Parcial 1

INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN
PRIMER PARCIAL GRUPOS GTM
25 de marzo de 2014, 9 horas.
1.
Se considera la función f ( x )
Tiempo: 90 m.
sen(2 x 5), x [ / 6, / 3] y el conjunto de puntos: S=
Obtén la mínima cota del error de interpolación en el intervalo [ / 6,
/ 6, / 4, / 3 .
/ 3] empleando como soporte los
puntos del conjunto S.
(2 puntos)
Solución:
La expresión del error de interpolación de Lagrange es:
( x)
f ( x)
f '''(c)
x
x
x
3!
6
4
3
8cos(2 x 5) , por lo tanto, la expresión del error será:
p(x)
donde f '''(c )
( x)
4
cos(2c 5) x
3
x
6
4
x
3
Buscamos ahora la cota de error:
| ( x) | | f ( x)
4
max | cos(2 x 5) | max
x
x [ /6, /3]
3 x [ / 6, /3]
p( x) |
Para ello, comenzamos tratando de obtener
x
6
x
4
max | g ( x ) | siendo g ( x ) cos(2 x 5) . El máximo de
x [ / 6, /3]
dicha función se obtendrá: sup(| g ( / 3) |,| g ( / 6) |,| g ( xi *) |), xi * / g '( xi *)
g ( / 3) cos(2
g ( / 6) cos(2
g '( x ) 0
3
6
5)
0.688.62..
5)
0.97228...
2 sen(2 x 5)
0
2x 5
3
0.
0
De la última expresión obtenemos:
2x 5 0
x 5 / 2( radianes) 143º [ / 3, / 6]
5
2x 5
x
( radianes) 233º [ / 3, / 6]
2 2
Ninguno de los dos valores de x está dentro del intervalo [ / 3, / 6] , por lo que no los consideramos. Eso
significa que: sup(| g ( / 3) |,| g ( / 6) |,| g ( xi *) |) | g ( / 6) | 0.97228...
Por lo tanto, tendremos que
En lo que respecta a
max | g ( x) | 0.97228...
x [ / 6, /3]
max q ( x ) , siendo q ( x )
x [ / 6, /3]
x
x
6
obtendrá como: sup(| q ( / 3) |,| q ( / 6) |,| q ( xi *) |), xi * / q '( xi *)
son también puntos del soporte, es evidente que q ( / 3)
3
x
2
13
72
2
3
, tendremos que el máximo se
0 . Dado que los extremos del intervalo
q ( / 6)
buscar los puntos para los que q’(x)=0:
q’(x)= 3 x2
x
4
0 , por lo que tan sólo será necesario
Las raíces de dicha función son:
x1
0.93654...
q( x1 )
x2
0.63424...
q( x2 )
Por lo tanto
0.0069064...
0.0069064...
max q ( x)
0.0069064...
x [ / 6, /3]
Así pues, la cota de error será:
| ( x) | | f ( x)
2.
p( x) |
4
(0.97228)(0.0069064) 0.00895
3
4
Se considera la función f (x)
x(x i ) y el conjunto formado por los puntos
1, 0, 2,3, 6 . Se pide
i 0
a)
Obtén el polinomio interpolador de Lagrange de f(x).
b)
(1 punto)
A partir del resultado del apartado a) obtén una fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio
que permita aproximar el valor de f '(0) y compara el resultado obtenido con el valor exacto, obteniendo
el error cometido.
(1 punto)
Solución:
a) La función f(x) es un polinomio de 2º grado. Dado que el soporte de interpolación está formado por más
de 3 puntos (en particular, 5 puntos) el polinomio interpolador coincide con la función.
4
p( x)
f ( x)
x( x i)
x ( x 0 x 1 x 2 x 3 x 4)
x (5x 10) 5 x 2 10 x
i 0
b) Dado que, tal como se ha indicado en el apartado a), p( x)
p '( x )
3.
f '( x) y por lo tanto p '(0)
f ( x) , también sucederá que
f '(0) 10 y el error cometido sería nulo.
A partir de los datos del ejercicio 2 se desea realizar una interpolación a trozos de f x en el intervalo [ 1, 6]
. La función polinómica a trozos está formada por un tramo polinómico de grado 2 en [ 1, 2] y dos polinomios
de grado 1 en [2,3] y [3, 6] . Se pide:
a) Calcula y representa gráficamente, los polinomios de base de Lagrange asociados a los puntos x=2 y x=3. (0.5
puntos)
b) Obtén, mediante dicha función, el valor interpolado en x
0.25 . (0.5 puntos)
c) Obtén la mínima cota del error de interpolación correspondiente al intervalo [ 1, 2] . (1 punto)
Solución:
a) Obtenemos los polinomios de base de Lagrange pedidos:
2
2
( x 1) x
, x [ 1, 0]
6
3 x,
x [2, 3]
0,
x [3, 6]
( x)
0,
x [ 1, 2]
x 2, x [2,3]
x
2
, x [3, 6]
2
( x)
b) El punto x= 0.25 pertenece al intervalo [ 1,2]. Dado que la función a interpolar es un polinomio de segundo
grado: f ( x )
5 x 2 10 x y en el intervalo [ 1,2] se está realizando una interpolación con un soporte de 3
(1)
puntos, el tramo polinómico correspondiente a dicho intervalo, p ( x ) , coincide con la función que se
interpola:
(1)
p (1) ( x) 5 x 2 10 x .
p ( 0.25) 5( 0.25)
2
10( 0.25)
Por
2.1875 .
lo
tanto,
el
valor
buscado
es:
c) Dado que en el intervalo [ 1,2] la interpolación es exacta (ver solución del apartado anterior) el error
cometido será nulo.
4.
Supuestos conocidos los valores que una función f x toma en los puntos x * 3h, x * h, x * 2h , con
h>0, se desea:
a) Obtener una fórmula de derivación numérica que, utilizando el mencionado soporte, permita aproximar
el valor de f
x* .
(1.5 puntos)
b)
Determinar el error de derivación numérica de la fórmula hallada en el apartado a).
(1.5 puntos)
Solución:
a) Comenzamos obteniendo el polinomio interpolador, aplicando la fórmula de Newton:
p( x)
f ( x * 3h)
f [ x * 3h, x * h]( x x * 3h)
f [ x * 3h, x * h, x * 2h ]( x x * 3h)( x x * h)
Derivamos el polinomio interpolador:
p '( x )
f [ x * 3h, x * h ]
f [ x * 3h, x * h, x * 2h](2 x 2 x * 2h )
Particularizamos ahora la expresión en x=x* resultando:
p '( x*)
f [ x * 3h, x * h]
f [ x * 3h, x * h, x * 2h] 2h
Dado que las diferencias divididas que aparecen en la expresión anterior son:
f ( x * h)
f [ x * 3h, x * h]
f [ x * 3h, x * h, x * 2h]
4 f ( x * 2 h) 5 f ( x * h)
20h 2
f ( x * 3h)
4h
f ( x * 2 h) f ( x * h)
h
f ( x * h)
f ( x * 3h)
4h
5h
f ( x * 3h)
resulta:
p '( x*)
f ( x * h)
f ( x * 3h)
4h
4 f ( x * 2h ) 5 f ( x * h )
20h 2
f ( x * 3h)
2h
y, simplificando la última expresión, la fórmula buscada será, finalmente:
f '( x*)
p '( x*)
8 f ( x * 2h) 5 f ( x * h) 3 f ( x * 3h)
20h
b) Para estimar el error, partimos de la fórmula obtenida en el apartado anterior y desarrollamos en serie
de Taylor alrededor del punto x*:
8 f ( x * 2h) 5 f ( x * h) 3 f ( x * 3h)
20h
1
4h 2
8h3
[8( f ( x*) 2 hf '( x*)
f ''( x*)
f '''( x * 1h))
20h
2
6
h2
h3
5( f ( x*) hf '( x*)
f ''( x*)
f '''( x * 2 h))
2
6
9h 2
27 h3
3( f ( x*) 3hf '( x*)
f ''( x*)
f '''( x * 3h))]
2
6
con
[0, 2]; 2 [0,1]; 3 [ 3, 0]
1
Despejamos ahora f '( x*) resultando:
8 f ( x * 2 h) 5 f ( x * h) 3 f ( x * 3h)
20h
siendo el error de la fórmula:
f '( x*)
R( f )
h2
(8 f '''( x *
120
1
h) 5 f '''( x *
2
R( f )
h) 81 f '''( x *
3
h)),
1
[0, 2];
2
[0,1];
3
[ 3, 0]
Así pues, es una fórmula de orden 2.
Nota: también se puede expresar el error, de forma más compacta, como:
R( f )
5.
7h 2
f '''( );
10
Dada la función
[ x * 3h, x * 2h]
, calcular la tabla de diferencias divididas para el soporte [ 2, 1, 0.,1, 2] y calcular
el polinomio interpolador de Lagrange de dicha función.
(1 punto)
Solución:
Comenzamos construyendo la tabla de diferencias divididas:
2
1
0
1
2
32 31 15 5 0
1 1 0
5
0
1 15
1
31
32
Aplicamos ahora la fórmula de Newton para obtener el polinomio interpolador de Lagrange:
p( x)
32 31( x 2) 15( x 1) 5 x
p( x) 5 x 3 4 x