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Subdirección de Educación
Departamento de Educación Contratada
Colegio CAFAM “Bellavista” CED
GUIA DE APRENDIZAJE
Guía No: 4
Pensamiento:
Lógico – matemático
Docente: NANCY GONZALEZ
OLGA ARDILA
Grado: DECIMO
Fecha: SEPT. 12 - 2014
Asignatura:
Matemáticas
Saber- Saber: Encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema bidimensional
rectangular, determinar cuándo dos rectas en el plano son paralelas o perpendiculares.
Saber Hacer: Aplicar los conceptos de pendiente de una recta y la distancia entre dos puntos
para resolver los problemas entre figuras geométricas.
Saber ser: Identificar circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas a partir del análisis de la ecuación
de segundo grado.
ACTIVADOR COGNITIVO
Escribir las coordenadas que forman la figura 1 (A, B, C, D) y las coordenadas de los
puntos: A, B, C. D. E. F y G de la figura 2.
ACCESO A LA INFORMACION
GEOMETRIA ANALITICA
En 1637, el matemático y filósofo francés René Descartes estableció un punto de partida en el
campo de la matemáticas, cuando publicó su libro “La Geometrie” En el mostró lo poderosa que
sería la herramienta del algebra para simplificar y amplificar la geometría, es decir, estableció una
relación entre la geometría y el álgebra. Mediante esta relación pudo estudiar las figuras
geométricas, examinando las diversas ecuaciones que las representaban. Al mismo tiempo se
usaron las propiedades geométricas para estudiar las ecuaciones algebraicas. El estudio de
problemas geométricos desde un punto de vista algebraica recibe el nombre de GEOMETRIA
ANALITICA.
En este periodo deduciremos las ecuaciones de figuras geométricas tales como: recta,
circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, de igual manera estudiaremos las propiedades de
estas figuras a partir de sus ecuaciones.
Las figuras geométricas circunferencia, parábola, elipse e hipérbola se conocen con el nombre de
secciones cónicas, ya que los griegos las definieron con base en la intersección de planos con
conos con veremos en las figuras:
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la
ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias
y logística en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación indeterminada, polinomio, o función determinar en un sistema de
coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante
fórmulas del tipo
, donde
es una función u otro tipo de expresión matemática:
las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo,
las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones
circunferencia
, la hipérbola
),
polinómicas de grado 2 (la
), etc.
DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia
queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x 1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de
coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de
Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = √
unidades
Integración:
d=5
EJERCICIO 1: Encontrar la distancia entre los siguientes puntos, graficar en el plano
cartesiano:
a. P (-2,4) y Q (4,3)
b. P (0,4) y Q (-2,0)
c. A (0,-7) y Q (-2,-2)
d. P (-2,5) y Q (-4,2)
e. P (-1,-4) y Q (5,3)
TRABAJO EN BINAS: En el plano cartesiano ubicar las coordenadas correspondientes al
punto anterior, luego inventar 10 coordenadas y hallar las distancias correspondientes entre dos
puntos utilizando la ecuación aprendida, luego se socializara y la docente despejara posibles
dudas.
TRABAJO EN BINAS: En el plano cartesiano ubicar las coordenadas correspondientes al
punto anterior, luego inventar 10 coordenadas y hallar las distancias correspondientes entre dos
puntos utilizando la ecuación aprendida, luego se socializara y la docente despejara posibles
dudas.
PENDIENTE DE LA RECTA, RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
Pendiente en la Recta: Indica la inclinación de una recta y puede ser positiva o negativa. m=
, donde m es la pendiente.
La manera más sencilla de obtener la pendiente es usando la razón entre el cambio
vertical y horizontal; si formamos un triángulo rectángulo teniendo la distancia de los puntos como
hipotenusa, se pueden contar tanto el cambio vertical como horizontal como se indica en la imagen
siguiente.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Encontrar la pendiente entre los puntos: QM, RM, SN, QP, OR, NP, SO, NR, OM.
RECTAS PARALELAS: Dos rectas son verticales L1 y L2 son paralelas sí y sólo sí sus
pendientes m1 y m2 son iguales: si verticales L1 ǁ L2, entonces m1 = m2
Ejemplo:
L1 = 3x+2y-5 = 0
m1 = -3/2 = - 1.5
y
L2 = 6x + 4y -9 = 0
m= -A/B
m2 = -6/4 = -3/2 = -1.5
m1=m2 son paralelas entonces L1 ǁ L2
RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares L1 y L2 son perpendiculares
sí y sólo sí el producto de sus pendientes m1 * m2 es igual a menos uno:
L1 ┴ L2, entonces m1 * m2 = -1
Ejemplo:
L1→ x – y - 8 = 0
y
m1 = -1/-1 = 1
m1*m2 = 1*-1 = -1 las rectas son perpendiculares
L2 → x + y - 3 = 0
m2 = -1/1 = -1
L1 ┴ L2
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA, PARABOLA, LA ELIPSE Y LA HIPERBOLA
Circunferencia
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La
distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se le llama radio. Centro y radio son los
elementos principales que definen toda circunferencia.
La ecuación general de una circunferencia viene dada por:
donde (a,b) es el centro y r > 0 es el radio.
De manera similar a la recta, la representación gráfica se lleva a cabo mediante la representación
del centro y la consideración de una cuerda de longitud el radio y donde un extremo se coloca en el
centro y el otro va definiendo, mediante un giro de una vuelta de 360º, todos los puntos de la
circunferencia.
Ejemplo
Obtener y representar gráficamente la circunferencia de centro (6, -5) y radio 3.
Solución:
Sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación:
se obtiene su expresión:
,
y su representación gráfica:
PARABOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz, y
de un punto fijo llamado foco.
Si llamamos r a la directriz y F al foco, un punto P de la parábola verifica que:
Los elementos de la hipérbola son:
·
El vértice de la parábola O que corresponde al punto medio del segmento que une el foco
con la directriz de manera perpendicular. El vértice pertenece a la parábola.
·
El eje de la parábola que es la recta que pasa por el foco y el centro. De esta manera, el
eje corta de manera perpendicular a la directriz.
·
El parámetro p, cuyo valor absoluto es la distancia del foco a la directriz.
Gráficamente estos elementos pueden verse en la siguiente figura:
La ecuación de una parábola cuyo centro es el origen y su eje sea paralelo al eje OY (directriz
paralela al eje OX) viene dada por:
Si el vértice no es el origen de coordenadas (x0,y0) pero el eje de la parábola sigue siendo
paralelo al eje OY, la ecuación corresponde a:
El signo de p influye en el sentido de la parábola, es decir:
·
Si p > 0, entonces el vértice está abajo y las ramas de las parábola crecen hacia arriba
(igual que en la gráfica anterior).
·
Si p < 0, entonces el vértice está arriba y las ramas de la parábola disminuyen hacia
abajo.
Ejemplo
Hallar la ecuación y representar gráficamente, la parábola de parámetro p = 2/3 con eje paralelo al
eje OY, cuyo centro es:
a) Origen de coordenadas b. El punto (3, 1).
Solución:
a) La ecuación viene dada por:
y su representación gráfica corresponde a:
b) De la misma manera, tenemos la ecuación:
y su representación gráfica:
La ecuación más utilizada a la hora de denotar una parábola de este tipo, corresponde a la
expresión general:
TRABAJO EN BINAS: En el plano cartesiano ubicar las coordenadas correspondientes al
punto anterior, luego inventar 10 coordenadas y hallar las distancias correspondientes entre dos
puntos utilizando la ecuación aprendida, luego se socializara y la docente despejara posibles
dudas.
Trabajo grupal: La docente divide los temas en grupos de a 4 estudiantes, los cuales deberán
preparar una exposición de acuerdo al mapa conceptual consignado en el cuaderno, si se
presentan dudas los estudiantes solicitaran ayuda a la docente, cada grupo evaluara su trabajo con
actividades dentro y fuera del aula de clase, de igual manera se seguirá trabajando el ánima plano
con el fin de que el estudiante refuerce algunos saberes y despeje de igual manera posibles dudas.
Cada grupo deberá inventar algunos ejercicios que expondrán frente al grupo relacionados con los
talleres y guías.
Verificación: Los demás compañeros después de escuchar a los expositores por sus
pequeños grupos evaluarán el trabajo del grupo expositor y luego junto al docente le colocarán la
nota valorativa.
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Cuaderno teoría
Trabajo individual
trabajo grupal
escalas
anima planos.
Reflexión: En un círculo entre maestro y estudiantes harán una reflexión de lo trabajado y
completarán
diciendo que tan importante es aplicar ecuaciones en la solución de problemas
geométricos.
Regulación: Los estudiantes entregaran la carpeta con todas las actividades (talleres,
guías y ánima planos debidamente justificados)