ORDEN EN R
REPRESENTACION DE LOS NUMEROS REALES EN LA RECTA:
La
recta real
Todos los números reales se pueden representar sobre la recta, cumpliéndose las
siguientes propiedades:
a) A todo número real le corresponde un punto y sólo un punto sobre la
recta.
b) A cada punto de la resta le corresponde un número real. No hay ningún
punto de la recta graduada que no le corresponda un número real.
c) Nunca podremos decir que dos números reales son consecutivos porque
entre ellos hay infinitos números reales.
Por ejemplo: 4,23 y 4,24 no son consecutivos porque entre ellos están
por ejemplo los siguientes números:
4,23003, 4,231, 423222222, 4,230000000001….
Para representar en la recta un número real hay que distinguir entre aquellos que
tienen un número limitado de decimales, los cuales se pueden localizar en la recta
con precisión.
Por ejemplo: 2,125
Y aquellos que tienen un número ilimitado de decimales, los cuales se pueden
situar por aproximación.
00:40 / 00:41
Por ejemplo: 2,1333…
Podemos decidir con qué nivel de aproximación presentarlo:
Representación de los números reales en una recta numérica
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros
son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Tiene
su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente
hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una
correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo
para este conjunto.
Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y lasustracción simple, implicando
especialmente números negativos.
Ejemplo:
La recta numérica incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica
mostrada arriba, los números negativos se representan hacia la izquierda y los positivos hacia la
derecha.
Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que
represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del
origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.
La representación de un número real sobre la recta se hará de un modo u otro según el tipo
de número que sea:
Ejemplo
Representación de un número racional expresado en forma decimal (1,16) y otro
expresado en forma fraccionaria (94). En ambos casos la técnica a utilizar es la
misma, dividir el segmento en tantas partes iguales como necesitemos.
Empezamos por representar el número racional 1,16:
número racional 94:
El resto de los puntos de la recta representan números reales
diferentes de lo enteros; los números racionales que vienen
representados mediante fracciones se pueden construir utilizando
el Teorema de Tales.
Ejemplo:
Para construir el número 4/5 tendremos que subdividir el segmento de
extremos 0 y 1 en cinco partes iguales, para ello trazaremos una recta
por el punto 0 distinta a la recta real que pasa por el 1. A continuación
se harán sobre ella cinco segmentos iguales 0A, AB, BC, CD, DE y se
unirá el punto final E del último segmento con el 1. Posteriormente se
trazarán líneas paralelas a la que pasa por el 1 y el E por los puntos A,
B, C, D. El punto de corte en la recta real, de la recta construida que
pasa por D, será 4/5
Algunos números irracionales se pueden construir mediante teoremas
geométricos, como el Teorema de Pitágoras, utilizando regla y compás.
Un ejemplo es
,
Relaciones de orden en R.
Definición de orden
Dados dos números reales cualesquiera a y b, se dice
que a es menor o igual que b, y se escribe a ≤ b si se
verifica que b – a ∈ ℝ +, es decir:
Relación de orden
La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a y se lee “b mayor o
igual que a”
Cuando a ≤ b y a ≠ b, s escribe a < b y se lee “a menor
estrictamente que b”
La relación a< b se escribe también b > a y se lee “b mayor
estrictamente que a”
Por ejemplo, si a = 2,2568 y b = 2,2569, se verifica que a ≤
b ya que b – a ∈ ℝ +. Como existe una biyección entre el
conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos
de la recta r, esta biyección transporta la estructura de
orden de ℝ a la recta.
De esta forma, dados dos puntos A y B de la recta, que son
abscisas de los números reales a y b, respectivamente, se
dice que A precede a B y se escribe A≤B si a es menor o
igual a b, es decir:
El punto A precede al punto B en la recta real
Ejemplo:
A≤B, ya que sus abscisas a = -2 y b = 1 verifican la relación -2≤1
Esta relación es de orden total en ℝ y en consecuencia el par (ℝ , ≤) es
un cuerpo totalmente ordenado
La relación “menor o igual” es un orden total en ℝ
Por cumplirse las siguientes propiedades:
Reflexiva: Para todo número real a, se cumple que a ≤ a ya
que a – a = 0 ∈ ℝ +.
Antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a, entonces se cumple que a = b:
a≤b⇒b−a∈R+yb≤a⇒a−b∈R+⎫⎭⎬⎪⎪⇒b−a=a−b=0⇒a=b
Transitiva: Si a ≤ b y b ≤ c, entonces se cumple que a ≤ c:
a≤b⇒b−a∈R+yb≤c⇒c−b∈R+⎫⎭⎬⎪⎪⇒b−a+c−b=c−a∈R+⇒a≤c
Entonces también se cumple la siguiente propiedad:
Tricotomía: Para cualquier a, b se verifica que a ≤ b o b ≤ a.
Esta propiedad también se llama propiedad de orden
total y también se puede formular de la siguiente
forma:
a<b o b<a o a =b
totalmente ordenado.
Análogamente, el conjunto de puntos de la recta r
con la ordenación ≤ es un conjunto totalmente
ordenado.
En consecuencia, el conjunto de los números
reales con la ordenación ≤ es un conjunto
La ecuación de la función de valor absoluto es: y =
I x I o f(x) = I x I
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por
lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del
eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
La gráfica de la función valor absoluto tiene la forma de una V
Gráfica:
Para poder realizar una gráfica de valor absoluto se obtiene evaluando la función para
algunos valores de x. Luego se hace una tabla de valores para la variable x y la variable y . Se crea
un plano cartesiano y finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
Dominio y Recorrido:
Dominio:
Recorrid
Ejemplo:
INTERVALO
Definición:
Los Intervalos son una herramienta matemática que se utiliza para delimitar un conjunto
determinado de números reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3] describe el conjunto de números
reales que se encuentran entre -5 y 3.
{-5,… -4,99… ,…, -4,9 ,………, 2,9… , 2,99… , 3}
Tipos de intervalos:
1. Intervalo abierto: este tipo de intervalo como es abierto por ambos lados no se incluye “a” y “b”
en el conjunto de números que delimita.
[a, b> Notación de intervalo
{x є R / a<x<b} Notación del conjunto
Gráfico del intervalo
Ejemplo:
<-3, 7> Notación de intervalo
{x є R / -3<x<7} Notación de conjunto
En este caso, el conjunto que se delimita no incluye los números -3 y 7
porque se trata de un intervalo abierto por ambos lados
.Gráfico del intervalo
2. Intervalo Cerrado: este tipo de intervalo como es cerrado por ambos lados incluye “a” y “b” en
el conjunto de números que delimita.
[a, b] Notación del intervalo
{x є R / a ≤ x ≤ b} Notación del conjunto
Gráfico del intervalo:
Ejemplo:
[-4, 8] Notación de intervalo
{x є R / -4 ≤x≤ 8} Notación del conjunto
En este caso, el conjunto que se delimita incluye los números -4 y 8 porque se trata de un intervalo
cerrado por ambos lados
Gráfico del intervalo:
3. Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por el lado
izquierdo incluye “a” y como es abierto por el lado derecho no incluye “b” en el conjunto
que delimita.
[a, b> Notación del intervalo
{x є R / a ≤x < b} Notación del conjunto
Gráfico del intervalo:
3. Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo
incluye “a” y como es abierto por el lado derecho no incluye “b” en el conjunto que delimita.
[a, b> Notación del intervalo
{x є R / a ≤x < b} Notación del conjunto
Gráfico del intervalo:
4. Intervalo abierto por la izquierda: este tipo de intervalo como es abierto por el lado
izquierdo no incluye “a” y co4. Intervalo abierto por la izquierda: este tipo de intervalo
como es abierto por el lado izquierdo n4. Intervalo abierto por la izquierda: este tipo de
intervalo como es abierto por el lado izquierdo no incluye “a” y como es cerrado por el lado
derecho incluye “b” en el conjunto que delimita.
<a, b] Notación del intervalo
{x є R / a < x ≤ b} Notación del conjunto
Gráfico del intervalo:o incluye “a” y como es cerrado por el lado derecho incluye “b”
en el conjunto que delimita.
<a, b] Notación del intervalo
{x є R / a < x ≤ b} Notación del conjunto
Gráfico del intervalo:mo es cerrado por el lado derecho incluye “b” en el conjunto
que
delimita.
<a,
{x
b]
є
R
/
Notación
a
<
x
≤
del
b}
Notación
intervalo
del
conjunto
Gráfico del intervalo:
3. Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por
el lado izquierdo incluye “a” y como es abierto por el lado derecho no incluye
“b” en el conjunto que delimita.
[a, b> Notación del intervalo
{x є R / a ≤x < b} Notación del conjunto
