π ϕ ϕ

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
HOJA 15
Apellidos y Nombre: _________________________________________
Para realizar estos ejercicios debes:
Saber calcular la derivada parcial de una función
Saber calcular la derivada de la función compuesta: Regla de la
cadena
Saber determinar si es posible la derivada de una función definida
implícitamente y calcular el plano tangente en un punto a una
superficie definida implícitamente.
Obtener los extremos de una función de dos variables con y sin
ligaduras.
Regla de la cadena
1
La temperatura de un punto (x,y) de una placa metálica es
T ( x, y ) = 4 x 2 − 4 xy + y 2 , con T
en ºC y (x,y) en metros. Una hormiga camina sobre la placa a lo largo de una circunferencia
de radio 5 metros y centro el origen, con velocidad angular ω = 0.01 rad/s. Calcular la
velocidad con la que varía la temperatura en su recorrido cuando se encuentra en el punto
de coordenadas (3, 4).
Solución:
2
dT
dt
= −0.44º C/s .
(3,4 )
Un cilindro circular recto varía de tal manera que su radio r crece a la tasa de 3cm/minuto y
su altura h decrece a la tasa de 5cm/minuto. ¿A qué tasa varía el volumen cuando el radio
es de 10 cm y la altura de 8 cm?
Solución:
3
dV
= −20π ≈ 62 '8318 .
dt
 x = 1 + rset

x
2 −t
4
2 3
Sea u = x y + y z + ϕ   donde  y = rs e
 y
 z = r 2 s sent

Calcular
∂u
3
cuando r = 2, s = 1, t = 0 sabiendo que ϕ '   = −1
∂s
2
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1
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HOJA 15
Apellidos y Nombre: _________________________________________
Solución:
4
Si
∂u
= 758 . Ejercicio resuelto.
∂s
u = u ( x, y ) es una función con derivadas parciales primeras y segundas continuas se
define la función laplaciana de u como:
u ( x, y ) = f ( r ) con r ( x, y ) = x 2 + y 2 expresar la laplaciana de u en función de r.
Si
(b)
Comprobar que la expresión de la laplaciana de u(x,y) en coordenadas polares
1
1
y = rsenϕ ) es ∆u = urr + ur + 2 uϕϕ
r
r
∂2 z
Considerando x = r cos ϕ , y = rsenϕ transformar
utilizando coordenadas cartesianas,
∂r ∂ϕ
es decir, expresar
Dada
Solución.
7
∂2 z
en función de z , x e y y sus derivadas parciales.
∂r ∂ϕ
 ∂2 z ∂2 z 
1
 2 − 2 + 2
2
2
x + y  ∂y ∂x 
x + y2
xy
Solución.
6
∂ 2u ∂ 2 u
+
∂x 2 ∂y 2
(a)
( x = r cos ϕ ,
5
∆u =
 ∂z
∂z
x2 − y 2 ∂2 z 
x − y +
 . Ejercicio resuelto.
2
2 ∂x∂y 
 ∂y
∂
x
x
+
y


u = g ( x, h ( x, y ) ) , y = f ( t ) , calcular la razón de cambio (derivada) de u respecto de t.
∂u ∂u ∂m dy
=
. Ejercicio resuelto.
∂t ∂m ∂y dt
Calcular el valor de
ω = ω ( u, v )
y que
E = ( y 2 − xz ) ω´x + ( x 2 − yz ) ω ´y + ( z 2 − xy ) ω ´z teniendo en cuenta que
u = x 2 + 2 yz , v = y 2 + 2 xz .
Solución. E=0.
8
Encontrar las funciones forma
g ( a x + by ) , con a y b constantes reales y siendo g una
función real derivable infinitas veces que cumplen que su derivada segunda respecto a x
mas su derivada segunda respecto a y es cero.
Solución.
9
g ( a x + by ) = A ( ax + b ) + C
A, C ∈ .
En los siguientes ejercicios, obtener las derivadas parciales usando la regla de la cadena.
a)
u = ( yz ) x , x = e s +t , y = s 2 + 3ts , z = sent ,
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2
∂u ∂u
,
∂s ∂t
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HOJA 15
Apellidos y Nombre: _________________________________________
10
11
du
dt
b)
u = x 3 y , x5 + y = t , x 2 + y 3 = t 2 ,
c)
x = a cos θ cos φ , y = b cos θ cos φ , z = csenϕ ,
d)
z=
∂z ∂z
,
∂x ∂y
1+ u
∂z ∂z
, u = − cos x , v = cos y ,
,
1+ v
∂x ∂y
En los siguientes ejercicios, suponer que w es una función de todas las otras variables.
Hallar las derivadas indicadas en cada caso.
∂w ∂w ∂ 2 w
, ,
∂x ∂y ∂x∂y
a)
3x 2 + 2 y 2 + 6w2 − x + y = 12;
b)
x 2 − 2 xy + 2 xw + 3 y 2 + w3 = 21;
c)
w − e wsen ( y / z ) = 1;
Sea
∂w ∂w ∂ 2 w
, ,
∂x ∂y ∂x∂y
∂w ∂w
,
∂z ∂y
z = f ( x, y ) donde x = at , y = bt , con a y b constantes. Suponiendo que se verifican
todas las condiciones de diferenciabilidad, calcular
d2z
en función de las derivadas
dt 2
parciales de z.
Solución:
12
Sea
Solución:
2
2
d2z
∂2 z
2 ∂ z
2 ∂ z
=
a
+
2
ab
+
b
dt 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
2
∂w
r+s
2
w = 4 x + y 2 + z 3 donde x = e rs , y = log 
.
 , z = rst . Calcular
∂s
 t 
2
∂w
2
r+s
3 2 6
= 8rsers +
log 
 + 3r s t
∂s
r+s
 t 
13 La temperatura de una placa viene dada por
T ( x, y ) =
1− y
1 + x2 y 2
(a) ¿En qué dirección tendríamos que desplazarnos desde el punto (1,1) para que la
temperatura decrezca lo más rápidamente posible? Justificar la respuesta.
(b) ¿En qué dirección desde el mismo punto la variación de la temperatura es ¼?
Justificar la respuesta.
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3
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HOJA 15
Apellidos y Nombre: _________________________________________
(c) Dada la curva en paramétricas
ϕ ( t ) = ( cos t ,1 + sent )
calcular el vector tangente a la
curva en t=0.
(d) Calcular
(T ϕ ) ' ( 0 ) . ¿Qué representa dicho valor?
Solución:. Ejercicio resuelto.
14
Mediante distintos experimentos se ha podido comprobar que una magnitud ondulatoria
como la luz verifica la siguiente ecuación de onda
2
∂2w
2 ∂ w
=c
∂t 2
∂x 2
Probar que la siguiente función es solución de la ecuación de onda:
15
w = tg ( 2 x − 2ct ) .
Suponiendo que la función dada por z=f(x, y) y sus derivadas parciales de primer orden son
diferenciables en todo punto del plano (x, y) se pide transformar la ecuación:
∂2 z ∂2 z
a
=
con a ≠ 0
∂x 2 ∂y 2
2
mediante el cambio de variables u = a x + y
16
Si
v=ax-y
z = f ( x, y ) y x = x ( u, v ) , y = y ( u, v ) calcula la expresión de
∂2 z
mediante las derivadas
∂u 2
parciales de z respecto de “x” e “y” y respecto de “u” y “v”.
17
 x +1 
z = g
 siendo g una función derivable de cualquier orden. Se hace
 y−2
 x = r cos ϕ
el cambio de variable a coordenadas polares 
. Expresa la ecuación del
 y = r senϕ
(a) Se considera
plano tangente a la superficie definida por
(B) Se considera
 x +1 
z = g
 en las nuevas coordenadas.
 y−2
 x +1 
z = g
 siendo g una función derivable de cualquier orden. Calcula
 y−2
E = z xx + z xy
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.
4
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HOJA 15
Apellidos y Nombre: _________________________________________
Derivación implícita
Se considera en el gráfico
18
Z
( z′ϕ )
(a, b)
= tg α
z = f ( x , y)
Y
α
ϕ
(a, b)
X
z = f ( x, y ) definida por la ecuación 9 = y + x 2 + z 2 con z>0
la función
ϕ=
( a, b ) = ( 2,3)
π
3
Calcular tgα
Solución. Ejercicio resuelto.
19 Calcular
Solución:
∂z
∂z
2
3
y
en la superficie definida de forma implícita: xy + z + sen ( xyz ) = 0
∂x
∂y
y 2 + ( yz ) cos ( xyz )
∂z
=− 2
∂x
3 z + ( xy ) cos ( xyz )
2 xy + ( xz ) cos ( xyz )
∂z
=− 2
∂y
3 z + ( xy ) cos ( xyz )
Considera la intersección de los dos planos siguientes:
20
π 1 ≡ x + y + z = 2 , π 2 ≡ x − y + 3z = 1
(a) En este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas ¿se puede considerar que z e y
son función de x? ¿por qué?. Si es así, obtén dicha expresión.
(b) ¿Cuál es el vector director de la recta intersección de los dos planos? Calcula la
expresión vectorial y paramétrica de la recta definida por las ecuaciones:
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5
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HOJA 15
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x+ y+ z = 2 

x − y + 3 z = 1
21
Se considera ahora la curva intersección de la superficie
36 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 45 y de
x 2 + y 2 + z = 0 .Comprueba que un punto de la curva es (1, 0, −1) .
¿Cuánto valdrá la pendiente de la recta tangente a esa curva en el punto P suponiendo que el
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
36 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 45

x2 + y2 + z = 0

define a
22
x = x ( y), z = z ( y) ?
 xu + yv − uv = 0

 yu − xv + uv = 0
define a u y v como funciones: u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) de x e y. Utilizando derivación
Supongamos que el sistema
implícita calcular
∂u ∂v
,
.
∂x ∂x
Supongamos que el sistema
23
 xu + yv − uv = 0

 yu − xv + uv = 0
Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al cono
el punto donde x=3, y=4 y z>0.
Solución: Ejercicio resuelto.
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6
z 2 = x 2 + y 2 en
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24
Dada
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + xy + 2 z − 1 , se pide:
A)
determinar si F ( x, y, z ) = 0 define en el punto P (0,-1,0) a z como función implícita de
B)
x e y, es decir, z = f(x, y).
Encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función z=f(x,y)
en el punto (0,-1).
C)
Hallar en (0,-1) el valor de dz y
d 2 z cuando dx = dy = 0.2.
Solución: Ejercicio resuelto.
EXTREMOS
25
26
Calcular los extremos relativos de
f ( x, y ) = 3 x − x 3 − 2 y 2 + y 4
Calcular los extremos absolutos de la función
f ( x, y ) = x 2 y + y 2 − 4 xy + 2 y + 5 en el dominio
D dado por el triángulo de vértices A(2,0), B(4,2) y C(0,2)
Solución: La función toma como valor mínimo absoluto 4 (en P(2,1)) y como valor máximo
absoluto 13 (en B(4,2) y en C(0,2))
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Calcular los máximos y mínimos de la función:
verifican
ϕ ( x, y ) = x 2 + 2 = 0 .
En rojo aparece representado los puntos
28
f ( x, y ) = − x 2 − y 2 cuando los puntos (x,y)
Calcular los máximos y mínimos de
ϕ ( x, y ) = x 2 + y = 0
f ( x, y ) = x 3 − xy + y 2 + 3 sometida a la condición de
que los puntos (x, y) satisfagan la ecuación de la elipse
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y en azul la curva imagen
8
x2 + 2 y 2 = 1 .
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HOJA 15
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Se desea construir una caja de forma que el perímetro de la base más la altura sea de 84
29 cm. ¿Cuál serán las dimensiones de la caja de mayor volumen?
Solución: El punto que hace el volumen máximo con la restricción dada es (14,14,28)
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9