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Práctica 1: Segunda cuantización. Modelos
Problema 1
(a) Dado el Hamiltoniano del oscilador armónico H = h̄ω[a† a + 1], mostrar
hn̂i =
1
eβh̄ω
−1
,
(1)
donde β = 1/kB T y n̂ = a† a. Escribiendo las ecuaciones de movimiento,
mostrar que las fluctuaciones de punto cero para la posición en el estado
fundamental están descriptas por la siguiente función de correlación:
h{x(t), x(0)}i =
h̄
cos(ωt).
2mω
(2)
Generalizar este resultado para el caso de temperatura finita y comentar el
resultado.
Problema 2
Dados los operadores a, a† que satisfacen reglas de conmutación canónicas,
encontrar las condiciones que deben cumplir los coeficientes u, v para que la
transformación canónica preserve las relaciones de conmutación:
b = ua + va† ,
b† = ua† + va.
(3)
Encontrar explicitamente u, v para diagonalizar al Hamiltoniano
1
∆
H = ω(a† a + ) + (a† a† + aa).
2
2
(4)
Problema 3
Considerar una red unidimensional de átomos con masa mj = m si j es impar
y mj = M si j es par, descripta por el siguiente Hamiltoniano:
H=
X
j
[
p2j
k
+ (xj xj−1 )2 ],
2mj
2
1
(5)
(a) Calcular las frecuencias clásicas de los modos normales y las correspondientes coordenadas normales. Dibujar esquemáticamente las relaciones de
dispersión.
(b) Escribir el Hamiltoniano diagonalizado en segunda cuantización.
Problema 4
La transformación de Holstein-Primakoff representa operadores de spin 1/2
en términos de operadores bosónicos:
1
− a† a,
2
= (1 − a† a)1/2 a,
= a† (1 − a† a)1/2 .
Sz =
S+
S−
(6)
Mostrar que con estas definiciones los operadores de spin satisfacen el álgebra
SU(2).
Problema 5
Mostrar que los operadores de spin 1/2 pueden representarse por los siguientes operadores fermiónicos:
1 †
[c c↑ − c†↓ c↓ ],
2 ↑
= c†↑ c↓ ,
Sz =
S+
S − = c†↓ c↑ .
(7)
Problema 6
Considerar el Hamiltoniano de tight-binding en una red que consta de dos
subredes con átomos de tipo A y B:
H=w
X
(a†i bi+δ + b†i ai+δ ) + EA
X
i
i,δ
a†i ai + EB
X
b†i bi ,
(8)
i
donde ai , bi son operadores fermiónicos y δ indica primeros vecinos del sitio i.
Escribir una transformación que diagonalice este Hamiltoniano considerando
2
condiciones de contorno periódicas en 1D y 2D. Escribir la estructura de los
autoestados. Considerar diferentes llenados y discutir si el sistema corresponde a un aislador o a un metal.
Problema 7
a) Considerar un sistema de electrones interactuantes con una repulsión
Coulombiana. Representar este sistema en segunda cuantización utilizando
la base de funciones de Wannier. El modelo de Hubbard corresponde al lı́mite
en el cuál sólo se retiene la componente local de la interacción. Derivar el
modelo de Hubbard extendido en el que se agregan las componentes de la
interacción entre sitios que son primeros vecinos. Escribir este Hamiltoniano
de manera que se manifiesten explı́citamente todas las simetrı́as del problema.
b) Agregar un término Zeeman, que representa el acoplamiento del spin
electrónico con un campo magnético externo. Considerar el campo en las
direcciones x, y, z.
Problema 8
(opcional) Considerar el Hamiltoniano de Su-Schrieffer-Heeger en 1D
H[∆] =
X
[t(1 + ∆)c†i,A ci,B + t(1 − ∆)c†i+1,A ci,B + h.c.] + u∆2 ,
(9)
i
donde ∆ representa una distorsión de dimerización de la red. Diagonalizar el
Hamiltoniano y mostrar que hay un gap de energı́a para ∆ 6= 0: inestabilidad
de Pierls. Interpretar.
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