Cinemática I Vectores Sistema de referencia Coordenadas

Cinemática I
Vectores
Sistema de referencia
Coordenadas Cartesianas
Coordenadas cilíndricas y polares
Coordenadas esféricas
Vectores
Vector = Flecha que apunta en cierta dirección y con cierto largo.
En coordenadas Cartesianas:
z
a~
az
ax
ay
y
x
Largo del vector: |~a| = a =
 
ax
a~ = ay 
az
q
ax2 + ay2 + az2
Propiedades de vectores
I
Adición: ~a + ~b = ~c
c~
b~
a~
I
Sustracción: ~a − ~b = ~c
b~
a~
~
−b
c~
I
Multiplicación: s · ~a = ~c
a~
c~ = s a~
Productos de vectores
I
Producto escalar:
~a • ~b = ~b • ~a = ax bx + ay by + az bz
= |~a| · |~b| · cos ∠(~a, ~b)
I
Producto vectorial:


ay bz − az by
~a × ~b = az bx − ax bz 
ax by − ay bx
~a × ~b = −~b × ~a
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin ∠(~a, ~b)
(~a × ~b) ⊥ ~a, ~b
I
Producto directo:

ax bx
~a ⊗ ~b = ay bx
az bx
ax by
ay by
az by

ax bz
ay bz 
az bz
Uso del producto escalar
1. Probar la ortogonalidad:
~a ⊥ ~b
~a • ~b = |~a| · |~b| · cos ∠(~a, ~b) = 0
⇐⇒
2. Obtener largo del vector:
|~a| = a =
sX
ai2 =
√
~a • ~a
i
Entonces:
~a • ~a = ~a2 = a2
3. Proyección...
Proyección de vector ~a en dirección de vector ~b
a~
a⊥
b~
ak
ak =
~b
|~b|
!
• ~a
Prueba:
~b ak = |~a| · cos ∠(~a, ~b) = |~a| · · cos ∠(~a, ~b) = ~a •
|~b| ~b
|~b|
!
Producto vectorial
Regla “bac-cab”:
~a × ~b × ~c = ~b · (~a • ~c ) − ~c · ~a • ~b
Descomposición de ~a en direcciones k y ⊥ a ~b
a~
a~ ⊥
b~
a~ k
~a = ~ak + ~a⊥
"
! #
~b
~ak =
• ~a ·
|~b|
|
{z
}
~b
|~b|
!
=ak
~a⊥ =
~b
|~b|
!
"
× ~a ×
~b
|~b|
!#
Prueba:
a~
a~ ⊥
a~ k
"
~a⊥
b~
! #
!
~b
~b
= ~a − ~ak = ~a −
• ~a ·
|~b|
|~b|
"
!
!# "
! #
!
~b
~b
~b
~b
= ~a ·
•
• ~a ·
−
|~b|
|~b|
|~b|
|~b|
|
{z
}
=1
! "
!#
~b
~b
=
× ~a ×
aplicar ’bac-cab’
|~b|
|~b|
Uso de vectores en la Física
1. Propiedad que tiene magnitud y dirección: Velocidad,
Aceleración, Fuerza, Torque, Momento angular, etc.


1,3
~v =  2,4  m/s
−4,2
2. Posición de un punto de un objeto en el espacio:
z
 
0,5
r~ =  4  m
3
~r
y
x
¡Vector empieza en el origen del sistema de referencia!
Sistema de referencia
Sistema de referencia = marco arbitrariamente elegido en el
espacio 3D
I Requerimiento: 3 vectores de base {~
e1 , ~e2 , ~e3 } linealmente
independientes.
Usualmente se emplean 3 vectores orto-normales y completos:
1. Ortogonalidad y Normalización:
~ei ⊥ ~ej ∀i 6= j y |~ei | = 1 ∀i — o equivalentemente:
~ei • ~ej = δi,j
con el “delta de Kronecker”:
1, i = j
δi,j =
0, i =
6 j
2. Completitud (los ~ei cubren todo el espacio 3D)


1 0 0
X
~
~ei ⊗ ~ei = ~I = 0 1 0
i
0 0 1
Descomposición de un vector arbitrario ~a:
~a =
3
X
ai · ~ei
i=1
con las proyecciones (componentes) de ~a en direcciones ~ei :
ai = ~ei • ~a
Prueba:
~ej • ~a = ~ej •
X
ai · ~ei
i
=
X
=
X
i
i
ai · (~ej • ~ei )
| {z }
=δi,j
ai δi,j = aj
Coordenadas Cartesianas
{~e1 , ~e2 , ~e3 } 7−→ {~ex , ~ey , ~ez }
z
z
~r
e~ z
(x , y , z )
y
e~ x
e~ y
y
x
x
Descomposición de un vector de posición ~r :
 
x
~r = x · ~ex + y · ~ey + z · ~ez = y 
z
x = ~ex • ~r , y = ~ey • ~r , z = ~ez • ~r
Coordenadas cilíndricas
{~e1 , ~e2 , ~e3 } 7−→ {~eρ (φ), ~eφ (φ), ~ez }
z
z
(ρ, φ, z )
e~ φ(φ)
e~ z
φ
~r
y
e~ ρ(φ)
ρ
x
Transformación de Cartesiano a cilíndrico:
p
ρ =
x2 + y2
φ = arctan (y /x)
z
= z
Transformación de cilíndrico a Cartesiana:
x
= ρ · cos φ
y
= ρ · sin φ
z
= z
Descomposición de un vector de posición ~r en vectores de base
cilíndricas:
~r = ρ · ~eρ (φ) + z · ~ez
donde:
ρ = ~eρ (φ) • ~r
z = ~ez • ~r
Para una posición se necesitan solamente los dos vectores de base
~eρ (φ) y ~ez .
Pero: ¡Eso no funciona para la velocidad o la aceleración!
Coordenadas polares
Coordenadas polares = Coordenadas cilíndricas sin la variable z.
y
(ρ, φ)
~r
e~ φ(φ)
ρ
e~ ρ(φ)
φ
x
Coordenadas esféricas
{~e1 , ~e2 , ~e3 } 7−→ {~er (θ, φ), ~eθ (θ, φ), ~eφ (θ, φ)}
z
θ
r
(r , θ, φ)
e~ φ(θ, φ)
~r
e~ r (θ, φ)
φ
e~ θ (θ, φ)
x
Transformación de Cartesiano a esférico:
p
r =
x2 + y2 + z2
p
θ = arctan
x 2 + y 2 /z
φ = arctan (y /x)
y
Transformación de esférico a Cartesiana:
x
= r · cos φ · sin θ
y
= r · sin φ · sin θ
z
= r · cos θ
Descomposición de un vector de posición ~r en vectores de base
esféricas:
~r = r · ~er (θ, φ)
con:
r = ~er (θ, φ) • ~r
Para una posición se necesita solamente es vectores de base
radial ~er (θ, φ).
Pero: ¡Eso no funciona para la velocidad o la aceleración!
Vectores de base en coordenadas Cartesianas
Cartesianos
 
1
~ex = 0
0
 
0
~ey = 1
0
 
0
~ez = 0
1
Cilíndricos


cos φ
~eρ (φ) =  sin φ 
0


− sin φ
~eφ (φ) =  cos φ 
0
 
0
~ez = 0
1
Esféricos


cos φ · sin θ
~er (θ, φ) =  sin φ · sin θ 
cos θ


cos φ · cos θ
~eθ (θ, φ) =  sin φ · cos θ 
− sin θ


− sin φ
~eφ (φ) =  cos φ 
0