Algebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales.

Algebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: jrico@ugto.mx
1
Operaciones con Transformaciones Lineales.
En estas notas definiremos diferentes operaciones que se pueden realizar con transformaciones lineales.
Definición de suma de transformacionales lineales. Sean S y T dos transformaciones lineales
de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ , ambos definidos sobre un campo K. La suma
S + T de las transformaciones lineales se define como
S + T : V → V′
(S + T )(~v ) ≡ S(~v ) + T (~v )
∀~v ∈ V.
Teorema. La suma de transformaciones lineales S+T : V → V′ es también una transformación lineal.
Prueba: Como ya se indicó, en las notas Álgebra Lineal X, es necesario probar que la transformación
es aditiva y homogénea. Sean ~v1 , ~v2 ∈ V dos vectores arbitrarios y sea λ ∈ K también arbitrario.
Entonces
1. Aditiva
(S + T )(~v1 + ~v2 )
=
=
S(~v1 + ~v2 ) + T (~v1 + ~v2 ) = S(~v1 ) + S(~v2 ) + T (~v1 ) + T (~v2 )
S(~v1 ) + T (~v1 ) + S(~v2 ) + T (~v2 ) = [S(~v1 ) + T (~v1 )] + [S(~v2 ) + T (~v2 )]
=
(S + T )(~v1 ) + (S + T )(~v2 )
2. Homogénea
(S + T )(λ~v1 )
= S(λ~v1 ) + T (λ~v1 ) = λS(~v1 ) + λT (~v1 ) = λ[S(~v1 ) + T (~v1 )] = λ(S + T )(~v1 )
Es importante notar que este resultado prueba que el conjunto de transformaciones lineales de un
espacio vectorial V a otro espacio vectorial V′ está cerrada bajo la operación de suma.
Definición de multiplicación por escalar de transformacionales lineales. Sea S una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ , ambos definidos sobre un
campo K. La multiplicación por un escalar λ ∈ K de la transformación lineal S, denotada por λS se
define como
λS : V → V′ (λS)(~v ) ≡ λ [S(~v )] ∀~v ∈ V.
Teorema. La multiplicación por escalar de una transformación lineal λS : V → V′ es también una
transformación lineal.
Prueba: Como ya se indicó, en las notas Álgebra Lineal X, es necesario probar que la transformación
es aditiva y homogénea. Sean ~v1 , ~v2 ∈ V dos vectores arbitrarios y sea µ ∈ K también arbitrario.
Entonces
1
1. Aditiva
(λS)(~v1 + ~v2 ) = λ[S(~v1 + ~v2 )] = λ[S(~v1 ) + S(~v2 )] = λ[S(~v1 )] + λ[S(~v2 )] = (λS)(~v1 ) + (λS)(~v2 ).
2. Homogénea
(λS)(µ~v1 )
=
λ[S(µ~v1 )] = λ[µS(~v1 )] = λµ[S(~v1 )] = µλ[S(~v1 )] = µ[λS(~v1 )] = µ[(λS)(~v1 )]
Es importante notar que este resultado prueba que el conjunto de transformaciones lineales de un
espacio vectorial V a otro espacio vectorial V′ está cerrada bajo la operación de multiplicación
por escalar.
Teorema. El conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro
espacio vectorial V′ ambos definidos sobre un campo K, junto con las operaciones de adición y multiplicación por escalar, definidas en estas notas, constituye un espacio vectorial sobre el mismo campo
K.
Prueba: De ahora en adelante el conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio
vectorial V sobre otro espacio vectorial V′ se denotará como L : V → V′ . Es necesario probar que
L : V → V′ satisface los axiomas de un espacio vectorial, donde ya se probaron las clausuras respecto a
la adición y la multiplicación por escalar. A continuación se probará el resto de los axiomas.
Sean R, S, T : V → V′ transformaciones lineales del espacio vectorial V al espacio vectorial y sean
λ, µ ∈ K. Además, suponga que ~v ∈ V es arbitrario
1. Asociatividad de la suma, se necesita probar que R + (S + T ) = (R + S) + T , por lo tanto
[R + (S + T )] (~v )
=
=
R(~v ) + (S + T )(~v ) = R(~v ) + [S(~v ) + T (~v )] = [R(~v ) + S(~v )] + T (~v )
[(R + S)(~v )] + T (~v ) = [(R + S) + T ] ~v
2. Conmutatividad de la suma, se necesita probar que R + S = S + R, por lo tanto
[R + S] (~v )
=
R(~v ) + S(~v ) = S(~v ) + R(~v ) = [S + R] (~v )
3. Existencia de un idéntico aditivo. Existe la transformación lineal Z : V → V′ definida como
Z(~v ) = ~0 ∀~v ∈ V
con la propiedad que, para todo S : V → V′ , satisface la condición S + Z = S = Z + S
(S + Z)~v = S~v + Z~v = S~v + ~0 = S~v
∀~v ∈ V
4. Existencia de un inverso aditivo. Para todo S : V → V′ existe −S : V → V′ , definida como
(−S)(~v ) = −S(~v )
∀~v ∈ V
Esta transformación lineal, satisface la condición S + (−S) = Z = (−S) + S
[S + (−S)] (~v ) = S(~v ) + (−S)(~v ) = S(~v ) − S(~v ) = ~0 ∀~v ∈ V
Con lo que queda probado el axioma.
5. Propiedad Distributiva de la Suma de Transformaciones Lineales Respecto a la Multiplicación por Escalar, se necesita probar que λ(R + S) = λ S + λ R, por lo tanto
[λ(R + S)] (~v )
=
=
λ [(R + S)(~v )] = λ [R(~v ) + S(~v )] = λ R(~v ) + λ S(~v ) = (λ R)(~v ) + (λ S)(~v )
[λ R + λ S] (~v ) ∀~v ∈ V
2
6. Propiedad Distributiva de la Suma de Escalares Respecto a la Multiplicación por
Escalar, se necesita probar que (λ + µ)R = λ R + µ R, por lo tanto
[(λ + µ)R] (~v )
=
(λ + µ) R(~v ) = λ R(~v ) + µ R(~v ) = (λ R)(~v ) + (µ R)(~v ) = (λ R + µ R)(~v )
∀~v ∈ V
7. Propiedad Pseudoasociativa, se necesita probar que (λ µ)R = λ(µ R), por lo tanto
[(λ µ)R] (~v )
=
(λ µ) R(~v ) = λ [µ R(~v )] = λ (µ R) (~v )
∀~v ∈ V
8. Propiedad del idéntico multiplicativo del campo. Sea 1 ∈ k el idéntico multiplicativo del
campo, entonces, se tiene que para todo S : V → V′ , se tiene que probar que 1 S = S
(1 S) ~v = 1 [S(~v )] = S(~v )
∀~v ∈ V
Con esto queda probado que L : V → V′ constituye un espacio vectorial sobre el campo K.
Figure 1: Representación Gráfica de la Composición de Transformaciones Lineales.
Definición de Composición de Transformaciones Lineales. Sean S : V → V′ y T : V′ → V′′
dos transformaciones lineales. El producto o composición de transformaciones lineales, T S, es el mapeo
T S : V → V′′
(T S)(~v ) = T [S(~v )]
∀~v ∈ V.
La figura 1 provee de una representación gráfica de la composición o producto de transformaciones
lineales. Note que, en general, el producto ST no está definido.
Teorema. El producto T S de dos transformaciones lineales S : V → V′ y T : V′ → V′′ es una
transformación lineal de V → V′′ .
Prueba: En primer lugar debe notarse que el dominio de la transformación lineal T S es efectivamente
V y el rango está contenido en V′′ . Considere dos vectores ~v1 , ~v2 ∈ V y λ ∈ K. Entonces
(T S)(~v1 + ~v2 )
=
T [S(~v1 + ~v2 )] = T [S(~v1 )] + T [S(~v2 )] = (T S)(~v1 ) + (T S)(~v2 ).
Por lo tanto, la transformación T S es aditiva. Similarmente
(T S)(λ~v1 ) = T [S(λ~v1 )] = T [λS(~v1 )] = λT [S(~v1 )] = λ(T S)(~v1 ).
Por lo tanto, la transformación T S es homogénea y es una transformación lineal.
Teorema. Suponga que las transformaciones lineales R, S y T tienen caracterı́sticas tales que en
cada uno de los casos la composición o producto de transformaciones lineales está bien definido y λ es un
elemento del campo sobre el cual están definidos los espacios vectoriales asociados a las transformaciones
lineales. Entonces
3
1. El producto es asociativo
R(ST ) = (RS)T.
′′
′′′
Prueba. Suponga que R : V → V , S : V′ → V′′ y T : V → V′ . Entonces, para todo ~v ∈ V, se
tiene que
[R (ST )] (~v ) = R [(ST ) (~v )] = R {S [T (~v )]} = (RS) [T (~v )] = [(RS) T ] (~v )
2. El producto es distributivo respecto a la adición
(R + S)T = RT + ST
R(S + T ) = RS + RT.
Prueba. Para la primera parte suponga que R : V′ → V′′ , S : V′ → V′′ y T : V → V′ Entonces,
para todo ~v ∈ V, se tiene que
[(R + S) T ] (~v ) = (R + S) [T (~v )] = {R [T (~v )]} + {S [T (~v )]} = (RT ) (~v ) + (ST ) (~v ) = (RT + ST ) (~v )
Para la segunda parte, las transformaciones deben definirse de manera diferente, pero el procedimiento permanece sin cambio.
3. El producto conmuta con respecto a la multiplicación por escalar
λ(ST ) = (λS)T = S(λT ).
Prueba. Suponga que S : V′ → V′′ y T : V → V′ Entonces, para todo ~v ∈ V, se tiene que
[λ (ST )] (~v )
= λ [(ST )] (~v ) = λ [S (T (~v ))] = λ [S (T (~v ))]
[(λS)T ] (~v )
[S(λT )] (~v )
= (λS) [T (~v )] = λ {S [T (~v )]} = λ [S (T (~v ))]
= S [(λT )(~v )] = {S [λ (T (~v ))]} = λ {S [(T (~v ))]} = λ [S (T (~v ))]
4. Si S : V → V′ e IV es el mapeo identidad sobre V e IV ′ , es el mapeo identidad sobre V′ entonces
S = IV ′ S = SIV .
Prueba. Suponga que S : V → V′ , IV : V → V y IV′ : V′ → V′ . Entonces, para todo ~v ∈ V, se
tiene que
2
[SIV ] (~v )
=
{S [IV (~v )]} = [S(~v )] = S(~v )
[IV ′ S] (~v )
=
{IV ′ [S(~v )]} = [S(~v )] = S(~v )
Problemas Propuestos.
Problema 1. Sean T1 : R2 → R3 y T2 : R3 → R2 transformaciones lineales cuyas reglas de correspondencia están dadas por
T1 : R 2 → R 3
T1 (x, y) = (−x + 2y, x + y, x − y)
y
T2 : R 3 → R 2
T2 (x, y, z) = (x − 3y, z + 3x)
Determine la regla de correspondencia de
T2 · T1 : R 2 → R 2
y
4
T1 · T2 : R 3 → R 3
Solución. Para la transformación T2 · T1 , se tiene que
(T2 · T1 )(x, y)
=
T2 [T1 (x, y)] = T2 (−x + 2y, x + y, x − y) = [(−x + 2y) − 3(x + y), (x − y) + 3(−x + 2y)]
=
(−4x − y, −2x + 5y)
Para la transformación T1 · T2 , se tiene que
(T1 · T2 )(x, y, z)
=
T1 [T2 (x, y, z)] = T1 (x − 3y, z + 3x)
=
=
[−(x − 3y) + 2(z + 3x), (x − 3y) + (z + 3x), (x − 3y) − (z + 3x)]
(5x + 3y + 2z, 4x − 3y + z, −2x − 3y − z)
Este resultado ilustra además que la composición de transformaciones lineales no es conmutativa.
3
Ejercicios.
Problema 1. Sea V = R2 y considere las transformaciones
S:V→V
S(x, y) = (y, x)
y
T :V→V
T (x, y) = (−x, y)
Pruebe que S y T son transformaciones lineales y pruebe que ST 6= T S. Este contraejemplo muestra
que, en general, la composición o producto de transformaciones lineales no es conmutativa.
Problema 2. Sean S y T las transformaciones definidas abajo. Determine la regla de correspondencia
de un elemento arbitrario bajo las transformaciones S + T , ST , y T S si es que están definidas.
1. T (x, y) = (x, −y, x + y)
2. T (x, y) = (−y, x)
S(x, y, z) = (x + y, x − z).
S(x, y) = (y, x).
3. T (x, y, z) = x + y + z
S(x) = (x, x, x).
Problema 3. Sean S y T transformaciones lineales del espacio de todos los polinomios de grado
menor o igual a un valor apropiado. Considere p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , y determine la imagen de p(x)
respecto a las transformaciones lineales ST y T S
1. S[p(x)] = p(x + 1), T [p(x)] =
dp
dx
2. S[p(x)] = p(x + 1), T [p(x)] = p(0)
5