Ejercicios de refuerzo y recuperación. Matemáticas 4º ESO

 COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
Paseo de los Basilios, 3
18008 Granada Ejercicios de refuerzo y recuperación. Matemáticas 4º ESO. Ecuaciones. Nombre:________________________________________________ curso: _________ Ecuaciones de 2º grado Concepto.
Una ecuación de 2º grado es una ecuación que se puede expresar de la forma:
ax 2 + bx + c = 0
donde a≠0.
Resolución de una ecuación de 2º grado.
Para resolver una ecuación de 2º grado se emplea la fórmula general:
− b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
x=
2⋅a
donde a la expresión que está dentro de la raíz se la denomina discriminante (Δ):
Δ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
En función al discriminante se pueden dar tres situaciones:
⎧
−b+ Δ
⎪x 1 =
⎪
2⋅a
Δ>0 ⇒ la ecuación tiene dos soluciones: ⎨
⎪x = − b − Δ
⎪⎩ 2
2⋅a
Δ=0 ⇒ la ecuación tiene una solución doble: x =
−b
2⋅a
Δ<0 ⇒ la ecuación no tiene soluciones, al ser la raíz cuadrada negativa.
1) Resuelve las siguientes ecuaciones. Averigua primero si la ecuación tiene dos, una o ninguna
solución
a) x 2 − 6 x + 8 = 0
b) x 2 + 6 x + 9 = 0
c) 2 x 2 + 4 x + 5 = 0
d) 3(x + 2 ) = 3x 2 − 1
e) 3x 2 − 5 = − x + x 2 − 4
f) x 2 + (x + 1) = 1
g)
x (x + 2 )
= x 2 +1
3
2
2
h) 7 x 2 + 5 − 3x = 2 x − 3x 2 + 9
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Paseo de los Basilios, 3
18008 Granada Casos particulares.
En el caso que los coeficientes b o c sean nulos, se puede resolver la ecuación de un modo más
sencillo.
Caso b=0
Estas ecuaciones tienen la forma:
ax2 + c = 0
Caso c = 0
Estas ecuaciones se expresan:
ax2 + bx =0
se resuelven despejando directamente:
se resuelven sacando factor común ‘x’:
ax2 = – c
(ax + b)x = 0
y las dos soluciones son:
⎧
−c
⎪x1 = +
a
⎪
⎨
−c
⎪
⎪⎩x 2 = − a
En este caso las dos soluciones son:
Si ‘a’ y ‘c’ tienen el mismo signo la ecuación
no tiene solución al salir la raíz negativa.
En este caso siempre has dos soluciones y
una de ellas siempre es ‘0’.
⎧x 1 = 0
⎪
⎨
−b
⎪⎩x 2 = a
2) Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando los métodos explicados en el apartado anterior
a) 3x 2 − 18 = 0
b) 2x 2 + 6 x = 0
c) 6x 2 + 12 = 0
d) 8x 2 − 12 x = 0
e) x 2 − 16 = 0
f) 4x − 8x 2 = 0
(
)
g) 3x − 2x 2 − 5 = 6(2 − x ) + 9 x
h) (x + 2) = 3x 2 + 6x + 4
2
Ecuaciones bicuadradas Concepto
Son ecuaciones bicuadradas aquellas de la forma:
ax 4 + bx 2 + c = 0
donde a≠0.
Resolución de ecuaciones bicuadradas.
Para resolver una ecuación bicuadrada se dan tres pasos:
1) cambio de variable
x 2 = z y por lo tanto x 4 = z 2
con lo que la ecuación queda:
az 2 + bz + c = 0
(
)
(
)
2) Se resuelve la ecuación de 2º grado y se obtienen las soluciones (dos, una o ninguna).
3) Se deshace el cambio de variable. Se pueden obtener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución.
x 1 = + z1
x 2 = − z1
x3 = + z2
x 4 = − z2
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Paseo de los Basilios, 3
18008 Granada 3) resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas
a) x 4 − 10 x 2 + 9 = 0
b) x 4 − 13x 2 + 36 = 0
c) x 4 − 7 x 2 − 18 = 0
c) x 4 − 16x 2 = 0
Ecuaciones polinómicas factorizables Concepto
Son ecuaciones que se pueden factorizar mediante Ruffini. Generalmente son de grado mayor
que 2.
Resolución
Se busca una raíz entera que sea divisor del término independiente. Esta es una solución. Se
aplica Ruffini y al resultado se le vuelve a aplicar Ruffini o, si es de 2º grado se resuelve
mediante el procedimiento general.
Ejemplo
Resolver la ecuación:
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 8x + 12 = 0
En primer lugar se prueban los divisores del término independiente (12) para encontrar las
raíces enteras. Se pueden probar +1, –1, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12 y –12.
Empezamos probando con x=1
14 − 2 ⋅13 − 7 ⋅12 + 8 ⋅1 + 12 =
1 − 2 − 7 + 8 + 12 = 12
no vale puesto que no se cumple la ecuación, x=1 no es solución y no vale para aplicar Ruffini.
Probamos con x= –1
(− 1)4 − 2 ⋅ (− 1)3 − 7 ⋅ (− 1)2 + 8 ⋅ (− 1) + 12 =
1 + 2 − 7 − 8 + 12 = 0
Hemos encontrado la primera solución (x = –1) y se puede aplicar Ruffini con ese valor
1 − 2 − 7 8 12
−1
−1 3
4 − 12
1 − 3 − 4 12 0
se obtiene que:
(
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 8x + 12 = (x + 1) ⋅ x 3 − 3x 2 − 4 x + 12
)
Ahora se vuelve a aplicar Ruffini al polinomio de grado 3. Se prueban con los divisores de 12
menos con x=1 que se descartó al principio.
Volvemos a probar con x = –1
(− 1)3 − 3 ⋅ (− 1)2 − 4 ⋅ (− 1) + 12 =
− 1 − 3 + 4 + 12 = 12
x = –1 ya no vale como solución. Probamos con x = 2
COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
Paseo de los Basilios, 3
18008 Granada 2 3 − 3 ⋅ 2 2 − 4 ⋅ 2 + 12 =
8 − 12 − 8 + 12 = 0
Hemos encontrado otra solución: x=2. Aplicamos Ruffini.
1 − 3 − 4 12
2
2
− 2 − 12
1 −1 − 6
Y obtenemos
0
(
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 8x + 12 = (x + 1) ⋅ x 3 − 3x 2 − 4x + 12
(
= (x + 1)(x − 2) x − x − 6
2
)
)
Para resolver el último polinomio se aplica el método general de resolución de ecuaciones de 2º
grado.
x2 − x − 6 = 0
2
Δ = (− 1) − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 25
La ecuación tiene dos soluciones:
1+ 5
⎧
− (− 1) ± 25 1 ± 5 ⎪ x 1 = 2 = 3
=
x=
⎨
2
2 ⎪x = 1 − 5 = −2
2
2
⎩
Por lo tanto la ecuación:
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 8x + 12 = 0
tiene cuatro soluciones:
x 1 = −1
x2 = 2
x3 = 3
x 4 = −2
4) Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas factorizables
a) x 3 − 6x 2 + +11x − 6 = 0
b) x 3 + 5x 2 − x − 5 = 0
c) 2x 3 − 4x 2 − 4x + 16 = 0
d) x 4 − 5x 3 − 11x 2 + 3x + 10 = 0
Ecuaciones con fracciones algebraicas Concepto.
Una ecuación con fracciones algebraicas es una ecuación en la que la incógnita aparece en algún
denominador.
Resolución de una ecuación con fracciones algebraicas
Se multiplica toda la ecuación cada uno de los denominadores que contengan la incógnita y se
simplifican en estas fracciones. Se resuelven el resto de los productos y se opera con
normalidad.
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación.
x − 1 1 2x + 1
+ =
x
2 x+3
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Paseo de los Basilios, 3
18008 Granada Se multiplica toda la educación por los denominadores que contienen la incógnita, es decir, por
‘x’ y por ‘x+3’.
⎛ x −1 1 ⎞
⎛ 2x + 1 ⎞
x (x + 3)⎜
+ ⎟ = x (x + 3)⎜
⎟
2⎠
⎝ x
⎝ x+3 ⎠
x −1
1
2x + 1
x (x + 3)
+ x (x + 3) = x (x + 3)
x
2
x+3
Ahora se simplifica y se multiplica lo que queda:
(x + 3)(x − 1) + x (x + 3) = x (2x + 1)
2
2
x + 3x
x 2 + 2x − 3 +
= 2x 2 + x
2
Se opera:
2 x 2 + 4 x − 6 + x 2 + 3x = 4 x 2 + 2 x
3x 2 + 7 x − 6 = 4 x 2 + 2x
x 2 − 5x + 6 = 0
Se resuelve la ecuación de 2º grado:
x 1 = 3 y x2 = 2
y se puede comprobar en la primera ecuación que ambas son soluciones.
5) Resuelve las siguientes ecuaciones.
4
1
−
=2
a)
x+3 x−2
c)
5 − 2x
3
=
3
1− x
b)
2
1
2
+
=
x −1 x +1 8 − x
d)
2
x
=
x −1 x + 2
Ecuaciones con radicales Concepto.
Una ecuación con radicales es aquella en la que la incógnita aparece dentro de un radical.
Resolución de una ecuación con fracciones algebraicas
Se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación buscando cancelar el radical con el
cuadrado. Para ello en un miembro debe estar solo una raíz.
- A veces es necesario repetir el proceso más de una vez.
- Hay que comprobar cual de las soluciones obtenidas es la correcta para la ecuación original.
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación.
x + 1 + 3 = 2 + 12 − x
despejamos de modo que en uno de los miembros quede solo un radical:
x + 1 + 1 = 12 − x
elevamos los dos miembros al cuadrado para eliminar el radical de 2º miembro
(
) ( 12 − x )
2
x +1 +1 =
2
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18008 Granada En el primer miembro se resuelve el cuadrado de un binomio. En el segundo se cancelan
directamente el radical y la potencia.
(
)
2
x + 1 + 12 + 2 ⋅ x + 1 ⋅1 = 12 − x
Se realizan las operaciones del primer miembro.
x + 1 + 1 + 2 ⋅ x + 1 = 12 − x
x + 2 + 2 ⋅ x + 1 = 12 − x
Se despeja el radical que queda de modo que se quede solo en uno de los miembros. El factor 2
que multiplica al radical se puede dejar:
2 ⋅ x + 1 = 12 − x − x − 2
2 x + 1 = 10 − 2x
Se vuelven a elevar al cuadrado los dos miembros de toda la ecuación:
(2
)
x + 1 = (10 − 2 x )
2
2
Se vuelven a desarrollar ambos cuadrados
2
4(x + 1) = 10 2 + (− 2x ) − 2 ⋅ 10 ⋅ 2x
Se opera y se ordena:
4x + 4 = 100 + 4x 2 − 40 x
4 x 2 − 44 x + 96 = 0
x 2 − 11x + 24 = 0
Las soluciones son:
x 1 = 3 y x2 = 8
pero solo x = 3 es solución de la primera ecuación.
6) Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 2 x + 1 = 3
c) x − x + 5 = x + 9
b)
x −1 − x + 7 = 0
d)
4x + 1 − x + 2 = 1