FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS II 1. Ingeniería Técnica de

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS II
1. Ingeniería Técnica de Telecomunicación
29 de Junio de 2007
PRIMER PROBLEMA
Responder a los siguientes apartados sobre el sistema lineal no homogéneo:
2 x(t ) − z (t ) = x '(t ) − e2t

3 y (t ) − z (t ) = y '(t )
 y (t ) + z (t ) = z '(t )

a) Pasar el sistema a forma matricial.
b) Calcular, con técnicas matriciales, una matriz fundamental del sistema
homogéneo asociado.
c) Obtener la solución general del sistema no homogéneo.
d) Obtener la solución particular del sistema no homogéneo verificando las
condiciones iniciales: x(0) = 1 ; y (0) = 1 ; z (0) = −1 .
Resolución:
a)
2t
 x′(t )   2 0 −1  x(t )   e 

 
 
  
x′(t ) =  y′(t )  =  0 3 −1 ⋅  y (t )  +  0  = A ⋅ x(t ) + q (t )
 z ′(t )   0 1 1   z (t )   0 

 
 
  
b)
2−r
A − rI =
0
0
0
−1
3 − r −1 = (2 − r ) ⋅ [(3 − r )(1 − r ) + 1] = (2 − r )(r 2 − 4r + 4) = (2 − r )3 ⇒ r = 2 (triple)
1 1− r
 0 0 −1  a11   0 
rango (A − 2 I ) = 2

r = 2 ⇒ a1 /( A − 2 I ) ⋅ a1 = 0 ⇒  0 1 −1 ⋅  a21  =  0  ⇒ 

     orden-rango=1
 0 1 −1  a31   0 

1
1
− a31 = 0
 
2t  
x1 (t ) = e ⋅  0 
⇒
⇒ a1 =  0  ⇒
0
a
a
−
=
21
31
0

0
 
 

Para calcular las otras dos soluciones del sistema homogéneo usamos el algoritmo:
r = 2 ⇒ x2 (t ) = e 2t ⋅ [ v + ( A − I ) ⋅ v ⋅ t ] con v /( A − 2 I ) 2 ⋅ v = 0 ∧ ( A − 2 I ) ⋅ v ≠ 0 ⇒
⇒ −v2 + v3 = 0
 0 −1 1   v1   0 
2

     rango (A − I ) = 1
⇒ ( A − 2 I ) 2 ⋅ v =  0 0 0  ⋅  v2  =  0  ⇒ 

     orden-rango=2
 0 0 0   v3   0 
pero
sin
cumplir
las
condiciones
de
autovector:
 0   0 0 −1  0  
0
 −t 


 






 
⇒ v =  1  ⇒ x2 (t ) = e 2t ⋅  1  + t  0 1 −1 ⋅  1   = e2t  1 
  1
 1   0 1 −1  1  
1
 
Todavía falta una solución. Aplicando el algoritmo de nuevo:

t2
2t 
r = 2 ⇒ x3 (t ) = e ⋅ v + ( A − I ) ⋅ v ⋅ t + ( A − I ) 2 ⋅ v  , con v /( A − 2 I )3 ⋅ v = 0 y

2

además, ( A − 2 I ) ⋅ v ≠ 0 ∧ ( A − 2 I ) 2 ⋅ v ≠ 0 .
 0 0 0   v1   0 
2

     rango (A − I ) = 0
( A − 2 I )3 ⋅ v =  0 0 0  ⋅  v2  =  0  ⇒ 

     orden-rango=3
 0 0 0   v3   0 
0
Tomo, por ejemplo, v =  0  , de donde tenemos
 
1

t2 
−
t
+


 0   0 0 −1  0  2  0 −1 1   0  
2

  
   t 
  
x3 (t ) = e 2t ⋅  0  + t  0 1 −1 ⋅  0  +  0 0 0   0   = e 2t  −t  ,
2
 1− t 
 
 1   0 1 −1  1 
 0 0 0   1  




y una matriz fundamental sería
 2t
t2 
2t
2t 

t2 
e
te
e
t
−
−
+



1
−
−t
t

2 

2



X (t ) =  0
e 2t
−t ⋅ e 2 t  = e 2 t  0 1
−t 


 0 1 1− t 
e 2t
(1 − t ) ⋅ e 2t 
 0








c) xSG = C1 ⋅ x1 + C2 ⋅ x2 + C3 ⋅ x3 + x p con x p = X (t ) ⋅ u y u / X (t ) ⋅ u′ = q(t )

t2 
−t
2t
 1 −t
u1 = t
2   u1′   e  u1′ = 1


 ′    ′
2t
⇒ e 0 1
−t  ⋅  u2  =  0  ⇒ u2 = 0 ⇒ u2 = 0 , por ejemplo.
 0 1 1 − t   u′   0  u ′ = 0
u = 0
 3

  3     3



 1 −t

⇒ x p = e2t  0 1
0 1


xSG
t2 
−t
2t
2   t  t ⋅e 

  
−t  ⋅  0  =  0  ⇒
1 − t   0   0 



t2 
t
−
+

  t ⋅ e2t 
1
 −t 
2

 

 
 
= C1 ⋅ e 2t ⋅  0  + C2 ⋅ e 2t ⋅  1  + C3 ⋅ e 2t ⋅  −t  +  0 
 1− t   0 
0
1
 
 


 


1
 0
 0   0   1   C1 = 1

 
 
d) xSG (0) = C1 ⋅  0  + C2 ⋅  1  + C3 ⋅  0  +  0  =  1  ⇒  C2 = 1 ⇒
0
1
 1   0   −1 C = −2
 
 
       3
x(t ) = xSG

t2 
−
t
+
2t


1 + 2t − t 2 
1
 −t 
2  t ⋅e 





 
 
= e 2t ⋅  0  + e 2t ⋅  1  − 2e 2t ⋅  −t  +  0  = e 2t ⋅  2t + 1 
 1− t   0 
 
 


0
1

 2t − 1 

 


SEGUNDO PROBLEMA
Dada la ecuación diferencial siguiente:
y iv ) − y ''− 2 y '+ 2 y = f (t )
Se pide:
a) Plantear, sin resolver los coeficientes indeterminados, una solución
particular de la ecuación completa para cada uno de los siguientes casos (usar
la menor cantidad de coeficientes posible):
2) f (t ) = 7 + cos t
3) f (t ) = t 5
1) f (t ) = t 2 et
4) f (t ) = 6te −t cos t
5) f (t ) = e − t sin t
6) f (t ) = t 2 sin t
7) f (t ) = t 3e 2t − te2t
8) f (t ) = 2e − t + π sin t − t cos t
SOLUCIÓN:
Primero, resolvemos la ecuación homogénea asociada y iv ) − y ''− 2 y '+ 2 y = 0 , que es
de
coeficientes
constantes.
Su
ecuación
característica
es
4
2
2
2
r − r − 2r + 2 = (r − 1) (r + 2r + 2) , por Rufini. Sus raíces son r = 1 (doble) y
r = −1 ± j . Por lo tanto,
yH = C1et + C2t ⋅ et + e − t ( C3 cos t + C4 sin t ) . Utilizando el
método de los coeficientes indeterminados, tenemos soluciones particulares de la
siguiente manera:
1) y p (t ) = t 2 ( A + B ⋅ t + C ⋅ t 2 ) et
2) y p (t ) = A + B cos t + C sin t
3) y p (t ) = A + B ⋅ t + C ⋅ t 2 + D ⋅ t 3 + E ⋅ t 4 + F ⋅ t 5
4) y p (t ) = t ⋅ e − t ( ( A + B ⋅ t ) cos t + (C + D ⋅ t ) sin t )
5) y p (t ) = t ⋅ e − t ( A cos t + B sin t )
6) y p (t ) = ( A + B ⋅ t + C ⋅ t 2 ) cos t + ( D + E ⋅ t + F ⋅ t 2 ) sin t
7) f (t ) = (t 3 − t )e 2t ⇒ y p (t ) = e 2t ( A + B ⋅ t + C ⋅ t 2 + D ⋅ t 3 )
8) y p (t ) = Ae − t + ( B + C ⋅ t ) cos t + ( D + E ⋅ t ) sin t
b) Calcular, ahora de forma explícita (resolviendo los coeficientes
indeterminados), una solución particular de la ecuación:
y iv ) − y ''− 2 y '+ 2 y = 50et
SOLUCIÓN:
y p (t ) = A ⋅ t 2 ⋅ et ⇒ y p '(t ) = A ⋅ et (2t + t 2 ) ⇒ y p ''(t ) = A ⋅ et (2 + 4t + t 2 )
⇒ y p '''(t ) = A ⋅ et (6 + 6t + t 2 ) ⇒ y p iv ) (t ) = A ⋅ et (12 + 8t + t 2 )
Sustituyendo ahora en la ecuación completa, obtenemos:
A ⋅ et (12 + 8t + t 2 ) − A ⋅ et (2 + 4t + t 2 ) − 2 A ⋅ et (2t + t 2 ) + 2 A ⋅ t 2 ⋅ et = 50et
⇒ 10 A ⋅ et = 50et ⇒ A = 5 ⇒ y p (t ) = 5t 2 ⋅ et
TERCER PROBLEMA
1.- Calcular los autovalores y autofunciones del siguiente problema de contorno
homogéneo:
 y ''( x) + y '( x) − λ y ( x) = 0, 0 ≤ x ≤ π

 y (0) = y (π ) = 0
SOLUCIÓN:
−1 ± 1 + 4λ
r2 + r − λ = 0 ⇒ r =
⇒
2
Casos:
−1 ± σ

2
( −1+σ ) x / 2
+ C2 ⋅ e( −1−σ ) x / 2
1 + 4λ = σ > 0 ⇒ r = 2 ⇒ ySG = C1 ⋅ e

−1

−x/2
+ C2 ⋅ x ⋅ e − x / 2
1 + 4λ = 0 ⇒ r = (doble) ⇒ ySG = C1 ⋅ e
2

−1 ± iσ

−x/2
2
( C1 ⋅ cos(σ x / 2) + C2 ⋅ sin(σ x / 2) )
1 + 4λ = −σ < 0 ⇒ r = 2 ⇒ ySG = e

Caso 1: 1 + 4λ = σ 2 > 0 ⇒ ySG = C1 ⋅ e( −1+σ ) x / 2 + C2 ⋅ e( −1−σ ) x / 2
0 = y (0) = C1 + C2
c.c.: 
( −1+σ )π / 2
+ C2 ⋅ e( −1−σ )π / 2
0 = y (π ) = C1 ⋅ e
1
1
⇒ ( −1+σ )π / 2
= e( −1+σ )π / 2 − e( −1−σ )π / 2 ≠ 0 , ya que σ ≠ 0.
( −1−σ )π / 2
e
e
⇒ ∃ autovalores ni autofunciones.
Caso 2: 1 + 4λ = 0 ⇒ ySG = C1 ⋅ e− x / 2 + C2 ⋅ x ⋅ e− x / 2
0 = y (0) = C1 ⇒ ySG = C2 ⋅ x ⋅ e− x / 2
⇒ ∃ autovalores ni autofunciones.
c.c.: 
−π / 2
⇒ C2 = 0
0 = y (π ) = C2 ⋅ π ⋅ e
Caso 3: 1 + 4λ = −σ 2 < 0 ⇒ ySG = e − x / 2 ( C1 ⋅ cos(σ x / 2) + C2 ⋅ sin(σ x / 2) )
0 = y (0) = C1
⇒ para que haya
c.c.: 
−π / 2
⋅ C2 ⋅ sin(σπ / 2) ⇔ C2 ⋅ sin(σπ / 2) = 0
0 = y (π ) = e
autofunciones, ha de ser
1
sin (σπ / 2 ) = 0 ⇔ σπ / 2 = ± nπ ⇒ σ n = ±2n 1 + 4λn = −σ n 2 ⇒ λn = − − n 2
4
1
Autovalores: λn = − − n 2 con n ∈ ` .
4
Las autofunciones asociadas son: yn = e − x / 2 sin(n ⋅ x) , con n ∈ ` .
2.- Transformar la ecuación anterior en una ecuación de tipo Sturm-Liouville,
calculando explícitamente la función de peso.
y ''( x) + y '( x) − λ y ( x) = 0 ⇒ h( x) y ''( x) + h( x) y '( x) − λ h( x) y ( x) = 0
Para que sea de tipo Sturm-Liouville ha de ser del tipo
p ( x) y ''( x) + p '( x) y '( x) − q( x) y ( x) ± λ w( x) y ( x) = 0 , de donde se deduce:
 h( x ) = p ( x )
⇒ h( x) = h′( x) ⇒ h( x) = e x , por lo que la ecuación

h( x) = p′( x)
e x y ''( x) + e x y '( x) − λ e x y ( x) = 0 es de tipo Sturm-Liouville. La función de peso, que
ha de ser positiva, sería w( x) = e x .
3.- Resolver el problema en derivadas parciales siguiente:
u′′xx + u′x = utt′′ 0 ≤ x ≤ π , t >0
u (0, t ) = u (π , t ) = 0
t >0
ut′ ( x,0) = 5 e − x / 2 sen(2 x)
0≤ x ≤π

u ( x,0) = 0

RESOLUCIÓN:
i) Se trata de un problema en derivadas parciales homogéneo:
∞
u ( x , t ) = ∑ f n ( x ) ⋅ g n (t )
n =,
ii) Método de separación de variables:
u ( x, t ) = f ( x) ⋅ g (t ) ⇒ f ′′ ⋅ g ¨+ f ′ ⋅ g = f ⋅ g ′′ ⇒
 f ′′ + f ′ − λ f = 0
f ′′ + f ′ g ′′
=
=λ⇒
f
g
 g ′′ − λ ⋅ g = 0
u (0, t ) = 0
 f (0) ⋅ g (t ) = 0 ⇒ f (0) = 0
∀t > 0 ⇒ 

u (π , t ) = 0
 f (π ) ⋅ g (t ) = 0 ⇒ f (π ) = 0
Cálculo de los autovalores y autofunciones del problema de contorno
iii)
homogéneo: Como es el mismo problema de contorno del apartado 1, tenemos
∞
1
λn = − − n 2 y f n ( x) = e− x / 2 sin(n ⋅ x) , con n ∈ ` ⇒ u ( x, t ) = ∑ e − x / 2 sin(n ⋅ x) ⋅ g n (t )
4
n =1
Cálculo de g n (t ) :
1
1
 1

Para λn = − − n 2 se tiene: g ′′ −  − − n 2  ⋅ g = 0 ⇒ r 2 = − − n 2
4
4
 4

iv)
 4n 2 + 1 
 4n 2 + 1 
⋅ t  + C2 n ⋅ sin 
t
⇒ g n (t ) = C1n ⋅ cos 
2
2




Cálculo de las constantes utilizando las condiciones iniciales del problema:
v)
∞
0 = u ( x,0) = ∑ e − x / 2 sin(n ⋅ x) ⋅ g n (0) ⇒0 = g n (0) = C1n ⋅ cos 0 + C2 n ⋅ sin 0 = C1n
n =1
∞
 4n 2 + 1 
u ( x, t ) = ∑ e − x / 2 sin(n ⋅ x) ⋅ C2 n ⋅ sin 
t
2
n =1


∞
 4n 2 + 1 
4n 2 + 1
⇒ ut′ ( x, t ) = ∑ e − x / 2 sin(n ⋅ x) ⋅ C2 n
⋅ cos 
t
2
2
n =1


⇒ C1n = 0
∀n ≥ 1 ⇒
∞
⇒ 5 e − x / 2 sen(2 x) = ut′ ( x,0) = ∑ e − x / 2 sin(n ⋅ x) ⋅ C2 n
n =1
0,


⇒ C2 n =  2 5
20
=

2
17
 4 ⋅ 2 +1
4n 2 + 1
2
n≠2
n=2
.
Finalmente, tenemos
u ( x, t ) =
 17 
20 − x / 2
t .
⋅e
sin(2 ⋅ x) ⋅ sin 
17
 2 
3’.- Resolver el problema en derivadas parciales siguiente:
u′′xx + 2u′x = utt′′
0 ≤ x ≤ π , t >0
u (0, t ) = u (π , t ) = 0
t >0
ut′ ( x,0) = 5 e − x sen(2 x)
0≤ x ≤π

u ( x,0) = 0

RESOLUCIÓN:
La resolución es idéntica a la del problema 3, con las siguientes particularidades:
i.
ii.
La ecuación del problema de contorno asociado es: y ''( x) + 2 y '( x) − λ y ( x) = 0 .
La solución a dicho problema de contorno es:
λn = − ( n 2 + 1) y f n ( x) = e− x sin(n ⋅ x) , con n ∈ ` .
iii.
La forma genérica de g n (t ) es:
g n (t ) = C1n ⋅ cos
iv.
(
)
n 2 + 1 ⋅ t + C2 n ⋅ sin
La solución final es
u ( x, t ) = e − x sin(2 x) ⋅ sin
(
( 5t ) .
n2 + 1 ⋅ t
)