5 Relaciones binarias.

5 Relaciones binarias.
5
Relaciones binarias.
1
a) Sean R1 y R2 relaciones de A en B y S ⊆ B × C. Probar que si R1 ⊆ R2 , entonces R1 ◦S ⊆ R2 ◦S.
b) Sea R ⊆ A×A. Probar usando inducción que si R2 ⊆ R, entonces Rn ⊆ R, ∀ n ∈ IN.
c) Probar que R ⊆ A×A es transitiva si y sólo si t(R) = R.
Solución:
a) ∃ b ∈ B con (a, b) ∈ R1 y (b, c) ∈ S (y, como R1 ⊆ R2 ) =⇒ ∃ b ∈ B con (a, b) ∈ R2 y (b, c) ∈ S ⇐⇒
(a, c) ∈ R2 ◦S
b) Hemos de probar que P (n) =“Rn ⊆ R”, es cierto ∀ n.
• Es cierto P (2) por hipótesis: R2 ⊆ R.
• ¿∀ k ≥ 2, P (k) −→ P (k + 1)? Como es cierto P (k), Rk ⊆ R, y usando el apartado (a) anterior, se tiene
Rk+1 = Rk ◦ R ⊆ R ◦ R = R2 ⊆ R . Luego
P (2)
h
i
∀ k ≥ 2 P (k) −→ P (k + 1)
.˙. ∀ n ≥ 2
P (n)
y, como también es cierto P (1), pues R1 = R ⊆ R, es cierto para todo n.
c) Si R es transitiva, entonces R2 ⊆ R y, por el apartado (b) anterior, Rn ⊆ R para todo n. Luego
∞
∞
t(R) = ∪ Rn ⊆ ∪ R = R y, como R ⊆ t(R) por ser esta la más pequeña relación transitiva que contiene
n=1
n=1
a R, se da la igualdad.
∞
Reciprocamente, si t(R) = R, como t(R) = ∪ Rn , entonces Rn ⊆ R para todo n. En particular, R2 ⊆ R
n=1
y por consiguiente R es transitiva.
..........................................................................................................
4
2 Determinar si las relaciones siguientes verifican o no cada una de las cinco propiedades (reflexiva, etc.), indicando
también si son o no relaciones de orden parcial o de equivalencia.
a) R1 la relación en ZZ definida por x R1 y ⇐⇒ x + y es par.
b) R2 la relación en ZZ definida por x R2 y ⇐⇒ x − y es impar.
c) R la relación en ZZ × ZZ definida por (x1 , x2 ) R(y1 , y2 ) ⇐⇒ x1 R1 y1 y x2 R2 y2 .
Solución:
a) R1 es de equivalencia, pues
(i) Para todo x ∈ ZZ, se tiene que x+x = 2x es par. Luego es reflexiva. En consecuencia, no es antirreflexiva.
(ii) Si x R1 y entonces x + y es par, pero como x + y = y + x tambien y + x es par y, en consecuencia, y R1 x
y es simétrica. Como 1 + 3 = 3 + 1 = 4 par y 1 6= 3, no es antisimétrica.
(iii) Si x R1 y e y R1 z, entonces x + y e y + z son pares, y x + z = x + y − y + z + y − y = (x + y) + (z + y) − 2y
es par al ser suma y resta de pares. Luego es transitiva.
b) R2 no es de orden ni de equivalencia, pues
(i) Para todo x ∈ ZZ, se tiene que x − x = 0 que es par. Luego es antirreflexiva y no es reflexiva.
(ii) Si x R2 y entonces x−y es impar, pero como x−y = −(y −x) tambien y −x es impar y, en consecuencia,
y R2 x y es simétrica. Como 7 − 2 = 5 y 2 − 7 = −5 impares y 7 6= 2, no es antisimétrica.
(iii) Si x R2 y e y R2 z, entonces x − y e y − z son impares, luego x − z = x − y + y − z = (x − y) + (y − z) es
par al ser suma de impares, no será transitiva. En efecto, 7 R2 2 y 2 R2 7 pero 7 R
6 2 7 ya que 7 − 7 = 0
no es impar.
c) R no es de orden ni de equivalencia, pues
(i) Para todo (x, y) ∈ ZZ × ZZ, se tiene que x<1 x (por ser R1 reflexiva) e y R
6 2 y (por ser R2 antirreflexiva)
luego (x, y) R
6 (x, y). Es antirreflexiva y no es reflexiva.
Soluciones a los ejercicios para entregar.
1/4
5 Relaciones binarias.
(ii) Si (x1 , x2 ) R(y1 , y2 ) se tiene que x1 R1 y1 y que x2 R2 y2 , y como ambas son simétricas, y1 R1 x1 y
y2 R2 x2 por lo que (y1 , y2 ) R(x1 , x2 ) y es simétrica.
No es antisimétrica, ya que (1, 7) R(3, 2) y (3, 2) R(1, 7) pero (1, 7) 6= (3, 2).
(iii) Si (x1 , x2 ) R(y1 , y2 ) e (y −1, y2 ) R(z1 , z2 ), entonces x1 R1 y1 e y1 R1 z1 y, por ser R1 transitiva x1 R1 z1 ;
y también x2 R2 y2 e y2 R2 z2 pero al no ser transitiva no podemos asegurar que x2 R2 z2 . De hecho
(1, 7) R(3, 2) y (3, 2) R(5, 7) pero (1, 7) R
6 (5, 7), luego no es transitiva.
..........................................................................................................
4
3 Sea A el conjunto formado por las matrices boleanas 1×4 siguientes:
A = {m1 = (0 0 0 1), m2 = (0 0 1 0), m3 = (0 0 1 1), m4 = (0 1 0 0), m6 = (0 1 1 0),
m7 = (0 1 1 1), m9 = (1 0 0 1), m12 = (1 1 0 0), m13 = (1 1 0 1), m15 = (1 1 1 1)}
Se define en A la relación mj R mk ⇐⇒ mj • mk = mj (el producto booleano elemento a elemento de matrices).
a) Probar que R es una relación de orden parcial.
b) Dibujar su diagrama de Hasse.
c) Encontrar, si existen, los elementos notables de c.p.o. (A, R): maximales, minimales, máximo y mı́nimo.
d) ¿Tiene estructura de retı́culo? ¿y de cadena?
e) ¿Puede darse un orden total J que contenga a R y que respete el orden de los subı́ndices (es decir, que si
mi J mj entonces i < j)?
Solución:
a)
• Reflexiva: Como 1 · 1 = 1 y 0 · 0 = 0, ∀ mi , mi • mi = mi , luego mi R mi .
• Antisimétrica: si mi R mj y mj R mi , entonces mi • mj = mi y mj • mi = mj , y como el producto •
es conmutativo se tiene que mi = mi • mj = mj • mi = mj .
• Transitiva: si mi R mj y mj R mk , se tiene mi • mj = mi y mj • mk = mj , luego (tened en cuenta
que el producto • es asociativo) mi • mk = (mi • mj ) • mk = mi • (mj • mk ) = mi • mj = mi y, en
consecuencia, mi R mk .
(De hecho R es la relación de orden parcial de precedencia de matrices.)
c) Maximales: m15 . Minimales: m4 , m1 y m2 .
Máximo m15 .
t 15
No tiene mı́nimo.
@
I
d) No tiene estructura de retı́culo, pues siendo finito no tiene mı́nimo.
@
Tampoco de cadena, pues no puede ser retı́culo y toda cadena lo
t
@t 7
13
es.
6
@
I
6
@
I
@
@
b)
e) Bastarı́a con comprobar que el orden total J que cumple la
t 12 @t 9
t 6 @t 3
*
condición pedida, es decir, que tiene a
@
I
I 6
6
@ @
@
t 4
@t 1 @t 2
1 → 2 → 3 → 4 → 6 → 7 → 9 → 12 → 13 → 15
por diagrama de Hasse, contiene a R. De todas formas, lo vamos
a hacer aquı́ construyéndolo, mediante la clasificación topológica, a partir de R:
r15
r15
r15
r15
r15
µ@
¡
I
¡
µ@
I
¡
µ@
I
µ@
¡
I
¡
µ@
I
¡
@
¡
@
¡
@
r
¡
@
r
7
r
¡
@r7
r
r
7
r
r
7
r
r
7
13
13
13
13
13
6
6
6
6
6
6
6
6
6
I
@
I
@
I
@
I
@
@
I
@
I
@
I
@
I
b3
12 r @r9
r6@r3 12 r @r9 r6@r3 12 r @r9 r6@b3 12 r @r9 r6 b3 12 r @r9 b6
6
*
©
*
*
*
©
©©
©©
©©
6
I
@
@
I
µ
¡
6
I
6
6
©
@b¡
@r6
©
@b6
©
b
©
b b
b
b b
r
r
b@
r
b b
4
1
13
12
2
4
1
r15
¡
µ
r
¡
b7
6
@
I
r @b9 b6 b3
b
b b
4
1
2
13
12
2
4
1
r15
¡
µ
r
¡
b7
6
b b9 b6 b3
b
b b
4
1
2
13
12
2
4
1
r15
¡
µ
b
b7
¡
b b9 b6 b3
b
b b
4
1
2
2
4
1
12
b
b
b
4
b9
12
2
b15
13
13
r15
¡
µ@
I
r¡
@b7
6
I
@
r @r9 b6 b3
b
b b
4
1
2
b15
b7
b6 b3
b b
1
2
13
12
b
b
b
4
b9
b7
b6 b3
b b
1
2
..........................................................................................................
Soluciones a los ejercicios para entregar.
4
2/4
5 Relaciones binarias.
4 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y R = {(1, 2), (2, 2), (3, 6), (4, 3), (4, 7), (4, 6)} una relación en A.
a) Estudia si es o no reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.
b) Indica si es o no una relación de orden parcial, de orden parcial estricto, de orden total y de equivalencia.
c) Encuentra las relaciones r(R), s(R), t(R). ¿Se cumple en este caso que ts(R) = st(R)?
d) Halla operando con matrices, las matrices de r(R), s(R), t(R).
e) Halla RE , la relación de equivalencia más pequeña que contiene a R y encuentra su conjunto cociente A|RE .
Solución:
a) No es reflexiva pues (1, 1) ∈
/ R y no es antirreflexiva pues
1
(2, 2) ∈ R.
I
s
- s2l
No es simétrica, pues (1, 2) ∈ R pero (2, 1) ∈
/R
Es antisimétrica pues (2, 2) ∈ R y (2, 2) ∈ R y 2 = 2. (Es
el único caso en que se verifica que (x, y) ∈ R e (y, x) ∈
/R
4
3 s
s
s5
y lo cumple. En los demás casos (1, 2) ∈ R pero (2, 1) ∈
/ R,
A
A
(3, 6) ∈ R pero (6, 3) ∈
/ R, etc.)
A
A
Es transitiva, los casos a tener en cuenta son 1 R 2 y 2 R 2
A A
y 1 R 2; y 4 R 3 y 3 R 6 y 4 R 6 y en ambos se verifica la
AU s
AU s
propiedad (no hay más encadenamientos de elementos por
6
7
la relación).
El dibujo de la derecha representa la relación.
b) No es de orden parcial por no ser reflexiva. No es de orden parcial estricto al no ser antirreflexiva. No es
de orden total pues no es de orden parcial. No es de equivalencia pues no es ni reflexiva ni simétrica.
c) r(R) = R ∪∆ = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (5, 5), (6, 6), (7, 7)}
s(R) = R ∪ R−1 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 3), (3, 4), (4, 6), (6, 4), (4, 7), (7, 4)}
t(R) = R, pues R es transitiva.
En este caso ts(R) 6= st(R). Se tiene que st(R) = s(t(R)) = s(R) y ts(R) = t(s(R)) 6= s(R) pues s(R) no
es transitiva ((1, 2) ∈ s(R) y (2, 1) ∈ s(R) pero (1, 1) 6= s(R)) mientras que su cierre transitivo sı́ lo es.
d) Denotemos por M , Mr , Ms y Mt , las matrices de R, r(R), s(R) y t(R) respectivamente. Entonces:
0 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
M
0 1
0
0
0
0 0
0 0
0

= 0
0
0
0
1
0
0
0
Ms = M + M t =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0




0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0




0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1
0
0
0
0 0
0 0
0

Mr = M + I =  0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
 0
 
+
 
 
Mt = M + M 2 + M 3 + M 4 + M 5 + M 6 + M 7 =
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0




0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
7
0
0
1
0
0
0

0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0




0
 
=
 
 
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
 0
 
+
 
 
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0





0
0
0
0
0
0
0
 0
 
+
 
 
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


=M


pues M 4 = M 3 y entonces también M 5 = M = M = M 3 . Luego basta sumar las tres primeras.
..........................................................................................................
Soluciones a los ejercicios para entregar.
4
3/4
5 Relaciones binarias.
5 Disponemos de un conjunto A = {p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 , p9 } de aplicaciones informáticas que manipulan
(abren y guardan) ficheros tanto en el formato NYC como en el formato JFK. Sin embargo, al no usar todos las
mismas caracterı́sticas en los formatos, se producen incompatibilidades entre ellos.
Ası́, en NYC son compatibles p1 , p3 y p7 entre sı́, p2 con p8 , p4 con p6 y ni p5 ni p9 son compatibles con otro. En
formato JFK son compatibles: p1 con p4 , p3 con p9 , p6 con p7 y los restantes lo son entre sı́.
A la vista de esto,
a) un fichero creado con p6 ¿puede ser usado por p9 ?
b) un fichero creado con p2 ¿puede ser usado por p7 ?
Responde a las preguntas justificando las respuestas. Si el resultado es afirmativo indica la proceso que debe
seguir el fichero para conseguirlo.
Solución:
Considerando cada formato, podemos agrupar las aplicaciones en conjuntos por su compatibilidad, es decir,
podemos relacionar las aplicaciones por su compatibilidad. La relación de compatibilidad (en cada formato)
es de equivalencia, por lo que las agrupaciones indicadas antes producen particiones del conjunto respecto a la
relación de compatibilidad. Ası́ tenemos, para los formatos NYC y JFK, las particiones respectivas:
n
o
n
o
Q1 = {p1 , p3 , p7 }, {p2 , p8 }, {p4 , p6 }, {p5 }, {p9 }
y
Q2 = {p1 , p4 }, {p3 , p9 }, {p6 , p7 }, {p2 , p5 , p8 }
a) En la primera pregunta planteada, p6 no es compatible con p9 en ninguno de los formatos, considerados
individualmente. Ahora bien, ¿podrı́an hacerse compatibles si usamos ambos formatos conjuntamente?
En el lenguaje de las relaciones de equivalencia esto significa ¿están p6 y p9 relacionados por la relación
t(R1 ∪ R2 )?
Reuniendo ambas relaciones en una sóla representación
gráfica y representando únicamente la conexión entre los
2
puntos (es decir, suprimimos los lazos y cambiamos cada
s1
s
par de flechas de sentidos opuestos por una sóla lı́nea que
une los puntos) tenemos el dibujo de la derecha.
8 s
s3
Entonces, la respuesta a la primera pregunta es sı́,
9 s
puesto que de 6 se puede ir a 9 si podemos usar tanto lı́neas
continuas como discontinuas. En efecto, creamos el fichero
4
7s
s
en p6 y lo guardamos en formato JFK, lo abrimos con p7
que es compatible con p6 en este formato, lo guardamos en
5
s
s
el formato NYC de p7 que puede abrirse con p3 y, ahora, lo
6
NYC —
JFK ······
guardamos en su formato JFK que puede leerse con p9 .
(Es claro que no es la única forma de hacerlo.)
b) La respuesta a la segunda pregunta es naturalmente no, pues de 2 no puede llegarse a 7.
..........................................................................................................
Soluciones a los ejercicios para entregar.
4
4/4