1 PRÁCTICA MÉTODOS 2 INTEGRALES DOBLES ü Introducción y y=y2(x) y=y1(x) D x a x fija b Dada una función f(x,y) integrable en un cierto conjunto D, podemos calcular la integral doble planteando la integral iterada correspondiente (obsérvese el orden de integración): ‡ ‡ f@x, yD x y = ‡ D b a y2@xD i y j z x j f@x, yD yz j z ‡ j z y1@xD k { En caso de no utilizar paletas la instrucción será: Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]}] o la aproximación numérica: NIntegrate[f[x,y],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]}] Por último, si efectuamos un cambio de variable, la matriz jacobiana la podemos hallar mediante la instrucción: i ∂x u@x, yD ∂y u@x, yD y z M=j z j k ∂x v@x, yD ∂y v@x, yD { El determinante jacobiano se calcula mediante la instrucción: Det[M]. Para representar las Curvas que limitan el dominio podemos utilizar: - coordenadas cartesianas explícitas, mediante el comando: Plot - coordenadas cartesianas implícitas, mediante el comando: ImplicitPlot que exige cargar el paquete: Graphics`ImplicitPlot` - coordenadas paramétricas, mediante el comando: ParametricPlot 2 - coordenadas polares mediante el comando: PolarPlot que exige cargar el paquete: Graphics`Graphics` Utliizaremos indistintamente estos comandos. ü Ejemplo 1 Calcular la integral doble Ÿ ŸD f Hx, yL dxdy, siendo D la región limitada superiormente por la recta y=x e inferiormente por la circunferencia x2 + y2 - 2 y = 0, y siendo f(x,y)=x. a) En coordenadas cartesianas. b) En coordenadas polares. Solución: Exit f@x_, y_D = x Calculamos los puntos de intersección de la recta y la circunferencia. Solve@8x2 + y2 − 2 y 0, y x<, 8x, y<D Representamos las gráficas. << Graphics`ImplicitPlot` g1 = ImplicitPlot@x2 + y2 − 2 y g2 = Plot@x, 8x, 0, 1<D; 0, 8x, 0, 1<, 8y, 0, 1<, AxesOrigin → 80, 0<D; Show@g1, g2D; Hallamos la integral en coordenadas cartesianas. ‡ 1 0 i y j j‡ è!!!!!!!!!!!! f@x, yD yz z x k 1− 1−x2 { x Hallamos el jacobiano de coordenadas polares. x@r_, θ_D = r Cos@θD; y@r_, θ_D = r Sin@θD; M=J ∂r x@r, θD ∂θ x@r, θD N; ∂r y@r, θD ∂θ y@r, θD % êê MatrixForm J = Det@MD êê Simplify Hallamos la integral en coordenadas polares. ‡ π 4 0 2 Sin@θD i y j j z r Cos@θD r rz j‡ z θ k 0 { ü Ejemplo 2 1 dxdy donde D es la región del primer cuadrante que es interior a la circunferencia Calcular la integral doble ‡ ‡ D x r = 3 cosq y exterior a la cardioide r = 1 + cosq. Solución: Exit 3 << Graphics`Graphics` g1 = PolarPlot@83 Cos@θD, 1 + Cos@θD<, 8θ, 0, 2 π<D; Calculamos los puntos de intersección de la circunferencia y la cardioide y la circunferencia. Solve@8r == 3 Cos@θD, r == 1 + Cos@θD<, 8r, θ<D Hallamos la integral en coordenadas polares. ‡ 0 π 3 3 Cos@θD 1 y i j z j r rz z θ êê Simplify j‡ r Cos@θD { k 1+ Cos@θD INTEGRALES TRIPLES ü Introducción z z=z2(x,y) Ω z=z1(x,y) y y=y1(x) a b D y=y2(x) x Dada una función f(x,y,z) integrable en un cierto conjunto W, podemos calcular la integral triple planteando la integral iterada correspondiente (obsérvese el orden de integración): ‡ ‡ ‡ f@x, y, zD x y z = ‡ Ω b a y2@xD i z2@x,yD i y j z yy j z j j z f@x, y, zD zz j z j z ‡ j z j‡ z x y1@xD z1@x,yD k { k { En caso de no utilizar paletas la instrucción será: Integrate[f[x,y,z],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]},{z,z1[x,y],z2[x,y]}] o la aproximación numérica: NIntegrate[f[x,y,z],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]},{z,z1[x,y],z2[x,y]}] Si efectuamos un cambio de variable, la matriz jacobiana la podemos hallar mediante las instrucciones: i ∂x u@x, y, zD ∂y u@x, y, zD ∂z u@x, y, zD z y j j z z j z v@x, y, zD ∂ v@x, y, zD ∂ v@x, y, zD ∂ M=j x y z j z j z j z w@x, y, zD ∂ w@x, y, zD ∂ w@x, y, zD ∂ x y z k { 4 Para representar las Superficies que limitan W podemos utilizar coordenadas cartesianas, mediante el comando: ContourPlot3D que exige cargar el paquete: Graphics`ContourPlot3D` ü Ejemplo 3 Consideremos el dominio cerrado tridimensional W limitado por el plano XOY y las superficies de ecuaciones cartesianas z=x2 + y2 ; x2 + y2 =1 1º) Representar gráficamente el dominio W. 2º) Determinar el valor de la integral triple Ÿ Ÿ ŸW Hx + y + zL dxdydz a) Directamente. b) Con cambio de variable a cilíndricas, calculando previamente el Jacobiano. Solución: Comenzamos representando gráficamente las superficies en cartesianas. Las superficies se cortan a la altura z=1, en la circunferencia: x2 + y2 = 1. La proyección de las superficies sobre el plano XOY es el interior de la circunferencia: x2 + y2 = 1. Exit <<Graphics`ContourPlot3D` g1 = ContourPlot3D@z − x2 − y2 , 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, 0, 1<, PlotPoints → 5D; g2 = ContourPlot3D@x2 + y2 − 1, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, 0, 1<, PlotPoints → 5D; Show@g1, g2D; Definimos la función integrando. f@x_, y_, z_D = x + y + z Primero calculamos la integral directamente en cartesianas, planteando la integral iterada: ‡ 1 −1 1−x2 i j j j j ‡ j è!!!!!!!!!2!!! k − 1−x è!!!!!!!!!!!! x i j j j j‡ k 0 2 +y2 y y z z x z f@x, y, zD zz z z z yz z { { Y ahora con cambio de variables a cilíndricas: x@r_, θ_, z_D = r Cos@θD; y@r_, θ_, z_D = r Sin@θD; z@r_, θ_, z_D = z; Calculamos el Jacobiano: ∂r x@r, θ, zD ∂θ x@r, θ, zD ∂z x@r, θ, zD y i j z j ∂ y@r, θ, zD ∂ y@r, θ, zD ∂ y@r, θ, zD z z z j M=j θ z z j r z j z@r, θ, zD ∂ z@r, θ, zD ∂ z@r, θ, zD ∂ θ z { k r J = Det@MD êê Simplify Hallamos la integral en coordenadas cilíndricas. ‡ 2π 0 ‡ 1 0 ‡ r2 0 Hr Cos@θD + r Sin@θD + zL r z r θ 5 ü Ejemplo 4 Representar gráficamente y calcular el volumen de la región W constituida por la parte de la esfera x2 + y2 +z2 §2 que queda è!!!!!!!!!!!!!!! dentro del cono z= x2 + y2 . a) En coordenadas cartesianas. b) En coordenadas cilíndricas. c) En coordenadas esféricas calculando previamente el Jacobiano. Solución: Comenzamos representando gráficamente las superficies en paramétricas. Las superficies se cortan a la altura z=1, en la circunferencia: x2 + y2 = 1. Por su parte el cono forma un ángulo de 45° con el eje z. Exit <<Graphics`ContourPlot3D` graf1 = ContourPlot3D@z2 − x2 − y2 , 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, 0, 1<, PlotPoints → 5D; graf2 = ContourPlot3DAx2 + y2 + z2 − 2, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 9z, 1, è!!!! 2 =, PlotPoints → 5E; Show@graf1, graf2, ViewPoint −> 84.000, −4.000, 0.970<D; En primer lugar planteamos la integral iterada en cartesianas aprovechando simetrías. 4 NIntegrateA1, 8x, 0, 1<, 9y, 0, è!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 − x2 =, 9z, x2 + y2 , 2 − x2 − y2 =E Observar que el comando anterior no es lo mismo que 1i è!!!!!!!!!2!!! 1−x i j j 4‡ j j j‡ 0 k 0 è!!!!!!!!!2!!!!!!!!2!!! 2−x −y j j j j j‡è!!!!!!!! !!!!2!! 2 k x +y y y z z z z x êê N z zz z z z yz { { En segundo lugar planteamos la integral con cambio a coordenadas cilíndricas (cuyo Jacobiano suponemos conocido J=r): ‡ 2π 0 1 i j j j j j‡ k 0 i j j j j j‡ k r è!!!!!!!!!2!!! 2−r y y z z z z rz r zz z z z θ êê N z { { Por último planteamos la integral con cambio a coordenadas esféricas: x@ρ_, θ_, φ_D = ρ Sin@φD Cos@θD; y@ρ_, θ_, φ_D = ρ Sin@φD Sin@θD; z@ρ_, θ_, φ_D = ρ Cos@φD; Calculamos el Jacobiano correspondiente: ∂ρ x@ρ, θ, φD ∂θ x@ρ, θ, φD ∂φ x@ρ, θ, φD y i j z j ∂ y@ρ, θ, φD ∂ y@ρ, θ, φD ∂ y@ρ, θ, φD z z z; j ρ M=j θ φ z j z j ∂ z@ρ, θ, φD ∂ z@ρ, θ, φD ∂ z@ρ, θ, φD θ φ { k ρ MatrixForm@%D J = Abs@Det@MDD êê Simplify Hallamos la integral en coordenadas esféricas. ‡ 2 πi 0 4 i j j j j j j‡ j j‡ j j 0 k k 0 π è!!!! 2 y y z z z φz z J ρz z z z θ êê N z { { 6 PROBLEMAS PROPUESTOS ü Problema 1 Hallar la masa de la lámina de densidad m(x,y)=x2 que ocupa la región D limitada por la parábola y=2-x2 y la recta y=x. Representar las gráficas de la parábola y la recta hallando previamente los puntos de intersección. ü Problema 2 a) Hallar el Jacobiano de las coordenadas polares. b) Hallar, utilizando coordenadas polares, el área comprendida entre las circunferencias x2 + y2 = 2 x y x2 + y2 = 4 x y las rectas y=x e y=0. Representar previamente las gráficas. ü Problema 3 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ÿ Ÿ ŸW 1 - x2 - y2 - z2 dxdydz donde W es la región limitada por la esfera x2 + y2 + z2 =1 a) Directamente en coordenadas cartesianas. b) En coordenadas esféricas, calculando previamente el Jacobiano. Representar gráficamente el dominio W. Calcular la integral ü Problema 4 Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies z=x2 + y2 y z=2-x2 - y2 . Representar gráficamente el dominio W.