Ing. Mario R. Modesti UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CORDOBA DEPARTAMENTO ELECTRONICA Carrera Asignatura : Ingeniería Electrónica : Análisis de Señales y Sistemas T.P.N 10 : Series y transformada de Fourier, Transformada inversa de Fourier, aplicaciones en señales de uso en comunicaciones y control. Rev 1.2 Enero 2001 Serie trigonométrica de Fourier f(t) = a0 + a1 Cos ϖt + a 2 Cos 2ϖt + a 3 Cos 3ϖt +.... + b1 Sen ϖt + b2 Sen 2ϖt + b3 Sen 3ϖt +..... T T 1 2 1 a0 = ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt T −T T0 2 T T 2 2 2 an = ∫ f(t) Cos nϖ t dt = ∫ f(t) Cos nϖ t dt T −T T0 2 T 2 2 2 bn = ∫ f(t) Sen nϖ t dt = T −T T 2 T ∫ f(t) Sen nϖ t dt 0 MATHEMATICA Serie exponencial de Fourier 10. 1 Ing. Mario R. Modesti f(t) = F0 + F1 e Jϖt + F2 e J 2ϖt + F3 e J 3ϖt +....+ Fn e Jnϖt +..... + F−1 e − Jϖt + F−2 e − J 2ϖt + F3 e − J 3ϖt +.....+ F− n e − Jnϖt +..... ∞ f(t) = ∑Fe Jnϖt para (t 0 < t < t 0 + T ) n n=- ∞ t0 + T Fn = ∫ f(t)(e t0 t0 + T ∫e Jnv t Jnω t )* dt (e Jnϖ t )* dt 1 t +T = f(t)e − Jnω t dt ∫ T t 0 0 t0 MATHEMATICA Relación de coeficientes entre la serie trigonométrica y exponencial a 0 = F0 a n = Fn + F− n bn = J ( Fn + F− n ) Fn = 1 ( a n + Jbn ) 2 Espectro de frecuencias de Fourier 10. 2 Ing. Mario R. Modesti T F(ϖ ) = 2 ∫ f(t) 1 ∞ f(t) = ∑ F (ϖ )e Jnϖ t T n =−∞ e -Jnϖ t dt −T 2 Transformada de Fourier 1 f (t ) = 2π ∞ ∫ F (ϖ ) e Jϖ t ∞ F (ϖ ) = dϖ ∫ f (t ) e −Jϖ t dt −∞ −∞ La función F(ϖ ) es la densidad espectral , y otro modo de expresar las transformadas es: ∞ [ f (t )] = ∫ f (t ) e −Jϖ t dt −1 −∞ 1 [ F (ϖ )] = 2π ∞ ∫ F (ϖ ) e Jϖ t dϖ −∞ MATHEMATICA APLICACIONES 10.1) Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes a la función , y la serie correspondiente. 0 − 5 < x < 0 F(x) = 3 0< x <5 Periodo = 10 10. 3 Ing. Mario R. Modesti T 0 5 1 5 2 2 nπ an = ∫ f (t )Cos (nϖt )dt = ∫ 0 + ∫ 3 Cos(nϖt )dt = ∫ 3 Cos T0 10 − 5 5 0 5 0 t dt = Resolución analítica 2π π = T 5 ϖ = u= nπ nπ t ∴ du = t 5 5 5 1 5 3 3 nπ nπ an = ∫ 3 Cos t dt = Sen t = [Sen 0 − Sen π ] = 0 nπ 5 0 nπ 5 5 0 nπ 5 an = 0 bn = 2 T T ∫ f (t ) Sen(nϖt )dt = 0 n≠0 0 5 1 5 2 nπ ϖ 0 + 3 Sen n t dt = 3 Sen ( ) ∫ ∫ 10 −5 ∫0 5 5 0 t dt = 5 1 5 3 3 nπ nπ bn = ∫ 3 Sen t dt = Cos t = [− Cos(nπ ) + Cos0] = 5 0 nπ nπ 5 5 0 nπ 5 bn = 3 [1 − Cos (nπ )] nπ 1 a0 = T T ∫ 0 0 5 1 5 1 1 3 f (t ) dt = ∫ 0 + ∫ 3 dt = 3t 0 = 3(5 − 0) = 10 −5 10 2 0 10 Mathematica 10. 4 Ing. Mario R. Modesti 10.2) Desarrollar F ( x ) = x 2 0 < x < 2π en serie de Fourier a - Si el período es 2π b- Si el período no se especifica 40 30 20 10 5 10 15 20 25 10. 5 Ing. Mario R. Modesti 10.3) Se define una función rectangular f(t) a continuación 1 0<t <π F (t ) = −1 π < t < 2π Aproximar esta función mediante la forma de onda sen t, en el intervalo ( 0,2π ) de modo que el error cuadrático medio sea mínimo f ( t ) = Sen t Considerando la función rectangular, demostrar que puede obtenerse una aproximación mejor mediante una gran cantidad de funciones mutuamente ortogonales. 10.4) Desarrollar f ( t ) = Sen t , 0 < t < π en serie de Fourier trigonométrica 10. 6 Ing. Mario R. Modesti 10.5) Considerar la onda seno rectificada ( onda completa ), correspondiente a una función del tipo exponencial f ( t ) = Sen t , 0 < t < π , desarrollar en serie de Fourier 10.6) Considersr la función periódica f (t ) en 0 < t < π y determinar el espectro de frecuencias de la función f(t ) = Sen t . 10. 7 Ing. Mario R. Modesti 10.7) Desarrollar seno. 10.8) Desarrollar coseno. f (x) = x , 0 < x < 2 en serie de semiperíodo función f (x) = x , 0 < x < 2 en serie de semiperíodo función 10.9) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica 8 F(x) = −8 0<x<2 2<x<4 Periodo = 4 10.10) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica − x F (x ) = x −4≤ x ≤0 0≤x≤4 Periodo = 8 10.11) Desarrollar en serie de Fourier de período 8 2 − x F(x) = x − 6 0< x<4 4<x<8 Periodo = 8 10.12) Calcular los coeficientes representa en período 2 π . a 0 , a n , bn de la serie trigonométrica que a) F(t) = Sen t b) F(t)= Cos t 10.13) Desarrollar en serie de Fourier trigonométrica x F(x) = 8 − x 0< x<4 4<x<8 10.14) Graficar la función extendida periodicamente con período 2π y hallar su transformada de Fourier. 10. 8 Ing. Mario R. Modesti sent 0 < t < π F(t) = π < t < 2π 0 A 0<t <T / 2 f(t)= , 0 −T / 2 < t < 0 10.15) Dada una onda cuadrada periódica determinar a) El espectro de frecuencias b) F(w) c) la función f(t) T F(ϖ ) = 2 ∫ f(t) e −T - Jnϖ t dt = 2 =A∫ e ∫ −T 2 T T 0 0e 0 dt + A dt = − Jnϖ 2 ∫A e - Jnϖ t dt = 0 2 T - Jnϖ t - Jnϖ t 2 ∫ [ A e- Jnϖ t Jnϖ e - Jnϖ t dt = − 0 ] T 2 0 = T A - Jnϖ 2 A - Jnπ =− − 1 = J e −1 e Jnϖ n ϖ [ 1 f(t) = T ∞ ∑ F(ϖ )e n = −∞ Jnϖ t 1 = T ∞ ] [ ] A - Jnp Jnϖ t J e − 1 e ∑ n = −∞ nϖ 10.16) Desarrollar la función rectificada media onda en serie de Fourier Sen t f (t ) = 0 trigonométrica 0< t <π π < t < 2π 10.17) Considerar la onda seno rectificada ( media onda), correspondiente a una función del tipo Sen t f (t ) = 0 0< t <π π < t < 2π , desarrollar en serie de Fourier exponencial 10.18) Determinar el espectro de frecuencias de la función precedente. 10. 9 Ing. Mario R. Modesti 10.19) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial unilateral (a= 2) − at f(t) = e u(t) ∞ F( ? ) = ∫ e −at e −Jϖ t dt = − 0 F(s) = 1 1 (e −∞ − e 0 ) = 2 + J? 2 + J? 1 s+2 MATLAB a=[1,2]; b=[1]; w=-50:.05:50; % Coeficientes del denominador en orden decreciente % Coeficientes del numerador % Rango de frecuencia en rad/s H=freqs(b,a,w); mag=abs(H); fase = angle(H); axis([-50,50,0,.5]); figure (1); plot(w,mag); title(‘ Espectro de frecuencias ( magnitud)'); xlabel('frecuencia, rad/s'); ylabel('magnitud'); grid; figure(2); 10. 10 Ing. Mario R. Modesti fase =fase*180/pi; % Cambio de fase de radianes a grados axis([-50,50,-200,200]); plot(w,fase); title('Respuesta en frecuencia (fase)'); xlabel('frecuencia, rad/s'); ylabel('fase, degrees'); grid; axis; 0.5 100 0.45 80 0.4 60 0.35 40 0.3 20 0.25 0 0.2 -20 0.15 -40 0.1 -60 0.05 0 -50 -80 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -100 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 MATHEMATICA 10.20) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial bilateral 10. 11 50 Ing. Mario R. Modesti f (t ) = e− a t 10.21) Evaluar la función pulso rectangular como se define a continuación 1 f(t) = 0 T 2 T t > 2 t < 10.22) Evaluar la transformada de Fourier de un impulso y de una constante. 10.23) Transformada de la función signum , f(t)=sgn(t). 10.24) Determinar la serie de Fourier trigonométrica , la serie exponencial y deducir el espectro de frecuencias de la función definida a continuación. f (θ ) = θ para − π ≤ θ ≤ π 10. 12 Ing. Mario R. Modesti 10.25) Determinar la serie de Fourier de : 1 f(t) = 0 −1 < t < 1 −2 < t ≤ − 1 1≤t <2 10. 13 Ing. Mario R. Modesti Referencias : Señales y sistemas lan V. Oppenheim - Alan S.Willsky Prentice Hall Mathematica MatLab GrapMath 3.0 5.0 1.30C 10. 14