ALGORITMO DEL SÍMPLEX - Departament d`Estadística i

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX
• FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA Ax = b
Forma Standard y Base factible (repaso).
Expresión de las v. básicas en función de las no básicas.
Forma tabular.
• CAMBIO DE BASE CON CONSERVACIÓN DE LA FACTIBILIDAD.
Casos singulares. Región no acotada.
Cambio degenerado de base.
• CONCEPTO DE COSTE REDUCIDO.
Cambio de base con disminución de la f.obj.
Cálculo de los costes reducidos.
• ALGORITMO DEL SÍMPLEX
Forma tabular. Fórmulas matriciales. Ejemplos
• INICIALIZACIÓN DEL ALGORITMO. (fase 0)
Método de las variables artificiales.
Cap. 3 Luenberger D.G.“Linear and Nonlinear Programming” Addison-Wesley 1984
Cap. 4 Hillier F.S., Lieberman G.J. “Introduction to Operations Research” Holden day Inc. 1986
FORMA STANDARD DE UN P. P.L.
1
Tras transformaciones, todo P.P.L. puede expresarse de la forma:
(m≤n)
• Todas las variables xi están sujetas a xi ≥ 0, i = 1, 2, … n
• Todos los términos de la derecha bi son no negativos: bi ≥ 0, i = 1, 2, … m
• La matriz de coeficientes A es de pleno rango:
Hay m columnas de A tales que al formar una matriz B con ellas,
ésta es inversible.
Todos los paquetes para P.L. convierten automáticamente a la forma Standard
Investigación Operativa
UPC
DEFINICIÓN DE BASE FACTIBLE .
2
Sistema Ax = b, x ≥ 0
B=
DEFINICIÓN: B es base factible si:
≥0
B es una base asociada al conjunto de índices {1, 4, 5}
Investigación
Operativa
I.
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
3
Sistema Ax = b, x ≥ 0
B base asociada a IB = {1, 4, 5}
≥0
Investigación Operativa
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
4
Una estrategia para resolver el P.P.L. consiste en:
1. Determinar si F=∅.
2. En caso contrario, determinar una s.b.f. (vértice) de F inicial
3. Visitar s.b.f's hasta encontrar una que sea solución de (P)
4. Determinar si la s.b.f. solución es única o existen otras
soluciones.
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
En este tema:
• Se desarrolla un método para saltar de una s.b.f. a otra vecina.
(CONSERVACIÓN DE LA FACTIBILIDAD).
• En cada salto se mejora la función objetivo.
• Se detecta si se alcanza una solución de (P) o bien si el
problema es no acotado.
• Finalmente, se desarrolla un método para encontrar una s.b.f.
inicial o bien detectar que F=∅.
ALGORITMO DEL SÍMPLEX
5
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA LINEAL Ax=b
Respecto del conjunto de índices IB = {1, 4, 5}
B xB
+
N xN
=
b
B-1 ( B xB
+
N xN ) = B-1 b
xB
+ B-1N xN = B-1 b
xB
+ Y xN
=
y0
forma tabular
6
FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA LINEAL Ax=b
7
Para el conjunto de índices asociados a una base B, IB={i1, i2 ,… , im}
xB
+ Y xN
=
y0
≥ 0 si B es base
factible
Columnas básicas
Investigación Operativa
Columnas no básicas
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD
8
IB = {1, 4, 5}
x1
x2
La forma canónica expresa la dependencia de las
variables xB respecto de las xN
xB (xN) = y0 - Y xN
Para xN = 0, xB(0) = y0; el punto xR = (y0 , 0 ) es un vértice del Poliedro.
Si B es una base factible: xB(0) ≥0;
Incrementando xN desde 0 encontraremos otros puntos xB (xN) ≥0.
Se incrementa una sola v. No básica. El resto se mantienen a cero
Investigación
Operativa
I.O.E. Diploística
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD
1
8
4
Investigación
Operativa
I.O.E.
2
9
x2
10
5
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
PIVOTACIÓN
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplomatur
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
10
UPC
CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD
11
ENTRA VARIABLE NO BÁSICA -> SALE VARIABLE BÁSICA
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD
12
CASOS SINGULARES:
IB = {1, 4, 5}
x1
x2
Incrementando x2 al menos una
v. básica crece indef.
Se detecta dirección de crecimiento ilimitado de la región
factible
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD
CASOS SINGULARES:
13
Se obtiene el
mismo punto
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
Calculad las soluciones básicas factibles para el conjunto de restricciones
14
Partiendo de la base
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
15
Sale la variable
Nueva base
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
16
x1
x2
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplo
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UPC
17
Entra
Sale
x1
x2
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
TEMA 2.c
RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX
Semana 2. Sesión 2
• Concepto de coste reducido.
Expresión de las v. básicas en función de las no básicas.
Cambio de base con disminución de la f.obj.
Cálculo de los costes reducidos.
• ALGORITMO DEL SÍMPLEX
Forma tabular. Fórmulas matriciales. Ejemplos
17
Investigación
Operativ de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
18
B xB
+
N xN
B-1 ( B xB
+
N xN ) = B-1 b
xB
=
b
+ B-1N xN = B-1 b
xB (xN) = y0 - Y xN
xB
Investigación
Operativ
I.O.E. Diplomaturaa
+ Y xN
=
y0
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UPC
CAMBIOS DE BASE DIMINUYENDO EL VALOR DE LA F.OBJETIVO
19
Se quieren encontrar las soluciones
del problema de P.L.
Investigación
Operativa
I.O.E.
Diplomatura
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UPC
20
-
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21
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
CÁLCULO DE LOS COSTES REDUCIDOS
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
22
UPC
DISPOSICIÓN EN FORMA TABULAR Y FÓRMULAS MATRICIALES.
23
Investigación
Operativa de
I.O.E. Diplomatura
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UPC
24
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
x3
B
A
VÉRTICE A
x1
x2
25
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
x3
26
B
C
VÉRTICE B
x1
x2
VÉRTICE C
ÓPTIMOS ALTERNATIVOS
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
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UPC
Recorriendo las diferentes bases
encontraríamos los puntos C, D, E, F.
x3
C
En todos ellos la f.obj. tiene igual
valor: z* = 220/15.
F
G
E
D
x1
Cualquier punto G sobre la
cara tendrá igual valor para la
f.obj.
( COMPROBADLO)
x2
27
Investigación
Operativa de Estadístic
I.O.E. Diplomatura
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX
28
• En el ejemplo anterior se examinan sólo 3 de los 9 vértices del
poliedro.
• Hay ejemplos en los que el algoritmo debe examinarlos TODOS
(Klee-Minty, 1972). ⇒ PEOR CASO POSIBLE.
x3
x2
x1
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplomatura
de Estadística
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UPC
29
EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX
En los problemas reales con n=nºvar. >> m=nº restr. :
(
A = ………….…..
Nº medio de iteraciones ≈ k
m,
)
k entre 1 y 3
!!!!
En la actualidad el SÍMPLEX continúa siendo un algoritmo
presente en casi todos los paquetes de soft. para P.L.
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SESIÓN DE
PROBLEMAS
30
Entra
Entra
Sale
Sale
Tabla óptima
Óptimo único del problema:
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31
SESIÓN DE PROBLEMAS
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
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SESIÓN DE PROBLEMAS
32
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
33
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
Sesión 2.c
RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX
Semana 3.
• ALGORITMO DEL SÍMPLEX (Repaso)
Forma tabular. Fórmulas matriciales.
• Inicialización del algoritmo. (fase 0)
Objetivos. Detección de problemas infactibles.
Método de las variables artificiales.
Problema auxiliar. Casos. Ejemplos
36
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplomatura
de Estadística
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UPC
37
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
IDENTIFICACIÓN DE BASES INICIALES FACTIBLES.
38
No es posible identificar una
base inicial factible
Investigación Operativa
í
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UPC
IDENTIFICACIÓN DE BASES INICIALES FACTIBLES.
39
VARIABLES ARTIFICIALES Y PROBLEMA AUXILIAR:
Se construye un "problema auxiliar" con las mismas variables
y coeficientes en las restricciones que en el problema original.
Se añaden las variables artificiales (≥ 0):
• Una por cada fila con una variable de exceso.
• Una por cada fila sin variable de exceso ni de holgura.
La función objetivo del problema auxiliar es la suma de las
Variables artificiales.
Investigación
Operativa
I.O.E. Dtica
í i
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UPC
40
Investigación
Operativa
I.O.E. Dica
í i
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41
Para el problema
auxiliar se obtiene
una base inicial
factible de forma
inmediata
Investigación Operativa
í i
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UPC
SOLUCIÓN del PROBLEMA AUXILIAR
42
Casos:
a) El problema auxiliar presenta una solución óptima con las
variables artific.
auxiliares ai
•
=0
Se obtiene una base inicial factible para el problema original.
⇒ El problema original tiene REGIÓN FACTIBLE no vacía.
b) El problema auxiliar presenta una solución óptima con alguna
variable auxiliar
artific. ai
•
>0
No se puede hallar base inicial factible para el problema
original.
⇒ El problema original tiene REGIÓN FACTIBLE vacía.
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í i
UPC
43
RESOLVER
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
í
UPC
44
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í
UPC
45
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í
UPC
46
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
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RESOLVER
47
í
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
48
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
í i
UPC
1/112
49
í i
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UPC
PRÁCTICA 1
Seguimiento de las iteraciones del SÍMPLEX mediante LINDO
MAX
3 X1 + 2 X2
SUBJECT TO
2)
2 X1 + X2 <=
100
3)
X1 + X2 <=
80
4)
X1 <=
40
END
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