. Realice el cálculo
de probabilidad respectivo y con base en los resultados decida si es conveniente para su
empresa comprometerse con el cliente.
21.
La distancia que hoy entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución
exponencial con media de 5 millas.
a) Cual es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
b) Cual es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
c) Cual es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
22.
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un trasporte
especial que puede llevar a cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar
boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 min. Suponga que en
cada llamada se adquiere un boleto. Cual es la probabilidad de que el transporte se llene
en menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
23.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro
del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan,
¿qué tan larga debe ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores
siguen una distribución normal.
24.
Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco que se dispensa está normalmente
distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.
a) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en
los siguientes 1000 refrescos?
b) Para evitar paradas continuas en el proceso, la maquina dispone de un recipiente para
almacenar el líquido que rebasa cada vaso cuando esto ocurre, pero tan solo dispone
de espacio para almacenar el equivalente a 50 cm3, una vez se llega a este límite es
necesario detener el servicio hasta tanto no se realicen las labores de limpieza y
mantenimiento necesaria. Se estima que en cada rebose se derraman alrededor de 10
cms3. Recientemente ha llegado una solicitud de suma urgencia para la producción de
100 refrescos, la cual solo se podrá suplir sin retrasos de no presentarse paradas de
máquina. Que probabilidad existe de dar cumplimiento al pedido sin retrasos?
25.
Un producto electrónico para oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga
que la probabilidad de que cada componente trabaje sin falla alguna durante el tiempo de
vida útil del producto es 0.999 y que los componentes fallan de manera independiente.
Aproxime la probabilidad de que cinco o más de los 200 componentes fallen durante el
tiempo de vida útil del producto.
26.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un
periodo igual a la de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de
duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una
vida promedio de tres años y desviación de seis meses. Si el costo de reemplazo por
unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos
años, si se instalan 1000000 unidades?
27.
Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se
muestra en la figura, cada componente funciona de forma independiente. El tiempo de
funcionamiento (en horas) del componente D y E siguen una ley uniforme con
parámetros (a=50; b=200), exponencial con promedio de 110 para B y normal con
promedio de 150 y desviación de 20 para A. Cuál es la probabilidad que al cabo de 180
horas el sistema aun funcione?
B
D
C
E
A