Aplicaciones de mecánica estadística cuántica

Departamento
de
Fı́sica
Mecánica Estadı́stica
Tarea 3 : Aplicaciones de mecánica
estadı́stica cuántica
Semestre 2016-2
Para entregar el martes 20 de septiembre de 2016.
I
El modelo XY cuántico en una dimensión
I.1
El modelo y preliminares
En este problema estudiaremos una cadena de espines 1/2 acoplados. Demostraremos que, tras
una serie de transformaciones llamadas transformación de Wigner–Jordan, el modelo de espines
acoplados puede plantearse como un modelo de fermiones independientes. Esto permite calcular
explı́citamente la función de partición y demás cantidades termodinámicas del sistema.
El hamiltoniano de la cadena de espines es
H=J
N
−1
X
N
X
y
x
Snx Sn+1
+ Sny Sn+1
− 2h
Snz .
n=1
(1.1)
n=1
Los operadores Snx , Sny , Snz son los operadores de espı́n 1/2 del sitio n de la cadena. Para un sitio
especı́fico, en la base {|+i , |−i}, en donde S z es diagonal,
1
|+i
2
1
S z |−i = − |−i
2
S z |+i =
(1.2)
(1.3)
los operadores de espı́n se pueden representar por las matrices de Pauli:
Sx =
σx =
0
1
1
0
1 x
σ ,
2
,
1 y
σ , Sz =
2
0 −i
σy =
, σz
i 0
Sy =
1 z
σ .
2
1
=
0
(1.4)
0
−1
.
(1.5)
Los conmutadores de operadores de espı́n en un mismo sitio valen
[Snx , Sny ] = iSnz
y aplican relaciones similares obtenidas por permutaciones ciclicas de xyz.
Universidad de los Andes
Vigilada Mineducación. Reconocimiento como Universidad: Decreto 1297 del 30 de mayo de 1964.
Reconocimiento personerı́a jurı́dica: Resolución 28 del 23 de febrero de 1949 Minjusticia.
1
(1.6)
Los operadores de espı́n actuan independientemente en cada sitio, por lo tanto conmutan si se
refieren a sitios diferentes:
h
i
Snα , Snβ0 = 0 , n 6= n0 , α, β = x, y, z, +, − .
(1.7)
Es útil introducir los operadores “escalera”
Sn− = Snx − iSny .
Sn+ = Snx + iSny ,
(1.8)
1. Demostrar que para cada sitio de la red
S + |−i = |+i ,
−
S |−i = 0 ,
I.2
S − |+i = |−i ,
(1.9)
S + |+i = 0 .
(1.10)
Desarrollo
1. Mostrar que {Sn+ , Sn− } = 1, en donde {A, B} = AB + BA es el anticonmutador.
2. Mostrar que 2Snz = [Sn+ , Sn− ] = 2Sn+ Sn− − 1.
3. Mostrar que el hamiltoniano se puede expresar como
H=
N −1
N
X
J X + −
+
Sn Sn+1 + Sn− Sn+1
−h
(2Sn+ Sn− − 1) .
2 n=1
n=1
(1.11)
Los operadores escalera no obedecen relaciones de conmutación ni de bosones ni de fermiones porque
anticomnutan en un mismo sitio, pero en sitios diferentes conmutan. Introduzcamos los siguientes
operadores




n−1
n−1
Y
Y
(2Sj+ Sj− − 1) .
(1.12)
(2Sj+ Sj− − 1) Sn+
c†n = Sn− 
cn = 
j=1
j=1
4. Sea n =
Qn−1
+ −
j=1 (2Sj Sj
− 1). Mostrar que
n |s1 s2 · · · sn · · · sN i = (−1)A |s1 s2 · · · sn · · · sN i
(1.13)
en donde A es el numero de espines hacia abajo (|−i) que hay en la cadena |s1 s2 · · · sn · · · sN i
desde el sitio 1 hasta el sitio n − 1.
5. Deducir que 2n = 1 y (2Sj+ Sj− − 1)2 = 1.
6. Teniendo en cuenta lo anterior, demostrar que los operadores cn y c†n obedecen relaciones de
anticonmutación de fermiones:
†
† †
cn , cm = δnm ,
cn , cm = {cn , cm } = 0 .
(1.14)
7. Mostrar que cn c†n = Sn+ Sn− y deducir que


n−1
Y
Sn+ = 
(1 − 2c†j cj ) cn ,

n−1
Y
Sn− = 
j=1

(1 − 2c†j cj ) c†n .
(1.15)
j=1
8. Mostrar que el hamiltoniano se puede expresar como
H=
N −1
N
X
J X †
cn+1 cn + c†n cn+1 + 2h
c†n cn − hN .
2 n=1
n=1
2
(1.16)
Para simplificar el análisis posterior, se introducen condiciones de frontera periodicas para los operadores cn , definiendo cN +1 = c1 y c†N +1 = c†1 , e introduciendo un termino adicional en el hamiltoniano:
N
N
X
J X †
H=
cn+1 cn + c†n cn+1 + 2h
c†n cn − hN .
(1.17)
2 n=1
n=1
Este hamiltoniano es invariante por translación, lo que sugiere introducir la transformada de Fourier
(discreta) de los operadores cn
N
1 X ikn
e cn
(1.18)
ĉk = √
N n=1
y la relación conjugada para ĉ†k . El “numero de onda” es k = 2πp/N con p entero de 1 a N . En el
apéndice se recuerdan algunas propiedades de la transformada de Fourier.
9. Demostrar que el hamiltoniano se puede reescribir como
X
H = −hN +
(2h + J cos k) ĉ†k ĉk .
(1.19)
k
El hamiltoniano queda entonces expresado como el de un sistema de fermiones independientes
con operadores de creación y aniquilación ĉ†k y ĉk .
10. ¿Cuánto vale la energı́a propia Ek correspondiente al número de onda k?
11. ¿Cuales son los valores propios del operador número de ocupación ĉ†k ĉk ? Calcular la función
de partición canónica Z del sistema.
12. En el lı́mite termodinámico, N → ∞ , demostrar que la energı́a libre por espı́n del sistema es
Z 2π h
i dk
kB T
ln Z = −h − kB T
ln 1 + e−β(2h+J cos k)
,
(1.20)
f =−
N
2π
0
con T temperatura y β = 1/(kB T ).
Apéndice
Transformada de Fourier discreta:
— Definición:
N
1 X ikn
ĉk = √
e cn .
N n=1
(1.21)
— Formula de inversión (cotransformada de Fourier):
1 X −ikn
cn = √
e
ĉk
N k
(1.22)
con k = 2πp/N con p = 1, . . . , N .
— Transformada de Fourier de 1:
N
X
0
ei(k−k )n = N δk,k0 .
n=1
3
(1.23)