Probabilidad II Tercero de Matemáticas Curso 2006

Probabilidad II
Tercero de Matemáticas
Curso 2006-2007
Hoja 1 (espacios de probabilidad y variables aleatorias)
1. En un espacio de probabilidad (Ω, F , P) consideramos sucesos A y (A1 , A2 . . . ). Decimos que la
sucesión (Aj )∞
j=1 converge a A si
∞
∞
∞
∩
A
=
lı́m
inf
A
=
A
=
lı́m
sup
A
∪
A
∪∞
=
∩
j
j
k=1 j=k j
k=1 j=k j .
j→∞
j→∞
Pruébese que si (Aj )∞
j=1 converge a A, entonces lı́mj→∞ P(Aj ) = P(A).
2. Sean X e Y dos variables aleatorias en un espacio de probabilidad (Ω, F , P) y consideremos un
suceso A ∈ F. Pruébese que si definimos
X(ω) si ω ∈ A,
Z(ω) =
Y (ω) si ω ∈ Ac ,
entonces Z es una variable aleatoria en (Ω, F , P) .
3. Sea X una variable aleatoria en (Ω, F , P) que toma únicamente los valores x1 , . . . , xn . Llamemos
Bj = {ω ∈ Ω : X(ω) = xj }. Obsérvese que los Bj forman una partición de Ω. Llamemos G a la
σ-álgebra generada por esa partición.
(a) Compruébese que G = σ(X).
(b) Sea Y otra variable aleatoria en (Ω, F , P) . Compruébese que Y ∈ σ(X) si y sólo si existe una
función f : valores(X) → valores(Y ) tal que Y = f (X).
(c) Pruébese que, en general, Y ∈ σ(X) si y solo si existe f : R → R medible tal que Y = f (X).
4. Se dice que una variable aleatoria
es simple si toma únicamente un conjunto finito de valores. Es
decir, si se puede escribir como m
a
j=1 j 1Aj , donde los sucesos A1 , . . . , Am son una partición de Ω.
Sea X una variable aleatoria positiva (es decir, P(X > 0) = 1). Compruébese que existe una
sucesión de variables aleatorias (simples y positivas) 0 ≤ X1 ≤ X2 ≤ · · · tales que Xn (ω) ↑ X(ω) para
cada ω ∈ Ω.
Sugerencia: tómese
n2n
k−1 + n1{X>n}
Xn =
1 k−1
<X≤ k
2n
2n
2n
k=1
5. Sea X una variable aleatoria en (Ω, F , P) y sea FX (t) su función de distribución. Denotemos1 por
−1
FX
a su “inversa”:
−1
(u) = sup{t ∈ R : FX (t) < u} ,
FX
para cada u ∈ (0, 1).
−1
(u) ≤ t si y sólo si u ≤ FX (t).
(a) Compruébese que, para cada pareja (u, t), FX
−1
(b) Verifı́quese que FX es creciente y continua por la izquierda.
−1
(c) Compruébese que si FX es continua, entonces FX (FX
(u)) = u para cada u ∈ (0, 1).
−1
(d) Sea U una variable aleatoria uniforme en [0, 1]. Dedúzcase de todo lo anterior que Y = FX
(U )
es una variable aleatoria con la misma función de distribución que X.
(e) Demuéstrese que si FX es continua, entonces la variable aleatoria Y = FX (X) tiene una distribución
uniforme en [0, 1].
6. Sea U una variable uniforme en [0, 1] y sea λ > 0. Compruébese que X = − log(U )/λ es una
exponencial de parámetro λ.
1 En
−1
clase, denotada como “FX
”.
7. Sea Xuna variable que toma valores x1 , . . . , xn con probabilidades respectivas p1 , . . . , pn (donde
n
pj ≥ 0 y j=1 pj = 1) y sea U una uniforme en [0, 1]. Definimos una variable aleatoria Y = g(U ),
donde g(x) es la función definida para x ∈ [0, 1] como sigue:
⎧
x1 si 0 ≤ u < p1 ;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ x2 si p1 ≤ u < p1 + p2 ;
x3 si p1 + p2 ≤ u < p1 + p2 + p3 ;
g(x) =
⎪
..
..
⎪
⎪ .
.
⎪
⎪
⎩
xn si p1 + · · · + pn−1 ≤ u ≤ 1.
d
Compruébese que X = Y .
8. (a) Sea X una variable aleatoria con función de densidad f (x), para la que P(a ≤ X ≤ b) = 1.
Consideremos una función g(x) creciente y diferenciable en (a, b). Pruébese que la variable aleatoria
Y = g(X) tiene función de densidad dada por
f (g −1 (x))
g (g −1 (x))
si x ∈ (g(a), g(b))
(y 0 en otro caso).
(b) Si X es una normal estándar, calcula la función de densidad de Y = eX (variable “lognormal”).
9. (a) Sea una variable aleatoria X con función de densidad f (x). Calcula la función de distribución
de Y = X 2 y deduce su función de densidad.
(b) Si X es una normal estándar, ¿cuál es la función de densidad de Y = X 2 ?
• Esperanza y cálculo de esperanzas
10. Consideremos una colección de sucesos A1 , . . . , An , y llamemos A = ∪nj=1 Aj .
n
(a) Pruébese que 1A = 1 − j=1 (1 − 1Ai )
(b) Dedúzcase el principio de inclusión/exclusión:
n
P(Aj ) −
P(Ai ∩ Aj ) +
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − · · · + (−1)n−1 P(∩nj=1 Aj )
P A =
j=1
(c) Muéstrese que
i<j
1A ≤
n
j=1
P(A) ≤
P(A) ≥
P(A) ≤
..
.
i<j<k
1Aj y obténganse las “desigualdades de Bonferroni”:
n
j=1
n
j=1
n
j=1
P(Aj )
P(Aj ) −
P(Ai ∩ Aj )
i<j
P(Aj ) −
P(Ai ∩ Aj ) +
i<j
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak )
i<j<k
11. Sean (x1 , . . . , xn ) y (p1 , . . . , pn ) dos colecciones de números positivos, con
se que
n
n
p
pj xj ≥
xj j .
j=1
n
j=1
pj = 1. Pruébe-
j=1
Obsérvese que si tomamos pj = 1/n para cada j = 1, . . . , n, la expresión anterior nos dice que la
media aritmética es mayor que la geométrica. (Indicación: utilı́cese la desigualdad de Jensen).
12. Sea X una variable aleatoria con media E(X), varianza V(X) y desviación tı́pica σ(X). Partimos
de la desigualdad de Chebyshev. Para a > 0,
P(|X| ≥ a) ≤
E(X 2 )
.
a2
(a) Dedúzcanse las dos siguientes desigualdades:
V(X)
1
y
P |X − E(X)| ≥ λσ(X) ≤ 2 .
P |X − E(X)| ≥ a ≤
a2
λ
(b) Supongamos que E(X) = 0 y V(X) = σ 2 . Sea a > 0. Compruébese que
P(X ≥ a) ≤
σ2
.
a2 + σ 2
(c) Sea X ≥ 0 tal que E(X) > a, E(X 2 ) < ∞. Pruébese que
P(X > a) ≥
(E(X) − a)2
E(X 2 )
(Indicación: Aplı́quese la desigualdad de Cauchy-Schwarz a Y = X 1{X>a} ).
(d) Sea X la familia de variable aleatorias X con E(X) = 0 y V(X) = 1. Sea ε > 0. Compruébese que
ı́nf P(|X| > ε = 0 .
X∈X
13. Compruébese que las medias y las varianzas de las siguientes variables aleatorias son las que
aparecen en la tabla al final de la página:
a) X es una Ber(p), con p ∈ [0, 1]. Es decir, P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p.
b) X es una Bin(n, p), con n ≥ 1 y p ∈ [0, 1]. Es decir, P(X = j) = nj pj (1 − p)n−j para cada
j = 0, 1, . . . , n.
c) X es una Geom(p), con p ∈ (0, 1). Es decir, P(X = j) = p(1 − p)j−1 para cada j = 1, 2, . . . .
j−1 j
p (1 − p)j−n para
d) X es una BinN eg(n, p), con n ≥ 1 y p ∈ (0, 1). Es decir, P(X = j) = n−1
cada j = n, n + 1, . . . .
e) X es una P oisson(λ), con λ > 0. Es decir, P(X = j) = e−λ λj /j! para cada j = 0, 1, . . . .
f) X es una normal de parámetros µ ∈ R y σ 2 > 0 (notación X ∼ N (µ, σ 2 )). Es decir, su función
de densidad es
2
2
1
f (x) = √ e−(x−µ) /(2σ ) .
σ 2π
g) X es una exponencial de parámetro λ > 0. Esto es, su función de densidad viene dada por
f (x) = λe−λx 1x≥0 (x).
h) X es una Gamma de parámetros α, λ > 0, cuya función de densidad es
f (x) =
1 α −λx α−1
λ e
x
1x≥0 (x) ,
Γ(α)
∞
donde Γ(α) = 0 y α−1 e−y dy es la función gamma. (Casos especiales: si α = 1, tenemos una
variable exponencial. Si λ = 1/2 y α = k/2 para cierto entero positivo k, se dice que X es una
“χ2 con k grados de libertad”).
1
1x∈[a,b] (x).
i) X es una uniforme en [a, b], con función de densidad f (x) = b−a
Variable
parámetros
media
varianza
Bernoulli
p ∈ [0, 1]
p
p(1 − p)
Binomial
n ≥ 1, p ∈ [0, 1]
np
np(1 − p)
Geométrica
p ∈ (0, 1)
1/p
(1 − p)/p2
Binomial negativa
n ≥ 1, p ∈ (0, 1)
n/p
n(1 − p)/p2
Poisson
λ>0
λ
λ
Normal
2
µ ∈ R, σ > 0
µ
σ2
Exponencial
λ>0
1/λ
1/λ2
Gamma
α > 0, λ > 0
α/λ
α/λ2
Uniforme
a<b∈R
(a + b)/2
(b − a)2 /12