Examen Parcial 5 Cálculo 2 Problema 1 (10 puntos). Indica si las

Examen Parcial 5
Cálculo 2
Problema 1 (10 puntos). Indica si las siguientes sucesiones convergen, y en tal caso indica
su lı́mite.
cos n
1.
n
Solución. Como
2.
√
1
cos n
→ 0 y | cos n| ≤ |, entonces
→ 0.
n
n
n sen n
Solución. Esta sucesión no es acotada, ası́ que no converge.
Problema 2 (10 puntos). Indica si las siguientes integrales impropias convergen.
Z ∞
1.
x2 e−2x sen xdx
0
Z
∞
Solución. Como |x e
sen x| ≤ x e
y la integral
x2 e−2x dx sı́ converge (vista
0
Z ∞
2 −2x
en clase), entonces
xe
sen xdx sı́ converge (converge absolutamente).
2 −2x
2 −2x
0
Z
2.
0
∞
sen x
dx
x3/2
Solución. Esta integral impropia tiene dos singularidades: en 0 y en ∞, Ası́ que tenemos
que analizar por separado
Z 1
Z ∞
sen x
sen x
dx
y
dx.
3/2
x3/2
0 x
1
En la primera integral, tenemos que, como | sen x| ≤ |x|, entonces
sen x 1
3/2 ≤ √ ,
x
x
Z 1
Z 1
1
sen x
√ sı́ converge, la integral
dx converge.
y como
3/2
x
0
0 x
Para la segunda, utilizamos el hecho | sen x| ≤ 1, y entonces
sen x 1
3/2 ≤ 3/2 ,
x
x
1
Z
∞
1
Z
∞
sen x
dx converge.
x3/2
1
1
Z ∞
sen x
Como ambas integrales convergen, entonces
dx converge.
x3/2
0
y como
x3/2
sı́ converge, la integral
Problema 3 (10 puntos). Indica si las siguientes series convergen. En tal caso, indica además
si convergen absoluta o condicionalmente.
√
∞
X
(−1)n nn
1.
n!
n=0
Solución. Utilizaremos el criterio del cociente. Entonces calculamos
p
(−1)n+1 (n + 1)n+1 r
r
a 1
1
(n + 1)n+1
(n + 1)n √
(n + 1)!
n+1 √
·
=
n+1·
=
=
n
n
n
n
an
n
n+1
n
n+1
(−1) n
n!
r
1
1 n
=
1+
→ 0,
·√
n
n+1
r
1 n
1
porque
→ 0.
1+
→ e1/2 y √
n
n+1
√
∞
X
(−1)n nn
Entonces, por el criterio del cociente, la serie
converge.
n!
n=0
2.
√
∞
X
(−1)n 3 n
n=2
log n
√
(−1)n 3 n
Solución. Como
no converge a 0 (de hecho no es acotada), entonces la serie
log n
√
∞
X
(−1)n 3 n
diverge.
log n
n=2
2