Ficha 1

Ejercicios Fórmulas Trigonométricas
Hoja1
1) Hallar las coordenadas de los puntos A,B,C y D de las 13) Comprueba que son ciertas las siguientes igualdades:
figuras siguientes:
2
a) cos(45º + α ) =
(cos α − sen α )
2) Realiza la conversión de grados a radianes y viceversa:
π 4
Rad
Grados
300
2π 3
120
210
7π 4
540
3) Calcula razonadamente (si existen) el valor de
siguientes razones trigonométricas:
a) sen 210º
e) sen 390º
i) tg150º
b) cos135º
f) sec315º
j) sec120º
c) sen 300º
g) cos120º
k) tg 240º
las 14) Comprobar que:
d) cos 720º
h) cos 225º
l) sec 225º
4) Siendo α y β dos ángulos del primer cuadrante tales que
sen α = 3 5 y sen β = 12 13 calcula sen(α + β ) y
cos(α + β ) .
5) Sabiendo que sen α = 2 3 y que 0º < α < 90º hallar las
razones trigonométricas del ángulo 2α .
6) Si tg α = 3 4 , calcula tg(α + 45º ) − tg(45º − α ) .
7) Sabiendo que sen α = 3 5 y que sen β = 12 13 siendo
α y β ángulos del segundo cuadrante, calcular las razones
del ángulo (α − β ) y justificar en qué cuadrante está el
ángulo diferencia.
8) Considera un ángulo α del tercer cuadrante tal que
tg α = 2 . Indica en que cuadrante estará el ángulo ( α 2 ) y
calcula (sin utilizar decimales):
a) tg 2α
b) cos α
d) cos ( α 2 )
c) sen 2α
9) Los ángulos α y β pertenecen a dos cuadrantes no
consecutivos. Además cos α = − 4 5 y senβ = 7 25 .
Calcular:
c) sen 2β
a) sen(α + β )
d) cos ( α 2 )
b) cos(α − β )
e) tg ( α 2 )
10) Simplifica al máximo la expresión:
cos a ⋅ cos( a − b) + sen a ⋅ sen( a − b)
y después halla su valor para b = π radianes.
2
2
b) cos(45º − α ) =
(cos α + sen α )
2
2
c) sen(45º + α ) =
(sen α + cos α )
2
2
d) sen(45º − α ) =
(sen α − cos α )
2
e) sen(45º + α ) + cos(45º + α ) = 2 cos α
f) sen(30º + α ) + cos(60º + α ) = cos α
1 − tg 2 15º
3
=
.
1 + tg 2 15º
2
15) Sabiendo que tg α = − 3 4 y que α ∈ ( π 2, π )
determinar las razones seno y coseno del ángulo
(180º − 2α ) .
16) Comprobar que son ciertas las siguientes igualdades:
sen 2a
sen( a + b)
= tg a
b) tg a + tg b =
1 + cos 2a
cos a cos b
c) sen( a + b) ⋅ sen(a − b) = sen 2 a − sen 2 b
1
d) sen( a + b) ⋅ cos( a − b) = (sen 2a + sen 2b)
2
cos a + cos b
1
=
e)
sen(a + b) ⋅ sen(a − b) cos b − cos a
a)
f) 1 − cos(a + b)cos( a − b) = sen 2 a + sen 2 b
π

π

+ α  − tg  − α  = 2 tg 2α
4

4

g) tg 
17) Calcular el valor de las siguientes expresiones:
a) sen 75º + sen15º
c) cos 75º + cos15º
sen 75º +
sen 75º −
cos 75º −
g)
sen 75º +
e)
b) sen 75º − sen15º
d) cos 75º − cos15º
sen 45º
sen 45º
cos15º
tg 60º
sen15º
f)
sen 60º − sen 30º
sen 60º + sen 30º
18) Simplificar en lo posible las siguientes expresiones:
sen 5α + sen α
sen 3α − sen α
cos ϕ − cos3ϕ
c)
sen 3ϕ − sen ϕ
a)
b)
cos(α − β ) − cos(α + β )
sen(α + β ) + sen(α − β )
d)
sen α + sen 3α + sen 5α + sen 7α
cos α + cos 3α + cos 5α + cos 7α
11) Hallar, sin calculadora, las razones trigonométricas del 19) Simplificar la siguiente expresión:
ángulo 105º.
 5π

π

 3π

 7π

12) Sabiendo que cos α = 0'2 calcula las razones cos  2 − x  − sen  2 + x  + cos  2 − x  − sen  2 + x 








trigonométricas del ángulo (α + 60º ) siendo α un ángulo 20) Demostrar que:
del 4º cuadrante.
Ejercicios Fórmulas Trigonométricas
Hoja2
26) Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo
cualquiera, demostrar que:
a) sen(3α ) = 3sen α − 4sen 3 α
b) cos(3α ) = 4cos α − 3cos α
3
tg A + tg B + tg C = tg A ⋅ tg B ⋅ tg C
21) Hallar el valor de las siguientes expresiones:
π
7π
π
7π
− cos sen
a) sen cos
12
12
12
12
π
5π
π
5π
+ sen sen
b) cos cos
12
12
12
12
5π
7π
5π
7π
cos
− sen sen
c) cos
12
12
12
12
π
5π
π
5π
+ cos sen
d) sen cos
18
18
18
18
27) Demostrar que si A y B son dos ángulos de un
triángulo y se cumple que sen( A − B ) = sen( A + B )
entonces el triángulo es rectángulo.
28) Demostrar que si A, B y C son los tres ángulos de un
triángulo cualquiera se cumple que:
cos( A − B ) − cos C
= cos B
2cos A
29) Hallar el dominio de la función f ( x ) =
sen x
.
1 + cos 2 x
22) En un circuito de corriente alterna la potencia
30) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
instantánea p como función del tiempo t viene dada por:
p(t ) = Vm I m cos φ sen 2 (ω t ) − Vm I m sen φ sen(ω t ) cos(ω t )
a) sen 2 x = cos x
Demostrar que esta expresión de la potencia es
c) 6cos 2 x + cos 2 x = 5
equivalente a:
e) 3cos x + 3 = 2sen 2 x
p(t ) = Vm I m sen(ω t )sen(ω t − φ )
g) cos x ⋅ cos 2 x + cos 2 x = 0
23) Siendo f ( x ) = sen x , g ( x) = cos x , y h( x ) = tg x , i) tg x ⋅ tg 2 x = 1
usar la siguiente figura para evaluar:
k) cos5 x − cos x = 0
m) cos 2 x + cos 4 x = 0
ñ) sen x − 2cos 2 x = − 1 2
p) cos 2 x + 2sen x = 1
b) sen x·cos x = 1 2
d) cos 2 x + 3sen x = 2
f) 3 + cos 2 x = 5cos x
h) 2sen 2 x + cos 2 x = 1,5
j) cos 2 x = 1 + 4sen x
l) sen 2 x + cos 2 x = 2
n) cos 4 x − cos 6 x = 0
o) sen x + sen 7 x = 0
q) cos x − sen x = cos3 x
cos( x + 30º )
x
=1
= 3
s)
sen( x + 30º )
2
t) cos 2 x − cos 6 x = sen 5 x + sen 3x
u) sen x + sen 3 x = cos 2 x + cos 4 x
v) cos8 x + cos 6 x = 2cos 210º cos x
r) 2cos x + 4sen
a) f (α + β )
d) f (α − β )
b) g (α + β )
e) h(α + β )
c) g (α − β )
f) h(α − β )
31) Un rail de forma acanalada es construido con láminas
de aluminio de 12 pulgadas (inches) de anchura. Después
de marcar una distancia de 4 pulgadas en cada extremo, la
24) Siendo f ( x ) = sen x , g ( x) = cos x , y h( x ) = tg x , lámina es doblada y levantada un ángulo θ como se
usar la siguiente figura para evaluar:
muestra en la figura. El área A de la apertura es una
función de θ dada por la expresión:
A = 16sen θ (cos θ + 1) , 0º < θ < 90º
a) f (2θ )
e) h(2θ )
α 
h) f  
 2
b) g (2θ )
θ
e) h  
 2
α 
i) g  
 2
θ
c) g  
 2
θ
d) f  
 2
f) g (2α )
g) f (2α )
α 
j) h  
 2
k) h(2α )
a) Los cálculos necesarios para hallar el ángulo θ que hace
máxima esta área requieren resolver la ecuación
cos 2θ + cos θ = 0 , 0º < θ < 90º
Resolver dicha ecuación haciendo uso de las fórmulas del
ángulo doble.
25) Si A + B = π 2 ¿Quién es mayor sen A + sen B o b) Resolver la ecuación anterior escribiendo la suma de los
dos cosenos como un producto.
cos A + cos B ? Razonar la respuesta.
c) ¿Cuál es el valor máximo de A para la apertura?