Programa oficial de la Asignatura

Matemáticas III – Andalucía Tech – GIE
Grado de Ingeniería de la Energía
1. Coordinadora sede Sevilla
Encarnación Algaba Durán
Dpto. Matemática Aplicada II
Universidad de Sevilla
2. Objetivos
A) Generales
El objetivo común de las asignaturas que conforman la materia de Matemáticas,
perteneciente al módulo de formación básica en ingeniería, es el de formar al titulado
en los fundamentos matemáticos necesarios para la formulación y resolución de
problemas complejos relacionados con su futura actividad profesional.
El alumno habrá cursado con anterioridad las asignaturas de Matemáticas I y
Matemáticas II, en que se habrán cubierto los contenidos fundamentales de cualquier
asignatura de álgebra lineal y de cálculo, respectivamente, correspondientes al primer
curso de un grado en ingeniería.
El objetivo fundamental de la asignatura de Matemáticas III, plasmado en el programa
de la asignatura, es el estudio de las herramientas básicas correspondientes al cálculo
en varias variables en el nivel de primer curso de ingeniería, que serán necesarias para
el seguimiento de otras asignaturas a lo largo de los estudios de la titulación.
B) Específicos
Los objetivos específicos de la asignatura de Matemáticas III son: en lo que respecta al
cálculo diferencial, el estudio de límites, continuidad y diferenciabilidad de las funciones
de varias variables, y su aplicación a la optimización de campos escalares; en lo que
respecta al cálculo integral, la resolución de integrales de línea, integrales múltiples e
integrales de superficie, así como sus aplicaciones; en lo relativo al a geometría
diferencial, la introducción de conceptos básicos y su aplicación a curvas y superficies;
y en lo referente a las ecuaciones en derivadas parciales, la introducción de conceptos
básicos y de las ecuaciones del calor, de ondas y de Laplace.
3. Contenido
A) Bloques temáticos
1. Funciones de varias variables. Diferenciabilidad.
2. Optimización de campos escalares.
3. Geometría diferencial.
4. Integrales múltiples.
5. Integrales de línea.
6. Integrales de superficie.
7. Ecuaciones en derivadas parciales.
B) Temas
1. Funciones de varias variables. Diferenciabilidad.
Campos escalares y vectoriales. Límites y continuidad. Derivadas parciales y derivadas
direccionales. Diferenciabilidad de campos escalares y vectoriales: vector gradiente y
matriz jacobiana. Derivadas de orden superior. Derivación implícita y teorema de la
función implícita.
2. Optimización de campos escalares.
Formas cuadráticas y matrices simétricas reales. Extremos relativos de campos
escalares. Extremos absolutos de campos escalares. Multiplicadores de Lagrange.
3. Geometría diferencial.
Curvas regulares. Triedro de Frenet. Superficies parametrizadas. Primera y segunda
forma fundamental. Curvaturas.
4. Integrales múltiples.
Integrales dobles. Cambio de variables: coordenadas polares. Integrales triples.
Cambio de variables: coordenadas cilíndricas y esféricas.
5. Integrales de línea.
Integral de línea. Campos conservativos. Potencial. Rotacional.
diferenciales exactas. Cálculo vectorial en el plano: Teorema de Green.
Ecuaciones
6. Integrales de superficie.
Integrales de superficie. Divergencia. Cálculo vectorial en el espacio: Teorema de
Stokes y Teorema de Gauss.
7. Ecuaciones en derivadas parciales.
Introducción. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Ecuaciones de
Laplace, de ondas y del calor.
4. Competencias
Los contenidos anteriores se corresponden a la competencia básica “Capacidad para la
resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en ingeniería. Aptitud
para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial;
cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales;
métodos numéricos, algorítimica numérica; estadística y optimización”.
En la asignatura Matemáticas III se desarrolla la aptitud para aplicar los conocimientos
sobre geometría diferencial, cálculo diferencial e integral y ecuaciones en derivadas
parciales.
En concreto, en cada bloque temático se pretende que el alumno obtenga las
siguientes capacidades:
1. Funciones de varias variables. Diferenciabilidad.
Calcular límites en un punto de campos escalares.
Identificar campos escalares y vectoriales continuos.
Manejar el concepto de diferencial, calcular derivadas parciales de todos los órdenes,
calcular la matriz jacobiana. Derivadas direccionales.
Calcular el vector gradiente de un campo escalar, conocer su significado geométrico y
usarlo para resolver problemas geométricos.
Identificar funciones diferenciables y funciones de clase C^k.
Calcular derivadas de funciones definidas de forma implícita.
Aplicar el teorema de la función implícita para resolver problemas.
2. Optimización de campos escalares.
Calcular el polinomio de Taylor de un campo escalar.
Encontrar los puntos críticos de un campo escalar y clasificarlos por el signo de la
forma cuadrática definida por la matriz hessiana.
Encontrar extremos absolutos de un campo escalar. Teorema de Weierstrass.
Usar los multiplicadores de Lagrange para calcular extremos relativos condicionados
para ecuaciones en el plano y en el espacio.
3. Geometría diferencial.
Identificar curvas regulares. Encontrar parametrizaciones de curvas en el espacio y
curvas planas en coordenadas rectangulares y polares.
Calcular la longitud de una curva.
Encontrar los vectores tangente, normal y binormal de una curva en el espacio.
Calcular la curvatura y la torsión e interpretarlas.
Calcular parametrizaciones de una superficie de revolución.
Usar parametrizaciones de superficies cuádricas para resolver problemas relacionados
con la ingeniería.
Calcular el plano tangente y el vector normal de una superficie en el espacio.
Calcular la aplicación de Gauss en algunos casos.
Usar la primera y segunda forma fundamental para calcular la curvatura de Gauss y
curvatura media.
Encontrar puntos llanos, elípticos, hiperbólicos, umbílicos, etc.
4. Integrales múltiples.
Resolver integrales dobles y triples en distintos tipos de recintos.
Usar el cambio de variable para cambiar el recinto de integración. Interpretación del
jacobiano.
Calcular distintos problemas de cálculo de áreas y volúmenes así como aplicaciones a
los problemas de la física y de la ingeniería.
Identificar problemas que se resuelven cambiando a coordenadas cilíndricas o
esféricas.
5. Integrales de línea.
Calcular integrales de línea de campos escalares y vectoriales.
Identificar campos conservativos y calcular su potencial. Integración en campos
conservativos.
Calcular el rotacional de un campo vectorial. Usar el teorema de Green en regiones
simplemente conexas y múltiplemente conexas. Aplicar los resultados a ecuaciones
diferenciales exactas. Factores integrantes.
6. Integrales de superficie.
Calcular integrales de superficie para campos escalares y campos vectoriales.
Reconocer superficies delimitadas por curvas de Jordan y cuando la orientación es
compatible con la parametrización.
Usar el teorema de Stokes para calcular integrales de superficies.
Calcular la divergencia. Reconocer superficies cerradas. Orientación exterior. Usar el
teorema de Gauss para calcular integrales de superficies.
7. Ecuaciones en derivadas parciales.
Conocer los conceptos más generales y algunos casos elementales en que las
ecuaciones se puede integrar con relativa facilidad.
Reconocer el papel fundamental de las ecuaciones en derivadas parciales en muchas
áreas de la física y la ingeniería, a través de ecuaciones como las del calor, la ecuación
de ondas y la ecuación de Laplace.
Otras competencias específicas de Matemáticas que se encuentran también en las
otras asignaturas de la materia son:
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Capacidad para expresarse correctamente utilizando el lenguaje de la
matemática.
Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se
faciliten su análisis y su solución.
Capacidad para la construcción y uso de modelos matemáticos.
Dominio de los conceptos básicos de la matemática superior.
Capacidad para formular problemas de optimización y toma de decisiones e
interpretar las soluciones en los contextos originales de los problemas.
Capacidad para trabajar con datos experimentales y contribuir a su análisis.
Capacidad para comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos.
5. Bibliografía
•
Alberca Bjerregaard, P.; Martín Barquero, D. Métodos matemáticos. Integración
múltiple. Teoría y ejercicios resueltos. Ed. RAMA, 2007.
•
Besada Moráis, M.; García Cutrín, F.J.; Mirás Calvo, M.A.; Vázquez Pampín, C.
Cálculo diferencial en varias variables: problemas y ejercicios tipo test resueltos.
Ed. Ibergaceta, 2011.
•
Gadella, M.; Nieto, L.M. Métodos matemáticos avanzados para ciencias e
ingeniería. Ed. Universidad de Valladolid, 2000.
•
Galán García, J.L. Análisis vectorial para la ingeniería: teoría y problemas. Ed.
Bellisco, 1998.
•
Galán García, J.L.; Galán García, M.A.; Rodríguez Cielos, P.; Padilla
Domínguez, Y. Ampliación de matemáticas para la ingeniería: teoría, problemas
y tratamiento en derive. Ed. Bellisco, 2006.
•
Larson, R.; Hostetler, R.P.; Edwuards, B.H. Cálculo (vol. II). Ed. MacGraw-Hill,
2006.
•
Marsden, J.E.; Tromba, A.J. Vector calculus. Ed. Freeman and company, 2003.
Además de la bibliografía anterior, el profesor podrá proporcionar a los alumnos
guiones (apuntes) de teoría y problemas, que ayuden a los alumnos a conseguir los
objetivos y competencias mencionados anteriormente.
6. Evaluación
Durante el curso existen dos convocatorias oficiales, una al final del cuatrimestre y otra
en Septiembre. En estas convocatorias oficiales, la evaluación se realizará en base a
una prueba que consistirá en la resolución de problemas teórico-prácticos y que medirá
la asimilación y aplicación por parte del alumno de los contenidos expuestos en los
diferentes temas del programa desarrollado, así como la capacidad de
interrelacionarlos.
Asimismo, los alumnos disponen de una forma de evaluación alternativa que se
desarrollará a lo largo del cuatrimestre, que podrá incluir uno o varios exámenes
eliminatorios, el último de los cuales puede coincidir en fecha con la convocatoria
oficial, así como una evaluación continua que valorará la realización de prácticas de
laboratorio con diverso software informático, de problemas individuales, de trabajos en
grupo, la asistencia a seminarios, etc. En el caso de que se lleve a cabo la evaluación
continua, el peso asignado para el cálculo de la calificación final será del 70%
correspondiente a la realización de exámenes y del 30% correspondiente a la
evaluación continua.
7. Metodología docente
Las clases se impartirán en pizarra y podrán contar con la ayuda de soporte
informático. Se fomentará la participación activa del alumno en dichas clases.
Éstas serán, por un lado, expositivas, utilizándose como estrategia didáctica,
fundamentalmente, la exposición verbal por parte del profesor de los contenidos sobre
la materia objeto de estudio, pero fomentando en todo momento la participación del
alumno. Por otro lado, podrán realizarse prácticas en las que se desarrollen actividades
de aplicación de los conocimientos a situaciones concretas y de adquisición de
habilidades básicas y procedimentales relacionadas con la materia objeto de estudio.
Estas prácticas pueden ser del tipo de prácticas de laboratorio, prácticas de campo,
clases de problemas, prácticas de informática, etc. En cualquier caso, se orientará y
supervisará el estudio y trabajo autónomo del estudiante, de modo que se
responsabilice de la organización de su trabajo y de la adquisición de las diferentes
competencias según su propio ritmo, haciendo énfasis sobre la asunción de la
responsabilidad y el control del proceso personal de aprendizaje por parte del
estudiante.
8. Actividades programadas
Además de las clases magistrales en las que el profesor desarrolla de forma expositiva
los temas del programa de la asignatura y de las de resolución de problemas en las
que el profesor propone ejercicios que se resuelven con la participación activa de los
estudiantes, se podrán programar a lo largo del curso, a criterio del profesor, diversas
sesiones de prácticas de laboratorio para la resolución de problemas de la asignatura
con la ayuda de algún software informático, así como seminarios con contenido que
complemente los conocimientos que se van adquiriendo durante el curso. En
cualquiera de los casos, el profesor puede usar las nuevas tecnologías y los campos
virtuales como apoyo a la práctica docente.
Las clases magistrales estarán encaminadas – aunque no exclusivamente – a la
adquisición de conocimientos generales, mientras que la resolución de problemas y
realización de prácticas se orientan fundamentalmente a competencias técnicas, y las
exposiciones orales y debates a competencias relacionadas con las actitudes
personales (saber ser) y sociales (saber convivir).
9. Grupos para realizar las actividades docentes
La subdivisión en grupos reducidos dependerá del número de alumnos matriculados en
la titulación.
10. Horarios
El centro publicará un calendario para el desarrollo de las citadas actividades.
11. Fechas de evaluación
Las fechas de los exámenes oficiales se determinan según el procedimiento
establecido por el centro, quien publica a comienzos de cada curso un calendario con
las fechas de dichos exámenes. Las fechas de las pruebas alternativas (no oficiales)
serán comunicadas por el profesor a los alumnos con la suficiente antelación.
12. Firma de actas
El profesor de cada asignatura será el responsable de la firma de las actas
correspondientes en su respectiva universidad.