Problema 1.23-04

aletos
MECÁNICA
ROTACIÓN
Física para Ciencias e Ingeniería
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Y TRASLACIÓN
Contacto: aletos@telefonica.net
Una estructura de superficies planas, unidas entre sí, consta de un plano S1, inclinado un ángulo θ, una
superficie horizontal S2 y un plano S3, inclinado un ángulo ϕ, como muestra la figura.
Un cilindro macizo de masa m y radio r rueda sin deslizar, partiendo del reposo sobre el plano inclinado S1, a una altura h sobre la horizontal. Continúa rodando sin deslizar sobre la superficie horizontal S2 y
sube rodando sin deslizar por el plano inclinado S3.
S1
S3
h
S2
θ
ϕ
a) Indíquese en un diagrama las fuerzas que actúan sobre el cilindro cuando rueda sin deslizar sobre cada
superficie.
b) ¿Hasta qué altura ascenderá el cilindro sobre el plano S3?
c) Explíquese el tipo de movimiento que efectuará el cilindro.
SOLUCIÓN:
a) Las fuerzas que actúan sobre el cilindro son las siguientes.
Cuando rueda sin deslizar sobre la superficie S1:
– su peso mg
– la fuerza de rozamiento R1 que se opone al deslizamiento del cilindro.
– la fuerza normal N1 que equilibra la componente del peso mg cos ϕ.
Bajo la acción de estas fuerzas el cilindro desciende con un movimiento uniformemente acelerado,
tanto de traslación como de rotación.
R3
[Véase el Ejemplo 1 del Capítulo 1.23 - Rotación y traslación.pdf de esta misma página].
Cuando el cilindro llegue al pie del plano S1 habrá adquirido un velocidad de traslación V, y una velocidad de rotación ω tales que, V = rω.
α
ω
N1
R1
mg cos θ
V
mg sen θ
θ
V
a
ω
N3
a
N2
ω
α
V
mg sen ϕ
ϕ
mg
θ
ϕ
mg
R3
mg cos ϕ
mg
Cuando rueda sin deslizar sobre la superficie S2:
– su peso mg
– la fuerza normal N2 que equilibra el peso mg.
No actúa la fuerza de rozamiento, porque el cilindro cuando llega a la superficie horizontal S2 tiene
una velocidad de traslación V, y una velocidad de rotación ω tales, que V = rω, y por consiguiente,
no intenta deslizar. No hay que olvidar que la fuerza de rozamiento es una fuerza de ligadura, o fuerza pasiva, y si el cilindro no intenta deslizar, no se manifiesta.
El cilindro se mueve sobre S2 con un movimiento uniforme tanto de traslación como de rotación con
las velocidades adquiridas al pie del plano S1.
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ROTACIÓN
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Y TRASLACIÓN
Cuando rueda sin deslizar sobre la superficie S3:
– su peso mg
– la fuerza de rozamiento R3 que se opone al deslizamiento del cilindro, que, en este caso, actúa hacia
arriba del plano inclinado, ya que el cilindro intenta deslizar hacia abajo.
– la fuerza normal N3 que equilibra la componente del peso mg cos θ.
El cilindro asciende con un movimiento uniformemente decelerado o retardado, cuya deceleración se calcula de forma similar a la de la aceleración en el plano S1:
V
ω
N3
a
α
mg sen ϕ
ϕ
ϕ
mg
R3
mg cos ϕ
Si descomponemos el peso en las direcciones del plano inclinado y en la de su normal, que tomaremos como ejes OX y OY,
y aplicamos la ecuación de la dinámica de traslación a lo largo
del eje OX,
ΣFx = mg sen ϕ – R3 = max
[1]
En la dirección del eje OY no hay desplazamiento. Por
consiguiente,
ΣFy = 0
mg cos ϕ = N3
Si aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación,
ΣMO = IOα
y simplificando
1
R3 .r = mr 2α
2
1
R3 = mr α
2
[2]
1
mg sen ϕ = max + mr α
2
[3]
Sumando miembro a miembro [1] y [2]
Simplificando
1
g sen ϕ = ax + r α
2
y teniendo en cuenta que el cilindro rueda sin deslizar
r.α = ax
[4]
[5]
Sustituyendo [5] en [4]
1
3
g sen ϕ = ax + ax = ax
2
2
y despejando finalmente ax
2
ax = g sen ϕ
3
[6]
b) El cilindro ascenderá sobre el plano S3 hasta la misma altura h del punto de partida, porque a lo largo
de los recorridos sobre S1 y S3, aunque actúa la fuerza de rozamiento, no hay deslizamiento. Y a lo largo de
la superficie S2, no actúa el rozamiento. Por consiguiente, la energía mecánica se conserva.
El proceso desde el punto de vista energético es el siguiente:
A medida que desciende el cilindro por el plano S1, su energía potencial gravitatoria, mgh, respecto de la
superficie horizontal disminuye se va transformando en energía cinética de traslación y de rotación.
La energía cinética adquirida al pie del plano S1 se conserva a lo largo de la superficie horizontal S2, hasta
el pie del plano S3, y a partir de este punto va disminuyendo, convirtiéndose de nuevo en energía potencial
gravitatoria hasta alcanzar la misma altura h que la del punto de partida.
En la práctica, esta altura es inferior porque en el planteamiento anterior no se ha tenido en cuenta la
resistencia del aire ni el comportamiento real de la fuerza de rozamiento.
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c) Una vez que el cilindro alcanza en el plano S3 la altura h sobre la horizontal, se detiene un instante,
retrocede y volverá a subir de nuevo hasta el punto de partida sobre plano S1. Se detendrá un instante y, en
teoría, se volverá a repetir todo el proceso anterior indefinidamente.
En la práctica, las alturas alcanzadas en los planos inclinados van siendo cada vez menores, amortiguándose el movimiento, hasta que, finalmente, el cilindro se detendrá en un punto sobre el plano horizontal.