Guía de problemas de programación lineal

Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
1
Trabajo Práctico
Asignatura: Investigación Operativa
Tema: Programación Lineal
Para tener en cuenta:
Cuando resuelves problemas de programación lineal:
a) Define con la mejor precisión posible las variables de decisión; ello te ayudará a interpretar mejor los
resultados del problema y a su vez a plantear con corrección las restricciones del mismo.
b) No olvides, cuando estableces el modelo matemático, tener en cuenta la no negatividad de las variables,
ya que trabajaremos, en todos los problemas, con las variables con valores mayores o iguales a cero.
c) Cuando grafiques, utiliza una escala adecuada, no olvides nombrar los ejes coordenados, utilizar colores
para diferenciar las gráficas de las diferentes restricciones y tener mucho cuidado cuando estableces la
región factible si, entre las restricciones, hay alguna recta.
d) Cuando resuelves un problema por el Método Simplex, trata de utilizar fracciones en lugar de números
decimales, ya que te permitirá realizar mejor los cálculos. Revisa bien los cálculos de cada paso antes de
pasar al siguiente. Si ese mismo problema lo resolviste por el método gráfico, verifica que los resultados
obtenidos en el método gráfico coinciden con los obtenidos en el Simplex.
e) Por último, interpreta todos los resultados, incluyendo las variables de holgura.
EJERCICIO 1:
Un fabricante de bombones entrega a sus productos en cajas de un Kg., en dos variantes, A y B. Las dos variantes
poseen tres tipos de bombón a saber, de licor, de nuez y de fruta.
La caja tipo A, contiene 300 grs. de bombones de licor, 500 grs. de bombones de nuez y 200 grs. de bombones de
fruta. La caja de tipo B contiene 400 grs., 200 grs. y 400 grs. de cada tipo de bombón respectivamente.
La utilidad por cada caja del tipo A es de $24 y para la caja del tipo B de $18.
El fabricante dispone de 100 Kg. de bombones de licor, 120 Kg. de bombones de nuez y 100 Kg. de bombones de
fruta.
Determinar en forma gráfica y analítica la cantidad de cajas que se pueden armar en esta situación, para que el
beneficio sea óptimo. ¿Existen sobrantes?. ¿De qué tipo de Bombón?. ¿Cuántos grs. (puede expresarse en kg,
dependiendo la unidad a utilizar en el problema)?
EJERCICIO 2:
Realice en el ejercicio anterior con las siguientes suposiciones y resuelva para cada caso:
a) El fabricante quiere elaborar como máximo 150 cajas de bombones tipo A.
b) El fabricante quiere elaborar como mínimo 275 cajas de tipo B.
c) El fabricante quiere armar como máximo 150 cajas de cada tipo de bombón.
d) Por la venta de una caja de tipo A obtendrá un beneficio de $15 y por una de tipo B $20 .
EJERCICIO 3:
Una empresa fabrica dos productos: aspiradoras y lustradoras. El beneficio que deja cada aspiradora es de $30 y
el de cada lustradora es de $20.
Ambos productos sufren un proceso común requiriendo las aspiradoras 30 min.. por unidad y las lustradoras 15
min. por unidad, disponiéndose de 15000 min. por mes.
Los productos deben procesarse también en la sección maquinado, necesitando las aspiradoras 10 min. por
unidad, al igual que las lustradoras, sobre un total de 9000 min..
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
2
En la sección armado tenemos 7000 min. utilizables, necesitando las aspiradoras 12 min. y las lustradoras 10
min., por unidad.
Se sabe también que la capacidad máxima del mercado de aspiradoras es de 600 unidades y lo máximo que se
puede vender en el caso de las lustradoras es de 450 unidades.
Resolver e interpretar todos los resultados
EJERCICIO 4:
La terapia de radiación incluye el uso de máquinas de rayos externos que pasa radiación ionizante a través del
cuerpo del paciente dañando tanto tejidos cancerosos como sanos. Lo normal es que se administren los rayos con
precisión desde diferentes ángulos en un plano de dos dimensiones. Debido a la atenuación, cada rayo descarga más
radiación sobre el tejido cercano al punto de salida. La dispersión también causa que parte de la radiación se descargue
sobre los tejidos que están fuera de la trayectoria directa del rayo. Como las células del tumor casi siempre se
encuentran diseminadas de manera microscópica entre células sanas, la dosis de radiación a través de la región del
tumor debe ser suficiente para matar las células malignas que son un poco más sensibles a ésta, pero lo
suficientemente pequeña como para no matar a las células sanas. Al mismo tiempo, la dosis agregada que reciben los
tejidos críticos no debe exceder los niveles de tolerancia establecidos con el objeto de prevenir complicaciones que
puedan resultar más serias que la enfermedad misma. Por la misma razón la dosis que recibe la anatomía sana debe
minimizarse.
Debido a la necesidad de balancear cuidadosamente todos estos factores, el diseño de la terapia de radiación es un
proceso muy delicado. La meta principal del diseño es elegir la combinación de rayos que debe utilizarse y la
intensidad de cada uno para generar la mejor distribución de la dosis posible. (La fuerza de la dosis en cualquier punto
del cuerpo se mide en unidades llamadas kilorads).
En base a un análisis anatómico de un tipo especial de tumor, un grupo de médicos ha estimado con detalle los
datos necesarios para aplicarle un tratamiento suponiendo por cuestión de simplicidad que se utilizaran solo dos tipos
de rayos y sabiendo que la absorción de la radiación es aditiva cuando se administra más de un rayo (en forma
secuencial).
Los datos para el diseño del tratamiento de radiación figuran en la siguiente tabla:
Fracción de la dosis de entrada absorbida
por área (en promedio por kilorads de entrada)
ÁREA
Tejido crítico
Región del tumor
Centro del tumor
Anatomía sana
RAYO 1
0.3
0.5
0.6
0.4
RAYO 2
0.1
0.5
0.4
0.5
Además se sabe que la absorción promedio de la dosis para los tejidos críticos no debe exceder 2.7 kilorads, el
promedio sobre el tumor debe ser igual a 6 kilorads y en el centro del tumor debe ser de por lo menos 6 kilorads.
Calcular la dosis en kilorads en el punto de entrada de los rayos 1 y 2 para que la absorción promedio de la dosis
para la anatomía sana sea mínima. Resolver por Método Simplex.
EJERCICIO 5:
Una cervecería produce cerveza común y la de tipo ale. La cerveza se vende a 5 dólares el barril y el de ale a 2
dólares el barril. La producción de un barril de cerveza común requiere 5 libras de cebada y 2 libras de lúpulo. La
producción de un barril de cerveza ale requiere 2 libras de cebada y 1 libras de lúpulo. Se dispone de 600 libras de
cebada y de 250 libras de lúpulo y solo se desea elaborar como máximo 9 barriles de cerveza ale.
Determine gráficamente la solución que permita maximizar los ingresos.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
3
EJERCICIO 6:
Bevco produce una bebida con sabor a naranja, Oranje, al mezclar refresco y jugo de naranja. Cada onza de
refresco de naranja contiene 0.5 onzas de azúcar y 1 miligramo de vitamina C. Cada onza de jugo de naranja contiene
0.25 onzas de azúcar y 3 miligramos de vitamina C. A Bevco le cuesta 2 centavos producir una onza de refresco de
naranja y 3 centavos una onza de jugo de naranja. El departamento de mercadotecnia de Bevco ha decidido que cada
botella de 10 onzas de Oranj, debe contener por lo menos 20 miligramos de vitamina C y a lo sumo 4 onzas de
azúcar. Utilice la Programación Lineal para determinar cómo Bevco puede satisfacer los requerimientos del
departamento de mercadotecnia, al menor costo.
Resolver por el Método Simplex e interpretar.
EJERCICIO 7:
Una compañía recibió una orden de una mezcla de 2000 Kg. de una mezcla de cereales y de carne de vaca
especial como alimento de los perros Ovejeros alemanes.
El cereal cuesta $3/Kg. y la carne $4/Kg.
Solamente hay 800 Kgs. de cereal y hay que usar al menos 600 Kgs. de carne en la mezcla.
¿Qué cantidad de cada ingrediente se deberá utilizar, de manera tal que se minimice el costo total y cumplir con
los requerimientos al mismo tiempo?
EJERCICIO 8:
Una Compañía de productos químicos que fabrica entre otros artículos dos tipos de fertilizantes que se elaboran
combinando ingredientes que se compran a proveedores externos debe establecer la cantidad de cada fertilizante que
debe producirse, este mes, con el fin de lograr las mayores utilidades respetando las restricciones establecidas y
sabiendo que todo lo que se produzca se venderá a través de un mayorista.
Consideraciones de producción:
Los dos fertilizantes son mezclas denominadas 5-5-10 y 5-10-5. El primer fertilizante está elaborado con el 5% de
nitrato, 5% de fosfato, el 10% de potasio y el 80 % restante es material de relleno (barro). El otro posee 5% de
nitrato, 10% de fosfato, 5% de potasio y 80% de barro. El mayorista comprará cualquier cantidad de ambos
fertilizantes que la compañía pueda fabricar. Está dispuesto a pagar $715 por tonelada del 5-5-10 y $690 por tonelada
del 5-10-5. Este mes, la disponibilidad y costos de materias primas son: 1100 Tn. de nitrato a $2000 la Tn., 1800 Tn.
de fosfato a $800 la Tn. y 2000 Tn. de potasio a $1600 la Tn.. El relleno está disponible en cantidades ilimitadas al
precio de $100 la Tn.. No hay restricciones para el uso de la mano de obra ni tampoco para el empleo de maquinarias
durante este mes, pero se tiene un costo de $150 por tonelada por concepto de mezclado de los fertilizantes. ¿Cómo
utilizar los recursos escasos (nitrato, fosfato y potasio) de manera que se obtengan las mayores utilidades para la
compañía?.
EJERCICIO 9:
Una fábrica de especies (condimentos para distintas comidas) debe colocar en cajas paquetes de dos pesos
diferentes (50 grs. Y 100 grs.) de un nuevo sabor dedicado a la alta cocina, de manera tal que cada caja pese
exactamente 1,5 kg. y su costo sea mínimo.
Se sabe que cada paquete de tipo A (pesa 50 g) ocasiona un costo de $2 y cada paquete de tipo B (pesa 100 g) de
$3,8 y además que cada caja debe contener como mínimo 14 paquetes de B y no más de 20 paquetes de A.
Determinar por el Método Simplex cuántos paquetes de cada tipo se deben colocar en cada caja para optimizar la
situación?. Dé una interpretación a los demás resultados encontrados.
EJERCICIO 10:
En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a $45
y contiene 150 g. de polvorones, 100 g. de mantecados y 80 g. de roscas de vino. El segundo se vende a $56 y contiene
200 g. de polvorones, 100 g. de mantecados y 100 g. de roscas de vino. Se dispone de un total de 200 Kg. de
polvorones, 130 Kg. de mantecados y 104 Kg. de roscas de vino. La empresa solo dispone de 1200 cajas de embalaje.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
4
* Plantear el problema que permita maximizar las utilidades de la compañía.
* Resolver gráficamente e interpretar los resultados. Calcular disponibilidad ociosa (utilizar una escala adecuada
que permite visualizar bien los puntos de intersección).
EJERCICIO 11:
Una compañía fabrica tabicón y ladrillo, la empresa obtiene un margen de utilidad de $3.25 y $6.00 por cada 100
ladrillos y por cada 100 tabicones, respectivamente. En estos momentos la compañía no tiene compromisos por
pedidos de clientes de ladrillos o de tabicones. No existe inventario de ninguno de los dos productos. La producción de
ladrillo y tabicón requiere un proceso de dos etapas. Primero se les moldea y después se le hornea. En el proceso de
moldeado se requieren 4 hs. de tiempo para fabricar 100 ladrillos y de 8 hs. para fabricar 100 tabicones. El proceso de
horneado no difiere para ninguno de los dos productos; se requieren 8 hs. por cada 100 piezas de cada uno. Existen
disponibles un máximo de 80 hs. de tiempo de moldeado y el máximo tiempo disponible para el proceso de horneado
es de 120 hs. por semana. Es posible vender todas las piezas que se pueden fabricar.
* Plantear el problema que permita maximizar las utilidades de la compañía.
* Resolver e interpretar los resultados.
EJERCICIO 12:
Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura
y por un taller de montaje de la carrocería. Si el taller de pintura pintara solamente camiones, se podrían pintar 40
camiones al día.
Si el taller de pintura pintara solamente automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de
carrocería produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de carrocería produjera
solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada camión aporta 300 dólares a la utilidad, y cada
automóvil , 200. Utilice la programación lineal para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la
compañía.
EJERCICIO 13:
Un criador de ganado porcino dispone para la alimentación de los mismos de dos tipos de alimentos A1 y A2,
deseando que el consumo diario de cada animal no supere los 400 grs. de azúcar pero no sea inferior a los 800 grs. de
grasa.
La cantidad de azúcar contenida en cada alimento es de 20 grs. por kg. de A1 y de 90 grs. por kg. de A2, mientras
que hay 60 grs. de grasa por kg. de A1 y 30 grs. por kg. de A2.
El costo por kg. de A1 es de $ 4 y por cada kg. de A2 de $12.
- Resolver por el método gráfico e interpretar
EJERCICIO 14:
Dorian Auto fabrica automóviles de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes más probables son
hombres y mujeres de ingresos altos. Para llegar a estos grupos, Dorian Auto lanzó una campaña ambiciosa de
publicidad por televisión y decidió comprar comerciales de 1 minuto en dos tipos de programas: series cómicas y
juegos de fútbol. 7 millones de mujeres de ingresos altos y 2 millones de hombres de ingresos altos ven cada comercial
en series cómicas. 2 millones de mujeres de ingresos altos y 12 millones de hombres de ingresos altos ven cada
comercial en juegos de fútbol. Un comercial de 1 minuto en una serie cómica, cuesta 50 dólares y un comercial de 1
minuto en un juego de fútbol, cuesta 100 dólares. Dorian quisiera que por lo menos 28 millones de mujeres de ingresos
altos y 24 millones de hombres de ingresos altos vieran los comerciales.
Determine gráficamente que debería hacer Dorian Auto para alcanzar sus requerimientos comerciales a un costo
mínimo.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
5
EJERCICIO 15:
Una fábrica textil desea optimizar el beneficio mensual del sector que impermeabiliza lonas.
Se conocen los datos referentes a tiempos estándar de operación en ese sector, capacidad neta de horas máquina,
características del mercado y capacidad de despacho.
Existe la restricción adicional de entregar al mercado, en forma mensual 6000 m. de lona Playera.
El objetivo de la dirección de la empresa, es hallar el programa que haga máximo el margen de contribución a
gastos generales.
•
Tiempos estándar, capacidad de equipos:
Playera
Camionera
Lonas
Equipos
1
2
3
2
3
1
0,5
3
Campera
Disp. Equipos
(hs./ mes)
1
500
2
1
480
720
Los tiempos estándar están dados en horas/100 m.
•
Demandas
Lonas
Demanda
máxima
m/mes
•
Camionera
Campera
80000
70000
20000
Margen de contribución
Lonas
Playera
Margen
•
Playera
4 $/m
Camionera
Campera
7 $/m
3$/m
Capacidad de despacho total máxima: 100000 m/mes.
Plantear el problema.
EJERCICIO 16:
PROTRAC, Inc. produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de producción (llamada equipo de
remoción de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos
forestales) está destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos para remover
escombros (el E-9) y el miembro mayor de la línea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismo
departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de
mercadotecnia de PROTRAC juzga que durante ese período será posible vender todos los E-9 y F-9 que la empresa
pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir,
¿cuántos E-9s y F-9s deben producirse?.
En la toma de esta decisión, los principales factores a considerar son los siguientes:
PROTRAC tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que venda y de $4000 por cada F-9.
Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A como en el departamento B.
Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 hs., respectivamente.
Cada E-9 consume 10 hs. de operación mecánica en el departamento A y 20 hs. en el departamento B, mientras que
cada F-9 consume 15 hs. en el departamento A y 10 hs. en el departamento B.
Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de hs. de trabajo que se dedicarán a la
verificación de los productos terminados del próximo mes no puede ser menor a 135 hs. Esta verificación se realiza
en un tercer departamento que no tiene relación con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 requiere de
30 hs. de comprobación y cada F-9 de 10.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
6
Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, es necesario construir al menos un F-9 por cada 3
E-9s. (3 E-9 <= F-9).
Un consumidor importante a ordenado un total de por lo menos cinco aparatos (en cualquier combinación de E-9
y F-9) para el próximo mes, así es que por lo menos debe producirse esa cantidad.
Resolver por el Método Simplex. Comprobar gráficamente los resultados.
EJERCICIO 17:
Mondo produce motos en 3 fábricas. En cada fábrica, los costos de trabajo, materia prima y producción de una
moto se muestran en la tabla de abajo.
Cada fábrica tiene suficientes máquinas para producir hasta 750 motocicletas por semana. Cada trabajador de
Mondo puede trabajar hasta 40 hs. por semana y se le paga 12,5 dólares la hora. Mondo tiene un total de 525
trabajadores y actualmente cuenta con 9400 unidades de materia prima. Cada semana hay que producir por lo menos
1400 motos. Minimizar los costos variables (trabajo + producción) y satisfacer las demandas.
Fábrica
Trabajo requerido
(hs.)
20
16
10
1
2
3
Materia prima requerida (u.)
5
8
7
Costo de producción
(dól.)
50
80
100
EJERCICIO 18:
El dueño de una planta química desea maximizar los beneficios que se obtiene de la misma, produciendo dos
productos X e Y. Los costos y precios de venta se especifican en la tabla que sigue. Además, el tiempo de
procesamiento para los productos X e Y y en la máquina de mezclado A y la de coloración B, utilizados en su
producción son los siguientes:
Producto
(u.)
Máquina A (hs.) Máquina B (hs.) Precio de venta
($)
Costo ($)
X
2
3
350
290
Y
4
2
450
400
Para un período de 2 semanas la máquina A tiene disponibles 80 hs. y la máquina B 60 hs. de tiempo de
procesamiento. Los estudios de mercado realizados indican que se puede vender a lo sumo 16 unidades de X y 18 de
Y. Suponiendo que no hay problemas con el fraccionamiento del producto:
a)
Desarrollar el modelo lineal para este problema.
b)
Resolver por Simplex e interpretar.
c)
¿En cuántos $ aumentaría el funcional si se agregan 5 hs. en la máquina A.
EJERCICIO 19:
Una empresa fabrica tres productos A, B y C. Los analistas financieros de la compañía han informado que se
deben recuperar $2000 de costos fijos, para que la compañía alcance el punto de equilibrio. Se desea determinar la
cantidad de cada producto que se debe fabricar para que, cuando la empresa llegue al punto de equilibrio, la suma de
los costos variables sea mínima.
Las ganancias que ocasionará la venta de cada producto (por unidad) es de $2, $1,50 y $1 respectivamente.
Los costos variables asociados con los productos son $10, $8,50 y $5.
Los pedidos atrasados que se tienen para los tres productos son: A = 300 u., B = 250 u. y C = 1000 u..
Deben satisfacerse todos los pedidos atrasados y luego los nuevos pedidos. Resolver e interpretar todos los
resultados.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
7
EJERCICIO 20:
En una fábrica de harinas se desea establecer un programa óptimo de producción. La medida de eficiencia
determinada para el mismo es el margen de contribución a gastos generales, tratándose entonces de maximizar ese
valor.
Se pueden producir cuatro tipos de harinas, H1, H2, H3 y H4, cuyas características de proceso y comercialización
se detallan en las tablas adjuntas.
* TIEMPOS DE PROCESO (min/kg.)
EQUIPOS
HARINAS
H1
H2
H3
H4
DISPONIBILIDAD
(min./mes)
Molienda
Tamizado
Empaquetado
10
10
20
20
12
12
28000
30000
40000
16
4
10
4
4
* CARACTERÍSTICAS DE COMERCIALIZACIÓN
RUBROS CONSIDERADOS
Producción mínima
Cant. demandada máxima
Margen de contribución
UNIDAD
H1
Kg./mes
Kg./mes
$/Kg.
200
1000
2
H2
H3
H4
800
500 500 2000
3
6,5
5
* CONDICIONES FINANCIERAS
Por razones financieras la empresa no desea mantener inmovilizada una cantidad superior a $140000 en concepto
de stock de materias primas. Se conocen los niveles de inmovilización de materia prima, que son los siguientes,
medidos en $/Kg. de producto terminado:
HARINAS
H2
H3
H1
INMOVILIZACIÓN
DE MATERIA PRIMA
($/Kg.)
5
1
H4
1
5
EJERCICIO 21:
Existen siete tipos de píldoras vitamínicas que contienen, cada una de ellas una cierta proporción de vitaminas de
tres tipos diferentes. La siguiente tabla da los valores de unidades vitamina/píldora.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
V1
5
0
2
0
3
1
2
V2
3
1
5
0
2
0
1
V3
1
0
3
1
2
0
6
40
10
50
6
35
7
40
COSTO ($/U.)
Se desea hallar una combinación de píldoras que proporcione exactamente 100 unidades de V1, 80 unidades de
V2 y entre 120 y 160 unidades de V3. ¿Cuál es la combinación que cumple con estas restricciones más
económicamente?.
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
8
EJERCICIO 22:
Un fabricante de aberturas prepara un programa de producción para dos nuevos productos. La información en
horas de fabricación (ambos necesitan utilizar dos máquinas) y pulidos ocupadas por cada producto en cada tarea con
la respectiva ganancia se da en la siguiente tabla:
MÁQUINA A MÁQUINA B
PULIDO
GANANCIA
POR UNIDAD
PUERTA CORREDIZA
2 Horas
1 Hora
1 Hora
$4
PUERTA PLEGADIZA
1 Hora
1 Hora
3 Hora
$6
Las horas disponibles de operación por semana son 70 y 40 horas respectivamente para cada máquina y de 90
horas para la sección pulido.
a) Definir con precisión todas las variables del problema.
b) Plantear el modelo matemático.
c) Resolver por Método Simplex.
d) Interpretar los resultados.
EJERCICIO 23:
Sea el siguiente problema lineal:
Máx Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3
S.a.
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 >= B1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 >= B2
X1, X2, X3 >= 0
Ck
Q
L
CJ
Z1
ZJ - CJ
Xk
R
T
///
///
///
X1
X2
X3
X4
X5
λ1
λ2
C1
Z1
P1
C2
Z2
P2
C3
Z3
P3
C4
Z4
P4
C5
Z5
P5
C6
Z6
P6
C7
Z7
P7
B
H
G
///
Z
///
θ
θ1
θ1
///
///
///
Establezca condiciones a los elementos de dicha tabla para que cumplida la condición de optimidad:
a)
el problema no tenga solución
b)
posea solución óptima única
c)
posea solución óptima alternativa
Establezca condiciones a los elementos de dicha tabla para que no cumplida la condición de optimidad:
a)
el problema no tenga solución
b)
posea solución básica pero no óptima
c)
posea soluciones degeneradas
d)
una variable de la base tenga valor cero
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
9
EJERCICIO 24:
I) ¿Son verdaderas las siguientes afirmaciones? Justificar.
a) Todo punto factible maximiza a la función económica.
b) Si un problema tiene soluciones degeneradas no tiene solución óptima.
c) Las soluciones básicas factibles de un problema de mínimo están en el borde de la región factible.
d) Un problema con región factible no acotada no tiene solución.
e) Si una variable de holgura (representa disponibilidad de recurso), se agota tendrá en la línea de ZJ – CJ un
valor igual a cero.
II) Dada una tabla del Simplex correspondiente a un PL de máximo con tres variables y tres inecuaciones, ¿qué
sucede si:
• en Zj - Cj existen todos valores menores o iguales a cero
• en Zj - Cj hay tres ceros y los restantes son valores positivos
• en la base existe una variable artificial, en Zj - Cj hay un valor negativo y ya se sabe que es el último paso del
Simplex
• en la línea de Zj - Cj no existen valores positivos y no puede sacar ninguna variable de la base
Seguimos resolviendo ejercicios de práctica:
EJERCICIO 25:
Una empresa embotelladora de bebidas refrescantes tiene dos productos principales, D1 y D2, cuya producción se
realiza en dos secciones, una de envasado y otra de embalaje de los productos. La capacidad semanal, en horas de
trabajo, de la sección de envasado es de 230 mientras que la sección de embalaje dispone de 250 horas de trabajo
semanales. El envasado y embalaje de 1000 litros de ambos tipos de bebidas requieren la utilización del siguiente
número de horas en cada sección:
D1
2
1
Envasado
Embalaje
D2
1
2
Disponibilidad
230
250
La empresa tiene una provisión casi ilimitada de materia prima para la producción de las bebidas, sin embargo se
sabe que D2 tiene una demanda semanal nunca superior a los 120000 litros. Si estimamos un margen de beneficio de
30 centésimos de euro por litro para D1 y de 50 centésimos de euro para D2, determinar el plan de producción semanal
que hace máximo el beneficio de la empresa.
EJERCICIO 26:
Una empresa fabrica tres productos P1, P2 y P3 utilizando dos sistemas de fabricación mecánica F1 y F2. La tabla
adjunta muestra las unidades fabricadas de cada uno de los productos empleando los sistemas de fabricación a nivel
unitario:
F1
F2
P1
4
2
P2
3
3
P3
2
5
La demanda semanal estimada para cada uno de los tres productos es de 12, 15 y 25 unidades respectivamente,
siendo los costos unitarios de fabricación de 12 dólares para el sistema de fabricación F1 y 5 dólares para F2.
Determina el plan de producción semanal que satisfaga la demanda prevista a un costo mínimo.
EJERCICIO 27:
Una empresa se dedica a la producción de lámparas de mesa y lámparas de techo; a tal efecto tiene organizados
cuatro departamentos de producción: A, B, C y D. A y B son comunes para los dos productos, mientras que C es
Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa
10
específico para lámparas de mesa (M) y D para lámparas de techo (T). La capacidad máxima de cada departamento al
mes, expresada en las unidades de cada producto que se podrían elaborar (en el caso de que no se produjera nada del
otro), viene recogida en la siguiente tabla:
A
B
C
D
M
500
400
250
-
T
200
300
150
Los beneficios que se obtienen por la venta de una unidad de estos productos son: 1000 u.m. y 2000 u.m. para M
y T respectivamente. Calcular los productos a elaborar, en qué cuantía, el beneficio máximo y la capacidad ociosa de
los distintos departamentos.
EJERCICIO 28:
Una refinería de petróleo destila tres tipos de crudos: el Arabia (ligero), el Venezuela (medio) y el México
(pesado), cuyos precios en el mercado libre son de $ 40, de $ 36 y de $ 32 el barril, respectivamente.
De cada uno de los crudos en el proceso de destilación y refino se obtiene gasolina, keroseno y gas-oil, así como
unas pérdidas por obtención de residuos inservibles. Por cada barril de crudo se obtienen los siguientes barriles de los
productos refinados:
1 barril Arabia
1 barril Venezuela
1 barril México
Gasolina
0.40
0.30
0.20
Keroseno
0.20
0.20
0.30
Gas-oil
0.30
0.40
0.40
La refinería ha firmado un contrato con una compañía multinacional para el suministro de 1.500.000 barriles de
gasolina, 400.000 de keroseno y 700.000 de gas-oil, durante el próximo año. ¿Qué cantidad debe adquirir de cada tipo
de crudo para el costo sea mínimo?
EJERCICIO 29:
Una empresa se dedica a la elaboración de dos productos P1 y P2, que le proporcionan un beneficio de $ 50 por
m3 y $ 60 por m3, respectivamente. Dicha elaboración da lugar a la aparición de dos gases tóxicos G1 y G2, que son
evacuados a la atmósfera en la proporción indicada en la tabla adjunta:
Tipo de gas tóxico
G1
G2
Por m3 de P1
24
8
Por m3 de P2
36
12
Debido a la aparición de nuevas normas en materia de polución, la emisión diaria de G1 y G2 no deberá superar
los 600 litros y 800 litros respectivamente.
El director de producción de la citada empresa, mediante la aplicación de un mecanismo antipolución (MAP) en
el proceso de fabricación de P1 y/o P2, puede eliminar los gases tóxicos G1 y G2 en un 75% y un 50%,
respectivamente, independientemente del proceso al que lo aplique. La utilización del citado mecanismo (MAP) en
cualquiera de los dos procesos de fabricación produce una disminución de $ 10 en el beneficio obtenido por m3 del
producto correspondiente.
La dirección desea conocer: las cantidades de P1 y P2 que se deben obtener diariamente a fin de conseguir
optimizar el beneficio sin incumplir la nueva normativa.
Lic. Elda Gómez de Huck
U.T.N. Fac. Reg. Rafaela
Investigación Operativa