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Geometría Analítica
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
LA PARÁBOLA
DEFINICIÓN
Parábola es el lugar geométrico de todos los
puntos P del plano que equidistan de una recta
fija llamada directriz (L) y de un punto fijo
exterior a dicha recta llamado foco (F) de la
parábola.
A partir de su definición vamos a deducir la ecuación de una
parábola con vértice en el origen de coordenadas.
 El eje de la parábola coincide con el de las abscisas y
el vértice con el origen de coordenadas.
Se llama parábola a la sección cónica generada
al cortar un cono recto con un plano paralelo a la
generatriz.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA





Foco (F). Es el punto fijo de la parábola.
Directriz. Es una recta fija.
Vértice (V). Donde la parábola hace el giro más
fuerte, es el punto de medio del segmento que une la
directriz y el foco.
Eje Focal. Eje de simetría, es la recta perpendicular a
la directriz que pasa por el foco.
Parámetro. Es la distancia del foco a la directriz, se
designa por la letra p
Profesor: Javier Trigoso
 x  p
2
  y  0
2
 x
p
Elevando al cuadrado:
x  2px  p2  y2  x2
2
2px  p2
Simplificando:
y2  4px
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 El eje de la parábola coincide con el de las ordenadas y
el vértice con el origen de coordenadas.
RESUMEN
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA
 x  0
  y  p
2
2
 y
p
Elevando al cuadrado:
x  y  2py  p2  y2
2
2
Si el vértice de la parábola se ubica en cualquier punto (h; k)
del plano que no sea el origen de coordenadas, el eje de
simetría es paralelo a un eje coordenado y p > 0, obtenemos:
2py  p2
Simplificando:
x2  4py
Profesor: Javier Trigoso
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ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Partiendo de la ecuación ordinaria de la parábola y
dependiendo del paralelismo de su eje focal con respecto a los
ejes, la ecuación general de la parábola queda expresada así:
y2  Dy  Ex  F  0
eje focal paralelo al eje X
x2  Dx  Ey  F  0
eje focal paralelo al eje Y
Veamos el caso de la parábola de vértice (h; k), con foco (p +
h; k), eje focal paralelo al eje X y cuya directriz es la recta x
= h – p, con p > 0, su ecuación ordinaria es:
y  k 2
 4px  h
Desarrollando la fórmula anterior obtenemos:
y2  2ky  k2  4px  4ph
Ordenando:
y  2ky  4px  k2  4ph  0
2
Haciendo: -2k = D; -4p= E; k2 + 4ph = F y reemplazando en
la ecuación anterior, obtenemos:
y2  Dy  Ex  F  0
Conocida como la ecuación general de la parábola
con eje focal paralelo al eje X.
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De manera análoga, si el eje focal es paralelo al eje Y,
obtenemos:
x2  Dx  Ey  F  0
Conocida como la ecuación general de la parábola
con eje focal paralelo al eje Y.
PARA LA CLASE…
01. Determina el foco y la directriz de cada parábola:
 y2 = 4x
 y2 = -6x
 x2 = 12y
 x2 = -8y
02. Determina el vértice, foco y la directriz de cada parábola:
 (x + 2)2 = 4(y - 1)
 (x + 3)2 = 6y
 (y - 2)2 = -4(x + 1)
 (y + 3)2 = 12x + 8
03. Determina el vértice, foco y la directriz de cada parábola:
 x2 + 4x – 4y + 8 = 0
 x2 - 2x + 2y + 5 = 0
 y2 + 6y + x + 7 = 0
 y2 - 2y - 2x - 3 = 0
 2x2 – 12x – 40y + 98 = 0
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04. Halla la ecuación de la parábola con vértice V(0; 0) y foco
F(0; 3)
05. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con
el origen de coordenadas y pasa por el punto (3, 4), siendo su
eje OX.
06. Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY,
vértice en OX y que pasa por los puntos A (2, 3) y B (-1, 12).
07. Halla la ecuación general de la parábola de vértice (2;3),
eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por el punto (0; 5).
08. En cada uno de los siguientes ejercicios, el vértice de la
parábola está en el origen de coordenadas. Determina su
ecuación.
 Es simétrica respecto del eje de abscisas y pasa por el
punto P (-1; 2).
 Su eje focal es el eje de ordenadas y pasa por el punto
P (2; -3)
 La directriz es la recta y – 4 = 0
 El foco tiene abscisa cero y p = 8
09. Encuentra la ecuación de la parábola si su vértice es
V (0;0) y las coordenadas del lado recto son A (-4; 2) y B (4;
2).
10. Halla la ecuación de la parábola que verifica las siguientes
condiciones:
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 F(2; 3), directriz x – 6 = 0
 V(-2; 2) y F(2;2)
 El vértice pertenece a la recta 7x + 3y – 4 = 0, eje
horizontal y F(3; -1)
PARA LA CASA…
01. Calcula el vértice, foco y la recta directriz de las
parábolas siguientes:
 y2 = 8x
 y2 = -8x
 x2 = 8y
 x2 = -8y
 (y – 2)2 = 8(x – 3)
 (x – 3)2 = 8(y – 2)
02. Encuentra el vértice, el foco y la directriz
 x2 + 2x + 2y + 7 = 0
 y = x2 + 4x + 3 = 0
 4y2 - 4y – 4x + 24 = 0
 y2 + 6y – x + 16 = 0
 x2 - 4x - 2y = 0
03. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
 Directriz x = -3 y foco (3; 0)
 Directriz x = 2 y foco (-2; 0)
 Directriz y = 4 y foco (0; 0)
 Directriz y = -5 y foco (0; 5)
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04. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
 Foco (2; 0) y vértice (0; 0)
 Foco (3; 2) y vértice (5; 2)
 Foco (-2; 5) y vértice (-2; 2)
 Foco (3; 4) y vértice (1; 4)
(-1; 12)
05. Determina la ecuación de la parábola que tiene su foco en
(1; 3) y vértice en (-2; 3).
13. Determina la ecuación general de la parábola cuyo eje
focal es paralelo al eje Y y pasa por los puntos P (6; 2), Q
(4; -1) y R (-2; 2)
06. Halla la ecuación de la parábola con vértice en (3; -1) y
cuya ecuación de la directriz es: y – 2 = 0
07. Determina la ecuación de la parábola cuyos puntos P (x; y)
equidistan de la recta y – 1 = 0 y del punto (3; 5).
08. Determina la ecuación de la parábola que tiene su foco en
F (-2, -1) y su lado recto lo unen los puntos: Q (-2; 2) y Q´(-2;
-4).
09. Usando la definición, halla la ecuación de la
parábola que tiene su foco en el punto F (2; 0) y su recta
directriz tiene por ecuación x = -2.
10. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con
el origen de coordenadas y pasa por el punto (3; 4), siendo su
eje OX.
11. Escribe la ecuación general de la parábola de eje paralelo
a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2; 3) y B
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12. Determina la ecuación general de la parábola cuyo eje
focal es paralelo al eje X y pasa por los puntos P (1; 2), Q
(-1; 3) y R (-8; 4)
14. Determina la ecuación de la parábola que tiene por
directriz la recta: x + y - 6 = 0 y por foco el origen de
coordenadas.
15. Encuentra la ecuación de la parábola con eje paralelo al
eje de las abscisas y pasa por los puntos: A (3, 3), B (6, 5) y C
(6, -3).
16. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo
al eje Y, que pasa por los puntos A (2; -1), B (-4; -4) y C (6; 9).
17. Halla la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa
por los puntos: A (6; 1), B (-2; 3) y C (16; 6).
18. Determina la ecuación de la parábola que tiene como
vértice V (1; 0) y tiene como eje focal el eje de las abscisas
que pasa por el punto (2; 2)
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19. Determina el vértice V y la ecuación de la parábola que
tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco
está localizado en el punto F (4; 2).
26. Halla la ecuación de la parábola con vértice de abscisa
positiva y que pasa por los puntos A (7; 8) y B (7; -12).
Además tiene como directriz a la recta x + 3 = 0.
20. Determina el vértice V, el foco F, la ecuación de la
directriz y el eje focal de la parábola cuya ecuación es:
3x2 – 3x – 24y – 1 = 0
27. Halla la ecuación de la parábola cuyo foco está sobre la
recta 2x + y = 1, su vértice pertenece a la recta
x – y + 3 = 0 y su directriz es la recta x + 4 = 0.
21. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice es el
28. ¿En cuántos puntos se interseca la parábola de ecuación
centro de la circunferencia x  y  2x  2y  0 y su
x2  4 y con la circunferencia x2  y  4
2
2
directriz es x – 2 = 0.
22. Encuentra la ecuación de la parábola que se abre hacia
abajo, cuyo vértice es el centro de la circunferencia
x2  y2  14y  40  0 , además, la distancia del vértice a la
directriz es 6.
23. La parábola de ecuación x  4y , es cortada por la recta
2
2x – y = 3 en los puntos A y B. Calcula la longitud de la
cuerda AB.


2
 1?
29. Una antena de TV tiene la forma de paraboloide de
revolución. Determina la posición del receptor que se coloca
en el foco, si la antena tiene 15 cm de diámetro en su
abertura y 5 cm de profundidad en su centro.
30. Un arco tiene la forma de una parábola con el eje vertical,
la altura de su centro es de 10 cm y tiene en su base un claro
de 30 cm. Determina su altura a la distancia de 5 cm de un
extremo.
24. Halla la longitud del lado recto de la parábola cuyo eje es
paralelo al eje Y, que tiene foco F (0; 5) y la recta directriz
pasa por el punto (0; -5).
25. Halla el punto medio entre el punto P (-4; -6) y el foco de
la parábola de ecuación: x2  2x  8y  33  0
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