Una introducción a MATLAB

ALGEBRA
1o
Práctica 1
A–Ingenierı́a Informática
N. Boal, F.J. Gaspar, M.L. Sein-Echaluce
Una introducción a MATLAB
1
Generalidades
MATLAB (MATrix LABoratory) es un paquete interactivo basado en matrices que permite
la realización de cálculos cientı́ficos (aritméticos y simbólicos), es fácil de usar y , en principio, no requiere el conocimiento de un lenguaje de programación. Este sistema ofrece
excelentes posibilidades gráficas (en dos y tres dimensiones), tiene gran cantidad de funciones predefinidas y además permite al usuario crear sus propias funciones de modo que se
aumenta la aplicabilidad del sistema. Destacar también que MATLAB posee unas toolboxes
(que se adquieren por separado) con las que se pueden resolver problemas especı́ficos como,
por ejemplo, procesado de señales, simulación de sistemas dinámicos, redes neuronales, etc.
Otra de las posibilidades que ofrece este programa es la de interaccionar con otros lenguajes
de programación como son C o Fortran.
Antes de empezar a trabajar con MATLAB conviene dar unas indicaciones de carácter
general:
• “>>” es el prompt de MATLAB e indica que está listo para aceptar órdenes.
• Hay que respetar la sintaxis utilizada por el programa y tener en cuenta que MATLAB,
por defecto, distingue entre mayúsculas y minúsculas.
• Para ejecutar una orden basta pulsar la tecla ENTER.
• Una sentencia termina con un retorno de carro. Si ocupa más de una lı́nea se puede
continuar en la siguiente, para ello basta poner tres punto suspensivos (...) y pulsar retorno
de carro.
• Terminar una orden con punto y coma (;) indica que no queremos visualizar en pantalla
el resultado de una expresión.
• Se pueden escribir varias sentencias en la misma lı́nea separadas por una coma o por un
punto y coma.
• >> diary nombre fichero.txt: permite grabar en un fichero texto la sesión de trabajo.
Con diary off y diary on desactivamos y activamos la grabación en el fichero.
• >> help nombre funcion: para consultar cualquier función del programa.
• >> clear: elimina todas las variables no permanentes. Es posible borrar únicamente
algunas de las variables del espacio de trabajo con la orden clear nombre variable.
• >> who: visualiza las variables creadas en la sesión actual de trabajo. (>> whos da una
información más amplia).
• % indica que lo que sigue es un comentario y no se ha de ejecutar.
1
2
Uso de matrices
MATLAB trabaja esencialmente con matrices de números reales o complejos. Las matrices
1×1 las interpreta como escalares y las matrices fila o columna como vectores. A continuación
presentamos unas instrucciones para el manejo básico de matrices.
• Definición de matrices y submatrices
>> A=[1 2 3; 4 5 6] % Los espacios en blanco se pueden sustituir por comas
>> A(1,2)
% elemento de la primera fila y segunda columna
>> f1=A(1,:)
% la primera fila de A, la primera columna: c1=A(:,1)
Ejercicio. Define una matriz B de tamaño 3×3.
Ejercicio. Define un vector v que sea igual a la tercera fila de B.
Ejercicio. ¿Qué hace?
>> B1=B([1,3],:)
Ejercicio. Ejecuta las sentencias
>> [A;B]
>> [A B]
¿Qué ocurre en cada caso?
• Operaciones con matrices
>> A+B
% suma de matrices; la resta serı́a A-B
>> 3*A
% producto de la matriz A por el escalar 3
>> A*B
% producto de matrices
>> A.*B
% producto elemento a elemento.
Nota. Si las operaciones se realizan con matrices de tamaño incompatible se obtiene un
mensaje de error.
Ejercicio. Introduce la matriz


1 2 5
7


A =  −1 2 1 −2  .
4 6 8
0
Calcula:
a) a13 + a32 ,
b) tres veces la primera columna de A,
c) dos veces la segunda columna más tres veces la cuarta,
d) A.*A y A*A explica cuál es el resultado en cada caso.
2
Ejercicio. Dadas las matrices






Ã
!
1 2 3
1 1
1 0 0 0
1 1 1 1






A =  4 5 6 , B =  1 2 , C =
, D= 0 1 0 0 
2 3 1 2
7 8 9
0 3
0 0 1 0
calcula (si es posible):
a) AB,
b) 3A − D,
c) B 2 ,
d) ABC + 2D.
• Funciones matriciales
>> inv(A)
% inversa de una matriz regular
>> det(A)
% determinante de una matriz cuadrada
>> A’
% traspuesta de A
>> rank(A)
% rango de A
Ejercicio. Considera la matriz A del ejercicio anterior y calcula A0 , |A|, rang A. ¿Qué ocurre
si calculamos con MATLAB A−1 ?
• Funciones para construir matrices especiales
>> eye(n)
% matriz identidad
>> zeros(m,n)
% matriz nula de tamaño m × n
>> ones(m,n)
% matriz de unos de tamaño m × n
Ejercicio. Considera las matrices
Ã
A1 =
2 1
3 5

!

1 2 −2

A2 =  3 1 1 
.
0 1 3
,
a) Construye la matriz diagonal por bloques
Ã
A=
A1 O
O A2
!
.
b) Comprueba que A1 y A2 son regulares.
c) Sin hacer ningún cálculo con MATLAB contesta de forma razonada a las siguientes preguntas:
i) ¿La matriz A es regular?
ii) ¿Cuál es su inversa?
d) Utiliza MATLAB para comprobar si has contestado bien a las preguntas anteriores.
e) Comprueba que |A| = |A1 | |A2 |.
3
3
Una aplicación de las matrices
Con frecuencia los gobiernos, las agencias nacionales de seguridad y las empresas se interesan
en la transmisión de mensajes codificados que sean difı́ciles de descifrar por otros, en caso de
ser interceptados, pero que se decodifiquen con facilidad por quienes lo escriben. Hay muchas
formas interesantes de cifrar o codificar un mensaje, y en su mayor parte usan la teorı́a de
números o el álgebra lineal. A continuación describimos uno que es eficaz, en especial cuando
se usa una matriz regular de gran tamaño.
Sea M una matriz regular, sólo conocida por quienes la transmiten y quienes la reciben.
Por ejemplo,
µ
¶
−3 4
M =
−1 2
Supongamos que se desea codificar el mensaje
AT AC AR AH ORA
Reemplazamos cada letra por el número que le corresponde a su posición en el alfabeto
(un espacio se representa por 0). Con lo que el mensaje se ha convertido en la sucesión de
números
{1, 21, 1, 3, 1, 19, 0, 1, 8, 16, 19, 1}
que agrupamos de dos en dos para formar los vectores columna
µ
¶
1
,
21
µ ¶
1
,
3
µ
¶
1
,
19
µ ¶
0
,
1
µ
¶
8
,
16
µ
¶
19
.
1
Multiplicamos esos vectores a izquierda por M y se obtienen unos nuevos vectores columna
que nos dan la siguiente lista de números
{81, 41, 9, 5, 73, 37, 4, 2, 40, 24, −53, −17}
Éste es el mensaje cifrado. Para decodificarlo es necesario hallar la inversa de la matriz M
y multiplicarla por los vectores codificados para obtener los números originales.
Ejercicio. Basado en el método anterior, decodifica el mensaje dado por los números
{−2, −18, 19, 0, −1, 1, −8, −20, 20, −6, −8, 15, 0, −4, 9, 26, 10, −5, 10, 15, −5, 13, −3, 6, −4, 2, 7}
conocida la matriz

M −1

1 0 1


= 0 1 1.
0 1 2
Ejercicio. Dadas A y B matrices de Mn (IK) razona si son ciertas o falsas las siguientes
afirmaciones.
a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
b) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
c) Si AX = BX para todo X ∈ Mn×1 (IK) se cumple A = B.
4
ALGEBRA
1o
Práctica 2
A–Ingenierı́a Informática
N. Boal, M.L. Sein-Echaluce
Matrices y sistemas lineales
4
Matrices elementales
En esta sección vamos a crear funciones en MATLAB que nos permitan construir matrices
elementales. Para ello, en primer lugar, abrimos un m-fichero nuevo:
F ile → N ew → m − f ile
y en este fichero en blanco copiamos:
function P=pij(i,j,n) P=eye(n); P(i,i)=0; P(j,j)=0; P(i,j)=1;
P(j,i)=1; return
Guardamos el fichero con el mismo nombre que le hemos dado a la función, es decir,
F ile → Save as : pij.m
Ya tenemos la función que nos genera las matrices elementales Pij . Comprueba que funciona
correctamente con los siguientes ejemplos y antes de ejecutar las órdenes piensa cuál debe
ser el resultado que se debe obtener.
>>
>>
>>
>>
pij(1,2,3)
A=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9]
pij(1,2,3)*A
A*pij(2,3,3)
Completa el fichero pijt(i,j,t,m) de forma que con la función que en él se define se
construyan las matrices elementales Pij (t).
function P=pijt(i,j,t,n) P=eye(n); P(i,j)=.......... return
Comprueba que esta función está bien definida ejecutando las siguientes órdenes en MATLAB; al igual que antes piensa antes de ejecutarlas cuál es el resultado que se debe obtener.
>>
>>
>>
>>
>>
pijt(1,2,3,3)
pijt(2,1,-1,3)*A
A*pijt(2,1,-1,3)
A*pijt(1,2,-1,3)
pijt(2,3,-1,5)*A
5
Procede de forma análoga a los casos anteriores y define una función en MATLAB de la
forma qis(i,s,n) con la que se construyan las matrices Qi (s). Comprueba que lo has hecho
bien ejecutando los siguientes ejemplos:
>> qis(3,-4,5)
>> qis(3,-4,3)*A
>> A*qis(1,2,3)
5
Cálculo de la inversa
En esta sección vamos a utilizar las matrices elementales para calcular la inversa de una
matriz regular. Termina el siguiente ejemplo:
>>
>>
>>
>>
>>
A=[3 -2 1; 1 1 3; -1 2 1]
A1=[A eye(3)]
A2=pij(1,2,3)*A1
A3=pijt(2,1,-3,3)*A2
%continua el ejercicio
Comprueba que lo has hecho bien utilizando la orden en MATLAB inv(A).
Nota: También podrı́amos haber calculado A−1 haciendo operaciones elementales por columnas.
6
Eliminación gaussiana
Considera el sistema lineal Ax = b. La técnica de eliminación de Gauss consiste en realizar
operaciones elementales sobre las ecuaciones de este sistema de forma que se obtenga un
sistema equivalente
Ux = y
donde la matriz de coeficientes U es triangular superior. Si utilizamos notación matricial,
la idea es la hacer operaciones elementales sobre la matriz ampliada hasta “triangular” la
matriz de coeficientes, es decir,
(A|b) − operaciones elemetales → (U |y)
con U matriz triangular superior.
Trasforma el sistema





−1
1 −2 1
x1




1 3   x2  =  5 

 1
x3
2
−1 2 1
en un sistema triangular superior equivalente.
6
7
Factorización LU
Sea A una matriz regular. La factorización LU consiste en descomponer la matriz A como
producto de dos matrices
A = LU
donde L es triangular inferior con elementos diagonales lii = 1 y U es una matriz triangular
superior.
Esta factorización no siempre existe, el siguiente resultado nos da una condición suficiente
para la existencia de esta factorización.
Teorema. Sea A una matriz regular tal que las n submatrices


a11 . . . a1k
 .
. ,
..
Ak = 
. .. 
 ..

ak1 . . . akk
k = 1, . . . , n
son todas regulares. Entonces existen una única matriz triangular inferior L con lii = 1 y
una única matriz U triangular superior tales que A = LU.
En la práctica, se comprueba que esta factorización existe cuando es posible aplicar la
técnica de eliminación de Gauss sin intercambio de filas, de hecho, la factorización LU se
puede interpretar como “la versión matricial” de la eliminación gaussiana (sin intercambio
de filas). La matriz U es la matriz triangular superior obtenida tras aplicar el proceso de
eliminación de Gauss a la matriz A. De modo que, si denotamos por P1 , P2 , . . . Pr a las
matrices elementales utilizadas en el proceso de triangulación de la matriz A, se tiene que
Pr . . . P2 P1 A = U,
luego
A = (P1−1 )(P2−1 ) . . . (Pr−1 )U.
Si cada una de estas matrices elementales utilizadas son del tipo Pij (t) con i > j (triangulares
inferiores con 1’s en la diagonal), entonces
L = (P1−1 )(P2−1 ) . . . (Pr−1 ).
Recuerda: (Pij (t))−1 = Pij (−t).
Completa el siguiente ejemplo.
>> A=[1 -2 1; 1 1 3; -1 2 1]
A =
1
1
-1
-2
1
2
1
3
1
>> A1=pijt(2,1,-1,3)*A
A1 =
7
1
0
-1
-2
3
2
1
2
1
>> % continua
>> A2=...
¿Cuál es la factorización LU de A?
Observa que la matriz L es tal que



L=


1
l21
..
.

0
1
..
.
ln1 ln2
... 0
... 0 


...

0 
... 1
donde los elementos lij con 1 ≤ j < i ≤ n son los opuestos de los multiplicadores utilizados
para “conseguir” un cero en el elemento aij .
Como ya se ha comentado, no siempre existe la factorización LU de una matriz regular
A, sin embargo siempre es posible reordenar sus filas de modo que la matriz “reordenada”
B = P A (P matriz permutación) sı́ admite factorización LU.
Si A admite factorización LU, podemos utilizar dicha descomposición para resolver el
sistema Ax = b, ası́,
(
LU x = b ⇒
Ly = b (sistema triangular inferior),
U x = y (sistema triangular superior).
Esta forma de proceder es más práctica (desde el punto de vista computacional) cuando se
tienen que resolver varios sistemas con la misma matriz de coeficientes y distintos términos
independientes. En este caso, sólo será necesario realizar una sola vez la factorización LU y
luego resolver una colección de sistemas triangulares.
8
Ejercicios propuestos
1. Considera el sistema de ecuaciones lineales





1 −1 2 1
−2 3 −4 1
−2 3 −4 2
1
0
1 1





x1
x2
x3
x4






=


3
−2
−1
3



.

(a) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss.
(b) Utiliza las matrices elementales para realizar la factorización LU de la matriz de
coeficientes (reordenando, previamente, sus filas si fuera necesario).
(c) Usa convenientemente esta factorización para obtener la solución del sistema y
para calcular el determinante de la matriz de coeficientes.
8
2. Discute si los siguientes sistemas de ecuaciones son compatibles (determinado o indeterminado) o incompatibles.

a)

c)




1 −1 2
x1
2





 −2 3 −4   x2  =  −3  .
−1 2 −2
x3
−1




b)




1 0 1
x1
2





 −2 3 −4   x2  =  1  .
−1 2 −2
x3
1

−2 1
1
x1
0





 1 −2 1   x2  =  0  .
1
1 −2
x3
0
3. Determina la factorización LU de la matriz


4 2 1


A =  2 5 2 .
1 2 4
9
Algoritmo de eliminación gaussiana
El objetivo de esta sección es el de construir un m-fichero en el cual programemos el método
de eliminación de Gauss con estrategia de pivote parcial. A continuación se detallan unas
lı́neas de código del método sin intercambio de filas.
elim gauss.m
function x=elim_gauss(A,b)
% Resolvemos el sistema Ax=b utilizando eliminacion
% gaussiana, sin intercambiar filas.
%
%
Argumentos de entrada: A matriz de coeficientes
%
b trrmino independiente (vector columna)
%
%
Argumentos de salida: x vector solucion
n=size(A,1);
Ab=[A,b]; % matriz ampliada
for i=1:n
% Hacemos ceros por debajo de la diagonal principal
for j=i+1:n
mult=Ab(j,i)/Ab(i,i);
Ab(j,:)=Ab(j,:)-mult*Ab(i,:);
end
end
U=Ab(:,1:n); % estas asignaciones en realidad no son necesarias;
y=Ab(:,n+1); % se puede seguir trabajando con la matriz Ab
9
x=zeros(n,1);
% es conveniente dimensionar los vectores
% Ahora resolvemos el sistema triangular superior U*x=y
x(n)=y(n)/U(n,n); for i=n-1:-1:1
suma=U(i,i+1:n)*x(i+1:n);
x(i)=(y(i)-suma)/U(i,i);
end
Modifica el programa anterior de forma que se incorpore la estrategia de pivote parcial
y se chequee si la matriz de coeficientes es o no inversible. Para cada valor del ı́ndice i la
estructura será la siguiente:
[pivote,j]=max(abs(Ab(i:n,i))); if pivote==0.
error(’matriz no inversible’ )
return % salimos del programa
end fila=i+j-1;
if fila~=i % cambiamos filas
aux=Ab(fila,:);
Ab(fila,:)=Ab(i,:);
Ab(i,:)=aux;
end
Llama a la nueva función elim gaus parcial para distinguirla de la anterior y comprueba
que tu programa funciona correctamente resolviendo los sistemas




a) 
1 2 3
2 4 6
2 −1 6
1 3 4
4
7
8
2









x1
x2
x3
x4






=


10
19
15
10




,




b) 
10
1 2 3
2 4 6
2 −1 6
1 3 4
4
8
8
2
 








x1
x2
x3
x4






=


10
19
15
10



.

ALGEBRA
1o
Práctica 3
A–Ingenierı́a Informática
N. Boal, M.L. Sein-Echaluce
Espacios Vectoriales
10
Familias equivalentes de vectores
Recuerda: Sea V un espacio vectorial sobre IK y consideramos dos familias de vectores de V
que denotamos por {ai }i∈I y {bj }j∈J , respectivamente. Estas familias se dicen equivalentes
si
IKh{ai }i∈I i = IKh{bj }j∈J i.
Ejercicio. A partir de la familia de vectores de IR 4 {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } determina una familia
equivalente y libre.
>> a1=[2 -1 0 3];a2=[-1 -4 12 -15];a3=[1 1 -4 6];a4=[-5 9 6 8];a5=[-3 4 5 1];
>> A=[a1;a2;a3;a4;a5]
A =
2
-1
0
3
-1
-4
12
-15
1
1
-4
6
-5
9
6
8
-3
4
5
1
>> A1=pijt(5,1,3/2,5)*pijt(4,1,5/2,5)*pijt(3,1,-1/2,5)*pijt(2,1,1/2,5)*A
A1 =
2
-1
0
3
0
-9/2
12
-27/2
0
3/2
-4
9/2
0
13/2
6
31/2
0
5/2
5
11/2
>> %termina el ejercicio
Considera los subespacios S = IRh{a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }i, T1 = IRh{(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}i. Entonces:
1. Estudia si S y T1 son suplementarios respecto de IR 4 .
2. Determina un nuevo subespacio T2 que sea suplementario a S respecto de IR 4 .
3. A partir de las bases de S y T2 construye una base de IR 4 .
11
11
Cambio de base
Ejercicio. Considera la base de IR 4
{b1 , b2 , b3 , b4 } = {(2, −1, 0, 3), (0, −9/2, 12, −27/2), (0, 0, 35/3, −2), (0, 0, 0, 1)}
y los vectores u = (2, −1, 0, 4) y v = (0, −18, 48, −54). Calcula las coordenadas de u y v
respecto de la base {b1 , b2 , b3 , b4 }.
Nota. La orden >>A\b nos proporciona la solución del sistema lineal Ax = b.
Recuerda: Sean {v1 , · · · , vn } y {ṽ1 , · · · , ṽn } dos bases de V . Como los vectores ṽi están en
V , tendrán unas coordenadas respecto de la base {vi }, es decir
ṽ1 = λ11 v1 + · · · + λn1 vn
..
.
ṽn = λ1n v1 + · · · + λnn vn
Matricialmente

( ṽ1
| · · · | ṽn ) = ( v1
λ11
 ..
| · · · | vn )  .
λn1
|
|

λ1n
.. 
. 
| ··· |
|
| λnn
equivalentemente:
(ṽj )t = (vi )t P
siendo P la matriz regular cuyas columna i-ésima está formada por las coordenadas de ṽi
respecto de la base {vi }ni=1 y que se denomina matriz de cambio de base.
Sean v ∈ V y denotamos por:
X = (x1 , · · · , xn )t coordenadas de v respecto de la base {vi }
f = (x
e1 , · · · , x
en )t coordenadas de v respecto de la base {v
ej }
X
Como (ṽj )t = (vi )t P (P matriz de cambio de base), se tiene que
v = x1 v1 + · · · + xn vn = (vi )t X
v = x̃1 ṽ1 + · · · + x̃n ṽn = (ṽi )t X̃ = (vi )t P X̃
)
=⇒ X = P X̃
(relación entre las coordenadas de ambas bases).
Ejercicio. Halla la matriz de cambio de base entre la base canónica de IR 4 y la nueva base
{b1 , b2 , b3 , b4 }.
Ejercicio. Utiliza la matriz de cambio de base calculada en el apartado anterior para comprobar que has calculado bien las coordenadas de u y v respecto de la base {b1 , b2 , b3 , b4 }.
Ejercicio. Considera V = M2 (IR) y la base
Ã
B1 =
2 −1
0 3
!
Ã
, B2 =
0 −9/2
12 −27/2
!
Ã
, B3 =
12
0
0
35/3 −2
!
Ã
, B4 =
0 0
0 1
!
.
Justifica (haciendo uso del isomorfismo coordenado) cuáles han de ser las coordenadas de la
matriz
Ã
!
2 −1
B=
0 4
respecto de la base {B1 , B2 , B3 , B4} y cuál será la matriz de cambio de base entre la base
canónica de M2 (IR) y la nueva base {B1 , B2 , B3 , B4 }.
12
Ejercicios propuestos
1. En cada uno de los siguientes casos determina una base de S subespacio de V :
(a) V = IR 5 y S = IR < {(1, −1, 0, 2, 0), (0, 0, −1, 0, 1), (1, −1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 1)} >
(b) V = IR 3 [x] y S = IR < { (x2 − 1), (3x2 + 1), x3 , (2x3 + 4x2 ) } > .
(c) V = M2 (IR) y S = IR < {A1 , A2 , A3 , A4 } >, donde
Ã
A1 =
1 1
0 1
!
Ã
, A2 =
−1 2
0 −1
!
Ã
, A3 =
0 1
0 0
!
Ã
, A4 =
1 1
1 1
!
.
2. Considera el polinomio p(x) = 5x4 + 6x3 − 4x + 2 ∈ IR 4 [x].
(a) Halla las coordenadas de p(x) respecto de las bases
B1 = { 1, (x − 2), (x − 2)2 , (x − 2)3 , (x − 2)4 },
B2 = { 1, x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2), x(x − 1)(x − 2)(x − 3) }.
(b) Determina las matrices de cambio de bases entre:
• la base canónica de IR 4 [x] y B1 (denota a esta matriz por P1 ),
• la base canónica de IR 4 [x] y B2 (denota a esta matriz por P2 ).
(c) Deduce, en términos de las matrices P1 y P2 , la matriz de cambio de base entre
las bases B1 y B2 .
3. Considera la familia de matrices B = {A1 , A2 , A3 , A4 } con
Ã
A1 =
1 1
0 1
!
Ã
, A2 =
−1 2
0 0
!
Ã
, A3 =
0 1
0 0
!
Ã
, A4 =
1 1
1 1
!
.
(a) Comprueba que B = {A1 , A2 , A3 , A4 } es una base de M2 (IR).
(b) Calcula las coordenadas (respecto de la base B) de las matrices
Ã
C1 =
2 7
−3 1
!
Ã
,
C2 =
1 1
1 1
!
Ã
,
C3 =
1 2
0 1
!
.
4. Sea V = IR 3 y se consideran los subespacios vectoriales:
S = IR < {(1, 2, 1), (1, 3, 2)} >,
T = IR < {(1, 1, 0), (3, 8, 5), (2, 7, 5)} > .
Estudia si S = T.
13
5. Determina todos los valores de a para los cuales {(a2 , 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)} es una
base de IR 3 . Nota: define a como una variable simbólica, esto es,
>> syms a
>> A=[a^2 0 1; 0 a 2; 1 0 1]
>> %sigue
13
Matrices elementales
En la práctica anterior definimos las funciones en MATLAB para construir las matrices
elementales:
function P=pij(i,j,n)
P=eye(n);
P(i,i)=0;
P(j,j)=0;
P(i,j)=1;
P(j,i)=1;
return
function P=pijt(i,j,t,n)
P=eye(n);
P(i,j)=t;
return
function P=qis(i,s,n)
P=eye(n);
P(i,i)=s;
return
14
14
Aplicaciones Lineales
1. Sea f ∈ Hom(IR 4 , IR 3 ) definido por:
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x2 , x3 − x1 , x2 + 2x4 ).
(a) Determina la ecuación coordenada de f respecto de las bases canónicas (Y = AX).
>> f=[x1+x2,x3-x1,x2+2*x4]
f = [
x1+x2,
x3-x1, x2+2*x4]
>> fe1=subs(f,{x1,x2,x3,x4},{1,0,0,0})
fe1 =
1
-1
0
>> fe2=subs(f,{x1,x2,x3,x4},{0,1,0,0})
fe2 =
1
0
1
%continua
(b) Halla una base de Imf .
(c) Halla el subespacio Kerf .
Nota. La orden null(A,’r’) nos proporciona una bases del núcleo de f.
(d) Comprueba que dimIR 4 = dim Kerf + dim Imf.
(e) Considera
{(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2, 0, 0, 1)} base de IR 4 ,
{(1, 0, 2), (−1, 1, 0), (−3, 1, 1)} base de IR 3 .
Determina la ecuación coordenada de f respecto de estas bases (Ỹ = B X̃).
(f) Comprueba que las matrices A y B son equivalentes.
2. Considera f ∈ Hom(IR 2 [x], IR 1 [x]) dado por:
f (ax2 + bx + c) = (a + b)x + (2c + a).
(a) Halla la matriz coordenada respecto de las bases canónicas ( {x2 , x, 1}, {x, 1} ).
(b) Estudia si f es una aplicación inyectiva o suprayectiva.
(c) Estudia si los polinomios p(x) = x2 + x + 1 y q(x) = x2 + 2x + 6 pertenecen o no
al subespacio
S = {ax2 + bx + c ∈ IR 2 [x] / c = 5a + b/2}.
(d) Determina f (S).
3. Sean f, h ∈ End(IR 3 ) con ecuaciones coordenadas respecto de la base canónica Y = AX
e Y = BX, respectivamente, donde



3 −1 1

2 
A= 0 1
,
2 −1 4

0
1 1

1 0 
B= 0
.
−1 1 2
Estudia si h ◦ f es una aplicación biyectiva.
15
ALGEBRA
1o
Práctica 4
A–Ingenierı́a Informática
N. Boal, M.L. Sein-Echaluce
Aplicaciones lineales
15
Ejemplo resuelto
A continuación se presenta un ejercicio resuelto para ilustrar cómo funcionan las “nuevas” ordenes en MATLAB que puedes necesitar para resolver los ejercicios propuestos en la práctica.
Considera f ∈ Hom (IR 3 , IR 2 ) dada por
f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 + x3 , 2x2 + 2x3 ).
1. Dado v = (1, 2, −5) ∈ IR 3 , determina f (v).
>>%Definimos f
>> syms x1 x2 x3
>> f=[x2+x3,2*x2+2*x3]
f =
[
x2+x3, 2*x2+2*x3]
>> fv=subs(f,{x1,x2,x3},{1,2,-5})
fv =
[ -3, -6]
2. Calcula Im f .
Sabemos que si {v1 , v2 , v3 } es una base de IR 3 , entonces Im f = IRh{f (v1 ), f (v2 ), f (v3 )}i.
Luego, considerando las bases canónicas de IR 3 y IR 2 se tiene:
>> fe1=subs(f,{x1,x2,x3},{1,0,0})
fe1 =
[ 0, 0]
>> fe2=subs(f,{x1,x2,x3},{0,1,0})
fe2 =
[ 1, 2]
>> fe3=subs(f,{x1,x2,x3},{0,0,1})
fe3 =
[ 1, 2]
De donde se deduce que: Im f = IRh{(1, 2)}i, luego f no es suprayectiva ni inyectiva,
puesto que dim Ker f = 2.
3. Matriz coordenada (por columnas) de f respecto de las bases canónicas.
16
>> A=[fe1’ fe2’ fe3’]
A =
[ 0, 1, 1]
[ 0, 2, 2]
>>% observa que
>> rank(A)
ans =
1
4. Base del núcleo
>> null(A)
ans =
[ 1, 0]
[ 0, -1]
[ 0, 1]
Nota. La orden null(A,’r’) nos proporciona una base (“racional”) del núcleo.
Luego {(1, 0, 0), (0, −1, 1)} es una base del núcleo. Recuerda que ya sabı́amos que la
dimensión del núcleo era dos (dim IR 3 = dim Ker f + dim Im f ). Por tanto,
Ker f = { (x1 , x2 , x3 ) / x2 + x3 = 0 }.
5. Determina B, matriz coordenada de f respecto del par de bases
{vi }3i=1 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 0)}
{wj }2j=1 = {(1, 2), (0, −1)}
Sean {ei }3i=1 y {Ej }2j=1 las bases canónicas de IR 3 y IR 2 respectivamente. Entonces, si
v ∈ IR 3 tal que v = (ei )t X entonces f (v) = (Ej )t Y donde Y = AX.
De forma análoga, considerando {vi }3i=1 y {wj }2j=1 bases de IR 3 y IR 2 , respectivamente,
f entonces f (v) = (w )t Ye donde Ye = B X.
f
se tiene que v ∈ IR 3 tal que v = (vi )t X
j
Si denotamos por R y S a las matrices de cambio de base tales que
(vi )t = (ei )t R,
(wj )t = (Ej )t S
se tiene que S B = A R o equivalentemente B = S −1 A R. Ası́,
>> R=[1 1 1;1 0 0; 1 1 0]
R =
1
1
1
1
0
0
1
1
0
>> S=[1 0;2 -1]
S =
1
0
17
2
-1
>> B=inv(S)*A*R
B =
[ 2, 1, 0]
[ 0, 0, 0]
Comprueba que f (v1 ) = 2w1 , f (v2 ) = w1 y f (v3 ) = (0, 0).
>> fv1=subs(f,{x1,x2,x3},{1,1,1})
fv1 =
[ 2, 4]
>> % continua....
16
Ejercicios propuestos
1. Sea f ∈ Hom(IR 4 , IR 3 ) definido por:
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x2 , x3 − x1 , x2 + 2x4 ).
(a) Determina la ecuación coordenada de f respecto de las bases canónicas (Y = AX).
(b) Halla una base de Imf .
(c) Halla el subespacio Kerf .
(d) Comprueba que dimIR 4 = dim Kerf + dim Imf.
(e) Considera
{(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2, 0, 0, 1)} base de IR 4 ,
{(1, 0, 2), (−1, 1, 0), (−3, 1, 1)} base de IR 3 .
Sea B la matriz coordenada de f respecto de estas bases (Ỹ = B X̃). Justifica
que las matrices A y B son equivalentes.
(f) Halla la matriz B.
2. Considera f ∈ End(IR 3 ) dado por f (0, 0, −1) = (0, 0, −2) y f (s) = 3s, ∀s ∈ S, siendo
S = { (x, y, z) ∈ IR 3 / x + y + z = 0 }.
(a) Determina A, matriz coordenada de f respecto de la base de IR 3
{(0, 0, −1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}.
(b) Utiliza la semejanza de matrices para calcular la matriz coordenada de f respecto
de la base canónica de IR 3 .
3. Sea h ∈ End ( IR 4 ) verificando:
• Ker h = { ( x, y, z, t ) ∈ IR 4 | x + y + z = 0, t = 0 }
18
• Los vectores ( 1, 1, 1, 0 ) y ( 0, 0, 0, 1 ) son fijos.
(a) Construye la matriz coordenada de h respecto de
la base canónica de IR 4 .
(b) Determina la matriz del endomorfismo respecto de la base:
B 0 = { ( 1, 1, 1, 1 ), ( 0, 1, 1, 1 ), ( 0, 0, 1, 1 ), ( 0, 0, 0, 1 ) }.
4. Considera f ∈ Hom(IR 2 [x], IR 1 [x]) dado por:
f (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a1 + a2 ) + (a1 + a2 )x.
(a) Halla f (1 + 2x − 5x2 ).
(b) Determina la matriz coordenada de f respecto de las bases canónicas {1, x, x2 } y
{1, x}.
(c) Calcula bases de los subespacios Im f y Ker f.
(d) Justifica la equivalencia entre las matrices A y B, siendo B la matriz coordenada
de f respecto de las bases:
{1 + x + x2 , 1 + x2 , 1},
{1 + 2x, −1}.
5. Considera f ∈ Hom(IR 2 [x], IR 1 [x]) dado por:
f (ax2 + bx + c) = (a + b)x + (2c + a).
(a) Halla la matriz coordenada respecto de las bases canónicas ( {x2 , x, 1}, {x, 1} ).
(b) Estudia si f es una aplicación inyectiva o suprayectiva.
(c) Estudia si los polinomios p(x) = x2 + x + 1 y q(x) = x2 + 2x + 6 pertenecen o no
al subespacio
S = {ax2 + bx + c ∈ IR 2 [x] / c = 5a + b/2}.
(d) Determina f (S).
6. Sean f, h ∈ End(IR 3 ) con ecuaciones coordenadas respecto de la base canónica Y = AX
e Y = BX, respectivamente, donde



3 −1 1

2 
A= 0 1
,
2 −1 4

0
1 1

1 0 
B= 0
.
−1 1 2
Estudia si h ◦ f es una aplicación biyectiva.
19
ÁLGEBRA
Práctica 5
1o A–Ingenierı́a Informática
N. Boal, M.L. Sein-Echaluce
Diagonalización
17
Ejemplo resuelto
A continuación se presenta un ejercicio resuelto para ilustrar cómo funcionan las “nuevas” ordenes en MATLAB que puedes necesitar para resolver los ejercicios propuestos en la práctica.
Considera f ∈ End (IR 3 ) de ecuación coordenada respecto de la base canónica Y = AX
donde
>> A=[0 1 1;0 2 2;0 0 1]
A =
0
0
0
1
2
0
1
2
1
El polinomio caracterı́stico de h:
>> syms x
>> pol=det(x*eye(3)-A)
pol =
x*(x-2)*(x-1)
OBS: es obvio puesto que A es triangular superior. Además el endomorfismo es diagonalizable es IR puesto que todos los valores propios son reales y distintos.
Subespacios fundamentales:
>> M1=(1*eye(3)-A)
M1 =
1
-1
0
-1
0
0
-1
-2
0
>> V1=null(M1,’r’)
V1 =
-1
-2
1
>> M2=(2*eye(3)-A)
20
M2 =
>>
V2
>>
V0
2
-1
0
0
0
0
V2=null(M2,’r’)
=
1/2
1
0
V0=null(A,’r’)
=
1
0
0
-1
-2
1
Base de vectores propios: {v1 , v2 , v3 } = {(−1, −2, 1), (1/2, 1, 0), (1, 0, 0)}.
Ejercicio: Justifica que A es semejante a la matriz


1 0 0

D=
 0 2 0 .
0 0 0
Halla una matriz P tal que D = P A P −1 .
18
Otras órdenes en MatLab
>>
>>
>>
>>
null(A,’r’) % base ‘‘racional’’ del conjunto de soluciones de AX=O
diag(v) %matriz diagonal con las coordenadas v_i en la diagonal
eig(A) %proporciona los valores propios de A
[V,D]=eig(A)%las columnas de V son las coordenadas de una base ...
%vectores propios y D es matriz diagonal con los ...
%valores propios en la diagonal
>> % solve(’ecu1’,’ecu2’,...): Para resolver ecuaciones
>> poly(A) %halla los coeficientes del polinomio caracter\’{\i}stico de A
>> factor(p) % factorizar el polinomio p.
19
Ejercicios propuestos
1. Sea h ∈ End(IR 3 ) que respecto de la base canónica tiene por ecuación Y = AX donde




A=

−1 −2 −4 −2
2
1
2
4 

.
−4 −2 −1 −2 
2
4
2
1
21
Estudia si es diagonalizable y, si lo es, construye una matriz regular P tal que P −1 A P
sea diagonal.
2. Sean f, h ∈ End(IR 3 ) con ecuaciones coordenadas respecto de la base canónica Y = AX
e Y = BX, respectivamente, donde


3 −1 1

2 
A= 0 1
,
2 −1 −2


0 1 1


B =  0 1 0 .
−1 1 2
Determina los subespacios fundamentales de h ◦ f y estudia si es diagonalizable.
3. Comprueba que la matriz


−1 1 −1

A=
 −2 2 −1 
−2 2 −1
es diagonalizable. Halla, si existen, A300 y A1/2 .
4. Considera el endomorfismo h ∈ End (IR 2 [x]) tal que
h(a0 + a1 x + a2 x2 ) = −a2 + (a0 + a1 + a2 ) x + (a0 + 2a2 ) x2 .
Calcula los subespacios fundamentales y, en caso de ser h un endomorfismo diagonalizable, determina una matriz Q tal que D = Q A Q−1 , con D matriz diagonal.
5. Sean M2 (IR), {E1 , E2 , E3 , E4 } la base canónica y h ∈ End (M2 (IR)) tal que
• E1 , E2 ∈ Ker (h),
• el polinomio caracterı́stico de h es x2 (x − 1)(x + 2),
• h(E3 ) = −2E1 + E3 ,
• h(E4 ) = −2E2 − 2E4 .
(a) Sin hacer ningún cálculo y teniendo en cuenta únicamente los datos que te dan
en el enunciado, justifica que h es un endomorfismo diagonalizable.
(b) Comprueba que los vectores A1 = E2 + E4 y A2 = −2E1 + E3 son vectores
propios de h.
(c) Da una base de vectores propios de h y calcula D, la matriz coordenada de h
respecto de esa base.
(d) Si A es la matriz coordenada de h respecto de la base canónica, halla P regular
tal que A = P D P −1 .
(e) ¿h es biyectivo?
(f) Halla Im f.
22
20
Sucesión de Fibonacci
Leonardo de Pisa (1175-1250) (cuyo sobrenombre ”Fibonacci” se debe al matemático francés
Edouard Locus, 1842-1891) estudió el siguiente problema de crecimiento de población: “Calcular el número de conejos que resultan en un año, si se comienza con una sola pareja que
crı́a otra al final de cada mes. Cada nueva pareja comienza a reproducirse de igual manera
al cabo de un mes de nacimiento, y se supone que ningún conejo muere”.
Este problema se resuelve a partir de la relación de Fibonacci
(
Fn+2 = Fn+1 + Fn ,
(1)
F0 = 0, F1 = 1
contenida en la obra ”Liber Abaci” en 1202 y que es el origen del estudio de las Ecuaciones
en Diferencias.
Averiguar el número de parejas de conejos al cabo de 100 meses se reducirı́a a calcular
F100 .
Una manera de resolver el problema serı́a calcular F2 , F3 , · · · , F99 , (es decir, los sucesivos
términos de la sucesión de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · ·) pero vamos a evitar esos
cálculos nada gratos con una técnica basada en la diagonalización de matrices.
Consideramos la ecuación en diferencias (1) expresada en forma matricial como
µ
Fn+2
Fn+1
¶
µ
=
1 1
1 0
¶µ
Fn+1
Fn
¶
y definimos A y xn , n ≥ 0 por
µ
A=
¶
1 1
,
1 0
µ
xn =
¶
Fn+1
, n ≥ 0,
Fn
µ ¶
x0 =
1
,
0
entonces la ecuación (1) se reduce a
xn+1 = Axn .
Conocemos x0 y queremos determinar x99 . Observamos que
x1 = Ax0 , x2 = Ax1 = A2 x0 , x3 = Ax2 = A3 x0 , · · ·
y se puede demostrar por inducción que
xn = A n x0
con lo que el problema se reduce a calcular la potencia A99 para hallar x99 .
Ejercicio: Estudia si la matriz A es diagonalizable.
Ejercicio: Si lo es, utiliza esta caracterı́stica para calcular cualquier potencia de A como
producto de matrices, sin necesidad de realizar las potencias sucesivas de A.
Ejercicio: Calcula el número de pares de conejos que habrá al cabo de dos años.
23
Observación: Si calculamos los cocientes Fn+1 /Fn para√valores de n muy grandes, se
obtienen valores que se van aproximando al número (1 + 5)/2 que fue llamado por los
griegos razón de oro o número de áureo. El número áureo aparece en diversas áreas como
la geometrı́a. Los rectángulos más estéticos tienen sus lados en la razón 1.6 : 1 como saben
todos los artistas y carpinteros.
1. En una pequeña localidad hay dos supermercados de alimentación: X e Y . Se sabe
que de los clientes del supermercado X de un año, el 70% lo sigue siendo el siguiente
, mientras que el 30% se pasa a la competencia. De la misma forma, el 60% de los
clientes del autoservicio Y de un año vuelve a serlo el siguiente, mientras que el 40%
restante cambia de establecimiento. En el año 1989 el supermercado Y recibió 1200
clientes.
(a) Calcula cuántos clientes tuvo el supermercado X sabiendo que en el año 1990 entraron el mismo número de clientes que en el año 1989 en ambos establecimientos.
(b) Determina cuántos clientes entraron en el año 2002.
24
ÁLGEBRA
Práctica 6
1o A–Ingenierı́a Informática
N. Boal, M.L. Sein-Echaluce
Formas cuadráticas
21
Ejemplo resuelto
A continuación se presenta un ejercicio resuelto para ilustrar cómo funcionan las “nuevas” ordenes en MATLAB que puedes necesitar para resolver los ejercicios propuestos en la práctica.
Sea la forma cuadrática q : IR 2 → IR definida por
q(x1 , x2 ) = 3x21 + 2x1 x2 + 5x22 .
La matriz coordenada (respecto de la base canónica) es
Ã
A=
3 1
1 5
!
Diagonalizamos por congruencias la matriz A
>> A=[3 1;1 5];
>> A1=pijt(2,1,-1/3,2)*A*pijt(1,2,-1/3,2)
A1 =
3
0
0
14/3
>> P=pijt(2,1,-1/3,2)
P =
1
0
-1/3
1
>> D=P*A*P’
3
0
0
14/3
Luego la forma cuadrática q es definida positiva y una base A-conjugada de IR 2 es: {(1, 0), (−1/3, 1)}
respecto de la cual la matriz coordenada de la forma cuadrática es la matriz diagonal D.
Vamos a representar gráficamente la forma cuadrática q e interpretaremos qué significa
que sea definida positiva. Para ello, generamos un m-file, llamado repre grafica con el
siguiente contenido:
function repre_grafica
%generamos la malla de puntos
%en la que evaluaremos la funcion
x=-1:0.02:1;
y=x;
25
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%definimos la funcion
Z=3*X.^2+2*X.*Y+5*Y.^2;
%plano z=0
n=size(x,2);
Z0=zeros(n,n);
% dibujamos
hold on
mesh(x,y,Z)
mesh(x,y,Z0)
hold off
Nota. X e Y son matrices y cuando ponemos el “.” al operar estamos realizando la operación
elemento a elemento. Ası́, con X.*Y multiplicamos el elemento X(i,j) por el elemento
Y(i,j), y con X.^2 elevamos al cuadrado cada elemento de X.
Si ejecutamos
>> repre grafica
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
0.5
0
−0.5
−1
Luego efectivamente q(x, y) > 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
22
Ejercicios propuestos
1. Clasifica las siguientes formas cuadráticas definidas en IR 2 a partir de su representación
gráfica. En segundo lugar, halla su signatura para comprobar que lo has hecho correctamente.
(a) q(x1 , x2 ) = −2x21 + 2x1 x2 + 3x22 .
(b) q(x1 , x2 ) = 4x21 + 2x1 x2 + 3x22 .
(c) q(x1 , x2 ) = x21 + 2x1 x2 + x22 .
(d) q(x1 , x2 ) = −2x21 + 2x1 x2 − 4x22 .
26
Observa que en las formas cuadráticas anteriores, el origen (0, 0) es un punto crı́tico.
Indica qué tipo de punto es (máximo relativo, mı́nimo relativo, punto silla). (Ver
sección 3).
2. Sea la forma cuadrática q : IR 4 → IR definida por
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 3x21 + 5x22 + 6x23 + 4x24 + 2x1 x2 − 2x2 x3 + 4x3 x4 .
(a) Si denotamos por A a la matriz coordenada de q respecto de la base canónica de
IR 4 , determina una base de vectores de IR 4 A-conjugada.
(b) Comprueba que A es definida positiva.
(c) Halla la factorización de Cholesky.
(d) Utiliza la factorización anterior para resolver el sistema Ax = b con b = (4, 5, 7, 6)0 .
3. Sea la forma cuadrática q : IR 4 → IR definida por
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x21 + 2x22 + 2x23 + 2x24 + 2x1 x3 + 2x1 x4 + 2x2 x4 + 2x3 x4 .
(a) Diagonaliza por congruencias la forma cuadrática q.
(b) Halla, si existe, la factorización de Cholesky.
(c) Utiliza las factorizaciones anteriores para resolver el sistema Ax = b con b =
(5, 5, 5, 5)0 .
Nota. Recuerda que con la orden >> B\c MatLab proporciona la solución del
sistema lineal Bx = c y que para trasponer una matriz A basta ejecutar >> A’
4. Determina la factorización de Cholesky de




A=
23
3
0
−1
1

0 −1 1
9 2 0 


2 1 0 
0 0 1
Extremos relativos de formas cuadráticas
Sean A ∈ Mn (IR) simétrica y la forma cuadrática q : IR n → IR definida por
q(X) = X 0 A X =
1 0
X (2A) X.
2
Se tiene que q ∈ C ∞ (IR n ) y además
∇q(X) = 2AX,
H(X) = 2A,
(gradiente)
(hessiana)
Por otra parte es inmediato observar que X0 = (0, . . . , 0)0 es un punto crı́tico de q, ( ∇q(X0 ) =
(0, . . . , 0) )0 . Luego, si
• A es definida positiva, entonces X0 es mı́nimo relativo,
• A es definida negativa, entonces X0 es máximo relativo,
• A es indefinida, entonces X0 es punto silla.
27
24
Otros criterios de clasificación de formas cuadráticas
Criterio de los menores. Sea A ∈ Mn (IR) simétrica y consideramos los menores


a11 . . . a1k
 .
. ,
..
4k = det 
. .. 

 ..
ak1 . . . akk
k = 1, . . . , n.
1. A es definida positiva si y sólo si 4k > 0 para todo k.
2. A es definida negativa si y sólo si 4k > 0 si k es par y 4k < 0 si k es impar.
3. Si 4k 6= 0 para todo k y no estamos en ninguna de las situaciones anteriores, entonces
A es indefinida.
Observaciones.
• En 3) el recı́proco no es cierto, luego este criterio nos proporciona una condición suficiente, no necesaria.
• Este criterio es muy costoso y sólo se emplea para matrices de orden bajo. Además no
permite clasificar todos los casos.
Criterio de los valores propios. Sea A ∈ Mn (IR) simétrica y λ1 , . . . , λn sus valores
propios (que son todos reales). Entonces:
1. A es definida positiva si y sólo si λi > 0 para todo i.
2. A es definida negativa si y sólo si λi < 0 para todo i.
3. A es semidefinida positiva si y sólo si λi ≥ 0 para todo i con algún λi = 0.
4. A es semidefinida negativa si y sólo si λi ≤ 0 para todo i con algún λi = 0.
5. A indefinida si y sólo si λi > 0 para algún i y λj < 0 para algún j.
28
ALGEBRA
1o
Práctica 7
A–Ingenierı́a Informática
N. Boal, M.L. Sein-Echaluce
Espacios Euclı́deos
25
Ejercicios propuestos
1. Dada la matriz


3 1 1

A= 1 3 1 

1 1 3
definimos en IR 3 el producto escalar
( u, v )A = X t A Y,
siendo X e Y las coordenadas de los vectores u y v en la base canónica, respectivamente.
Determina una base de IR 3 ortonormal respecto del producto escalar ( · , · )A .
2. Considera el espacio euclı́deo V = IR 2 [x] con el producto escalar
( p(x), q(x) ) =
Z 1
0
p(x)q(x) dx.
Estudia si los polinomios 1 + x y x2 son ortogonales.
3. Halla la factorización QR de la matriz




A=

1 −1 1
3 2 0 

.
5 1 1 
1 0 0
4. Comprueba que el sistema
x+z
2x + y + z
x+y
x + 2z
=
=
=
=
1,
1,
1,
2.
es incompatible. Utiliza la factorización QR (de la matriz de coeficientes A) para
encontrar la mejor aproximación de la solución del sistema.
5. Resuelve el sistema sobredeterminado
3x − z + t
9y + 2z
−x + 2y + z
x+t
2x + 2y + t
29
=
=
=
=
=
2,
15,
2,
0,
0.
6. Determina la parábola que mejor se ajusta a los puntos del plano: (−1, 1), (0, −1),
(1, 0) y (2, 2).
7. Un profesor de álgebra mantiene las estadı́sticas, que se muestran en la tabla, del
porcentaje de notables otorgados durante un perı́odo de seis semestres. Aproximando
por mı́nimos cuadrados mediante una recta, calcular el porcentaje de notables que se
esperan en el décimo semestre.
Semestre
% Notables
1
2
3
4
5
6
0.20 0.25 0.20 0.35 0.45 0.40
30
26
Otros ejercicios propuestos
A continuación se presentan unos cálculos realizados con el programa MatLab. Teniendo
en cuenta exclusivamente estos resultados y sin hacer operaciones adicionales, debes
contestar de forma razonada a las tres preguntas que se plantean al final.
>> A=sym(’[3, 0, 1; 0, -4, 2; 1, 2, 5]’)
A=


3,
0, 1


 0, −4, 2 
1,
2, 5
>> A1=A(1,1)
A1 =
3
>> A2=A([1,2],[1,2])
A2 =
"
3,
0
0, −4
#
>> det(A1)
ans =
3
>> det(A2)
ans =
-12
31
>> det(A)
ans =
-68
>> B1=Pt(3, 1, -1/3, 3)*A
B1 =


3,
0,
1

2 
 0, −4,

0,
2, 14/3
>> B2=Pt(3, 2, 1/2, 3)*B1
B2 =


3,
0,
1

2 
 0, −4,

0,
0, 17/3
1.- Justifica si la matriz A admite o no factorización LU. En caso afirmativo, indica cuál es
la matriz U y cuál es la matriz L (esta última expresada como producto de matrices elementales).
2.- Sea V un espacio vectorial real y h ∈ End(V) de ecuación coordenada Y = AX (respecto
de la base {a1 , a2 , a3 }). Razona si λ = 0 es un valor propio de h.
3.- ¿h es isomorfismo? (Justifica la respuesta)
Sea h ∈ End(IR 5 ) de ecuación coordenada Y = AX respecto de la base canónica donde la
matriz coordenada se define:
>> A=[-1 0 0 0 0; 2 3 0 0 0;2 3 2 0 1;-3 3 -2 0 -7; 1 -1 0 0 2]
A =
-1
0
0
0
0
2
3
0
0
0
2
3
2
0
1
-3
3
-2
0
-7
1
-1
0
0
2
A continuación realizamos unos cálculos con MatLab.
32
>> eig(A)
ans =
0
2
2
3
-1
>> null(A,’r’)
ans =
0
0
0
1
0
>> null(3*eye(5)-A,’r’)
ans =
0
-1
-2
-2
1
>> null(2*eye(5)-A,’r’)
ans =
0
0
-1
1
0
>> null(-eye(5)-A,’r’)
ans =
-2
1
1/3
-4/3
1
Teniendo en cuenta únicamente estos cálculos realizados con MatLab contesta de
forma razonada a las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es el polinomio caracterı́stico de A?
2. Determina las ecuaciones paramétricas de todos los subespacios fundamentales.
3. Explica por qué se obtiene:
>> null(4*eye(5)-A,’r’)
33
ans =
Empty matrix: 5-by-0
4. Halla Ker h e Im h.
5. ¿Es h un isomorfismo?
6. Sabiendo que
>> w1=A(:,1);w2=A(:,2);w3=A(:,3);w4=A(:,5);v1=[0;0;0;1;0];
>> B=[w1 w2 w3 w4 v1]
B =
-1
0
0
0
0
2
3
0
0
0
2
3
2
1
0
-3
3
-2
-7
1
1
-1
0
2
0
>> rank(B)
ans =
5
Justifica IR 5 = Ker h ⊕ Im h.
7. ¿La matriz A admite factorización LU ? (Razona tu respuesta)
Sea V = IR 3 [x] y en él consideramos las siguientes bases:
{ei (x)}4i=1 = {1, x, x2 , x3 }
{pi (x)}4i=1 = {1, (x − 2), (x − 2)2 , (x − 2)3 }
{qi (x)}4i=1 = {1, x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2) }
Notación: p(x) ∈ V respecto de una base arbitraria {vi (x)}4i=1 tiene por coordenadas Xv
donde p(x) = (vi (x))0 Xv .
A continuación realizamos unos cálculos con MatLab
>> syms x
>> p1=1;
>> p2=x-2;
>> p3=expand((x-2)^2)
p3 =
x^2-4*x+4
>> p4=expand((x-2)^3)
p4 =
x^3-6*x^2+12*x-8
>> q1=1;
34
>> q2=x;
>> q3=expand(x*(x-1))
q3 =
x^2-x
>> q4=expand(x*(x-1)*(x-2))
q4 =
x^3-3*x^2+2*x
>> P=[1 -2 4 -8; 0 1 -4 12; 0 0 1 -6; 0 0 0 1]
P =
1
-2
4
-8
0
1
-4
12
0
0
1
-6
0
0
0
1
>> Q=[1 0 0 0; 0 1 -1 2; 0 0 1 -3; 0 0 0 1]
Q =
1
0
0
0
0
1
-1
2
0
0
1
-3
0
0
0
1
35
>> invP=inv(P)
invP =
1
2
0
1
0
0
0
0
>> invQ=inv(Q)
invQ =
1
0
0
0
0
1
0
0
4
4
1
0
8
12
6
1
0
1
1
0
0
1
3
1
Debes contestar de forma razonada a las preguntas que se te plantean, has
de tener en cuenta únicamente estas órdenes en MatLab y no tienes que
hacer cálculos adicionales innecesarios. Sólo será preciso hacer algún producto
“matriz-vector” y algún producto matricial.
1. Para un polinomio arbitrario p(x) determina la relación entre las coordenadas respecto
de:
(a) la base canónica y la base {pi (x)}4i=1
(b) la base canónica y la base {qi (x)}4i=1
(c) la base {pi (x)}4i=1 y la base {qi (x)}4i=1
2. Calcula las coordenadas de 1 + x + x2 + x3 respecto de la base {pi (x)}4i=1 .
3. Calcula las coordenadas de 1 − 2x + x2 − 4x3 respecto de la base {qi (x)}4i=1 .
4. Halla las coordenadas respecto de la base {pi (x)}4i=1 del polinomio q(x) que respecto
de la base {qi (x)}4i=1 tiene por coordenadas (−3, 0, 2, −4)0 .
5. Si denotamos por R a la matriz de cambio de base entre {pi (x)}4i=1 y {qi (x)}4i=1 , halla
su factorización LU , si existe.
Sea V = IR 3 [x] y en él consideramos las siguientes bases:
{ei (x)}4i=1 = {1, x, x2 , x3 },
{pi (x)}4i=1 = {1, x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2) }.
Consideramos h un endomorfismo definido en V de ecuaciones coordenadas:
Y = AX
(respecto de la base ){ei (x)}4i=1 ,
f
Ye = B X
(respecto de la base ){pi (x)}4i=1 .
36
A continuación realizamos unos cálculos con MatLab
>> A=[1 0 0 0;0 -2 -2 4;0 0 0 -9;0 0 0 3]
A =
1
0
0
0
0
-2
-2
4
0
0
0
-9
0
0
0
3
>> eig(A)
ans =
1
-2
0
3
>> syms x
>> p1=1;
>> p2=x;
>> p3=expand(x*(x-1))
p3 =
x^2-x
>> p4=expand(x*(x-1)*(x-2))
p4 =
x^3-3*x^2+2*x
>> P=[1 0 0 0; 0 1 -1 2; 0 0 1 -3; 0 0 0 1]
P =
1
0
0
0
0
1
-1
2
0
0
1
-3
0
0
0
1
>> invP=inv(P)
invP =
1
2
4
8
0
1
4
12
0
0
1
6
0
0
0
1
Debes contestar de forma razonada a las preguntas que se te plantean, has
de tener en cuenta únicamente estas órdenes en MatLab y no tienes que
hacer cálculos adicionales innecesarios. Sólo será preciso hacer algún producto
“matriz-vector” y algún producto matricial.
1. Para un polinomio arbitrario p(x) determina la relación entre las coordenadas respecto
de la base canónica y la base {pi (x)}4i=1 .
37
2. Calcula las coordenadas de 1 + x + x2 + x3 respecto de la base {pi (x)}4i=1 .
3. Halla h(1 + x + x2 + x3 ).
4. Comprueba que la matrices A y B son semejantes y halla B.
5. Determina el subespacio Imh.
Considera V = IR 4 [x] (espacio de los polinomios de grado menor o igual que 4) y
S1 = IRh 1 + x2 + 3x3 , x + 4x2 + 3x3 , x3 i,
S2 = IRh x + 2x3 i.
Con MatLab realizamos las siguientes operaciones:
>> v1=[1 0 1 3 0];v2=[0 1 4 3 0];v3=[0 0 1 0 0];u1=[0 1 0 2 0];
>> A=[v1;v2;v3;u1]
A =
1
0
1
3
0
0
1
4
3
0
0
0
1
0
0
0
1
0
2
0
>> rank(A)
ans =
4
Teniendo en cuenta únicamente los cálculos anteriores y sin realizar ninguna operación adicional, contesta de forma razonada a las siguientes preguntas:
1. Determina S1 + S2 .
2. Demuestra que S1 ⊕ S2 .
3. Halla un subespacio S3 de modo que IR 4 [x] = S1 ⊕ S2 ⊕ S3 .
38
Sea P2 (x) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2 y h ∈ End(P2 (x))
de ecuación coordenada Y = AX (respecto de la base {1, x, x2 }) donde
>> A=sym(’[7/2 0 -3/2;-4 1 4; 9/2 0 -5/2]’);
>> polcar=poly(A); factor(polcar)
ans=
(x-1)*(x-2)*(x+1)
>> v1=null(A-eye(3))
v1=


0


 1 
0
>> v2=null(A-2*eye(3))
v2=


1


 0 
1
>> v3=null(A+eye(3))
v3=


1


 −4 
3
Ayuda: la función null(B) proporciona una base del Ker(f ) con f ∈ End(IR n ) de ecuación
coordenada Y = BX.
Teniendo en cuenta exclusivamente estos cálculos realizados en MATLAB
contesta razonadamente a las siguientes tres preguntas.
1. Construye la forma canónica de Jordan J y demuestra que A y J son matrices semejantes.
39
2. ¿h es diagonalizable? En caso afirmativo determina una matriz P tal que D = P −1 AP.
3. ¿Cuáles son los factores invariantes de h? (Razona la respuesta)
40