Temario del curso - División de Ciencias Básicas

CÁLCULO DIFERENCIAL
TEMARIO
1. FUNCIONES
1.1 Función real de variable real
Función. Variable independiente y variable dependiente. Dominio, recorrido y codominio. Imagen y preimagen.
Existencia y unicidad. Prueba numérica de función. Prueba gráfica de la línea vertical. Formas de expresión de
una función: Expresión matemática. Conjunto de pares ordenados. Forma tabular. Diagramas de Venn.
Función real de variable real. Dominio y recorrido. Gráfica. Notación funcional de conjuntos. Clasificación de
funciones por su tipo de correspondencia. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Prueba numérica
de inyectividad y suprayectividad. Prueba gráfica de la línea horizontal. Estudio analítico de inyectividad y
suprayectividad.
1.2 Funciones polinomiales
Clasificación de las funciones por su estructura. Génesis de las funciones polinomiales. Función constante,
características y ejemplos. Función identidad, características y ejemplos. Función algebraica. Función lineal,
características y ejemplos. Proporcionalidad directa. Función afín, características y ejemplos. Diferencias entre
función lineal y función afín. Función potencia de exponente natural, características y ejemplos. Paridad de
funciones. Simetría. Funciones pares. Funciones impares. Propiedades de paridad. Monotonía de funciones.
Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo. Funciones que crecen y decrecen. Funciones monótonas
crecientes y decrecientes. Concavidad de funciones. Funciones cóncavas y convexas. Transformación de
funciones. Traslación horizontal, vertical y oblicua. Dilatación horizontal y vertical. Reflexión vertical y
horizontal. Reflexión y paridad. Función polinomial, características y ejemplos. Ceros de una función. Ceros de
polinomios. Funciones acotadas superiormente. Funciones acotadas inferiormente. Funciones acotadas y no
acotadas. Comportamiento extremo de polinomios. Dominio y recorrido de una función polinomial. Función
definida por tramos. Función valor absoluto. Función parte entera.
1.3 Funciones racionales e irracionales
División por cero. Función racional. Dominio y recorrido. Ceros de una función racional. Funciones racionales
acotadas y no acotadas. Asíntotas de una función. Asíntotas verticales. Asíntotas verticales de una función
racional. Asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas. Fracciones propias e impropias. Asíntota horizontal u
oblicua de una función racional. Estudio del comportamiento de una función racional y ejemplos. Función
potencia de exponente entero negativo, características y ejemplos. Proporcionalidad inversa. Raíz de índice
par con radicando negativo. Función raíz de índice natural, características y ejemplos. Función potencia de
exponente racional, características, casos y ejemplos. Función irracional, características y ejemplos. Asíntotas
verticales, horizontales y oblicuas en funciones irracionales. Función irracional con cociente. Función cociente
con denominador irracional. Función cociente con numerador irracional.
1.4 Álgebra de funciones
Igualdad de funciones. Operaciones con funciones. Suma de funciones. Diferencia de funciones. Producto de
funciones. Cociente de funciones. Composición de funciones. Propiedades de la función composición. Cálculo
de funciones compuestas. Función inversa. Propiedades de la función inversa. Dominio restringido. Cálculo de
funciones inversas. Funciones implícitas. Recorrido restringido. Rotación de ejes. Funciones paramétricas.
Parámetro. Ecuaciones paramétricas.
1.5 Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas. Notación. Circunferencia goniométrica. Ecuaciones paramétricas de la
circunferencia unitaria. Funciones seno y coseno, gráficas y propiedades. Periodicidad de funciones.
Periodicidad de las funciones seno y coseno. Funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, gráficas y
propiedades. Composición de funciones trigonométricas. Transformación de funciones trigonométricas.
Sinusoide. Onda sinusoidal. Cresta. Valle. Nodo. Longitud de onda. Amplitud de onda. Período. Frecuencia.
Ejemplos. Expresiones trigonométricas equivalentes. Funciones trigonométricas inversas. Dominio restringido.
Funciones inversas del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, gráficas y propiedades.
Identidades de funciones trigonométricas inversas.
1.6 Funciones logarítmicas y exponenciales
Funciones algebraicas y trascendentes. Crecimiento aritmético y crecimiento geométrico. Progresión creciente
y decreciente. Función exponencial general, gráficas, propiedades y ejemplos. Función exponencial natural,
gráfica y propiedades y ejemplos. Expresiones equivalentes para la función exponencial general. El exponente
de la función exponencial general. Función logaritmo general, gráficas, propiedades y ejemplos. La función
logaritmo base a, inversa de la función exponencial base a. Función logaritmo natural, gráfica, propiedades y
ejemplos. La función exponencial natural, inversa de la función logaritmo natural. Cambio de base. La función
exponencial general expresada en términos de e. La función logaritmo general expresada en términos de e. El
logaritmo general expresada en términos de e. Logaritmo con argumento no positivo. Estudio del
comportamiento de una función logarítmica.
2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.1 Noción intuitiva de límite
Noción intuitiva de límite de una función en un punto. Posibilidades para el límite de una función en un punto.
Límite finito de una función en un punto. Límites infinitos de una función en un punto. Límite de una función en
un punto frontera. Límites laterales. Límite de una función definida por tramos. Límites de funciones construidas
artificialmente. Inexistencia del límite de una función en un punto. Noción intuitiva de límite de una función en el
infinito. Posibilidades para el límite de una función en el infinito. Límite finito de una función en el infinito. Límites
infinitos de una función en el infinito. Inexistencia del límite de una función en el infinito.
2.2 Definición formal de límite
Lenguaje topológico para límites. Cercanía. Lejanía. Definiciones formales de límite de una función en un punto
por el criterio de entornos. Límite finito. Límite infinito. Límites laterales. Definiciones formales de límite de una
función en el infinito por el criterio de entornos. Límite finito. Límite infinito. Comprobación de límites por
definición.
2.3 Propiedades de los límites
Propiedades fundamentales. Existencia del límite. Unicidad del límite. Acotación. Conservación del signo.
Enclaustramiento. Límite de una función constante. Límite de la función identidad. Propiedades operativas de
los límites finitos. Límite de una suma de funciones. Límite de una diferencia de funciones. Límite de un
producto de funciones. Límite de una constante por una función. Límite de una función polinomial en un punto.
Límite del inverso multiplicativo de una función. Límite de un cociente de funciones. Propiedades operativas del
límite de una función composición. Propiedades operativas de los límites infinitos. Límite de una suma de
funciones. Límite de un producto de funciones. Límite de un cociente de funciones. Casos especiales en los
que el límite del numerador es finito o infinito y el límite del denominador es cero.
2.4 Cálculo de límites
Cálculo de límites por sustitución, en puntos en los que la función está definida. Operaciones de suma,
producto y cociente, que involucran límites infinitos. Cálculo de límites de cocientes en los que el límite del
denominador se anula. Cálculo de límites mediante la regla del emparedado. Inexistencia del límite en
funciones oscilantes. Cálculo de asíntotas verticales. Cálculo de asíntotas horizontales. Cálculo de asíntotas
oblicuas.
2.5 Indeterminaciones matemáticas
Indeterminaciones matemáticas. Forma indeterminada 0/0. Factorización. Racionalización. Límites
trigonométricos especiales. Cocientes con funciones trigonométricas. Forma indeterminada / . Cocientes
algebraicos. Cocientes de exponenciales. Límites trigonométricos especiales. Cocientes con funciones
trigonométricas. Forma indeterminada 0 . Conversión a cociente. Conversión a radical único. Forma
indeterminada - . Conversión a cociente.
2.6 Infinitésimos e infinitos
Infinitésimos. Orden de infinitésimos. Infinitésimos equivalentes. Infinitos. Orden de infinitos. Infinitos
equivalentes. Sustitución de infinitésimos para indeterminaciones de la forma 0/0. Sustitución de infinitésimos
para indeterminaciones de la forma 0 .Comparación de infinitos en indeterminaciones de la forma / .
Comparación de infinitos en indeterminaciones de la forma - . Limite del producto de un infinitésimo por una
función acotada.
2.7 Continuidad de funciones
Noción intuitiva de continuidad. Definición formal de continuidad de una función en un punto. Distinciones de la
continuidad de una función en un punto. Propiedades operativas de las funciones continuas. Tipos de
discontinuidades. Discontinuidades evitables. Conversión de una función discontinua en continua.
Discontinuidades en infinito. Discontinuidades de primera especie. Discontinuidades de segunda especie.
Continuidad de una función en un intervalo. Estudio de la continuidad de una función en un punto. Criterios de
continuidad. Funciones absolutamente continuas. Funciones cociente. Funciones logarítmicas. Funciones
cociente con logaritmos. Funciones raíz de índice par. Funciones raíz de índice par con cociente. Funciones
logarítmicas con cociente. Funciones trigonométricas no oscilantes. Continuidad de funciones composición.
Incremento de la variable independiente. Incremento de una función en un punto. Continuidad a través de los
incrementos.
3. LA DERIVADA Y LA DIFERENCIAL
3.1 El problema de la tangente
Noción intuitiva de derivabilidad. La dificultad para determinar la tangente. Semirrectas opuestas en un punto.
Semirrectas tangentes a una curva en un punto. Recta tangente a una curva en un punto. La pendiente de la
recta tangente. Relevancia de la recta tangente. Tasa de variación media. Interpretación geométrica de la tasa
de variación media. Velocidad media y velocidad instantánea. Definición geométrica de derivada. La recta
tangente y la derivada. La derivada y el mundo real.
3.2 Definición formal de derivada
Definición formal de derivada de una función en un punto. Interpretación física y geométrica de la derivada de
una función en un punto. Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. Ecuación de la recta normal a
una curva en un punto. Cálculo de la derivada de una función en un punto, a través de la definición. Estudio de
la continuidad y la derivabilidad de una función. Continuidad de las funciones derivables. Cálculo de la derivada
de una función en un punto genérico. La función derivada. Notaciones para la derivada. La notación prima. La
notación operador D. La notación de Leibniz del cociente de diferenciales.
3.3 Reglas de derivación
Obtención de las reglas básicas de derivación aplicando la definición. Derivada de una constante, Derivada de
la función identidad. Derivada del múltiplo constante de una función. Derivada de una función potencia con
exponente natural. Regla de derivación de una suma de funciones. Derivada de un polinomio. Regla de
derivación de un producto de funciones. Derivada de un polinomio factorizado. Regla de derivación de un
cociente de funciones. Derivada de una función racional. Derivada de una función potencia con exponente
entero. Derivada de la función exponencial natural. Derivada de la función exponencial general. Derivada de la
función logaritmo natural. El número e como límite. Derivada de la función logaritmo general. Derivadas de las
funciones trigonométricas. Regla de la cadena. Regla generalizada de las potencias. Reglas de derivación de
funciones exponenciales y logarítmicas. Reglas de derivación de funciones trigonométricas.
3.4 Técnicas de derivación
Derivada de una función expresada en forma paramétrica. Derivación implícita. Derivada de una función
potencia con exponente racional. Regla de la función inversa. Reglas de derivación de funciones
trigonométricas inversas. Derivación logarítmica. Derivada de una función potencia con exponente real.
Derivada de una función elevada a otra función.
3.5 Derivadas de orden superior
Derivadas de orden superior. Derivada segunda de una función en un punto. Función derivada segunda.
Gráfica de la función derivada segunda. Notaciones para la derivada segunda. Cálculo de la función derivada
segunda. Derivada segunda de funciones expresadas en forma paramétrica. Función derivada de orden n.
Derivadas sucesivas de una función. Aplicación reiterada de las reglas de derivación. Suma de potencias de
(x – x0)
3.6 Definición formal de diferencial
Diferencial de una función en un punto e interpretación geométrica. Derivabilidad y diferenciabilidad.
Definición formal de diferencial de una función e interpretación geométrica. La diferencial como función lineal.
Distinciones de la diferencial. Contexto de la diferencial. Génesis de la diferencial. La diferencial de Leibniz. La
diferencial de Cauchy. La diferencial de Fréchet. Distinciones entre incrementos y diferenciales. La notación de
Leibniz como cociente de diferenciales. Reglas de diferenciación. Regla de la cadena en notación de
diferenciales. Cálculo de diferenciales. Notas históricas sobre diferenciales.
4. VARIACIÓN DE FUNCIONES
4.1 Principales teoremas del cálculo diferencial
Teorema de la conservación del signo. Teorema de la acotación. Teorema de los valores extremos de
Weiestrass. Teorema de los ceros de Bolzano. Teorema de los valores intermedios de Darboux. Teorema de
las tangentes horizontales de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange.
4.2 Crecimiento, decrecimiento y valores extremos
Crecimiento de una función en un punto. Decrecimiento de una función en un punto. Condición suficiente para
crecimiento puntual. Condición suficiente para decrecimiento puntual. El signo de la primera derivada en un
punto. Puntos críticos de una función. Punto estacionario. Punto singular. Extremos relativos. Condición
necesaria para la existencia de extremo relativo. Criterio de la primera derivada. Extremos relativos en puntos
singulares. Condición suficiente para la existencia de un máximo relativo. Condición suficiente para la
existencia de un mínimo relativo. Funciones monótonas crecientes en un intervalo. Funciones monótonas
decrecientes en un intervalo. Condición suficiente para el crecimiento en un intervalo. Condición suficiente para
el decrecimiento en un intervalo. Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Determinación de extremos relativos. Extremos absolutos. Existencia de extremos absolutos. Posibles
localizaciones de los extremos absolutos. Procedimiento para determinar extremos absolutos de una función.
Distinciones relativas a extremos absolutos. Determinación del crecimiento y decrecimiento de una función en
un intervalo. Determinación de extremos absolutos.
4.3 Concavidad y puntos de inflexión
Concavidad hacia arriba en un punto. Concavidad hacia abajo en un punto. Condición suficiente para la
concavidad hacia arriba en un punto. Condición suficiente para la concavidad hacia abajo en un punto. Criterio
de la segunda derivada para concavidad. Criterio de la primera derivada para concavidad. Puntos de inflexión.
Distinciones sobre puntos de inflexión. Condición suficiente para la existencia de punto de inflexión. Puntos de
inflexión en puntos estacionarios. Criterio de la segunda derivada para puntos de inflexión. Criterio de la
primera derivada para puntos de inflexión. Criterio de las derivadas sucesivas. Puntos de inflexión en puntos
singulares. Concavidad hacia arriba en un intervalo. Concavidad hacia abajo en un intervalo. La monotonía de
la primera derivada. El signo de la segunda derivada. Propiedades de la concavidad en un intervalo.
4.4 Análisis de variación de una función
Geometría analítica y cálculo. Uso de la tecnología. Análisis de variación de funciones. Existencia y extensión
de la gráfica. Intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados. Localización de algunos puntos de la
gráfica. Simetrías de la gráfica. Discontinuidades. Comportamiento extremo. Asíntotas de una gráfica.
Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. Concavidad y puntos de inflexión. Análisis de variación de
una función polinomial. Análisis de variación de una función racional. Análisis de variación de una función
irracional. Análisis de variación de una función trigonométrica.
5. APLICACIONES DE LA DERIVADA Y LA DIFERENCIAL
5.1 Razones de cambio relacionadas
Derivada en un punto como razón de cambio instantáneo. La función derivada y las razones de cambio
instantáneo. Razones de cambio relacionadas por la regla de la cadena. Problemas relativos a razones de
cambio relacionadas. Analogía con un tren de engranajes. Estrategia para resolver problemas sobre tasas de
cambio relacionadas. Áreas de triángulos y rectángulos. Velocidad de caída de una escalera deslizante.
Ángulos de elevación y de depresión de un observador. Sombras en el suelo y en la pared. Área de una onda
en un estanque. Radio de un globo esférico que se infla. Altura de un cono de arena. Distancias entre
vehículos. Distancia entre partes de un puente levadizo. Tirantes de agua y volúmenes en el llenado y el
vaciado de tanques.
5.2 Optimización
Optimización. Formulación del problema. Modelado matemático. Obtención de la solución. Interpretación de
resultados. Ingenio y creatividad. Problemas de optimización. Área máxima. Área mínima. Longitud mínima.
Longitud máxima. Recorrido mínimo. Volumen máximo. Alcance máximo. Distancia mínima. Tiempo mínimo.
Utilidad máxima. Costo mínimo.
5.3 Aproximaciones lineales
Aproximaciones. Errores. Linealización. Aproximaciones mediante la recta tangente. Aproximación lineal.
Estimación con diferenciales. Error en la aproximación diferencial. Sensibilidad al cambio.
6. SUCESIONES Y SERIES
6.1 Sucesiones
Sucesión. Notaciones para sucesiones: enumerativa, explícita y recursiva. Identificación de sucesiones.
Términos de una sucesión: término enésimo o término general. Gráficas de sucesiones. Límite de una
sucesión. Sucesiones convergentes y divergentes. Propiedades del los límites de sucesiones. Sucesiones
monótonas no crecientes y no decrecientes. Sucesiones acotadas, acotadas superiormente, acotadas
inferiormente y no acotadas. Límite de una sucesión a través del límite de una función real. Cálculo del límite de
una sucesión mediante la aplicación del teorema del emparedado. Convergencia de sucesiones monótonas y
acotadas.
6.2 Series infinitas
Notación Sigma. Sumas finitas e infinitas. Serie infinita. Series convergentes y divergentes. La paradoja de la
dicotomía. Paradoja de Aquiles y la tortuga. Condición necesaria para convergencia. Condición suficiente para
divergencia. Linealidad de las series convergentes. Cancelación y adición de términos en una serie.
Agrupación de términos en una serie convergente. Agrupación de términos en una serie divergente.
6.3 Series telescópicas y geométricas
Series telescópicas. Criterios de convergencia para una serie telescópica. Descomposición en fracciones
parciales. Determinación del carácter de una serie telescópica. Suma de una serie telescópica convergente.
Serie geométrica. Criterios de convergencia para una serie geométrica. Propiedades de las series geométricas.
Ejemplos de series geométricas para números. Familia de círculos inscritos en un triángulo equilátero. Pelota
rebotando. Decimal periódico. Filas de semicírculos. Triángulos inscritos en triángulos. Triángulos inscritos en
triángulos. Copo de nieve de Koch.
6.4 Series de términos positivos
Dificultad o imposibilidad de calcular el límite. Serie de términos positivos. Criterio de comparación de Gauss
para series de términos positivos. La serie armónica. Divergencia de la serie armónica. Series p. Criterios de
convergencia para series p. Serie 1/n! Criterio del cociente de D’Alembert para series de términos positivos.
Criterio de Raabe. Series de términos negativos.
6.5 Series de términos positivos y negativos
Serie alternada. Criterio de Leibniz para una serie alternada. Criterio del valor absoluto. Convergencia absoluta.
Condición suficiente para convergencia absoluta. Series absolutamente convergentes. Convergencia
condicional. Convergencia condicional. Series condicionalmente convergentes.
6.6 Series de potencias
Serie de potencias. Carácter de una serie de potencias para determinados valores. Intervalo de convergencia y
radio de convergencia. Criterio del cociente de la serie de valores absolutos. Convergencia en los extremos.
Determinación del intervalo y el radio de convergencia. Series de potencias de x – a. Criterios de convergencia.
Determinación del intervalo de convergencia de una serie x – a.
6.7 Desarrollo de funciones en series de potencias
Desarrollo de funciones en series de potencias. La derivada de una serie de potencias. Expansión en serie de
Taylor. Expansión de un polinomio en serie de Taylor. Expansión de funciones no polinómicas en serie de
Taylor. Expansión en serie de Taylor para el seno. Expansión en serie de Taylor para el logaritmo. Expansión
en serie de Maclaurin. Expansión en serie de Maclaurin para el coseno. Expansión en serie de Maclaurin para
-1
la función exponencial. Expansión en serie de Maclaurin para tan x. Aproximación de .
ANEXOS
A.1 Relaciones
Producto cartesiano. Plano cartesiano. Par ordenado. Relación binaria. Preimagen e imagen. Dominio, rango y
codominio. Correspondencia matemática. Correspondencia unívoca. Correspondencia biunívoca. Relación
binaria interna. Posibles propiedades de una relación binaria interna: reflexividad, irreflexividad, simetría,
antisimetría, transitividad, intransitividad y circularidad. Relación de equivalencia. Relación de orden.
A.2 Trigonometría
Razones trigonométricas. Funciones trigonométricas. Notación. Ángulos y su medición. Seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante. Ley de los senos. Ley de los cosenos. Identidades recíprocas.
Identidades pitagóricas. Identidades de ángulos opuestos. Identidades de ángulos complementarios.
Identidades de ángulos suplementarios. Identidades de la suma y diferencia de ángulos. Identidades del ángulo
doble. Identidades del ángulo medio. Notas históricas sobre trigonometría.
A.3 Criterio épsilon delta
Definiciones formales de límite de una función en un punto. Límite finito. Límite infinito. Límites laterales.
Definiciones formales de límite de una función en el infinito. Límite finito. Límite infinito.
A.4 Demostraciones de teoremas
Teorema de la conservación del signo. Teorema de la acotación. Teorema de los valores extremos de
Weiestrass. Teorema de los ceros de Bolzano. Teorema de los valores intermedios de Darboux. Teorema de
las tangentes horizontales de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. Teorema del valor medio
generalizado de Cauchy. Regla de L’Hôpital.