Taller # 1 - Relaciones y Funciones Introducción al Cálculo Departamento de Matemáticas Tipos de Relaciones: Una relación R en un conjunto A es llamada: I. Reflexiva si para cada x ∈ A, se tiene (x, x) ∈ R; II. Simétrica si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R; III. Anti-simétrica si (x, y) ∧ (y, x) ∈ R entonces x = y; IV. Transitiva si (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R. 1) Dada las relaciones S = (a, b), (b, a), (w, w), (b, w), (c, x), (a, a), (x, c) ; R = (a, w), (x, w), (x, c), (b, b) calcule R ◦ S, S ◦ R. Concluya que la composición de relaciones no es conmutativa. 2) Considere la siguiente relación R = {(a, 1), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, calcule R−1 , R−1 ◦ R, R ◦ R−1 . 3) Considere el conjunto de los dı́gitos D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a) Describa los elementos de las siguientes relaciones en D R = {(n, n + 1) : n ∈ D}. S = {(n, n − 1) : n ∈ D}. b) Describa las fórmulas que determinan las siguientes relaciones R = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}. S = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}. 4) Para la relación R = {(x, y) : y = 2x} en los números enteros, calcule la imagen. 5) Para las relaciones R, S del ı́tem 1 calcule Dom(R) ∩ Dom(S) Dom(R ∩ S). Dom(R) ∪ Dom(S). Dom(R ∪ S). 6) Dada una relación R muestre que (R−1 )−1 = R, Dom(R−1 ) = Ran(R), Ran(R−1 ) = Dom(R). 7) Dadas relaciones R, S muestre que (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 . 1 8) De ejemplos de relaciones en los números naturales que cumplan alguna de las condiciones de reflexividad, simetrı́a, anti-simetrı́a y transitividad. Es posible encontrar una relación que cumpla todas las condiciones al tiempo? 9) Dada una relación R en un conjunto A, efectuar la negación de los siguientes enunciados a) R es reflexiva; b) R es simétrica; c) R es anti-simétrica; d) R es transitiva. 10) Si A es un conjunto, denotamos por P(A) las partes del conjunto A, es decir la colección formada por todos los subconjuntos de A. En P(A) la inclusión ⊂ determina una relación. A saber, R = (B, C) : B ⊂ C . Es decir, dos subconjuntos B, C ∈ P(A) están relacionados si B ⊂ C ∨ C ⊂ B. Muestre que R es una relación reflexiva, anti-simétrica y transitiva. 11) Dado un conjunto A denotamos por IA la relación identidad en A, más especı́ficamente IA = (x, x) : x ∈ A . Dada una relación R en A muestre que a) R es reflexiva si, y solamente si, IA ⊂ R; b) R es simétrica si y soalmente si, R = R−1 ; c) R es anti-simétrica si, y solamente si, R ∩ R−1 ⊂ IA ; d) R es transitiva si, y solamente si, R ◦ R ⊂ R. 12) A seguir se presentan algunas relaciones en el conjunto de los números enteros. Determine cuáles de ellas poseen alguna de las propiedades, reflexividad, simetrı́a, anti-simetrı́a, transitividad. a) R = (x, y) : x + y < 2 ; b) R = (x, y) : x = y ∨ x = −y ; c) R = (x, y) : y = x + 1 ; d) R = (x, y) : x + y es par . 2