Tema 2.- MATRICES ! ESPACIO VECTORIAL ! PRODUCTO DE MATRICES ! POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 1 Un poco de historia Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850), para distinguir las matrices de los determinantes, que serán estudiados en el Tema 3. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”. Tanto Sylvester como Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo. Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American Journal of Mathematics. (Sir) Arthur Cayley (1821-1895) nació nació en Surrey, Inglaterra, y estudió estudió en la Universidad de Cambridge. Ejerció Ejerció la abogací abogacía y al mismo tiempo escribí escribía aportaciones en matemá matemáticas. Pocos añ años despué después de encontrar a su colega Sylvester, otro licenciado y matemá matemático, dejó dejó la abogací abogacía y se dedicó dedicó de tiempo completo a las matemá matemáticas. James Joseph Sylvester (1814-1897) nació nació en Londres, de padres judí judíos. Entró Entró en la Universidad de Cambridge, pero por su religió religión no pudo obtener un diploma, sino hasta varios añ años despué después de haber terminado sus estudios. Tambié También ejerció ejerció la abogací abogacía y al mismo tiempo hací hacía investigaciones en el campo de las matemá matemáticas. Él y Cayley tuvieron una larga y fructí fructífera colaboració colaboración en la teorí teoría de los invariantes, campo relacionado con el Álgebra Lineal. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 2 A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’) están conectados mediante las siguientes transformaciones: La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la sustitución: Esta transformación también puede escribirse como sigue: si abreviamos los tres cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos: Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación matricial: C = A · B. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 3 Ejemplo introductorio: gráficos de computador en diseño de automóviles El diseñ diseño asistido por computador (CAD) le ahorra a la Ford Motor Company millones de dó dólares cada año. Adoptados por primera vez por Ford a principios de 1970, CAD y CAM (fabricació (fabricación asistida por computador) han revolucionado la industria automovilí automovilística. Hoy dí día, los grá gráficos por computador constituyen Lincoln Mark VIII de 1993 el corazó corazón, y el Álgebra Lineal el alma del diseñ ñ o moderno de dise automó automóviles. Muchos meses antes de que se construya un nuevo modelo de automó automóvil, los ingenieros diseñ diseñan y construyen un automó automóvil matemá matemático: un modelo de alambre que existe solamente en la memoria de un computador y en las terminales de exhibició exhibición de grá gráficos. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 4 Este modelo matemá matemático organiza e influye en cada paso del diseñ diseño y fabricació fabricación del automó automóvil. Trabajando en má más de 2600 estaciones de trabajo para grá gráficos, los ingenieros de Ford perfeccionan el diseñ diseño original, esculpen las lí líneas fluidas de la carrocerí carrocería, ponen a prueba la capacidad de las lá láminas de metal para soportar las deformaciones y los dobleces necesarios para producir la carrocerí carrocería, ajustan la colocació colocación de los asientos interiores, planean y disponen las partes mecá mecánicas, y producen los planos de ingenierí ingeniería para los miles de componentes que los proveedores fabricará fabricarán. Los ingenieros inclusive hacen pruebas de carretera para la suspensió suspensión del carro matemá matemático, colocan el automó automóvil en un tú túnel de viento matemá matemático y ¡hacen repetidas pruebas de colisió colisión del auto en el computador! El modelo de alambre del automó automóvil se almacena en muchas matrices de datos para cada componente principal. Cada columna de una matriz enumera las coordenadas de un punto sobre la superficie del componente. Las demá demás columnas describen cuá cuáles puntos se deben conectar con curvas. Un escá escáner tridimensional genera los puntos de datos originales pasando sensores por un modelo de arcilla de tamañ tamaño natural del automó automóvil. Las piezas individuales del interior del automó automóvil tambié también se almacenan como matrices de datos. Los componentes má más pequeñ pequeños se trazan con software de grá gráficos por computador en la pantalla y las piezas mayores se forman ensamblando matemá matemáticamente los componentes má más pequeñ pequeños. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 5 Posteriormente, los programas matemá matemáticos generan má más puntos, curvas y datos para interpretar y dibujar la superficie exterior del automó automóvil, haciendo que éste se vea tan real en la pantalla que parezca un automó automóvil de verdad en la sala de exhibició exhibición de un distribuidor. Los clientes potenciales opinan mientras el automó automóvil gira en el “piso de la sala de exhibició exhibición”. Si a los clientes no les gusta el automó automóvil, el diseñ diseño puede cambiarse antes de que se construya el coche real. Ya sea que trabajen en el diseñ diseño general de la carrocerí carrocería o modifiquen un componente pequeñ pequeño, los ingenieros llevan a cabo varias operaciones bá básicas sobre imá imágenes grá gráficas, como cambiar la orientació orientación o la escala de una figura, hacer un acercamiento de alguna regió región pequeñ pequeña o cambiar entre vistas bi y tridimensionales. El Álgebra Lineal es en verdad el “alma” alma” del software de grá gráficos porque todas las manipulaciones de imá imágenes en la pantalla se logran mediante té é cnicas de Á lgebra Lineal. t Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 6 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: " incógnitas: " coeficientes: " términos independientes: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 7 La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que brinda una notación simple y compacta para designar amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos de datos desde un punto de vista computacional. La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de determinadas transformaciones vectoriales (aplicaciones lineales) lineales Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 8 MATRICES MATRIZ DE ORDEN .- Toda distribución de elementos filas y n columnas dispuestos en m Habitualmente se denotan las matrices con letras mayú ... ) y con mayúsculas ( A, B, C,... minú minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos está están ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la fila i--ésima y la columna j--ésima se le denotará denotará por aij . Es decir, con el primer subí subíndice i se indica la fila en la que está está el elemento y con el segundo subí subíndice j , la columna. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 Dos matrices del mismo orden se dicen iguales, y se escribe 9 y si: " Matriz fila: " Matriz columna: " Matriz nula: todos sus elementos son 0. " Matriz opuesta de Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 10 " Matriz cuadrada de orden n: Mismo nú número de filas que de columnas forman la diagonal principal Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 11 Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas: " Matriz triangular superior Ceros debajo de la diagonal principal Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 " Matriz triangular inferior Ceros encima de la diagonal principal 12 " Matriz diagonal " Matriz unidad Ceros fuera de la diagonal principal " Matriz escalar Ceros fuera de la diagonal principal, unos en la diagonal principal Delta de Kronecker Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 13 SUMA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ conjunto de todas las matrices de orden con elementos reales. La aritmética para vectores que se describió en el tema anterior admite una extensión natural a las matrices. Si A y B son matrices , entonces la suma A + B es la matriz cuyas columnas son las sumas de las columnas correspondientes de A y B. Puesto que la suma vectorial de las columnas se hace por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo cuando A y B son del mismo tamaño. Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar r · A es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. Al igual que con vectores, definimos –A como (–1) · A y escribimos A – B en vez de A + (–1) · B. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 14 SUMA DE MATRICES.- (Operació Operación interna en Sean ) , " A y B tienen que tener el mismo orden " Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 15 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.(Operació Operación externa en Sean con dominio de operadores ) , " " Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 16 ESPACIO VECTORIAL .- es un espacio vectorial real para las dos operaciones que hemos definido: . Ademá Además: Observaciones." Matriz nula: " Matriz opuesta: " La base canó canónica de es: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 17 PRODUCTO DE MATRICES Si es una matriz define la matriz producto matriz tal que: y es una matriz , se , en este orden, como la fila i de A columna j de B Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 18 -ATENCIÓN.- Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. -Ejemplo.- Propiedades del producto de matrices.1.2.3.4.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 " " 19 se puede hacer este producto, pero no se puede hacer es una matriz es una matriz " Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 20 -OBSERVACIONES.- 1.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo. 2.- Puede ser con y . 3.4.- no implica necesariamente Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 . 21 POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida. Si y : -PROPIEDADES.- 1.2.- Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 22 TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Cambiar filas por columnas -PROPIEDADES.1.2.3.4.Atención 5.Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 23 Las matrices (cuadradas) simé simétricas y antisimé antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relació relación que tienen con sus traspuestas. Sólo para matrices cuadradas ! A simétrica si y sólo si ! A antisimétrica si y sólo si , es decir: , es decir: ¿Cómo son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 24 A continuació continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo, desempeñ desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadí Estadística y la Econometrí Econometría. Sólo para matrices cuadradas ! A periódica si . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período p. ! A idempotente si . ! A nilpotente si . Si p es el menor número natural que satisface , decimos que A es una matriz nilpotente de índice p. ! A involutiva si . Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 25 CONCEPTO DE MATRIZ RECTANGULAR Casos especiales ÁLGEBRA DE MATRICES Matriz fila Matriz columna Matriz nula Matriz cuadrada Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad Igualdad Suma/Resta Multiplicación por un escalar Producto Potenciación entera Propiedades Trasposición Determinante Inversión Matrices especiales Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2006-07 Matriz periódica Matriz idempotente Matriz nilpotente Matriz involutiva Matriz simétrica Matriz antisimétrica 26