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1
Encontrar raíces de funciones es uno de los
problemas más comunes en ingeniería
 Los métodos numéricos para encontrar raíces de
funciones son utilizados cuando las técnicas
analíticas no pueden ser aplicadas.
 Esto último depende, en gran medida, de la
naturaleza de la función f(x).

Clase 6
2
PV  RT 

V


V
2


2 1
f
 ln(Re
)C
f k
8
V3
 i zij F
     F (1  q)  0
i
En general puede representarse por :
f ( x)  0
Clase 6
3
f ( x)  0
y = f(x)
0
x
Solución
Clase 6
4
Dada una función f(x)
 Se trata de hallar un valor x*
tal que : f(x*)=0


Es decir, encontrar las soluciones de la ecuación
f(x) = 0

Este procedimiento será más o menos
complicado dependiendo de la expresión
algebraica de la función f(x).
Clase 6
5

Solución Iterativa
A partir de un valor inicial x0
Se genera una secuencia
x0, x1, x2, x3, ….. Xn
lim
*
xn /
xn  x
n 
Clase 6
6
Raíces de Funciones:
Conceptos básicos

Error del método
En  xn  x*
Restricciones
a) x* se sitúa dentro de
I  a, b f ( x)  f ( x)  C
b)
Hay una sola raiz en I
( x  R)
*
7
Clase 6 6
Clase
7
Estimar un valor inicial para la
solución buscada
 Usar una fórmula para actualizar
(acelerar) la solución aproximada
 Usar un criterio para detener el
proceso de actualización

Clase 6
8
Métodos Iterativos
Conceptos Básicos
Inicio
Aproximaci
ón Inicial
NO
Fórmula de
Actualizació
n
Converg
e?
Fin
SI
Clase 6
9
Debe distinguirse entre el proceso
iterativo completo y la fórmula de
actualización
 La verificación del término
“Satisfactorio” del proceso es esencial y
debe Anticipar todas las posibles salidas
del método iterativo
 Debe incluirse test de validación de la
consistencia de datos

Clase 6
10

Criterios de convergencia
› Error Absoluto
f ( x ) 
xi 1  xi 
› Error Relativo
f ( xi 1 )  f ( xi )

f ( xi )
Clase 6
xi 1  xi

xi
11

Existen muchos métodos para hallar raíces de
funciones:
›
›
›
›
›
›

Método de Bisección
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante
Método de Método de la Regla Falsa (Regula Falsi)
Método de Punto fijo
Método de Wegstein
Todos estos métodos comparten las mismas
características:
Clase 6
12

La búsqueda de la raíz se inicia en:
› un intervalo conocido donde se
encuentre la raíz o,
› un punto inicial cercano a la raíz.

La raíz encontrada es una aproximación a
la raíz
Clase 6
13


Encuentra la raíz de una función dado un
intervalo
Se basa en el teorema de Bolzano:
Teorema de Bolzano:
Si f(x) es una función continua en el intervalo
[a, b], y si, además, en los extremos del
intervalo la función f(x) toma valores de signo
opuesto (f(a)*f(b) < 0), entonces existe al
menos un valor c  (a, b) para el que se
cumple: f(c) = 0.
Clase 6
14
Método de la Bisección:
1. Establecer:
f(x): función a la cual se le busca una raíz.
[a, b]: intervalo para iniciar la búsqueda
 > 0 : margen de error
2. Calcular:
c = (a+b)/2
si |f(c)| <  entonces,
c es la raíz, finalizar.
de lo contrario,
si f(a)*f(c)<0 entonces,
b = c
de lo contrario,
a = c
3. Repetir el paso 2 hasta que se finalice.
y = f(x)
Y
a
c
a
cb
c
b
X
Existe
una
el c
intervalo
[a,
b]
ya
que
f(a)*f(b)
<lo
0
de
Sea
Volvemos
Como
c la
= raíz
(a+b)/2.
araíz
calcular
seen
encuentra
Si
f(c)
= (a+b)/2
(a+b)/2.
en =
el
intervalo
0 entonces
ySirepetimos
f(c)
[c,
[a,
c=
es
b]
c]
el
0laporque
proceso
entonces
raíz, de
f(c)*f(b)
f(a)*f(c)
hasta
c contrario,
es(Teorema
la
que
raíz,
se<la
de
obtenga
0,
raíz
lo se
Bolzano)
encuentra
contrario,
entonces
la
raíz. cambiamos
la
enraíz
el intervalo
se encuentra
el valor
[a, de
en
c]b
aelsipor
intervalo
f(a)*f(c)
el de c.
[a, <
c]0sió f(a)*f(c)
en el intervalo<[c,
0 ó en
b] el
si
f(c)*f(b)
intervalo
[c, <b]0.si f(c)*f(b) < 0.
Clase 6
16
Ejemplo:
Hacer un programa en MATLAB que permita obtener
la raíz de la función por el Método de la Bisección:
f ( x) 
1
1

6
2
2
( x  0.3)  0.01 ( x  0.9)  0.04
Clase 6
17
Ejemplo: La función
1
1
f ( x) 

6
2
2
( x  0.3)  0.01 ( x  0.9)  0.04
Clase 6
18
Clase 6
19
Ejemplo:
Interfaz Gráfica
Clase 6
20
Y
X1  X 0 
X 2  X1 
f ( X1 )
f ´( X 1 )
f (X0)
f ´( X 0 )
Cuál es el valor
aproximado
para la raíz?
y = f(x)
X2 X1
X
X0
( Xeje
) de la línea tangente a la gráfica
Aproximación
La
aproximación
inicial:
X21 es
X0la intersección conf el
n 1X
X

X

,n 1
n
n 1
de f en (X10, f(X10))
f ´( X n 1 )
Clase 6
21
X n  X n 1 



f ( X n 1 )
,n 1
f ´( X n 1 )
La anterior función corresponde a la intersección
de la recta tangente de f(x) en Xn-1 con el eje
de las X.
Dicha intersección, llamada Xn, corresponde a
una aproximación de la raíz para la función
f(x), cuando f(Xn)=0 ó f(Xn) ≤ epsilon
Este método no siempre es convergente.
Clase 6
22

El método es atrapado por una raíz imaginaria de
la función f(x):
Clase 6
23

Cuando la raíz es un Punto de Inflexión: f’’(x)=0
Clase 6
24

El método “cae” en un punto máximo ó mínimo (o
en sus cercanías):
Clase 6
25
Método de Newton-Raphson:
Algoritmo
f(x): función cuya raíz se va a encontrar.
f’(x): derivada de f(x)
X0 : punto de inicio partir del cual se va a iniciar el
proceso.
2. Si f(X0)=0 entonces la raíz es X0,
de lo contrario:
f (X0)
Calcule X1 mediante la ecuación: X 1  X 0 
f ´( X 0 )
haga X0 igual a X1.
3. Repetir el paso 2 hasta que |f(X0)| ≤ epsilon
4. Mostrar X0
Clase 6
26
Ejemplo:
Hacer un programa en MATLAB que permita obtener
la raíz de la función por el Método de Newton1
1
Raphson:
f ( x) 

6
( x  0.3) 2  0.01
Clase 6
( x  0.9) 2  0.04
27
Ejemplo: La función
1
1
f ( x) 

6
2
2
( x  0.3)  0.01 ( x  0.9)  0.04
Clase 6
28
Ejemplo: La derivada
f ( x) 
 2( x  0.3)
( x  0.3)
2

2( x  0.9)
 ( x  0.9)
 0.01
Clase 6
2
2

 0.04
2
29
Parte de un intervalo [x0,x1]
 Estima la pendiente de la recta que une los
extremos del intervalo como:

f’(x0)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

Sustituye f’(x0) en el método de Newton
para calcular la nueva raíz como:
f ( X 0 )( X 1  X 0 )
X2  X0 
f ( X1)  f ( X 0 )

Los dos últimos puntos obtenidos x1, x2 se
emplean en la iteración siguiente.
Clase 6
30
Secante
f ( X i )( X i  X i1 )
X i1  X i 
f ( X i )  f ( X i1 )
Clase 6
31
Método de falsa posición
Este método considera cual límite
del intervalo está más próximo a la
raíz.
f(x1)
f  x2 
f x1 

x3  x2 x3  x1
De la figura
Despejando
f x1 x2  x1 
x3  x1 
f x2   f x1 
xi 1  x1 
x2
x3
x1
f x1 xi  x1 
f xi   f x1 
f(x2)
Clase 6
f(x3)
32
Encontrar la raíz de la función, por los métodos de la secante y falsa posición:


667.38
0.146843x
f x  
1 e
 40  0
x
Clase 6
33
Iteración de punto fijo
Un punto fijo de una función g(x) es un número p tal que
g(p) = p.
En general, la función f(x)=0 puede escribirse como
x=F(x)
Dado un problema f(x) = 0, se puede definir una función
F(x) con un punto fijo en x de diferentes maneras.
x3 + 4x2 –10 = 0
x = F1(x) = x + x3 + 4x2 -10
x = F2(x) = ½(10 – x3)½
Clase 6
34
Punto Fijo : Solución
y
y=x
F(x*)
y = g(x)
x*
Clase 6
x
35
Gráfica del algoritmo de
punto fijo
y
y=x
x1= F(x0)
x3= F(x2)
y = g(x)
x2= F(x1)
x2= F(x1)
x3= F(x2)
y=x
y
x1= F(x0)
y = g(x)
x1 x3 x2 x0 x
x0
Clase 6
x1
x2 x
36
Casos de no convergencia
y
y=x
y=x
y
y = g(x)
y = g(x)
x
x
Clase 6
37
Ejemplo
Sea la función: x3 + 4x2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]
Puede despejarse en:
a. x = F1(x) = x – x3 – 4x2 +10
b. x = F2(x) = ½(10 – x3)½
c. x = F3(x) = (10/(4 + x))½
d. x = F4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 + 8x)
Clase 6
38
Teorema de punto fijo
Si g  C [a, b] y g(x)  C [a, b] para toda x  C [a, b], además
supongamos que existe g’(x) en (a, b) y una constante positiva k<1
cuando
|g’(x)| <= k, pata toda x  (a, b),
Entonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por
pn = g(pn–1), n >=1
Converge en el único punto fijo p en [a, b].
Clase 6
39
Análisis del ejemplo
Caso (a)
Caso (b)
g1(x) = x – x3 – 4x2 +10
g2(x) = ½(10 – x3)½
g1’(x) = 1 – 3x2 – 8x
g2’(x) = – 3/4x2(10 – x3)–½
g1’(1) = – 11, g1’(2) = – 28
g2’(1) = – 0.25, g1’(2) = – 2.1213
No se cumple |g1’(x)| <1
No se cumple |g1’(x)| <1
Caso (c)
g3(x) = (10/(4 + x))½
g3’(x) = (– 5/3.16)(4 + x)–1.5
Caso (d)
g4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 +
8x)
Se cumple |g4’(x)| es aún menor
que en el caso (c) para toda x en
[1, 2]
<= (– 5/3.16)(5)–1.5 <= 0.15
Para toda x en [1, 2]
Clase 6
40
Metodo Wegstein
y=x
x  F (x)
x0
Valor inicial
x1  F ( x0 )
y
F(x1)
y = F(x)
F(x0)
xi 1  t  F ( xi )  (1  t )  xi
t
s
1
1 s
x0
x1
x2
x
F ( xi )  F ( xi 1 )
xi  xi 1
41
Clase 6 6
Clase
41
Tarea
17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de
semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una
distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es
V = f(r,h)
Escriba un programa en MATLAB amigable para el usuario que lea los datos
de este problema y encuentre la profundidad h del abrevadero. Utilice el
método de Wegstein para encontrar la solución.
r
h
L
Clase 6
42
MÉTODOS NUMÉRICOS
Sistemas de ecuaciones no lineales
f1(x,y)=0
f2(x,y)=0
Clase 6
43
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y
f1(x, y)=0
y*
f2(x, y)=0
x*
x
Clase 6
44
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
10
8
x  xy  10
2
6
4
(2, 3)
y  3xy 2  57
2
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-2
Clase 6
45
5
f1 ( x, y )  x  10 x  y  8
2
2
Clase 6
46
f1 ( x, y )  xy  x  10 y  8
2
Clase 6
47
Clase 6
48
Clase 6
49
MÉTODO DE PUNTO FIJO EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1.
2.
3.
4.
5.
Considera la intersección de dos funciones no
lineales f1(x, y)=0 y f2(x, y)=0.
La intersección de las curvas f1(x, y)=0 y f2(x, y)=0
nos da la raiz (xr, yr).
El método consiste en obtener las funciones que
tengan las mismas raices (xr, yr):
x=g1(x, y)
y=g2(x, y)
Considerar un valor inicial (x0, y0), como
aproximación a la raíz, evaluar: x1=g1(x0, y0)
y1=g2(x0, y0)
El proceso se repite n veces hasta tener valores
50
Clase 6
muy cercanos a las raíces.
5.
El proceso se repite n veces hasta tener valores muy cercanos a
las raíces.
x1i 1  g1 ( x i , y i )
y1i 1  g 2 ( x i , y i )
METODO DE DESPLAZAMIENTOS SUCESIVOS
x1i 1  g1 ( x i , y i )
y1i 1  g 2 ( x i 1 , y i )
Clase 6
51
MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
x 2  xy  10
10
xi 1 
( xi  yi )
yi 1 
57  yi
3x
  ( xi 1  xi ) 2  ( yi 1  yi ) 2
y  3xy 2  57
iteració
i
xi
yi
erri
0
1.5
3.5
---
1
2.0000
3.4480
0.5027
2
1.8355
2.9875
0.4890
3
2.0734
3.1319
0.2782
4
1.9211
2.9428
0.2427
5
2.0559
3.0626
0.1803
6
1.9537
2.9572
0.1468
7
2.0363
3.0365
0.1145
8
1.9713
2.9721
0.0915
x=
26
Clase
y=3
52
MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Sin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia
depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de
recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante
cercanos a la solución. En las dos formulaciones siguientes el
método diverge.
x = (57 - y)/3y2
iteración
xi
yi
1
1.5
3.5
2
1.45578231
5.166666667
3
0.64724246
5.413376566
x = (10 - x2)/y
y = (10 - x2)/x
y = 57 - 3xy2
iteración
xi
yi
1
1.5
3.5
2
2.21428571
-24.375
3
-0.20910518
429.713648
Clase 6
53
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES
y
u(x, y)
y1
v(x, y)
x1
x
Clase 6
54
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES



Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender
el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección
entre dos funciones no lineales.
Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la
expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de
múltiples variables, para considerar la contribución de más de
una variable independiente en la determinación de la raíz.
Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se
escribe, para cada ecuación no lineal:
f1 ( x1 , x2 )  f1 ( x1i , x2i ) 
f1
x1
f 2
f 2 ( x1 , x2 )  f 2 ( x , x ) 
x1
i
1
i
2
( x1  x1i ) 
xi
f1
x2
f 2
( x1  x ) 
x2
xi
Clase 6
( x2  x2i )  0
xi
( x2  x2i )  0
i
1
xi
55
f1
x1
f 2
x1
( x1  x1i ) 
xi
f1
x2
f 2
( x1  x ) 
x2
xi
( x2  x2i )   f1 ( x1i , x2i )
xi
( x2  x2i )   f 2 ( x1i , x2i )
i
1
xi
 2i  ( x2  x2i )
  ( x1  x )
i
1
i
1
f1
x1
f 2
x1
1i 
xi
1i 
xi
f1
x2
f 2
x2
 2i   f1 ( x1i , x2i )
xi
 2i   f 2 ( x1i , x2i )
xi
Clase 6
56
 f1i

 x1i
 f 2
 x
 1
f 
  i 
i

f1 
x2 
1
i *  i    i 
f 2    2 
 f2 
x2 
i
1
J *   f
x1i 1  x1i  1i
x2i 1  x2i   2i
Clase 6
57
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES
x2 + xy - 10 = 0
y + 3xy2 - 57 = 0
iteración
xi
yi
ui
vi
ux
uy
vx
vy
Jacobiano
1
1.5
3.5
-2.5
1.625
6.5
1.5
36.75
32.5
156.125
2
2.03602882
2.8438751
-0.064374959
-4.756208497
6.915932746
2.036028823
24.26287675
35.74127004
197.7843034
3
1.99870061
3.002288563
-0.004519896
0.04957115
6.999689781
1.998700609
27.04120985
37.00405588
204.9696292
4
1.99999998
2.999999413
-1.28609E-06
-2.21399E-05
6.999999381
1.999999984
26.99998944
36.99999267
204.9999473
5
2
3
0
2.23821E-12
7
2
27
37
205
x=2
y=3
Clase 6
58
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES
Sistema de ecuaciones lineales por el método de Newton Raphson
4.5
4
3.5
y
iteraciones
3
2.5
x
2
1.5
x 2  xy  10
1
y  3xy 2  57
0.5
0
1
2
3
4
convergencia
Clase
6
5
6
59