La Historia de las Matemáticas en la Educación Universitaria

La Historia de las Matemáticas en la Educación Universitaria
Ana Isabel Busto Caballero*
Meri E. Calvo Martín*
Mª del Carmen Escribano Ródenas**
* Dpto. de Economía Financiera y Contabilidad I
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Universidad Complutense de Madrid
Campus de Somosaguas.
28223 MADRID
Tfno.: 91.394.25.70
** Dpto. Métodos Cuantitativos para la Economía
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Universidad San Pablo- CEU
C/ Julián Romea, 23
28003 Madrid
Tfno.: 91.456.63.00 ext. 365
E-mail: escrod@ceu.es
Resumen:
Denis Guedj (2.000), en su libro “El teorema del loro” realiza la siguiente observación:
“Jonathan, como todos los estudiantes del mundo, había estudiado a
Tales en diversas ocasiones. En cada una de ellas, el profesor había
hablado del teorema pero nunca del autor. En las clases de matemáticas
nunca se hablaba de las personas sino de sus teorías. De vez en cuando se
mencionaba a Tales, Pitágoras, Pascal o Descartes, pero eran solamente
nombres, como los de una parada de metro o una marca de queso de
quienes no se decía ni dónde ni cuando habían vivido. Las fórmulas,
demostraciones y teoremas llenaban la pizarra sin indicar quién los había
creado, como si existieran desde siempre... . Con ello se conseguía que
los teoremas parecieran ... eternos”
Muchos alumnos piensan que las Matemáticas son eternas y estáticas, que hablan
de verdades inmutables y que en ellas todo está ya descubierto. Piensan que los
matemáticos son como semidioses dedicados a una ciencia fría, extraña, poderosa e
incomprensible para la mayoría de la gente. Pero …. ¿fomentamos nosotros esa idea
dejando a un lado la Historia de las Matemáticas y dando la idea, por omisión, de que
éstas son atemporales?, o por el contrario ¿contamos en nuestras clases las necesidades
y los problemas reales que hicieron pensar e investigar nuevos métodos matemáticos a
personas reales, con fecha y lugar de nacimiento?.
Este trabajo pretende dar algunas ideas de cómo introducir pinceladas de historia
en nuestras explicaciones diarias en el aula, a fin de intentar motivar a nuestros
alumnos.
Palabras Clave: Historia, didáctica, matemáticas, universidad.
1
La Historia de las Matemáticas en la Educación Universitaria
Todos conocemos el rostro de Francisco de Quevedo, con su pelo largo y
ondulado, sus grandes bigotes, su peculiar perilla, y como no, sus característicos
impertinentes. Todos recordamos “El buscón”, como una de sus obras más conocidas.
Francisco de Quevedo
También reconocemos a Miguel de Cervantes, con su cara alargada, bigotes y
barba a la moda de la época, vestido de negro y con los cuellos y los puños blancos y
almidonados que se llevaban entonces y casi siempre con una pluma en la mano. Todos
conocemos que su mejor obra “El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha” es la
mejor novela de la literatura universal.
Miguel de Cervantes
2
Nos es familiar la cara de Beethoven, con su gesto particular de enfado,
escribiendo la música que ya no podía oír, pero cuyas sinfonías reconocemos de
inmediato, especialmente la quinta, la sexta o Pastoral y la novena.
Ludwig van Beethoven
Y como no recordar el rostro de uno de los mejores pintores de la historia,
Francisco de Goya, con su paleta de pintor en una mano y su pincel en la otra como el
mismo se autorretrató. Muchas de sus obras nos vienen a la mente con solo pronunciar
su nombre.
Francisco de Goya
3
Autores ilustres, famosos pintores, maestros de la música, son conocidos
mundialmente, no sólo por sus excelentes obras, de las que todos disfrutamos y a las
que todos admiramos, sino por ellos mismos, es decir, conocemos sus rostros y
mediante ellos un poco de su personalidad de artistas. También conocemos algunos
rasgos peculiares de su biografía y de su forma de pensar. Generalmente somos capaces
de enmarcarlos en la época en que vivieron y vemos sus obras como grandes
aportaciones a la cultura universal.
Esto es así, por que desde que éramos pequeños, ya en la enseñanza primaria y
más tarde en la secundaria, cuando se nos hablaba de autores literarios, pintores o
artistas en general, no sólo se nos hablaba de sus obras, sino que se nos daba una visión
general de la época en que éstas se crearon y cómo no, se nos contaba algo de la vida
del autor: lugar y fechas de nacimiento y muerte, nombres y profesión de los padres,
matrimonios e hijos si los tuvieron, referencias históricas, políticas y económicas de su
época, costumbres y tendencias en el arte…También se nos cuenta lo que el autor ha
aportado como innovación a la literatura, pintura o música, aquellos rasgos que le
hicieron diferente a los demás artistas, aquello por lo que destacó e incluso en lo que se
adelantó a su tiempo.
Muchas veces, al hablarnos de un artista famoso se nos muestra un retrato o
fotografía de él para que nos sea familiar su rostro y para que recordemos su expresión
facial cuando estamos leyendo sus escritos o admirando sus obras.
También se nos habla de sus intereses, inquietudes e incluso de sus vicisitudes en
la vida, y todo ¿para qué?, para que nos transportemos a su tiempo y podamos ponernos
en su lugar y así entendamos mejor su manera de expresión y sus obras. Para que
veamos en él una persona de carne y hueso, como los demás, pero digna de conocer por
su sensibilidad, porque puede aportarnos algo positivo para nuestra vida y porque quizás
algunas de sus ideas recogidas en su obra ha hecho cambiar el curso de la historia de la
humanidad, o del pensamiento humano. Esto es imprescindible para apreciar su obra en
toda su extensión y en relación con la historia universal.
Sin embargo, si preguntamos a algunos de nuestros alumnos universitarios en qué
siglo vivió Pitágoras, cómo es el rostro de Gauss o de qué nacionalidad era Euler, no lo
saben, ¿por qué?, porque no se les ha enseñado. Nunca su profesor de matemáticas les
ha mostrado su foto ni ha dedicado un instante en clase a comentar algo referente a su
vida, a su época o a su obra. ¿Y eso a qué es debido?, ¿es que son menos importantes
los matemáticos que otros personajes destacados de la historia?, ¿es que acaso mucho de
los profesores de matemáticas conocen a sus personajes ilustres?
Lo que sucede en Matemáticas nos lo describe muy bien Denis Guedj (2.000),en
su libro “El teorema del loro”, página 31 de la edición en español de la editorial
Anagrama:
“Jonathan, como todos los estudiantes del mundo, había estudiado a Tales en
diversas ocasiones. En cada una de ellas, el profesor había hablado del teorema
pero nunca del autor. En las clases de matemáticas nunca se hablaba de las
personas sino de sus teorías. De vez en cuando se mencionaba a Tales, Pitágoras,
Pascal o Descartes, pero eran solamente nombres, como los de una parada de metro
o una marca de queso de quienes no se decía ni dónde ni cuando habían vivido. Las
fórmulas, demostraciones y teoremas llenaban la pizarra sin indicar quién los había
creado, como si existieran desde siempre, al igual que las montañas y los ríos,
aunque ni las unas ni los otros fueran eternos. Con ello se conseguía que los
teoremas parecieran aún más eternos que las montañas y los ríos. Las
4
matemáticas…. no eran como la historia, la geografía o la geología. Pero ¿Qué eran
con exactitud? La respuesta no interesaba a la mayoría.”
Para nuestros alumnos y para la mayoría de las personas “las Matemáticas son
diferentes”. Muchos alumnos piensan que las Matemáticas son eternas y estáticas, que
hablan de verdades inmutables y que en ellas todo está ya descubierto. Piensan que los
matemáticos son como semidioses dedicados a una ciencia fría, extraña, poderosa e
incomprensible para la mayoría de la gente. Pero …. ¿fomentamos nosotros esa idea
dejando a un lado la Historia de las Matemáticas y dando la idea, por omisión, de que
éstas son atemporales?, o por el contrario ¿contamos en nuestras clases las necesidades
y los problemas reales que hicieron pensar e investigar nuevos métodos matemáticos a
personas reales, con fecha y lugar de nacimiento?.
¿Somos como
“la mayor parte de los matemáticos contemporáneos que muestra poco
interés e incluso un cierto desprecio por la Historia de las Matemáticas y por sus
historiadores”,
pensando que ésta no sirve para nada, que
“lo valioso de la matemática antigua ya está incorporado a la ciencia actual y
como algo ya superado es mejor olvidarlo”?
Son palabras textuales de R. Torija Herrera en el prólogo (página 9) del libro
Arquímedes. Alrededor del Círculo, de la Editorial Nivola (1999).
¿Qué hacemos en nuestras clases?. Ya sabemos que uno de nuestros intereses es
que nuestros alumnos aprendan técnicas matemáticas necesarias que les ayuden a
resolver problemas con los que se enfrentarán en otras asignaturas de su carrera:
estadística, econometría, macro y microeconomía…, pero también deberíamos desear
que nuestras clases incentivaran el desarrollo integral del alumnado, es decir, tanto su
desarrollo intelectual como cultural, y para esto podemos utilizar como instrumento la
Historia de las Matemáticas.
Desde hace algunos años las editoriales de los libros de texto para la Educación
Secundaria se han empezado a interesar por la Historia de las Matemáticas y al principio
o al final de los temas dedican una o dos páginas a hablarnos de ellas, es poco, pero lo
podemos utilizar, pues pocas veces se enseña en los Institutos, lo podemos ampliar,
podemos mandar hacer trabajos de investigación a nuestros alumnos, podemos dejar
que hagan exposiciones orales de temas preparados por ellos de antemano.
La historia de las cifras, de los sistemas de numeración, de los signos y el lenguaje
algebraico, así como problemas clásicos que surgieron en diversas épocas, la vida y
obra de matemáticos … todo vale, cualquier cosa que les haga ver que las Matemáticas
son una ciencia fluida, siempre en movimiento, cautivadora y por supuesto que ha
llevado a la humanidad a logros que eran impensables en otros tiempos, y que los
matemáticos han influido y siguen influyendo en el avance y en la historia de la
humanidad tanto o más que cualesquiera otros científicos, pensadores o artistas.
Pero, ¿es serio hacer esto en una clase de Matemáticas Empresariales de 1º o 2º?,
¿no sería más propio de una clase de Enseñanza Secundaria? ¿Parecería serio si en
medio de una clase Enseñanza Superior en la que apareciera por algún motivo el
número π se les contara a los alumnos por qué al cociente entre la longitud de la
5
circunferencia y su diámetro se le dio el nombre de esa letra griega y quién, y en qué
época le denominó así?.
Es el cociente entre la longitud de cualquier
circunferencia y su diámetro.
l
π=
d
El llamar a este número π viene de la palabra
griega “peripheria” que, por ser griega,
empieza por la letra π (la equivalente a nuestra letra
P).
Esta palabra significa circunferencia (la
periferia del círculo) pero este nombre, π , no se lo
dieron los griegos sino que lo empezó a usar, en el
siglo XVIII, el gran matemático suizo Leonhard
Euler.
¿Parecería apropiado que al hablar del criterio de Cauchy para la convergencia de
series de términos positivos mostráramos a los alumnos un retrato del citado
matemático y les habláramos un poco de su vida y obra?
6
Con muchas dudas y preguntas sobre el tema, pero siendo fieles a nuestra firme
convicción de que la Historia de las Matemáticas debería ser más conocida, ya que hace
a esta materia más viva, más dinámica y más cercana al alumno, y pensando que es
bueno enseñarla en cualquier nivel de estudios: enseñanza primaria, secundaria y
universitaria, decidimos poner en práctica nuestras ideas sobre el tema en este curso
2002/03, en las clases de Matemáticas Empresariales II en la Facultad de Ciencias
Económicas y Empresariales de la Universidad Complutense de Madrid.
Desde el primer día de clase contamos algo de Historia de las Matemáticas según
ésta iba apareciendo en los temas que explicábamos.
Recordamos la cara de asombro de los alumnos la primera vez que nos vieron
desplegar en el aula un cartel con la cara de Cauchy después de haber anotado en la
pizarra: “Criterio de convergencia de Cauchy”. Seguro que, ni ellos ni nosotras,
olvidaremos esa clase.
Al ver el retrato de lo que hasta ahora para ellos era tan sólo un teorema estudiado
en secundaria: “ El teorema de Cauchy o generalización del teorema del valor medio”,
se dieron cuenta de que tras el nombre, ya conocido por ellos, había una persona de
carne y hueso que había estado viva en una cierta época, en este caso de 1789 a 1857 y
que tenía un nombre de pila: Augustin Louis.
Augustin Louis Cauchy
La sensación fue semejante a la sentimos cuando nos enteramos que Serrano no es
sólo una de las calles más caras de Europa por la que hemos paseado muchas veces,
7
sino que su nombre se debe a Pablo Serrano, escultor español de principios del siglo
XX.
A continuación les repartimos una fotocopia con un retrato en pequeño del citado
matemático y un breve resumen de su vida y obra y les propusimos que, de manera
voluntaria, ampliaran ese resumen y que, también voluntariamente, expusieran, en 10 o
15 minutos, sus trabajos ante sus compañeros.
Claro, había que dar un valor a su esfuerzo, y, para ellos, lo único importante es la
calificación final de la asignatura, así que les prometimos una subida de medio punto
como máximo en su nota final.
En las siguientes clases fueron conociendo a D´Alembert, Leibnitz, Newton,,,,
Gottfried Wilhelm Leibniz
y más tarde a Euler, Riemann, Barrow…
Leonhard Euler
Era digna de notar la expectativa que se creaba en el aula cuando se citaba por
primera vez el nombre de un matemático que aún no estaba en su colección. Pedían con
8
la mirada el cartel con la foto y el resumen de su vida. Un emocionan silencio
inundaba el aula hasta que por fin un …¡ahhhhh!…, rompía la magia del instante,
cuando al fin, pausadamente, disfrutando del momento, les enseñabamos el poster con
la cara del matemático que habíamos mantenido escondida hasta ese momento.
Fue muy interesante la experiencia.
Cuando en diferentes ocasiones volvíamos a citar a alguno de nuestros
matemáticos conocidos, los alumnos escuchaban con más interés, como si el nuevo
teorema que les presentaba hubiera sido escrito por un amigo o por un conocido de toda
la vida que tenía algo importante que decirles. Le recordaban como persona, como
alguien que se había tenido que esforzar para llegar a unos resultados importantes, les
animaba la idea de que los genios también tienen que estudiar profundamente y
dedicarse con ímpetu a su trabajo de investigación, valoraban más lo que estaban
estudiando y veían las Matemáticas como una ciencia dinámica que reta a cualquier
persona que quiera intentarlo a descubrir sus secretos, y, cómo no, ellos también podían
participar, aunque fuera de manera sencilla, resolviendo los problemas que se les
planteaban en clase.
En este punto también trabajamos presentando problemas aún abiertos, como por
1
ejemplo la suma de la serie ∑ 3 que Euler no pudo resolver mientras que sí logró
n
2
1
π
sumar ∑ 2 =
.
6
n
A final de curso recogimos doce trabajos y tres alumnos se decidieron a
exponerlos en clase.
Una alumna que trabajó sobre la vida de Euler comentó lo interesante que le había
parecido la Teoría de Grafos, antes desconocida para ella por completo y que se le
habían abierto las ganas de investigar sobre ella. De hecho hizo una sencilla, pero muy
interesante exposición de esta Teoría, utilizando transparencias y gráficos, que añadió a
su trabajo sobre Euler.
Conclusiones:
Los más ilustres pintores, escritores, músicos …de la historia son conocidos no
sólo por sus obras, sino también por sus rostros y biografía. Sin embargo, la mayor parte
de los matemáticos, cuyos descubrimientos han cambiado el rumbo de la historia son
verdaderos desconocidos, no sólo para la gente en general, sino lo que es peor para los
estudiantes e incluso para algunos profesionales de esta ciencia.
La Historia de las Matemáticas es una asignatura pendiente en todos los niveles de
estudio, dando la falsa idea de que son estáticas y completas.
El conocimiento de la Historia de las Matemáticas hace que el alumno las vea más
cercanas y accesibles a la vez que fomenta su espíritu investigador.
Es tarea de todos los profesores de Matemáticas, tanto de enseñanza primaria,
como de secundaria y por su puesto de universidad, dar a conocer a nuestros alumnos
pinceladas de Historia de las Matemáticas que les haga más interesante la asignatura,
que les enseñe la manera de trabajar de los grandes matemáticos, que les acerque a la
persona humana a la que nos referimos y por su puesto que aumente, no sólo su
conocimiento científico, sino en general su bagage cultural y su formación integral.
9
Bibliografía:
AZCÁRATE, C.; DEULOFEU, J. (1.998): “Matemáticas: contenidos,
actividades y recursos”. Praxis (col. Guías Praxis para el profesorado de ESO).
Barcelona
BOYER, C.B.(1.986): “Historia de la Matemática”. Alianza Editorial. Madrid.
COLERUS, E.(1.973): “Breve historia de las matemáticas”. Doncel. Madrid.
ESCRIBANO RÓDENAS, M.C. y otros (1.998): “Una experiencia en
Matemáticas”, en Actas de las VI Jornadas de ASEPUMA. Santiago de Compostela.
ETAYO MIQUEO, J.J.(1.986): “75 años de vida matemática”. Actas de las XI
Jornadas Hispano-Lusas de Matemáticas. Badajoz. Universidad de Extremadura y
R.S.M.E., vol. I págs. 23-42
GUEDJ, D. (2.000): “El teorema del loro”. Anagrama. Barcelona.
GUEDJ, D. (1.998): “El imperio de las cifras y los números” Biblioteca de
bolsillo, claves nº 10. Ediciones grupo Zeta. Barcelona.
HORMIGÓN, M. (1.988): “Las Matemáticas en España en el primer tercio del s.
XX”, en Ciencia y Sociedad en España, J.M. Sánchez Ron (ed.) págs. 253-282. El
Arquero C.S.I.C.
IFRAH, G. (1.987): “Las cifras. Historia de una gran invención”. Alianza
editorial.
NOMDEDEU MORENO, X. (1.998): “Creencias que afectan a la enseñanza de
las ciencias”, en Mujeres, Ciencia, Tecnología y Medioambiente. Proyecto NOW.
Universidad Jaume I. Castellón.
TORIJA HERRERA, R.(1.999): “Arquímedes. Alrededor del Círculo”. Editorial
Nivola. Madrid
10