[(0,0),(1,1)] = {(λ, λ) : λ ∈ [0,1]}

AMPLIACIÓN DE MATEM
ÁTICAS. ETSI INFORMÁTICA. 2 Semana Febrero 2009. .
½
Gestión 54205. Sistemas 53205. Modelo de examen
Códigos
A
• Señale al dorso su número de DNI, el código de la asignatura, el modelo de examen y las respuestas.
• Cada pregunta tiene una sola respuesta correcta. Cada pregunta acertada suma 1 punto, las incorrectas restan
0’3 puntos cada una. Las preguntas en blanco no puntúan.
• Se permite utilizar únicamente un ejemplar original del texto “Ampliación de Matematicas” del Luis Rodrı́guezMarı́n, que podrá contener anotaciones del alumno. No está permitido el libro de ejercicios de la asignatura ni
ningún otro libro de texto o material. Entregue únicamente esta hoja.
1. Sea el segmento I = [(0, 0), (1, 1)] = {(λ, λ) : λ ∈ [0, 1]} de R2 y la función f : R2 → R
definida por f (x, y) = x−y 3 . Determı́nese el punto de I para el que se cumple el teorema
del valor
√ medio
√ de f en I.√
√
(a) ( 2/2, 2/2) (b) ( 3/3, 3/3) (c) (1/2, 1/2) (d) Ninguna de las anteriores
2. Sea f (x, y, z) = |3x + 2y + z| . Señale la respuesta correcta:
(a) D1 f (0, 0, 0) = 3
(b) No existe D1 f (0, 0, 0)
(c) f es diferenciable en (0, 0, 0)
(d) Ninguna de las anteriores
3. Dada la ecuación y 00 −2y 0 +y = ex x cos x señale la forma general de una solución particular
obtenida por el método de selección.
(a) y = ex (C1 x + C2 ) sen x
(b) y = ex (C1 x + C2 ) [cos x + sen x]
(c) y = C1 ex sen x
(d) Ninguna de las anteriores
2
4. Sea la función f (x, y) = x + xe1/(1+y ) . Señale la derivada de f en (1, 0) según el vector
v = (1, 1).
(a) (1 + e, 2)
(b) 1 + e
(c) e
(d) Ninguna de las anteriores
5. Dado el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < 3}, determine su frontera.
(a) ∅
(b) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 3}
(c) A
(d) Ninguna de las anteriores
6. Determı́nese el area encerrada por las curvas y = x2 , y = 0, y = 1.
(a) 8/3
(b) 1/2
(c) 4/3
(d) Ninguna de las anteriores
7. Determı́nese la ecuación lineal que contenga como solución al sistema de funciones {ex , x2 }.
(a) y 000 (2 − x2 ) + y 00 x2 − 2y = 0
(b) y 00 − xy = 0
(c) y 000 (1 − x2 ) + y 00 x − xy = 0
(d) Ninguna de las anteriores
8. La ecuación x2 y − xy 2 + x2 − 2y + x = 0 define una función implı́cita y = g(x) en un
entorno de (0, 0). Determine el polinomio de Taylor de orden 2 en x = 0.
x + x2
x2
(a) x − x2
(b)
(c) x −
(d) Ninguna de las anteriores
2
2
9. Determı́nese un punto donde la función f (x, y) = (x − 2)2 /4 + (y − 3)2 /9 alcanza su valor
mı́nimo en el segmento {(x, y) : y + x = 3, x ≥ 0, y ≥ 0}.
(a) (x, y) = (18/13, 21/13)
(b) (x, y) = (0, 0)
(c) (x, y) = (5/2, 1/2)
(d) Ninguna de las anteriores
10. Sea ϕ solución de la ecuación diferencial y 000 = cos x, y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = 0.
(a) ϕ(π) = π
(b) ϕ(π) = 0
(c) ϕ(π) = 1
(d) Ninguna de las anteriores
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS.
2 SEMANA FEBRERO DE 2009. MODELO A..
a
1. Sea P = (λ, λ), con λ ∈ [0, 1] el punto buscado. La expresión del teorema del valor medio
de f en I es
f (1, 1) − f (0, 0) = Df (λ, λ) [(1, 1) − (0, 0)]
Como f (1, 1) = f (0, 0) = 0, y por otro lado
¡
¢
Df (λ, λ) = 1 − 3λ2 ,
ha de cumplirse
¡
¢
0 = 1 − 3λ2
µ
1
1
√
¶
⇔ 0 = 1 − 3λ2 ⇔ λ = ±
3
.
3
Ã√
Luego P =
√ !
3 3
,
es el punto buscado.
3 3
2. Tenemos que
f (t, 0, 0) − f (0, 0, 0)
3 |t| − 0
= lim
t→0
t→0
T
t
½
3 |t|
−3 si t > 0
=
3 si t < 0
t
D1 f (0, 0, 0) = lim
Como
el lı́mite no existe y por tanto no existe la derivada direccional. Con lo que además se
prueba que la función no es diferenciable.
3. Se resuelve aplicando directamente la fórmula dada en la página 307 del libro de texto.
El polinomio caracterı́stico asociado es r2 − 2r + 1 que tiene a 1 como raı́z doble. La
función del segundo miembro es y = ex (x cos x+0 sen x), por tanto la forma de la solución
particular ha de ser
y = xs eαx (P (x) cos βx + Q(x) sen βx)
Como α ± βi = 1 ± i no es raı́z del polinomio caracterı́stico resulta s = 0 y P (x) = x y
Q(x) = 0 polinomios de grado uno y cero respectivamente, y por tanto k = 1 es el mayor
grado. Por tanto la solución particular por el método de selección toma la forma
y = ex (C1 x + C2 ) cos x + ex (C3 x + C4 ) sen x.
La respuesta correcta es la (d).
4. Como f es diferenciable en (1, 0), sabemos que (véase página 45 libro de texto)
D(1,1) f (1, 0) = Df (1, 0)(1, 1),
en donde Df (1, 0) es la diferencial de f en el punto (1, 0)
Df (1, 0) = (D1 f (0, 0) D2 f (0, 0)

¯
1 ¯
¯

2¯
1
+
y

= 1 + e
¯
¯
¯
(x,y)=(0,0)
¯
¯
1
µ
¶
¯
−2y
2¯
1
+
y
x
e
¯
¯
(1 + y 2 )2
¯




(x,y)=(0,0)
= (1 + e 0) .
Luego
µ
Df (1, 0) = (1 + e 0)
1
1
¶
= 1 + e.
5. A es un cilindro, luego la frontera es su “borde”
Fr(A) = {(x, y, z) : x2 + y 2 = 3}.
6. El conjunto encerrado por lar curvas viene dado por
M = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}
Por tanto
Z
Z
area(M ) =
1
Z
1
dydx =
dxdy =
M
Z
1
−1
x2
¡
−1
¢
4
1 − x2 dx = .
3
7. Directamente se comprueba que la ecuación y 000 (2−x2 )+y 00 x2 −2y = 0 es lineal y contiene
como solución a las funciones ex , x2 . Por otra lado las ecuaciones propuestas en (b) y (c)
son lineales pero no tienen a las funciones ex , x2 como solución. Por tanto la respuesta
correcta es (a).
8. Por definición de la función g se tiene g(0) = 0 y además se verifica la ecuación
x2 g(x) − xg(x)2 + x2 − 2g(x) + x = 0.
Derivando implı́citamente
2xg(x) + x2 g 0 (x) − g(x)2 − 2xg(x)g 0 (x) + 2x − 2g 0 (x) + 1 = 0,
y sustituyendo en (0, 0) se obtiene el valor de g 0 (0)
−2g 0 (0) + 1 = 0 ⇒ g 0 (0) = 1/2.
Derivando implı́citamente de nuevo
2g(x) + 2xg 0 (x) + 2xg 0 (x) + x2 g 00 (x) − 2g 0 (x)g(x)−
−2g 0 (x)g(x) − 2xg 0 (x)2 − 2xg(x)g 00 (x) + 2 − 2g 00 (x) = 0.
y volviendo a sustituir se obtiene el valor de g 00 (0) de nuevo
2 − 2g 00 (0) = 0 ⇒ g 0 (0) = 1.
Por tanto el polinomio de Taylor vendrá dado por
x2
x + x2
p(x) = g(0) + g (0)x + g (0) =
.
2
2
0
00
La respuesta correcta es la (b).
9. Como
{(x, y) : y + x = 3, x ≥ 0, y ≥ 0} = {(x, y) : y = 3 − x, x ∈ [0, 3]},
el problema propuesto se trata minimizar la función de una variable
(x − 2)2 (3 − x − 3)2
(x − 2)2 x2
h(x) = f (x, 3 − x) =
+
=
+
4
9
4
9
en el intervalo [0, 3](téngase en cuenta que y = x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3).
Luego
x − 2 2x
+
= 0 ⇒ x = 18/13.
2
9
Ahora como la función h0 (x) > 0 para todo x ≥ 18/13 y h0 (x) < 0 para todo x ≤ 18/13,
entonces la función es decreciente para x ≤ 18/13 y creciente para x ≥ 18/13, luego el
mı́nimo es global(nótese que se trata de una parabola). Luego el punto buscado es
h0 (x) =
(18/13, 3 − 18/13) = (18/13, 21/13).
10. Integrando sucesivamente
y 00 = sen x + C1
y 0 = − cos x + C1 x + C2
x2
y = − sen x + C1 + C2 x + C3
2
Imponiendo las condiciones iniciales se calculan las constantes

y(0) = 0 
y 0 (0) = 0
⇒ C1 = C3 = 0, C2 = 1.

00
y (0) = 0
Luego la solución buscada es ϕ(x) = − sen x + x, y por tanto ϕ(π) = π.