Capítulo 1 parte 1 - Servidor web opsu

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CAPÍTULO 1: ECUACIONES
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1.1 Reseña histórica del álgebra
Los comienzos del álgebra se remontan al antiguo Egipto y Babilonia. Los Babilonios
alrededor del II milenio a.c. , utilizaban las tablillas cuneiformes para su escritura y trabajo
matemático. Estas tablillas han sido descubiertas durante los siglos XIX y XX de nuestra
era en expediciones realizadas por personas de gran poder económico. En las tablillas se
observa el trabajo que realizaban con los números naturales, las ecuaciones de segundo
grado y hasta utilizaban el teorema de Pitágoras; no se observa la utilización ni del cero ni
de los números negativos; además este conocimiento matemático era muy silvestre y
práctico, no tenía ninguna científicidad y aparecían de acuerdo a las necesidades de
contar, medir y ordenar.
Los Egipcios alrededor del siglo XVII a.c. su dominio matemático estaba basado en la
geometría, en la medida, en su conocimiento sobre triángulos rectángulos, trapecios y
pirámides. Eran unos ingenieros maravillosos y poseían un conocimiento profundo sobre la
geometría ya que aún en nuestros días todavía es un dilema la precisión y el cómo
construyeron sus pirámides.
A diferencia de las culturas Babilonias , ya sus escritos los realizaban en Papiros. El papiro
más conocido es el “Papiro de Rhind” descubierto en el siglo XIX, en el templo de
Ramsés II en Tebas, el cual fue comprado por el Inglés Alexander Rhind quien luego lo
dona al Museo Británico. Estas civilizaciones eran capaces de resolver ecuaciones lineales
de la forma (ax = b) y cuadráticas (ax 2 + bx = c ), así como ecuaciones indeterminadas
como x 2 + y 2 = z 2 , esto se observa en los papiros y en las tablas cuneiformes .
Luego, en Grecia los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la
tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro “Las aritméticas” de Diofante es de mejor
nivel que los anteriores y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones
indeterminadas un poco más complicadas. Esta antigua sabiduría sobre resolución de
ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia
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de reducción y equilibrio”. El Hindú
Mohammed Al-Khwarizmi, llamado “el padre del
álgebra”, trabajó en Bagdad donde escribió libros sobre Geometría, Astronomía
y
Matemáticas, se considera que las palabras “algoritmo y álgebra” fueron introducidas por
este personaje al argot matemático. La palabra árabe al-yabr que significa ‘reducción’, es el
origen de la palabra álgebra.
1.2 Concepto de álgebra
El Álgebra es una parte de las matemáticas en la que se utilizan letras, conocidas también
como variables o incógnitas, para representar relaciones aritméticas. Las operaciones
fundamentales del álgebra son la adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo
de raíces.
Con el álgebra podemos realizar generalizaciones que resultan imposible hacerlas con la
aritmética, por ejemplo la propiedad conmutativa en la suma cuya generalización es
a + b = b + a , con a y b números reales. El álgebra nos permite resolver ecuaciones y
además se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
1.3 Definición de ecuación
Una ecuación es una igualdad en la que intervienen una o más variables, es decir, es una
igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las expresiones que están a ambos lados del
signo igual se llaman miembros de la ecuación; el primer miembro el de la izquierda y el
segundo miembro el de la derecha.
1.3.1
Solución de una ecuación
Se conoce como solución de una ecuación a todo aquel valor o conjunto de valores que
al sustituirlos en la variable de la ecuación verifica la igualdad. Una ecuación puede tener
una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo:
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Ejemplo 1
Halle la solución de las siguientes ecuaciones :
a. x + 1 = 3
b. 3 ( x + 2 ) = 3 x + 6
c. x = x − 10
Solución :
a. Tiene una única solución, sea
x = 2 , lo sustituiremos en la ecuación así,
2 + 1 = 3 → 3 = 3 . Hemos verificado la igualdad, es decir x = 2 es la única solución de la
ecuación ya que no existe otro número que al sumarlo con uno dé tres.
b. Tiene infinitas soluciones, ya que cualquier valor que le demos a la variable x verifica
la igualdad.
Sea x = 2 lo sustituiremos en la ecuación así, 3 ( 2 + 2 ) = 3 ( 2) + 6 → 12 = 12 ,
sea
x = 1 lo sustituiremos en la ecuación así, 3 ( 1 + 2 ) = 3 (1) + 6 → 9 = 9 y así para
cualquie r número real.
c. No tiene solución, ya que no existe número que verifique la igualdad. ¡Pruébalo!
Además dos ecuaciones diferentes pueden tener las mismas soluciones o ambas carecer
de solución, estas ecuaciones se llaman equivalentes. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es
equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.
Formalmente para resolver una ecuación aplicamos algunas propiedades del conjunto de los
números reales, por ejemplo:
Ejemplo 2
Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación 3x − 4 = x + 8 .
Procedimiento:
1 Aplicamos la ley del inverso aditivo,
3x − x − 4 + 4 = x− x+ 8 − 4
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2 Reduciendo términos semejantes en 1 ,
2 x + 0 = 0 + 12
3 Aplicando la propiedad del elemento neutro en la adición en 2 ,
2 x = 12
4 Aplicamos ley del inverso multiplicativo en 3 ,
( )
( )
2 2−1 x = 12 2−1
5 Lo que es equivalente a,
1
2 x 12
=
por que a − n = n
2
2
a
6 x = 6 por simplificación en 5
Conjunto solución
{ 6}(
S = { 6 } ).
Conocido el proceso para resolver una ecuación y con el propósito de hallar la solución más
rápidamente, aplicaremos la técnica del despeje .
1.3.2
Técnica del despeje para la solución de una ecuación
Se conoce como despeje el aislar, desamparar, separar a una determinada variable en un
lado de la igualdad; mediante está técnica conseguiremos de manera precisa la solución o
soluciones de la ecuación. Para ello debemos tener en cuenta las siguientes reglas :
1. Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados
de una ecuación, sus soluciones no cambian.
2. Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación
por la misma cantidad distinta de cero sus soluciones
no cambian.
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Importante...
Primero debes pasar los términos que están sumando o restando antes de
los que están multiplicando o dividiendo.
Recomendaciones para despejar una variable:
a. Ubique en un solo lado de la ecuación todos aquellos términos que posean la variable a
despejar, para ello puede utilizar la regla 1.
b. Trate que la variable a despejar aparezca una sola vez.
c. Quite los términos que acompañan la variable; para ello utilizará la regla 2.
d. El resultado es su despeje.
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación y +
1
2
= 2y − − 6y .
3
3
Solución :
Despejemos la variable “y”
para
obtener su conjunto solución. Siguiendo las
recomendaciones para el despeje, primero dejaremos en un solo lado de la igualdad los
términos que posean la variable a despejar y en el otro los términos que no la posean ,así
y+
1
2
= 2y − − 6y
3
3
5 y = −1 → y = −
→
2 1
y− 2 y + 6 y = − −
→
3 3
5y = −
3
, resolviendo
3
1
5
 1
Entonces el conjunto solución de la ecuación es  −  .
 5
Para comprobar si esta solución es correcta, evaluaremos la ecuación en el punto
1
y=− .
5
Comprobando
1 1
 1 2
 1
Resolviendo por separado cada lado de la igualdad
− + = 2−  − − 6 − 
5 3
 5 3
 5
−1 ( 3) + 1 ( 5)
2 2 6
−3 + 5 −2 ( 3) −2 ( 5 ) + 6 ( 3)
=− − +
→
=
15
5 3 5
15
15
2 −6 −10 + 18
=
15
15
→
2
2
=
15 15
15
Enunciado verdadero, entonces la solución es la correcta. Este proceso se conoce como
proceso de comprobación.
Ejemplo 4
Resuélvase para la variable indicada en términos de las variables restantes:
1)
Circunferencia de un círculo, C = 2 π r , para r .
Solución :
Para dejar a la variable “r ” sola , necesitamos trasladar al otro lado de la igualdad a 2 π .
Por la regla 2 notamos que 2 π multiplica a “r ” entonces pasa al otro lado dividiendo, así
C=2π r
→
C
=r
2π
Obsérvese que no necesariamente la variable que despejamos debe quedar en el lado
izquierdo de la ecuación ya que en este problema lo logramos dejándola en el lado derecho.
2)
Cantidad de dinero acumulado bajo interés simple, con una tasa de interés r y
durante un tiempo t
A = C + C r t , resuelva para C.
Solución:
Aquí aplicaremos la ley distributiva para transformar las dos “C ” en una sola,
A = C + C r t → A = C ( 1 + r t ) , aplicando las reglas del despeje tenemos
A
( 1+ r t
)
=C
lo que es equivalente a
C=
A
1+ r t
3)Área lateral de la superficie de un cilindro, S = 2 π r h , despeje h.
Solución:
Aplicando las reglas del despeje,
S = 2π r h →
S
2π r
= h lo que es equivalente a
h=
S
2π r
Importante...
Para tener éxito en el trabajo con ecuaciones es necesario adiestrarnos
correctamente en el “despeje” de variables.
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1.3.3
Estrategias para la enseñanza del “despeje” de variables en las ecuaciones
Una estrategia didáctica es un conjunto de instrucciones articuladas pedagógicamente para
la facilitacion de la adquisición del conocimiento en determinado tema.
Para el despeje de variables presentaremos dos técnicas: Las fichas y la balanza.
1.3.3.1 Las fichas
En esta técnica se utiliza material concreto: tijeras y cartulina. Consiste en copiar los
términos de la ecuación en pequeños cuadros de cartulina, los cuales serán manipulados de
un lado a otro cuando se utilicen las reglas del despeje.
Observe la metodología en el siguiente:
Ejemplo 5
Sea la ecuación de la distancia en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
a t2
definida por d = V0 t +
2
, donde “d ” es la distancia , “t ” el tiempo, “a” la
aceleracion y “V0 ” la velocidad inicial . Despeje la velocidad inicial.
Procedimiento:
Escríbase la ecuación en cartulina de la siguiente forma:
a t2
d = V0 t +
, recortese los recuadros según la línea punteada
2
d = V0
t
+
at2
2
Ahora podemos desplazarlas hacia donde las necesitemos con el fin de lograr nuestro
objetivo, el despeje de V0 .
Por la regla 1 trasladamos el término
a t2
hacia el otro lado de la igualdad
2
17
=
d
V0
a t2
2
+
t
Le cambiamos el signo
−
d
a t2
2
=
V0
t
, por la regla 2
Pasa a dividir
d
V0 =
a t2
−
2
t
= V0
a t2
2
d −
t
, lo que es equivalente a
y de esa manera hemos despejado a V0 .
1.3.3.2 La balanza
Otra sugerencia útil para la presentación de este tópico es hacer ver las ecuaciones como
una balanza, donde hay que conservar el equilibrio; es decir, podemos jugar con ella
agregando o eliminando cosas siempre y cuando siga estando balanceada esa balanza
imaginaria.
Ejemplo 6
La fórmula para transformar grados Centígrados a Farenheit
F=
9
C + 32 , despeje a C.
5
está definida por
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Procedimiento:
Obsérvese la balanza, luego le agrega mos –32 y tenemos
-32
-32
F
=
9
C + 32
5
donde
F – 32
=
9
C + 32 –32
5
Resolviendo donde sea posible tenemos,
×
5
( F − 32
9
5
( F − 32
9
×
5
9
9
5
C , le agregamos
multiplicado y obtenemos
5
9
F – 32 =
C=
5
9
)
)=
9 5
× C , expresión equivalente a
5 9
, y así hemos logrado lo deseado.
Observe que todo el tiempo hemos agregado la misma cosa o cantidad a cada uno de los
platos de la balanza, manteniendo así ese equilibrio, que nos indica la veracidad de nuestro
trabajo.
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Para finalizar, amigo lector atrévase usted mismo a diseñar otras estrategias metodológicas
en este tópico o en otros y cosechará más adelante sus frutos, en la labor docente con sus
estudiantes.