Algebra 3ª parte

MAX PLANCK
VIÑA DEL MAR
CEAVI
1
INICIACIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO
OBSERVA
1 ¿Cuál es el siguiente paso a realizar, una vez se ha multiplicado el miembro izquierdo de una
igualdad por 5, para que ésta se mantenga?
Si se aplica la misma operación en ambos miembros de una igualdad, ésta se mantiene. En consecuencia, si
se ha multiplicado el primer miembro de la igualdad por 5, se deberá multiplicar igualmente por 5 su segundo
miembro.
2 Las igualdades algebraicas pueden dividirse en dos clases: identidades y ecuaciones. Explicar en qué
se diferencian una y otra, y poner dos ejemplos de cada clase.
La diferencia entre ecuaciones e identidades estriba en que, en una identidad, la igualdad se verifica para
cualquier valor por el que se sustituyan sus literales, mientras que en una ecuación, la igualdad se cumple
sólo para determinados valores de los literales. Se pueden citar muchos ejemplos de identidades y ecuaciones.
Aquí se darán algunos. Como ejemplos de identidades se ofrecen 3x + 6x = 9x y 2x = x + r, son muestras de
ecuaciones las igualdades 3x + 5 = 8 y –5x – 3 = 10.
3 Decir si la expresión 3 • 3x + 6x = 15x es una identidad o una ecuación, y por qué.
Es una identidad, ya que si se simplifican las operaciones del primer miembro, se comprueba que el resultado
coincide con el segundo miembro de la identidad, sin que importe el valor que se asigne al literal.
4 Decir si la siguiente expresión es una identidad o una ecuación: Es una identidad, ya que si se hacen las
cuentas correspondientes al primer miembro se comprueba fácilmente que el resultado coincide con el segundo
miembro de la igualdad.
EJERCICIOS
5 La expresión 3x + 8 = 5, ¿es una identidad o una ecuación?
6 Decir si la siguiente expresión 5 + 5 + 5 = 15 es una identidad o una ecuación.
7 Clasificar la igualdad 5x = 3x + x + x entre las identidades o las ecuaciones.
8 Averiguar si la siguiente igualdad: x + x – x + x – x – x = es una identidad o una ecuación
9 La expresión x + 1 + 3 = x + 4, ¿es una identidad o una ecuación?
10 Decidir si 10 = x – 3 es una identidad o una ecuación.
11 ¿Es 2 • (x + 4) = 2x + 8 una identidad o una ecuación?
12 Decir a qué clase de igualdades pertenece:
6x = 2x
3
13 Decir si (a + b)2 = a2 +2ab + b 2 es una identidad o una ecuación.
OBSERVA
14 ¿Se puede hacer la operación conocida como transposición de términos en una ecuación? ¿Con qué fin se
aplica?
Sí, siempre que se respeten las condiciones que mantienen la igualdad de origen. Se usa para despejar la incógnita,
es decir, dejarla aislada en un miembro de la ecuación, y encontrar así su solución.
15 Averiguar si la expresión 8(x + 8) – 9 = 15 es una identidad o una ecuación. En caso de ser
ecuación. Resolverla.
Para averiguar de qué tipo de igualdad se trata, lo mejor es dar los primeros pasos para simplificar la expresión,
hasta averiguar qué sucede. Lo primero que se debe hacer es eliminar el paréntesis, haciendo las operaciones
correspondientes, en este caso, la multiplicación: 8x + 64 – 9 = 15
Seguidamente, se ejecutan las sumas, y queda:
8x + 55 = 15
Si a ambos miembros de la igualdad se les resta 55, se obtiene:8x + 55 – 55 = 15 – 55
Al efectuar las restas, se tiene 8x = –40. Por fin, se despeja la incógnita, pasando el coeficiente 8 que la multiplica
a dividir el otro miembro, y se obtiene, una vez simplificada la operación x = –5. Así pues, como sólo el valor –5
cumple la igualdad. se trataba de una ecuación, de la que –5 es la solución. Como se habrá observado, el
método aplicado permite decidir de qué clase de igualdad se trata, al mismo tiempo que, si se tiene una
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2
ecuación, ésta se resuelve. Aunque en algunos casos sea muy fácil diferenciar a simple vista si se trata de una
ecuación o de una identidad, se aconseja, al menos hasta adquirir práctica, simplificar la expresión propuesta e
intentar solucionarla como si fuera una ecuación.
EJERCICIO
16 Averiguar si la siguiente expresión: (5a2 + 2)2 = 25a4 + 20a2 + 4 es una ecuación o una identidad. ¿Qué tipo
de solución tiene?
INTRODUCCIÓN Y USO DE LA INCÓGNITA EN LA TRADUCCIÓN AL LENGUAJE
ALGEBRAICO DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES SENCILLAS
OBSERVA
17 Si a la mitad de un número se le suma 4, da 10. Hallar el número.
Lo primero que se debe hacer es analizar el enunciado, averiguar qué se pide y que datos aporta. En este caso se
pide el valor de un cierto número y se ofrece como dato la equivalencia entre el valor 10 y el valor que se obtiene
del número a encontrar tras dividirlo por 2 y sumarle 4 al resultado. Al número que se pide, es decir, a la
incógnita, se le asigna el literal x. A continuación se procede al planteamiento del problema. El enunciado dice
que a la mitad del número le suma 4, que en el lenguaje del álgebra se escribe: ( x/2 )+ 4
El enunciado afirma también que esta cuenta debe ser igual a 10. El planteamiento del problema se completa,
por tanto, con la ecuación: ( x/2 )+ 4 = 10
Para resolverla, primero se restará 4 a cada miembro: ( x/2 )+ 4 – 4 = 10 - 4
Haciendo las operaciones de suma y resta, resulta:
En este punto, para despejar la incógnita x, basta con efectuar la transposición del coeficiente 2, que la divide en
el primer miembro, y pasarlo como multiplicador al segundo miembro: x = 2 • 6 = 12. Una vez obtenido 12 como
solución, debe comprobarse el resultado: si se toma el 12 y se divide por 2, da 6, y si se le suma 4 al resultado, da
10, que coincide con el segundo miembro de la igualdad. Por tanto, la ecuación se ha resuelto de forma correcta.
EJERCICIOS
18 Si al quíntuplo de un número se le suma 4, resulta 14. Hallar dicho número.
19 Si se multiplica un número por 10, y al resultado se le resta 8, da 22. ¿De qué número se trata?
20 Si un número se multiplica por 9, resulta lo mismo que si se multiplica por 5 y al resultado se le suma 28.
¿Cuál es dicho número?
21 Si al doble de un número se le suma 5 da 13 Calcular el valor de tal número.
22 Si al triple de un número se le resta 3, es igual a 24. ¿Cuánto vale el número en cuestión?
OBSERVA
23 Hallar tres números proporcionales a 5, 6 y 8 , sabiendo que su suma debe dar 152.
Para ser proporcionales a los números dados, los que se piden han de ser sus múltiplos por un mismo factor,
al que se designará como x. Los números que se piden serán 5.v, 6x y 8x, respectivamente. Como su suma es 152,
el planteamiento de este problema es:
5x + 6x + 8x = 152
Se agrupan los términos semejantes y queda 19x = = 152. Se transpone el coeficiente de x al otro miembro y
se logra el factor de proporcionalidad: x = 152
x=8
19
Los números pedidos en el enunciado son 5 • 8 = 40. 6 • 8 = 48 y 8 • 8 = 64. Se comprueba que son proporcionales a 5, 6 y 8, ya que se han obtenido multiplicando éstos por un mismo número, y además su suma es
152.
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EJERCICIOS
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24 Dar tres números proporcionales a 2, 3 y 7. cuya suma sea 312.
25 Tres números suman 102, y son proporcionales a 10, 11 y 13. ¿Cuáles son?
26 Hallar tres números proporcionales a 4, 6 y 12, cuya suma sea 110.
OBSERVA
27 Encontrar dos números, separados por dos unidades, tales que su suma sea 82.
Si se llama x al menor de los números buscados, el mayor será x + 2, por estar separado por dos unidades; se
observa con ello que, aunque se buscan dos números diferentes, no hay dos incógnitas distintas, ya que una de
ellas se puede expresar en función de la otra. Como el enunciado pide que su suma valga 82, el
planteamiento del problema es el siguiente: x + (x + 2)= 82
Si se agrupan los términos semejantes, se tiene la ecuación 2x = 80. Por transposición del coeficiente 2, que
multiplica la incógnita y pasa a dividir el segundo miembro, se despeja la x, que resulta .v = 40. Como el
segundo número es igual a x + 2, será 42. Ya se tiene la solución del problema: los números buscados son 40 y
42. Si se comprueba el resultado, se verifica que están separados por dos unidades (42 — 40 = 2), y que su suma
da 82, por lo que se concluye que el problema está bien resuelto.
EJERCICIOS
28 Dar dos números, separados por dos unidades, sabiendo que suman 36.
29 ¿Qué dos números suman 566, y uno es igual al otro más 2?
30 Hallar dos números naturales consecutivos, sabiendo que su suma da 263.
31 Encontrar tres números que cumplan las siguientes condiciones: el primero debe ser igual al segundo
más 2, y el segundo, igual al tercero más 2; además, el doble del primero, más el tercero, ha de ser igual al
segundo más 10.
OBSERVA
32 Marta se ha gastado 11,50 dólares en la compra de un cuaderno y tres rotuladores. ¿Cuál es el precio
de cada artículo, si el cuaderno vale el doble que un rotulador?
Si se designa por x el menor de los precios, es decir, el de un rotulador, se tiene que lo que Marta ha pagado es x
+x+x por la compra de tres rotuladores, y 2x por la compra del cuaderno, ya que el enunciado dice que el
cuaderno vale el doble que un rotulador. Entonces, Marta en total ha pagado x + x + x + 2x. El enunciado del
problema también dice que esta cantidad pagada es igual a 11,50 dólares. De todos estos datos, se tiene que el
planteamiento del problema es el siguiente: x + x + x + 2x = 11,50
Si se agrupan los términos semejantes, se tiene que 5x = 11.50. Por último, se despeja la x, pasando el 5 a
dividir el otro miembro de la igualdad: x = 11,50 = 2,3
5
Así, cada rotulador cuesta 2,3 dólares y, como el cuaderno vale el doble, su precio es 4,6 dólares. La verificación
del problema asegura que la solución es correcta.
EJERCICIOS
33 Un rotulador cuesta 80 centavos más que un bolígrafo. ¿Cuánto cuesta cada uno, si por tres bolígrafos y dos
rotuladores se han pagado 4,10 dólares?
34 Repartir 680 u.m. entre dos personas, de forma que la primera se lleve el triple que la segunda.
35 Dividir 1 000 dólares por tres personas, de manera que la primera reciba el doble que la segunda, y ésta, el triple
que la tercera.
36 Un yogurt de frutas cuesta 10 centavos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno, si se pagan
2,6 dólares por cuatro naturales y seis de frutas?
37 Un niño compra 5 bolígrafos y le sobran 2 dólares. Si hubiese necesitado comprar 9 bolígrafos, le habría
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faltado 1 dólar. ¿Cuánto vale un bolígrafo? ¿Cuánto dinero lleva?
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38 En las rebajas una señora compra tres camisas y dos pantalones por 126 u.m. El precio de un pantalón es el
doble que el de una camisa. ¿Cuánto cuesta cada artículo?
39 Marta gasta la mitad de su dinero en la entrada de un concierto y la quinta parte en una hamburguesa
¿Cuánto dinero tenía si aún le quedan 2,70 dólares?
40 Se ha gastado un tercio del dinero que se tenía en patatas y un cuarto en zanahorias. Aún han quedado 12
u.m. ¿Cuánto dinero se tenía?
OBSERVA
41 Alejandro tiene 15 años, su hermana 12 y su madre 40. ¿Cuántos años deben pasar para que
entre los dos hijos igualen la edad de la madre?
Como la pregunta del enunciado es el número de años que deben pasar para que entre los dos hijos
igualen la edad de la madre, se denotará por x este número de años. Si Alejandro tiene ahora 15 años,
cuando pasen x años tendrá 15 + x. Por un razonamiento similar, su her mana tendrá 12 + x, y su
madre, 40 + x. En ese lapso de tiempo, la suma de las edades de los hijos se igualará a la edad de
la madre, por lo que el planteamiento del problema es el siguiente:
(15 + x) + (12 + x) = 40 + x
Tras eliminar los paréntesis y sumar los términos semejantes de cada miembro, se tiene: 27 +2x = 40 +x. Por
transposición, el término 27 pasa de sumarse en el primer miembro a restarse en el segundo, y la
incógnita x, que sumaba en el segundo, pasa al primero restando: 2x – x = 40 – 27. Al reducir, se
tiene x = 13. Así, deberán pasar 13 años para que se cumpla la condición del enunciado, es decir, que
entre los dos hijos igualen la edad de la madre. Se puede comprobar que, en ese tiempo, Alejandro
tendrá 15 + 13 = 28 años; su hermana, 12 + 13 = 25 años, y su madre, 40 + 13 = 53 años. Por
último 28 + 25 = 53. La solución es correcta.
EJERCICIOS
42 Un padre tiene 40 años, y su hijo, 10. ¿Cuántos años tienen que pasar para que el padre tenga el doble
de edad que el hijo?
43 La edad de la señora Purificación es 6 veces la de su nieta Beatriz, pero de aquí a 6 años, sólo será el
cuádruplo. ¿Qué edad tiene cada una?
44 Juan tiene el doble de edad que Raúl y Laura tiene tres años más que Juan. Si la suma de sus
edades es 43, ¿cuál es la edad de cada uno?
4 5 J o r ge t ie ne 2 8 a ño s me no s q ue s u p ad r e y 2 4 años más que su propio hijo. ¿Cuál es la edad
de cada uno si se sabe que entre los tres suman 100 años?
46 Ana tiene 9 años más que Andrea y de aquí a 3 años la doblará en edad. ¿Cuántos años tiene
cada una ahora?
47 Paula y Petra tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre, Ana, tiene 35 años. ¿Cuántos años
deben pasar para que, entre las dos hijas igualen la edad de la madre?
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ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que se cumplen solamente para ciertos valores de
los literales. Estos valores son conocidos como las soluciones de la ecuación. La diferencia entre una identidad y
una ecuación es que una identidad es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple siempre, sean
cuales sean los valores de las letras. Son identidades, por ejemplo:
3x + 2x = 5x
(a + 1)2 = a2 + 2a + 1
Se comprueba fácilmente que estas igualdades se cumplen para cualquier valor de x, de a o de h. En cambio,
las ecuaciones sólo se cumplen para determinados valores de la incógnita, es decir, de la letra. Así, la ecuación: 5
— x = 2 sólo se cumple para x = 3
Cuando se desarrolló el simbolismo algebraico, las ecuaciones se convirtieron en el instrumento indispensable
para reducir problemas complejos a términos más simples. La introducción por Descartes de los sistemas de
coordenadas permitió representar las ecuaciones en forma gráfica, mediante líneas y puntos, materializando de
este modo su condición de expresiones de interrelaciones entre variables, lo que contri huyó a que naciera el
concepto de función.
DEFINICIONES BÁSICAS
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a un lado y otro del signo de
igualdad (.). Los términos son los sumandos que forman los miembros. Los términos sin x se llaman
términos independientes. Según estas definiciones, en la ecuación: 5x — 7 = 2x + 2
5x — 7 y 2x + 2 son los miembros primero y segundo, respectivamente; 5x, —7, 2x y 2 son los términos, y —7 y 2
son los independientes, ya que en ellos no aparece la variable x. La letra x es la incógnita de la ecuación
Las ecuaciones que tienen las mismas soluciones son conocidas como ecuaciones equivalentes. Si se suman,
restan, multiplican o dividen por un mismo número (siempre y cuando sea distinto de cero en la división) los dos
miembros de una igualdad, se obtiene otra equivalente.
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el exponente o grado máximo de las variables que intervienen en
ellas. Normalmente, dicha clasificación se hace respecto de una variable determinada de la ecuación. La
ecuación 3x 2 y + 7xy 2 – 3y 3 = 13 es de segundo grado en x, y de tercer grado en y, puesto que el exponente
mayor con el cual aparece x es 2, y el de y es 3.
Este valor es el único para el que la igualdad se cumple, y se puede comprobar su corrección si al reemplazar en la ecuación original la incógnita x por 9, se obtiene una igualdad: 2 . 9 +3 = 21
La jerarquía de operaciones da prioridad a la multiplicación, por lo que queda: 18 + 3 = 21
Al sumar los términos del miembro izquierdo, se obtiene la igualdad buscada, que confirma la validez de 9
como solución: 21 = 21
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE LA TRANSPOSICIÓN DE
TÉRMINOS
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Las ecuaciones más sencillas son las ecuaciones de primer grado en que sólo aparece una incógnita, llamadas
con frecuencia ecuaciones lineales. Para resolver, por ejemplo, la ecuación 2x + 3 = 21, se aplica el
procedimiento de la transposición de términos, cuyo objetivo es dejar la incógnita sola en un miembro y los
términos independientes en el otro. En la transposición, para mover al otro miembro de la ecuación los términos
que se suman, éstos han de pasar a restarse. De manera similar, los términos que se restan pasan a sumarse, los
que multiplican cambian de término dividiendo, y los que dividen pasan a multiplicar en su nueva posición.
La resolución de la ecuación anterior mediante el método de transposición de términos sería la siguiente:
2x + 3 = 21
Para agrupar los términos independientes, se pasa el 3 al otro miembro de la igualdad, pero con valor
negativo: 2x = 21 – 3
A continuación, se simplifica la expresión de los términos agrupados:
2x = 18
Finalmente, se despeja la x pasando 2 (su coeficiente) a dividir el término independiente: x = 18/2
Esta fracción indica que el resultado es:
x = 9.
En la práctica, conviene comprobar la solución cada vez que se resuelva una ecuación, es decir, sustituir en
ella los valores encontrados para las incógnitas y observar si la igualdad se verifica. Si la comprobación
falla, puede afirmarse que se ha cometido algún error en la resolución (o en la misma comprobación).
Ecuaciones lineales con incógnita en ambos miembros
Para resolver la ecuación 6x + 4 = 4x – 2, se agrupan los términos independientes en un miembro y los
términos que poseen incógnitas en el otro, mediante la transposición de términos: 6x – 4x = –2 – 4
Al agrupar los términos de ambos lados resulta: 2x = –6
Por último, se despeja la x, al transformar el coeficiente 2 en divisor del otro miembro: x = – 6/2, Esta igualdad
es equivalente a: x = –3
Sea ahora la ecuación 3– x/2 = 3x+ 17. Se empieza a solucionar pasando 3x al primer miembro, para agrupar
los términos en x, y el 3 al segundo, para reunir los términos independientes, con lo que se obtiene:
-x/2 – 3x = 17 - 3
Tras simplificar el segundo miembro, se escribe x/2 – 3x = 14
Ahora se debe calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los diferentes denominadores, para expresar
con un solo denominador común todos los términos de la ecuación. Como el m.c.m. de 2 y 1 (puede
considerarse que cualquier número entero tiene denominador 1) es 2, se obtiene:
-x - 6x
= 28
2
2
2
Obsérvese que para mostrar el 2 como denominador, el coeficiente —3 y el término independiente 14
han debido modificarse, de forma que se mantuvieran sus valores; Una vez toda la ecuación aparece con un
denominador común, se puede prescindir de éste, puesto que lo que se obtiene es una ecuación
equivalente, fruto de multiplicar los dos miembros de la igualdad por 2, y después simplificar este 2 con el
denominador. Se tiene, pues: —x — 6x = 28 Al simplificar términos: —7x = 28
Se trata ahora de una situación conocida, que es muy cercana a la solución. Tras despejar la incógnita,
se pasa a: x = 28 / -7
Finalmente, al hacer la división de los términos independientes a la derecha de la igualdad, se consigue la
solución: x = - 4
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PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS EXPRESADOS EN ECUACIONES LINEAL
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7
En general, cuando se trata de resolver algún problema consistente en hallar uno o varios números
desconocidos (incógnitas) que cumplan determinadas condiciones, se representan tales incógnitas mediante letras, que se consideran como si fuesen los números que se buscan, y se someten a las mismas
operaciones que deberían efectuarse para comprobar si cumplen las condiciones impuestas. La
indicación de tales operaciones es lo que se llama planteamiento del problema.
Las ecuaciones lineales aparecen asociadas a la mayoría de problemas algebraicos que suelen plantearse
en el marco de la vida cotidiana, por ejemplo: ¿Cuál es la distancia que ha de recorrer un excursionista que
sigue un determinado itinerario, si sabe que, cuando ha recorrido 2/5 del camino, está todavía a 1 km de la
mitad de la ruta prevista? Si se designa con x la distancia que se quiere calcular, la figura siguiente
ayuda a convertir el enunciado anterior en una ecuación.
X
x/2
2x/5
┴ 1
Tal como se aprecia en esta figura, y según el enunciado, resulta que 2x/5 + 1 (dos quintas partes del
camino total, más 1 km) ha de ser igual a x/2 (la mitad del camino total). De esta manera, se puede establecer
la ecuación: 2x/ 5 + 1 = x/2
A continuación, se agrupan los términos que contienen x en un miembro de la ecuación, se busca m.c.m , se
prescinde del denominador común , y se resuelve la ecuación 5x – 4x = 10
Se simplifica el miembro de la izquierda y se obtiene la solución: x= 10
Por lo tanto. el valor buscado será x = 10 km., es decir, la distancia que ha de recorrer el excursionista al
seguir dicho itinerario.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MEDIANTE LA TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS
1 Resolver la siguiente ecuación: 30 +x = – 42
Es una ecuación aditiva, por lo que se aplica el método de transposición de términos: de este modo, se deja la
incógnita en un miembro y los términos independientes en el otro: x = –42 – 30
Se simplifica el miembro derecho de la igualdad y se tiene la solución de la ecuación: x = -72
EJERCICIOS RESUELTOS
2 Resolver la siguiente ecuación: x + 2 = 7
3 Hallar la solución de x - 7 = 3.
4 Hallar el valor de la incógnita x en: x + 5 = 3
OBSERVA
5 Hallar el valor de x para resolver la ecuación: 32x= 44
Se trata de una ecuación multiplicativa, por lo que se debe pasar el coeficiente de la incógnita x al otro
miembro de la igualdad como divisor: 44 x= 32
x = 32
44
Esta fracción se puede simplificar. Como el máximo común divisor de 32 y 44 es 4, se tiene que: x = 8
11
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EJERCICIO
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8
6 Determinar el valor de x en: -42 = -15x
7 ¿Cuánto vale x en la ecuación – x = 15?
OBSERVA
8 Encontrar la solución de: 9x+ 5 = 10
Esta ecuación es una combinación de los dos tipos propuestos en los ejercicios anteriores. Por ello, primero
se agruparán los términos independientes: 9 x = 1 0 - 5
Una vez simplificados, resulta:
9x = 5
Ahora ya se tiene una ecuación multiplicativa, y se sabe que, para determinar el valor de x, debe pasarse
su coeficiente como divisor al otro miembro de la igualdad: x= 5 / 9
EJERCICIOS
9 Resolver la siguiente ecuación: 4 – 5X = 30
10 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación siguiente? 3 – X = 2
OBSERVA
11 Determinar el valor de x en: x+ 2(x - 3) = 9 , Para resolver esta ecuación, debe tenerse en cuenta la
jerarquía de las operaciones. En primer lugar debe eliminarse el paréntesis, teniendo en cuenta la multiplicación:
x+ 2x– 6 = 9, Tras ello, se aplica la transposición de términos para agrupar los términos en x y los
independientes: x + 2x = 9 + 6
Se simplifican ambos miembros de la igualdad: 3x = 15
Se despeja x pasando el coeficiente 3 como divisor de 15: x 15/33
Y, por último, se simplifica la expresión anterior: x = 5
EJERCICIOS
12 Resolver la ecuación: 2x – 27 = 3(2 – 3x)
13 Encontrar el valor de x en: 4(2 – 3x) = 8(6 + 2x) + 72
14 Indicar la solución de: 4(x – 5) = –2(x – 3)
OBSERVA
15 Resolver
3
2x + 1 = 1
6 18
En este problema deben tenerse en cuenta todas las propiedades vistas en los problemas anteriores, y además
antes deberá calcularse el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores para obtener fracciones
con el mismo denominador. Así pues, como el m.c.m. de 3, 6 y 18 es 18, se tiene:
12x + 3 = 1
18
18 18
Una vez hecho esto, se puede prescindir de los denominadores y trabajar solamente con los numeradores
(recuérdese que esta operación es válida, ya que equivale a multiplicar los dos miembros de la igualdad por
el valor del denominador común, y luego simplificar): 12x + 3 = 1
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VIÑA DEL MAR
Se agrupan los términos independientes mediante la transposición: 12x = 1 –3
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9
Se simplifican: 12x = –2
Y sólo queda despejar la incógnita, es decir, pasar el coeficiente 12 que la acompaña al otro lado de la
igualdad como divisor. Así pues: x = 2 / 12
Esta expresión aún puede simplificarse. Si se dividen el numerador y el denominador por su máximo común
divisor, que es 2, se tiene la solución final:
EJERCICIOS
16 ¿Cuánto vale x en la siguiente ecuación?
4x -
5
1
6
17 Determinar el valor de la incógnita x en: 4x + 1
5
10
2
18 Hallar la solución de: 3x +
1 = 17
8
18
9
1 = -5
=
3
19 Hallar la solución de: 5(x - 1) + 7(x + 2) = 4 + 2x – 4
6
5
3
20 Resolver, teniendo en cuenta lo estudiado, la ecuación: 5(x - 4) + 3 = 6x + 12 + x
21 ¿Cuánto vale x en la ecuación siguiente? 5 – 4(5 – x) = 2(3 – 2x) + 1
22 Determinar la solución de: 3x - 7x = 2x - 9
2 4
4
PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS EXPRESADOS EN ECUACIONES LINEALES
OBSERVA
23 Encontrar un número que, si se multiplica por 5 y se suma 3 al resultado, da el mismo valor que si se
multiplica por 8 y se suma 1 al resultado
En primer lugar, asignaremos una letra al número que se busca, por ejemplo, x. Entonces, multiplicar este
número por 5 y sumarle 3 se expresa como 5x + 3. y multiplicarlo por 8 y sumar 1 al resultado, como 8x
+ 1. Así. la igualdad inducida por el enunciado es 5x + 3 = 8x + I
Se transponen términos para que los que llevan x queden agrupados al lado izquierdo de la ecuación y los
independientes, al derecho: 5x - 8x = 1 -3 Se simplifica: -3x = -2
Si se multiplica toda la ecuación por -1, da como resultado otra equivalente: 3x = 2
Se despeja por último la x, pasando el coeficiente -3 como divisor al otro miembro de la igualdad. y se
obtiene el valor de la incógnita: x = 2 / 3
EJERCICIOS
24 Encontrar un número que, si se multiplica por y se le suma 5 al resultado, da 20
25 Averiguar de qué número su triple es igual a sir doble más 1.
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VIÑA DEL MAR
10
26 Hallar un número tal que su doble, aumenta& en una unidad, sea igual a su triple, disminuido ea tres
unidades.
27 Si a la quinta parte de un número se le añaLiem 9 unidades, se obtiene la mitad del mismo. ¿De
qué número se trata?
28 ¿Qué número, si se le suma 2 y se multiplica por 5 el resultado, da lo mismo que si se le suma 3 y se
multiplica el resultado por 2?
29 Si al triple de un número se le restan 12 unidades, se obtiene 87. ¿Cuál es dicho número?
30 Si se resta 5 a 2/3 de un número, da el mismo resultado que si se le suma 2 a sus 3/5 . ¿Cuál es este
número?
OBSERVA
31 El doble de la edad que tenía una perso na tres años atrás es la mitad de la edad que tendrá de aquí a
6 años. ¿Cuántos años tiene ahora?
Se plantea la ecuación llamando x al dato que se quiere encontrar. En este caso, x representa los años que tiene
ahora el sujeto del problema. Así pues, hace 3 años tenía x – 3 años, y el doble de esta cantidad será 2(x3). Por otra parte, la edad que tendrá dentro de 6 anos será x + 6, por lo que su mitad será (x + 6) / 2
Por ello, la ecuación que se deriva del enunciado es la siguiente: 2(x – 3) = (x + 6) / 2
Se eliminan los paréntesis, Se agrupan los términos con la incógnita x, y también los términos independientes:
Ahora, para seguir trabajando, el denominador 2 del miembro de la derecha pasa como factor de multiplicación
al de la izquierda: 2(2x – 6) = x + 6
Se simplifica:
4x– 12 = x + 6
4x – x = 6 + 12
Al simplificar de nuevo, se obtiene:
3x = 18
Se despeja el factor 3, como divisor en el miembro de la derecha: x= 1 8 / 3
Por último, se efectúa la división, y se determina que x = 6, por lo que la respuesta es 6 años.
EJERCICIO
32 En un edificio hay 4 plantas. En la primera hay la sexta parte de los vecinos; en la segunda, la cuarta
parte; en la tercera, la quinta parte y, en la última la tercera parte más 9 vecinos. ¿Cuántos vecinos viven en el
edificio?
OBSERVA
33 La suma de dos números consecutivos es 101. ¿Cuáles son?
Para solucionar este problema, se seguirán una serie de pasos. En primer lugar, debe elegirse la incógnita: se
denotará mediante x el número menor de ambos. A continuación, se plantean las condiciones del problema:
son números consecutivos, por lo que el número mayor ha de ser x + 1. Además, la suma de ambos números es
101, por lo tanto x + (x + 1) = 101. Se eliminan los paréntesis: x + x + 1 = 1 0 1
Se usa la transposición de términos con el objetivo de agrupar los independientes: x + x= 101 — 1
Se simplifican ambos términos y se tiene: 2x = 100, Tras despejar x, queda x = 100 / 2
x = 50, Una vez hallado el menor, es sencillo obtener el mayor: puesto que es igual a x + 1,
es 50 + 1 = 51. Los números buscados son 50 y 51.
MAX PLANCK
VIÑA DEL MAR
CEAVI
11
EJERCICIOS
34 Encontrar dos números consecutivos, la suma de los cuales sea 85.
35 Calcular tres números naturales consecutivos si se sabe que su suma es igual al doble del mayor
36 Hallar dos números enteros consecutivos tales que el doble de su suma sea igual a tres veces el mayor.
37 Descomponer el número 48 en una suma de dos números tales que uno sea el quíntuplo del otro
38 Juan tiene el doble de edad que Miguel, y Laura 3 años más que Juan. Si la suma de sus edades es 38, ¿qué
edad tiene cada uno?
39 Las edades de un padre y un hijo suman 51. De aquí a tres años la edad del padre será el doble que la del
hijo. ¿Cuántos años tienen?
OBSERVA
40 En un corral hay patos y conejos, de manera que se cuentan 54 cabezas y 148 patas. ¿Cuánto= animales
hay de cada clase?
Para solucionar este tipo de problemas, debe encontrarse una diferencia de orden matemático entre los patos
y los conejos para poder diferenciarlos, y poder determinar cuántos animales hay de cada especie. El
enunciado ofrece una pista: hay 54 cabezas y 148 patas. Es natural, entonces, caer en la cuenta que la diferencia
entre patos y conejos es que los primeros sólo tienen 2 patas mientras que los conejos 4 tienen Si
designamos con x el número de patos, debe haber 54 — x conejos, pues sólo así sumarán 54 cabezas. Ya que
cada pato (x en total) tiene 2 patas, el total de las de estas aves será 2x. Como cada conejo (54 — x en total) tiene
4 patas, las de conejo serán 4(54 — x). El enunciado asegura, además, que la suma de estos dos valores da 148.
Así pues, la ecuación será: 2x + 4(54 — x) = 148
Se resuelve la ecuación de esta manera operando en primer lugar con los paréntesis:
2x + 216 — 4x = 148
Se agrupan los términos en x y los independientes en distintos miembros de la ecuación: 2x – 4x = 148 — 216
Se simplifica: —2x = —68
Se despeja el coeficiente –2 como divisor en el otro miembro de la igualdad, y por las reglas de los signos de los
cocientes se tiene x = 6 8 /2
Por último, el resultado de esta división es: x = 34. Así pues, hay x = 34 patos y, como se sabe que los
conejos son 54 – x, entonces habrá 54 – 34 = 20 conejos
41 La suma de dos números enteros es 30. La mitad del mayor más una quinta parte del menor suman 12.
¿Qué números son?