Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity with the

Anuncio
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of
BF gravity with the Immirzi parameter
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Basada en CQG 29 (2012) 205010
Introducción
Método de Dirac
Mariano Celada
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Asesor
Merced Montesinos
Cinvestav
Conclusiones y
perspectivas
Seminario del Cuerpo Académico de Partículas, Campos y
Relatividad General
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Septiembre 19 de 2012
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Contenido
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Contenido
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Contenido
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Contenido
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Contenido
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Introducción
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Gravedad → manifestación de la curvatura del espacio-tiempo.
Dinámica del campo gravitacional: Rµν − 12 gµν R + Λgµν = 8πGTµν .
Principios de acción
R
√
• Métrica (E-H): S[gµν ] = κ
R −gd4 x.
M
i
R h
I ∧ eJ ) − 1 eI ∧ eJ ∧ F [A];
• Primer orden (Holst): S[e, A] =
∗(e
IJ
γ
M
FIJ = dAIJ + AIK ∧ AKJ , γ → Parámetro de Immirzi.
R
• BF: S[B, A, φ, µ] =
(BIJ ∧ FIJ [A] − φIJKL BIJ ∧ BKL + µH(φ));
M
H(φ) = IJKL φIJKL , φ
IJ
IJ
, a1 φ
IJ
IJ
+ a2 IJKL φIJKL .
Mientras la formulación de primer orden es la base de loop
quantum gravity, la formulación BF es usada para construir los
modelos de spin foam.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Introducción
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Gravedad → manifestación de la curvatura del espacio-tiempo.
Dinámica del campo gravitacional: Rµν − 12 gµν R + Λgµν = 8πGTµν .
Principios de acción
R
√
• Métrica (E-H): S[gµν ] = κ
R −gd4 x.
M
i
R h
I ∧ eJ ) − 1 eI ∧ eJ ∧ F [A];
• Primer orden (Holst): S[e, A] =
∗(e
IJ
γ
M
FIJ = dAIJ + AIK ∧ AKJ , γ → Parámetro de Immirzi.
R
• BF: S[B, A, φ, µ] =
(BIJ ∧ FIJ [A] − φIJKL BIJ ∧ BKL + µH(φ));
M
H(φ) = IJKL φIJKL , φ
IJ
IJ
IJ
, a1 φ
IJ
+ a2 IJKL φIJKL .
Mientras la formulación de primer orden es la base de loop
quantum gravity, la formulación BF es usada para construir los
modelos de spin foam.
Mariano Celada y Merced Montesinos
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Introducción
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Gravedad → manifestación de la curvatura del espacio-tiempo.
Dinámica del campo gravitacional: Rµν − 12 gµν R + Λgµν = 8πGTµν .
Principios de acción
R
√
• Métrica (E-H): S[gµν ] = κ
R −gd4 x.
M
i
R h
I ∧ eJ ) − 1 eI ∧ eJ ∧ F [A];
• Primer orden (Holst): S[e, A] =
∗(e
IJ
γ
M
FIJ = dAIJ + AIK ∧ AKJ , γ → Parámetro de Immirzi.
R
• BF: S[B, A, φ, µ] =
(BIJ ∧ FIJ [A] − φIJKL BIJ ∧ BKL + µH(φ));
M
H(φ) = IJKL φIJKL , φ
IJ
IJ
IJ
, a1 φ
IJ
+ a2 IJKL φIJKL .
Mientras la formulación de primer orden es la base de loop
quantum gravity, la formulación BF es usada para construir los
modelos de spin foam.
Mariano Celada y Merced Montesinos
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Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
• El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85
024026 (2012)).
• No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico:
aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la
entropía de agujeros negros.
• Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a
nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)):
. No conmutativa, transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ.
. Conmutativa, no transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
• El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85
024026 (2012)).
• No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico:
aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la
entropía de agujeros negros.
• Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a
nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)):
. No conmutativa, transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ.
. Conmutativa, no transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
• El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85
024026 (2012)).
• No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico:
aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la
entropía de agujeros negros.
• Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a
nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)):
. No conmutativa, transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ.
. Conmutativa, no transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
• El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85
024026 (2012)).
• No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico:
aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la
entropía de agujeros negros.
• Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a
nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)):
. No conmutativa, transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ.
. Conmutativa, no transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
• El parámetro de Immirzi es de naturaleza topológica (PRD 85
024026 (2012)).
• No es relevante a nivel clásico, pero sí a nivel cuántico:
aparece en el espectro de operadores y en la expresión de la
entropía de agujeros negros.
• Es posible construir una conexión covariante de Lorentz a
nivel cuántico (PRD 65 024011 (2001)):
. No conmutativa, transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro independiente de γ.
. Conmutativa, no transforma correctamente ante
difeomorfismos temporales, espectro dependiente de γ.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Teorías con constricciones
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Método de Dirac
Se considera un sistema clásico con N grados de libertad descrito
por el principio de acción
Z
S = L(q(t), q̇(t))dt.
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Las ecuaciones de movimiento son
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Wnm q̈m =
∂L
∂2 L
− m n q̇m ,
n
∂q
∂q ∂q̇
Wmn ≡
∂2 L
.
∂q̇m ∂q̇n
Si det(Wmn ) = 0 =⇒ no se podrán expresar todas las aceleraciones
en términos de las posiciones y velocidades.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Definiendo los momentos canónicos a las q’s
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
pn = pn (q, q̇) ≡
∂L
,
∂q̇n
(n = 1, . . . , N).
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Wmn =
∂pm
→ matriz jacobiana de la transformación de q̇ a p.
∂q̇n
Cuando Wmn no es invertible, existen relaciones entre las q’s y las
p’s (únicamente) que son denominadas constricciones primarias.
φm (q, p) = 0,
Mariano Celada y Merced Montesinos
(m = 1, ..., M).
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Definiendo los momentos canónicos a las q’s
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
pn = pn (q, q̇) ≡
∂L
,
∂q̇n
(n = 1, . . . , N).
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Wmn =
∂pm
→ matriz jacobiana de la transformación de q̇ a p.
∂q̇n
Cuando Wmn no es invertible, existen relaciones entre las q’s y las
p’s (únicamente) que son denominadas constricciones primarias.
φm (q, p) = 0,
Mariano Celada y Merced Montesinos
(m = 1, ..., M).
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Igualdades débiles y fuertes
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio
de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ
de ecuaciones definidas sobre Σ1 .
Identidad débil
Introducción
Método de Dirac
G(q, p) ≈ 0
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
⇐⇒
G(q, p)|Σ1 = 0.
Identidad fuerte
G(q, p) = 0
⇐⇒
∂G ∂G = 0.
G,
,
∂q ∂p Σ1
Puede mostrarse que
F≈0
Mariano Celada y Merced Montesinos
⇐⇒
F = λm φm .
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Igualdades débiles y fuertes
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio
de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ
de ecuaciones definidas sobre Σ1 .
Identidad débil
Introducción
Método de Dirac
G(q, p) ≈ 0
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
⇐⇒
G(q, p)|Σ1 = 0.
Identidad fuerte
G(q, p) = 0
⇐⇒
∂G ∂G = 0.
G,
,
∂q ∂p Σ1
Puede mostrarse que
F≈0
Mariano Celada y Merced Montesinos
⇐⇒
F = λm φm .
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Igualdades débiles y fuertes
Lorentzcovariant
Hamiltonian
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gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio
de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ
de ecuaciones definidas sobre Σ1 .
Identidad débil
Introducción
Método de Dirac
G(q, p) ≈ 0
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
⇐⇒
G(q, p)|Σ1 = 0.
Identidad fuerte
G(q, p) = 0
⇐⇒
∂G ∂G = 0.
G,
,
∂q ∂p Σ1
Puede mostrarse que
F≈0
Mariano Celada y Merced Montesinos
⇐⇒
F = λm φm .
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Igualdades débiles y fuertes
Lorentzcovariant
Hamiltonian
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gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Ya que las constricciones determinan un subespacio Σ1 del espacio
de fase Γ, es conveniente diferenciar ecuaciones definidas sobre Γ
de ecuaciones definidas sobre Σ1 .
Identidad débil
Introducción
Método de Dirac
G(q, p) ≈ 0
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
⇐⇒
G(q, p)|Σ1 = 0.
Identidad fuerte
G(q, p) = 0
⇐⇒
∂G ∂G = 0.
G,
,
∂q ∂p Σ1
Puede mostrarse que
F≈0
Mariano Celada y Merced Montesinos
⇐⇒
F = λm φm .
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Condiciones de consistencia
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Incluir las constricciones: Hc ⇒ HT = Hc + um φm .
Las evolución temporal para una variable dinámica g es
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
ġ = {g, Hc } + um {g, φm } ≈ {g, HT }.
Introducción
Método de Dirac
Condiciones de consistencia
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
φ̇m ≈ 0 =⇒ {φm , Hc } + un {φm , φn } ≈ 0.
Tres posibles casos
1
0 = 0.
2
Nuevas constricciones ⇒ constricciones secundarias χ ≈ 0.
3
Condiciones sobre los multiplicadores.
Solución general para las u’s: um ≈ Um + va Vam ⇒ HT = H0 + va φa .
H0 = Hc + Um φm y φa = Vam φm .
Mariano Celada y Merced Montesinos
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Condiciones de consistencia
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Incluir las constricciones: Hc ⇒ HT = Hc + um φm .
Las evolución temporal para una variable dinámica g es
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
ġ = {g, Hc } + um {g, φm } ≈ {g, HT }.
Introducción
Método de Dirac
Condiciones de consistencia
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
φ̇m ≈ 0 =⇒ {φm , Hc } + un {φm , φn } ≈ 0.
Tres posibles casos
1
0 = 0.
2
Nuevas constricciones ⇒ constricciones secundarias χ ≈ 0.
3
Condiciones sobre los multiplicadores.
Solución general para las u’s: um ≈ Um + va Vam ⇒ HT = H0 + va φa .
H0 = Hc + Um φm y φa = Vam φm .
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Cantidades de 1a y de 2a clase
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
(ϕs ) ≡ (φm , χn ) ≈ 0: conjunto de constricciones de la teoría.
Cantidad de 1a clase (FC)
Cantidad de 2a clase
{F, ϕs } = Csr ϕr ≈ 0.
∃ ϕs t.q. {F, ϕs } 0 0.
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
# de constricciones FC= # va ’s ⇒ una elección u otra de va llevará
a diferentes valores de las coordenadas al evolucionar.
El cambio inducido en F al evolucionar con dos va ’s diferentes es
∆F = a {F, φa } ≈ {F, a φa }
con
a = δt(va2 − va1 ).
Este cambio no tiene significado físico ⇒ las constricciones φa
(que son FC) generan transformaciones de norma.
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Cantidades de 1a y de 2a clase
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
(ϕs ) ≡ (φm , χn ) ≈ 0: conjunto de constricciones de la teoría.
Cantidad de 1a clase (FC)
Cantidad de 2a clase
{F, ϕs } = Csr ϕr ≈ 0.
∃ ϕs t.q. {F, ϕs } 0 0.
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
# de constricciones FC= # va ’s ⇒ una elección u otra de va llevará
a diferentes valores de las coordenadas al evolucionar.
El cambio inducido en F al evolucionar con dos va ’s diferentes es
∆F = a {F, φa } ≈ {F, a φa }
con
a = δt(va2 − va1 ).
Este cambio no tiene significado físico ⇒ las constricciones φa
(que son FC) generan transformaciones de norma.
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Cantidades de 1a y de 2a clase
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
(ϕs ) ≡ (φm , χn ) ≈ 0: conjunto de constricciones de la teoría.
Cantidad de 1a clase (FC)
Cantidad de 2a clase
{F, ϕs } = Csr ϕr ≈ 0.
∃ ϕs t.q. {F, ϕs } 0 0.
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
# de constricciones FC= # va ’s ⇒ una elección u otra de va llevará
a diferentes valores de las coordenadas al evolucionar.
El cambio inducido en F al evolucionar con dos va ’s diferentes es
∆F = a {F, φa } ≈ {F, a φa }
con
a = δt(va2 − va1 ).
Este cambio no tiene significado físico ⇒ las constricciones φa
(que son FC) generan transformaciones de norma.
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Fijación de la norma y grados de libertad
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Extracción de información física
Observables clásicos: {G, φa } ≈ 0.
Fijar la norma = eliminar ambigüedades en la especificación de un
estado físico ⇒ un punto del espacio de fase reducido ≡ un único
estado físico.
Condiciones de norma
Condiciones de norma Ωa = constricciones FC φa , t. q.
det({Ωb , φa }) , 0.
Grados de libertad físicos
DOF =
Mariano Celada y Merced Montesinos
1
(2N − 2NFC − NSC ) .
2
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Fijación de la norma y grados de libertad
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Extracción de información física
Observables clásicos: {G, φa } ≈ 0.
Fijar la norma = eliminar ambigüedades en la especificación de un
estado físico ⇒ un punto del espacio de fase reducido ≡ un único
estado físico.
Condiciones de norma
Condiciones de norma Ωa = constricciones FC φa , t. q.
det({Ωb , φa }) , 0.
Grados de libertad físicos
DOF =
Mariano Celada y Merced Montesinos
1
(2N − 2NFC − NSC ) .
2
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Lorentzcovariant
Hamiltonian
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gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
Mariano Celada y Merced Montesinos
Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Acción CMPR(Capovilla-Montesinos-Prieto-Rojas)
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Acción CMPR (CQG 18 (2001) L49)
Z h
i
IJ
S[B, A, φ, µ] =
BIJ ∧ FIJ − φIJKL BIJ ∧ BKL + µ a1 φIJ + a2 IJKL φIJKL .
M
Los índices internos se suben y bajan con ηIJ = diag(σ, 1, 1, 1),
donde σ = ±1. φIJKL satisface: φIJKL = −φJIKL = −φIJLK = φKLIJ .
La constricción impuesta por φIJKL es
1
σ
BIJ ∧ BKL = (BMN ∧ BMN )ηI[K| ηJ|L] + (∗BMN ∧ BMN )IJKL ,
6
12
2a2 BIJ ∧ BIJ = σa1 ∗ BIJ ∧ BIJ ,
que implica BIJ = α ∗ (eI ∧ eJ ) + βeI ∧ eJ ⇒ se recupera la acción de
Holst al sustituir en la acción.
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Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Descomposición 3+1 de la acción
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Mariano Celada
y Merced
Montesinos
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
Supondremos en lo que sigue que M = R × Ω (Ω compacta y
∂Ω = 0). Denotaremos por (t, xa ) (a=1,2,3)) las coordenadas sobre
IJ
M. Haciendo BIJ = 12 Bµν dxµ ∧ dxν y FIJ = 12 FµνIJ dxµ ∧ dxν , se obtiene
(
1 IJ
S[A, Π, φ, µ0 ] =
dt
d x ΠaIJ ȦaIJ + A0IJ Da ΠaIJ + B0a η̃abc FbcIJ
2
R
Ω
)
h
i
IJ aKL
I[K| J|L]
IJKL
− 2B0a Π − µ0 a1 η η + a2 φIJKL ,
Z
Z
3
IJ
donde ΠaIJ ≡ 21 η̃abc Bbc . Ahora usaremos la ec. de movimiento
IJ
correspondiente a φIJKL para poner las componentes B0a en
IJ
términos de ΠaIJ ≡ 12 η̃abc Bbc :
h
i
IJ
B0a ΠaKL + B0aKL ΠaIJ − µ0 a1 ηI[K| ηJ|L] + a2 IJKL = 0.
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Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
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Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
IJ
Esta expresión implica µ0 = σV/4, con V ≡ 13 IJKL B0a ΠaKL , 0
(volumen 4-dimensional). La ec. a resolver es entonces
i
σ h
IJ
B0a ΠaKL + B0aKL ΠaIJ − V a1 ηI[K| ηJ|L] + a2 IJKL = 0.
4
Introduciendo las siguientes cantidades:
V
σ abc
IJ
,0
η̃ hbd B0c ΠdIJ ,
N≡
2h
h
σ
hhab ≡ ΠaIJ ΠbIJ ,
Φab ≡ −σ ∗ ΠaIJ ΠbIJ ,
2
Na ≡
su solución es
Conclusiones y
perspectivas
1
1
1
a1
IJ
B0a = Nhab IJKL ΠbKL + ηabc ΠbIJ Nc +
Nhac hbd ΠbIJ Φcd + hhcd ,
8
2
16h
a2
e
a1 cd
ab
cd
ϕ ≡ Φ + hh = 0.
a2
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Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
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Introducción
Sustituyendo esta expresión en la acción se obtiene
Z
Z
i
h
S[A, Π] =
dt
d3 x ΠaIJ ȦaIJ + A0IJ GIJ + NH + Na Ha + λab ϕab .
R
Ω
A0IJ , N, Na y λab juegan el papel de multiplicadores de Lagrange.
Las constricciones primarias son entonces
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Constricciones primarias
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
1
GIJ ≡ Da ΠaIJ ≈ 0, Ha ≡ ΠbIJ FbaIJ ≈ 0,
2
1 abc
a1
dIJ
ab
H ≡ η̃ had ∗ Π FbcIJ ≈ 0, ϕ ≡ Φab + hhab ≈ 0.
8
a2
Conclusiones y
perspectivas
El hamiltoniano
es
R
H = − Ω d3 x A0IJ GIJ + NH + Na Ha + λab ϕab ≈ 0. Por otro lado, A y
Π satisfacen {AaIJ (x), ΠbKL (y)} = δba δ[K
δL] δ3 (x, y).
I J
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Lorentz-covariant Hamiltonian analysis of BF gravity
Álgebra de constricciones
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
Preservación de las constricciones durante la evolución ⇒
{C, H} ≈ 0.
El álgebra de constricciones primarias es:
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Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
1 IK JL
−η G + ηJK GIL + ηIL GJK − ηJL GIK δ3x,y ,
2
{GIJ (x), C(y)} = 0 (C = H, Ha , ϕab ),
{Ha (x), Hb (y)} = 12 Ha (y) ∂y∂b − 21 Hb (x) ∂x∂a − 41 FabIJ GIJ δ3x,y ,
{Ha (x), H(y)} = 21 H(y) ∂y∂a − H(x) ∂x∂a δ3x,y
h
i
1 cde
− 32
η̃ FdeKL IJKL hac + σh ∗ ΠfKL ΠrIJ Harcf GIJ δ3x,y ,
(b
{Ha (x), ϕbc (y)} = 12 ϕbc (y) ∂y∂a − 12 ϕbc (x) ∂x∂a − δa ϕc)d (y) ∂y∂d δ3x,y
c)
a
(b
c)
+σδa ∗Π IJ − 2a1 Π IJ GIJ δ3x,y ,
{GIJ (x), GKL (y)} =
2
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Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
∂
∂
ab
ab
{H(x), H(y)} = h(x)h (x)Ha (x) ∂xb − h(y)h (y)Ha (y) ∂yb δ3x,y
σ
8
1 abc
+ 32
η̃ ∗ ΠgIJ (x)FbcIJ (x)hme (x)ηrm(a hg)s (x)ϕrs (x) ∂x∂ e δ3x,y − (x ↔ y),
h a
i
e
{H(x), ϕab (y)} = − 4a1 hcf (x)η̃(a|cd ϕf |b) (x) ∂x∂d + Ψab δ3x,y ,
2
{ϕab (x), ϕcd (y)} = 0,
donde Habcd ≡ hab hcd − hac hbd − had hbc y
f
f
σa
Ψab ≡ 12 hcf −Π IJ + 2a1 ∗ Π IJ η̃(a|cd Dd Π|b)IJ .
2
Las evoluciones de GIJ y Ha no generan ni nuevas constricciones
ni condiciones sobre los multiplicadores de Lagrange.
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Lorentzcovariant
Hamiltonian
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gravity
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La evolución de ϕab lleva a
NΨab ≈ 0,
cuya solución es Ψab ≈ 0 → constricción secundaria.
Los PB’s para la constricción Ψab son
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
{Ψab (x), GIJ (y)} = 0,
(a
{Ψab (x), Hc (y)} = 12 Ψab (y) ∂y∂ c − 12 Ψab (x) ∂x∂ c + δc Ψb)d (x) ∂x∂d δ3x,y
i 2
h
a
b) fm
∂
3
f |b)
+ 8a1 η̃(a|de hdf (x) δm
c ϕ (x) − δc ϕ (x) ∂xe ∂xm δx,y
2
σa
b)
b)
+ 14 η̃(a|de hdc −De Π IJ + 2a1 ∗ De Π IJ GIJ δ3x,y
2
f
f
σa
σ
+ 8h
Hcndf ΠnIJ −Π KL + 2a1 ∗ Π KL η̃(a|de De Π|b)KL GIJ δ3x,y
2
f
f
σa
(a
+ 14 δc η̃b)de hdf (x) −Π IJ (x) + 2a1 ∗ Π IJ (x) (Dx )e (GIJ δ3x,y ),
2
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Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
{Ψab (x), ϕcd (y)} = M(ab)(cd) δ3x,y ,
donde
h
i
f
f
a
σa
M(ab)(cd) ≡ σhef −Π IJ + 2a1 ∗ Π IJ ∗ΠcIK − 2a1 ΠcIK η̃(a|de Π|b)KJ + (c↔d)
2
2
es una matriz 6×6 invertible en general. A partir de la identidad
de Jacobi se puede probar
{Ψab (x), H(y)} ≈ Fab δ3x,y .
La evolución de Ψab lleva a
1
NFab + λcd M(ab)(cd) ≈ 0 ⇒ λab ≈ − N(M−1 )(ab)(cd) Fcd .
4
−→ se fijan todos los multiplicadores λab −→ no hay más
constricciones.
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Grados de libertad físicos
Lorentzcovariant
Hamiltonian
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gravity
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Introducción
Método de Dirac
Clasificación de las constricciones
¯
•
Ha y H ≡ H − 14 (M−1 )(ab)(cd) ϕab Fcd son de 1a clase →
transf. locales de Lorentz y difeomorfismos.
GIJ ,
• ϕab y Ψab son de 2a clase.
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
DOF la acción CMPR
1
DOF = [2 × 18 −2 × ( 6 + 3 + 1 ) − ( 6 + 6 )]
|{z}
|{z} |{z} |{z}
|{z} |{z}
2
AaIJ
GIJ
Ha
¯
H
ϕab
=2 !!
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Ψab
Grados de libertad físicos
Lorentzcovariant
Hamiltonian
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gravity
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Introducción
Método de Dirac
Clasificación de las constricciones
¯
•
Ha y H ≡ H − 14 (M−1 )(ab)(cd) ϕab Fcd son de 1a clase →
transf. locales de Lorentz y difeomorfismos.
GIJ ,
• ϕab y Ψab son de 2a clase.
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
DOF la acción CMPR
1
DOF = [2 × 18 −2 × ( 6 + 3 + 1 ) − ( 6 + 6 )]
|{z}
|{z} |{z} |{z}
|{z} |{z}
2
AaIJ
GIJ
Ha
¯
H
ϕab
=2 !!
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Ψab
Grados de libertad físicos
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
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Introducción
Método de Dirac
Clasificación de las constricciones
¯
•
Ha y H ≡ H − 14 (M−1 )(ab)(cd) ϕab Fcd son de 1a clase →
transf. locales de Lorentz y difeomorfismos.
GIJ ,
• ϕab y Ψab son de 2a clase.
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
DOF la acción CMPR
1
DOF = [2 × 18 −2 × ( 6 + 3 + 1 ) − ( 6 + 6 )]
|{z}
|{z} |{z} |{z}
|{z} |{z}
2
AaIJ
GIJ
Ha
¯
H
ϕab
=2 !!
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Ψab
Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
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Introducción
Método de Dirac
Conclusiones y
perspectivas
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Gravedad á la BF con constante cosmológica
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gravity
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Gravedad á la BF con constante cosmológica (PRD 85 064011 2012)
S[B, A, φ, µ] =
Z "(γ)
B
IJ
∧ FIJ − φIJKL BIJ ∧ BKL − µφIJKL IJKL
M
Introducción
#
+ µλ + l1 BIJ ∧ BIJ + l2 BIJ ∧ ∗BIJ ,
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
(γ)
donde Ω IJ ≡ ΩIJ + γ1 ∗ ΩIJ . Esta acción (sin constante cosmológica)
y la anterior son equivalentes a nivel lagrangiano (SIGMA 7
(2011) 103).
Seguiremos un procedimiento similar al caso anterior. Después de
realizar la descomposición 3+1, la ec. correspondiente a φIJKL es
σ
IJ
B0a ΠaKL + B0aKL ΠaIJ + VIJKL = 0.
4
IJ
1 abc
aIJ
donde Π ≡ 2 η̃ Bbc .
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Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
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Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
IJ
La solución para B0a puede obtenerse haciendo a1 = 0 en la
expresión de la sección anterior:
1
1
1
IJ
B0a = Nhab IJKL ΠbKL + ηabc ΠbIJ Nc +
Nhac hbd ΠbIJ Φcd ,
8
2
16h
e
Φab = 0
Las cantidades N, Na , hab y Φab están definidas como en el caso
anterior. La acción toma entonces la forma
Conclusiones y
perspectivas
Z
S[A, Π] =
Z
dt
R
"
#
(γ)
aIJ
aIJ
a a
ab
d x Π ȦaIJ + A0IJ G + N H + NH + λab Φ .
3
Ω
Las constricciones primarias impuestas por A0IJ , Na , N y λab son:
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Lorentzcovariant
Hamiltonian
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gravity
Constricciones primarias
(γ)
GIJ ≡ Da Π aIJ ≈ 0, Ha ≡
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(γ)
1
H ≡ η̃abc had ∗ Π dIJ FbcIJ + Λh ≈ 0, Φab ≈ 0.
8
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
1 (γ) bIJ
Π FbaIJ ≈ 0,
2
Aquí Λ ≡ 3l2 − σλ/4. Ahora las coordenadas canónicas son AIJ y
(γ)
Π aIJ y se tiene


 (γ)
(γ) 
−1

γ
hh = η (hhab ) + 1+σγ−2 Φ ab ,
ab
(γ)
(γ)
donde (hhab ) y Φ
ab


(γ) 
(γ)
−1

4σγ
Φ = η  Φ ab + 1+σγ−2 (hhab ).
ab
son las expresiones de la sección anterior
(γ)
evaluadas en Π aIJ . Además, η ≡
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γ2 (γ2 +σ)
.
(γ2 −σ)2
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Evolución de las constricciones
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gravity
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Como en la acción CMPR, las evoluciones de las constricciones GIJ
y Ha no producen ni nuevas constricciones ni condiciones sobre
los multiplicadores de Lagrange. Sin embargo, la evolución de Φab
produce la constricción secundaria:
Introducción
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
(γ)
Ψ ≡ −2ηhcf − Π
ab
f
+
IJ
2γ−1
1 + σγ
(γ)
∗Π
−2
!
f
IJ
(γ)
η̃(a|cd Dd Π |b)IJ ≈ 0.
Al evolucionar esta constricción se fijan los multiplicadores λab y
entonces el contenido de constricciones de la teoría es:
Clasificación de las constricciones El número de grados de libertad
¯ son de 1a clase. físicos es:
• GIJ , Ha y H
• Φab y Ψab son de 2a clase.
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2
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Lorentzcovariant
Hamiltonian
analysis of BF
gravity
1
Introducción
2
Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
3
Análisis hamiltoniano de la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
4
Análisis hamiltoniano de gravedad à la BF con constante
cosmológica
5
Conclusiones y perspectivas
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Conclusiones y
perspectivas
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Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
• Ambas acciones del tipo BF para gravedad possen 2 grados de
libertad locales.
• Aunque el parámetro de Immirzi entra de diferentes formas y
las álgebras calculadas a partir de las constricciones listadas
arriba pueden diferir un poco (sin considerar el acople de la
constante cosmológica en el segundo caso), las álgebras
(γ)
pueden hacerse coincidir haciendo los cambios Π → Π y
4σγ−1 /(1 + σγ−2 ) → a1 /a2 en las constricciones del segundo
principio de acción. Además, es necesario redefinir
apropiadamente la constricción H para eliminar factores
proporcionales a la constricción Φab .
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Conclusiones y perspectivas
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Hamiltonian
analysis of BF
gravity
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Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
Conclusiones y
perspectivas
• Ambas acciones del tipo BF para gravedad possen 2 grados de
libertad locales.
• Aunque el parámetro de Immirzi entra de diferentes formas y
las álgebras calculadas a partir de las constricciones listadas
arriba pueden diferir un poco (sin considerar el acople de la
constante cosmológica en el segundo caso), las álgebras
(γ)
pueden hacerse coincidir haciendo los cambios Π → Π y
4σγ−1 /(1 + σγ−2 ) → a1 /a2 en las constricciones del segundo
principio de acción. Además, es necesario redefinir
apropiadamente la constricción H para eliminar factores
proporcionales a la constricción Φab .
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Método de Dirac
Análisis
hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
• Manejar las constricciones de segunda clase ya sea a través
del corchete de Dirac o resolviéndolas explícitamente para
hacer contacto con las formulaciones covariantes de Lorentz
obtenidas a partir de la acción de Holst.
• Acoplar campos de materia, en particular fermiones.
• Construir las teorías cuánticas que surgen a partir de estos
principios de acción.
Conclusiones y
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hamiltoniano de
la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
• Manejar las constricciones de segunda clase ya sea a través
del corchete de Dirac o resolviéndolas explícitamente para
hacer contacto con las formulaciones covariantes de Lorentz
obtenidas a partir de la acción de Holst.
• Acoplar campos de materia, en particular fermiones.
• Construir las teorías cuánticas que surgen a partir de estos
principios de acción.
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la acción CMPR
Análisis
hamiltoniano de
gravedad à la BF
con constante
cosmológica
• Manejar las constricciones de segunda clase ya sea a través
del corchete de Dirac o resolviéndolas explícitamente para
hacer contacto con las formulaciones covariantes de Lorentz
obtenidas a partir de la acción de Holst.
• Acoplar campos de materia, en particular fermiones.
• Construir las teorías cuánticas que surgen a partir de estos
principios de acción.
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