números complejos

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DPTO DE MATEMÁTICAS
1º BCT
T4: NÚMEROS COMPLEJOS - 1
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.- INTRODUCCIÓN: LAS ECUACIONES DE 2º GRADO CON SOLUCIONES IMPOSIBLES
Desde el siglo XVI al XVIII llamaron la atención, por la forma de sus soluciones, problemas de enunciados
tan simples como “dividir 12 en dos partes cuyo producto sea 40”
x(12 – x) = 40 ⇒ x2 – 12x + 40 = 0 ⇒ x = 6 ± − 4
Las dos soluciones 6 ± − 4 son imposibles ya que
− 4 no significa nada.
A pesar de todo, los algebristas empezaron a utilizar unos nuevos entes para operar con estas expresiones
que tenía la forma a ± b -1 , donde a y b son nº reales y b > 0.
6±
−4 =6±
4 · −1 = 6 ± 2 · − 1
Con objeto de aligerar la escritura se introdujo el símbolo i para designar la unidad imaginaria
−1 .
Por tanto:
6±
−4 =6±
4 · −1 = 6 ± 2 · − 1 = 6 ± 2i
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 se analizó el signo del
discriminante b 2 − 4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la
ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas.
Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación
de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición
axiomática del conjunto de los números complejos.
Raíces complejas de la ecuación de segundo grado
Si el discriminante de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 es negativo, debe sustituirse el signo negativo por i 2 y de
esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo.
Resolver la ecuación x 2 − 2 x + 6 = 0 .
Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:
x=
−(−2) ± (−2)2 − 4(1)(6) 2 ± 4 − 24 2 ± −20
=
=
2(1)
2
2
Se puede ver que el discriminante es −20 lo cual puede escribirse como 20 i 2 . Por lo tanto:
x=
2 ± −20 2 ± 20i 2 2 ± 2 5 i
=
=
= 1± 5 i
2
2
2
Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 =1 − 5 i y x2 = 1 + 5 i .
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2.- EL NÚMERO i
Se define la unidad imaginaria i como el número tal que su cuadrado es -1, es decir, i =
−1
De esta forma, las soluciones imposibles se pueden escribir de la forma:
a ± bi , donde a y b son nº reales y
b > 0.
O Las potencias de i
i1 = i
i5 = i4 · i = 1 · i = i
i2 = 1 (por definición de i)
i6 = i4 · i2 = 1 · i = i
i3 = i2 · i = -i
i7 = i4 · i3 = 1 · (-i) = -i
i4 = i2 · i2 = (-1) · (-1) = 1
i8 = i4 · i4 = 1 · 1 = 1
Las potencias de i se repiten de 4 en 4, con lo cual para calcular cualquier potencia de i se divide el
exponente entre 4 y se calcula la potencia de i que tiene como exponente el resto:
i n = i r siendo r el resto de la división n : 4
Ejemplos:
17
a) i
32
=i
15
= i = -i
22
= i = -1
b) i
0
c) i = i = 1
d) i
3
2
3.- LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Definición: Llamamos número complejo a toda expresión de la forma
a + bi, donde a y b son nº reales e i2 = -1.
El conjunto de todos los números complejos se designa por ℂ .
La expresión a + bi se denomina forma binómica de un número complejo.
Todo número complejo z = a + bi está constituido por dos partes:
o
Parte real: a
o
Parte imaginaria: b
Todos los números reales son complejos:
Si b = 0 ⇒ z = a, con lo cual todo nº real es un nº complejo ( ℝ ⊂ ℂ )
Si b ≠ 0 ⇒ se dice que el nº complejo es un nº imaginario.
Si a = 0, z = bi, en tal caso, se dice que el nº z es un nº imaginario puro.
Igualdad de números complejos:
Dos números complejos son iguales si sus partes reales e imaginarias son iguales:
a + bi = c + di ↔ a = b ^ c = d
Conjugado de un número complejo:
Si z = x + yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z = x − yi , es
decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo
opuesto.
Ejemplo:
Si z = 3 + 2i, entonces z = 3 - 2i y si z = 3 – 2i, entonces z = 3 + 2i .
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4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los
mismos mediante el plano ℝ 2 .Así como cada punto de una recta corresponde a un nº real, cada punto del
plano podría asociarse a un número complejo.
En un sistema de coordenadas cartesiano representamos en el eje de abscisas la componente real del nº
complejo y en el eje de ordenadas la componente imaginaria.
Eje
Imaginario
De esta forma, a cada número complejo le hacemos
corresponder un punto del plano:
P(a,b)
z = a + bi ↔ P(a,b)
b
a
(0,0)
Eje Real
Este punto de coordenadas P(a,b) se le llama afijo del número complejo z = a + bi.
Los afijos de los nº reales se sitúan sobre el eje real.
Los afijos de los nº imaginarios puros se sitúan sobre el eje imaginario.
Si unimos el origen de coordenadas con el punto P obtenemos un vector orientado llamado radio vector, que
representamos por OP , con lo cual, a cada nº complejo le corresponde un vector del plano.
Eje
Imaginario
P(a,b)
Con esta identificación, la suma de números
complejos se interpreta geométricamente con la
suma de vectores.
b
a
P(-a,-b)
Eje Real
P(a,-b)
Además, se tiene:
Los afijos de un nº complejo y de su conjugado son simétricos respecto del eje real.
Los afijos de un nº complejo y de su opuesto son simétricos respecto del origen de coordenadas.
Definición:
Se define el número complejo z = (a,b) como un par de números ordenados, siendo el primer nº la parte real
de z y el segundo la parte imaginaria de z.
Esta expresión del nº complejo z se llama forma cartesiana del nº complejo z = a + bi
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5.- OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
5.1.- Suma y resta
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
Ejemplos:
a) (3 + 2i) + (4 – i) = (3 + 4) + (2 – 1)i = 7 + i
b) (4 + 5i) + (-2+ i) = (4 – 2) + (5 + 1)i = 2 + 6i
c)
(4 + 6i) – (2+ 3i) = (4 – 2) + (6 – 3)i = 2 + 3i
d) (-3 + 2i) – (1+ 5i) = (-3 – 1) + (2 – 5)i = - 1 – 3i
Propiedades de la suma:
a) Conmutativa
b) Asociativa
c) Elemento neutro: 0 = 0 + 0i
(a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi
d) Elemento opuesto de a + bi: –a – bi
(a + bi) + (-a – bi) = (a – a) + (b – b)i = 0
5.2.- Producto
(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
2
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i
Ejemplos:
a) (3 + 2i) · (4 – i) = (12 + 2) + (-3 + 8)i = 14 + 5i
b) (4 + 5i) · (-2+ i) = (-8 – 5) + (4 – 10)i = -13 – 6i
c)
(3 + 5i) · (2 – i) = 6 – 3i + 10i + 5 = 11 + 7i
d) (4 – 7i) (3 – 2i) = 12 – 8i – 21i – 14 = -2 – 29i
Propiedades del producto:
a) Conmutativa
b) Asociativa
c) Elemento neutro: 1 = 1 + 0i
(a + bi) · (1 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi
d) Elemento inverso de a + bi:
a
b
−
i
a2 - b 2 a 2 - b 2
1
a - bi
a - bi
a
b
=
= 2 2 = 2 2 − 2 2i
a + bi (a + bi)(a - bi) a - b
a -b
a -b
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5.3.- División
a + bi ac + bd bc - ad
=
+
i
c + di c 2 + d2 c 2 + d2
a + bi a + bi c - di ac + bd + (-ad + bc)i ac + bd bc - ad
=
·
=
= 2
+
i
c + di c + di c - di
c 2 + d2
c + d2 c 2 + d2
Para dividir dos números complejos multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del
denominador
Ejemplos:
a)
20 + 30i 20 + 30i 3 - i 60 - 20i + 90i + 30 90 + 70i
=
·
=
=
= 9 + 7i
3+i
3+i
3-i
9 +1
10
b)
2 - 3i
2 - 3i -1- 2i -2 - 4i + 3i + 6 -8 - i
8 1
=
·
=
=
=- - i
2
2
-1+ 2i -1+ 2i -1- 2i
(-1) + (2)
5
5 5
c)
3 -12i 3 -12i 4 - i 12 - 3i - 48i -12 -51i
=
·
=
=
= -3i
4+i
4+i 4 -i
(4)2 + (1)2
17
d)
-1+ i -1+ i 1+i
-1- i + i -1 -2
=
·
=
= = -1
1- i
1- i 1+i (-1)2 + (1)2 2
Ejemplos.
1.- Si z1 = (3, 2) y z2 = (4, −1) , halla z1 + z2 , z1 · z 2 ,
z1
z2
z1 + z2 = (3, 2) + (4, −1) = ( 3 + 2i ) + ( 4 − i ) = 7 + i
z1 · z 2 = (3, 2) (4, −1) = (3 + 2i )(4 − i ) = 12 − 3i + 8i − 2i 2 = (12 + 2) + (−3 + 8)i = 14 + 5i
z1
z2
=
3 + 2i (3 + 2i )(4 + i ) 12 + 3i + 8i + 2i 2 (12 − 2) + (3 + 8)i 10 + 11i
=
=
=
=
4−i
(4 − i )(4 + i )
16 + 1
17
42 − i 2
2.- Determina k para que el cociente
k +i
1+ i
=
k +i
sea igual a 2 – i.
1+ i
(k + i)(1 − i) k − ki + i + 1 k + 1 1 − k
=
=
+
i
(1+ i)(1 − i)
1+ 1
2
2
⇒
k + 1 1− k
+
i=2−i
2
2
Para que dos nº complejos sean iguales deben ser iguales sus partes reales e imaginarias.
Por tanto, debe verificarse las siguientes igualdades:
k +1
=2⇒ k + 1 = 4 ⇒ k = 3
2
1− k
= − 1 ⇒ 1 – k = -2 ⇒ k = 3
2
Luego k = 3
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6.- NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Eje
Imaginario
Para definir un sistema de coordenadas polares
en el plano, fijamos un punto O, una semirrecta
denominado eje polar y marcamos un sentido de
rotación que será positivo si el semieje gira en
sentido contrario al movimiento de las agujas del
reloj.
P(a,b)
b
α
a
(0,0)
Eje Real
Un número complejo z = (a,b) = a + bi queda determinado también mediante otros dos elementos que
definimos a continuación:
Módulo del número complejo z expresa la distancia de su afijo al origen de coordenadas, es decir, es el
módulo del vector OP .
z = a + bi ⇒ | z | =
a 2 + b2
Argumento del número complejo z, z ≠ 0, es el ángulo que forma su radio vector con el eje positivo de
abscisas. Se representa por arg(z).
No se define el argumento del número complejo (0,0).
b

 arctg a si a ≠ 0

si a = 0, b > 0
Si z = a + bi ⇒ arg(z) = α, siendo α = 90º
 270º
si a = 0, b < 0


b
La expresión α = arctg
no determina unívocamente el argumento de un nº, pues hay
a
infinitos ángulos que cumplen la igualdad.
Restringiendo 0≤ α < 360º, hay dos ángulos que difieren en 180º que tienen la misma
tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento hay que tener en cuenta los signos de a y b,
de esta forma, se averigua en qué cuadrante está el afijo del nº complejo.
Ejemplos:
1) z = 1 + i ⇒ arg(z) = arctg 1 ⇒ α = 45º ó α = 225º
Como z = (1,1) ⇒ su afijo está en el primer cuadrante ⇒ α = 45º
|z|=
2) z = 1 –
1+1 =
2 ⇒z=
( 2)
45º
3 i ⇒ arg(z) = arctg(- 3 ) ⇒ α = 120º ó α = 300º
Como z = (1, - 3 ) ⇒ su afijo está en el cuarto cuadrante ⇒ α = 300º
| z | = 1 + 3 = 2 ⇒ z = 2 300º
Cuando el afijo de un número complejo viene dado por sus coordenadas cartesianas se denomina forma
cartesiana.
Si el afijo viene dado por sus coordenadas polares, se denomina forma polar de un nº complejo.
Si | z | = r y arg(z) = α, el número complejo se puede definir como z = rα. Esta es la forma polar de un
número complejo.
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6.1.- Paso de forma binómica a polar
Si conocemos un número en forma binómica, z = a + bi, su expresión polar es z = rα, donde:
r=
a 2 + b2
tg α =
b
b
⇒ α = arctg
a
a
Ejemplo:
1.- Expresar en forma polar el complejo z =
r=
3+i
3 +1 = 2
α = arctg
1
3
⇒ α = 30º ó α = 210º (Como z = ( 3 , 1) ⇒ su afijo está en 1º cuadrante ⇒ α = 30º)
Forma polar: z = 2 30º
2.- Expresar en forma trigonométrica el complejo z = (-2,-2)
r=
4+4 = 2 2
α = arctg 1 ⇒ α = 45º ó α = 225º (Como z = (-2,-2) ⇒ su afijo está en 3º cuadrante⇒ α = 225º)
Forma trigonométrica: z = ( 2 2 )45º = 2 2 ( cos 225º + i sen 225º)
3.- Expresar en forma polar el complejo z = z = 2 +
2i
 2
⇒ α = 45º ó α = 225º (z = (2,
arg(z) = arctg 
 2 


|z|=
4+2 =
6 ⇒z=
( 6)
2 ) ⇒ su afijo está en 1º cuad ⇒ α = 45º)
45º
6.2.- Paso de forma polar a binómica
Si conocemos un número en forma polar, z = rα , su expresión binómica es z = a + bi donde:
a = r · cos α
b = r · sen α
z = a + bi = r · cos α + i r · sen α = r (cos α + i sen α) = | z | ·(cos α + i sen α)
Esta expresión, z = | z | ·(cos α + i sen α), se llama forma trigonométrica del nº complejo
Ejemplos:
1.- Expresar en forma binómica el complejo z = 460º
a = r · cos α = 4 cos 60º = 4 · 0,5 = 2
b = r · sen α = 4 sen 60º = 4
3
= 2 3
2
⇒z=2+ 2 3i
2.- Expresar en forma cartesiana el complejo z = 3135º
3 2
2
3 2
b = r · sen α = 3 sen 135º =
2
a = r · cos α = 3 cos 135º = −
 3 2 3 2
⇒ z = −
,

 2
2 

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7.- OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
La forma polar no se emplea para sumar complejos por resultar mucho más sencilla y rápida la forma
binómica. Sin embargo, el producto y el cociente son más aconsejables en esta forma.
7.1.- Producto
rα · r´β = (r · r´)α + β
Sean los nº complejos: rα = r(cos α + i sen α)
r´β = r´(cos β + i sen β)
rα · r´β = r(cos α + i sen α) · r´(cos β + i sen β) = (r · r´)[(cos α + i sen α) · (cos β + i sen β)] =
= (r · r´)[(cos α cos β – sen α sen β) + i (cos α sen β + sen α cos β)] =
= (r · r´)[cos (α + β) + i sen (α + β)]
7.2.- División
rα  r 
=
sβ  s α - β
Supongamos que el complejo mβ es el inverso de rα , entonces se cumple rα · mβ = 1
1

 1
m·r = 1 → m =
r ⇒ mβ = mβ =  
 r - α
α + β = 0 → α = -β

rα · mβ = (r · m) α + β = 10 ⇒ 
 1
Luego el inverso del complejo rα es  
 r - α
rα
1
 1
r 
= rα ·
= rα ·   =  
sβ
sβ
 s - β  s α - β
7.3.- Potencia.
(rα )
n
(rα )
n
( )
= rn
nα
( )
= ( rα )·( rα )·...·( rα ) = (r · r ·...· r )α+α+...+α = r n
nα
Ejemplos:
Dados los siguientes números complejos:
z1 = 220º
;
z2 = 442º
;
z3 = 355º
calcula:
a) z1 · z2 = 220º · 442º = 862º
c)
z3
3
3
= 55º =  
z1
220º  2 35º
2
2
e) (z1) = (220º) = 440º
b) z2 · z3 = 442º · 355º = 1297º
d)
z2
4
= 42º = 222º
z1
220º
3
3
f) (z2) = (442º) = 64126º
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8.- RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO
En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma
trigonométrica un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes,
z = r · (cos α + i sen α) = r · [cos (α + 360º · k) + i sen (α + 360º · k)] con k ∈ ℤ .
Para cada valor de k habrá una representación diferente del número complejo z .
Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es:
z = n w ⇔ zn = w .
Raíz cuadrada
Sea z = rα , calcular las raíces cuadradas de z es buscar los números w tales que w2 = z
Llamando w = sβ , se tendrá:
 s2 = r → s = r

(sβ) = rα ⇒ (sβ) = (s )2β = rα ⇒ 
α
 2β = α + 360º k → β = +180º k
2

2
2
2
Si k = 0 ⇒ β1 =
α
2
Si k = 1 ⇒ β2 =
α
+ 180º
2
Si k = 2 ⇒ β3 =
α
+ 360º = β1
2
Por tanto hay sólo dos raíces:
( r)
y
α
2
( r)
α
+ 180º
2
Se puede decir que las raíces cuadradas del nº complejo rα son:
( r)
α + 360ºk
2
donde k = 0,1
Ejemplo
1+ i
Calcular las raíces cuadradas de
z = 1 + i = (1,1) =
Por tanto,
r=
α =
( 2)
2=
45º
4
⇒r=
2 y α = 45º
2
45º + 360º k
= 22,5º + 180º k donde k = 0,1
2
( 2)
= ( 2)
Si k = 0 ⇒ α 1 = 22,5º ⇒ w1 =
Si k = 1 ⇒ α 2 = 202,5º ⇒ w2
4
22,5º
4
202,5º
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Raíces cúbicas
Sea z = rα , calcular las raíces cúbicas de z es buscar los números w tales que w3 = z
Llamando w = sβ , se tendrá:
 s3 = r → s = 3 r

(sβ) = rα ⇒ (sβ) = (s )3β = rα ⇒ 
α
3β = α + 360º k → β = +120º k
3

3
3
3
Si k = 0 ⇒ β1 =
α
3
Si k = 1 ⇒ β2 =
α
+ 120º
3
Si k = 2 ⇒ β3 =
α
+ 240º
3
Si k = 3 ⇒β4 =
α
+ 360º β1
3
Por tanto hay sólo tres raíces, se puede decir que las raíces cúbicas del nº complejo rα son:
( r)
3
α + 360ºk
3
donde k = 0,1,2
Ejemplo
Calcular las raíces cúbicas de 8i
z = 8i = (0,8) = 890º ⇒ r = 8 y α = 90º
Por tanto,
r = 3 8 =2
α =
90º + 360º k
= 30º + 120º k donde k = 0,1,2
3
 3 1
Si k = 0 ⇒ α 1 = 30º ⇒ w1 = 230º = 2 (cos 30º + i sen 30º) = 2 
+i  = 3 +i
 2
2 


3 1
Si k = 1 ⇒ α 2 = 150º ⇒ w2 = 2150º = 2 (cos 150º + i sen 150º) = 2  −
+i  = − 3 +i
 2
2 

Si k = 2 ⇒ α 3 = 270º ⇒ w2 = 2270º = 2 (cos 270º + i sen 270º) = 2 (0 – i) = – 2i
Representando los afijos de cada una de las raíces, se obtiene un polígono regular, en este caso, un triángulo
equilátero inscrito en una circunferencia de radio 2.
−
3 +i
3 +i
-2i
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T4: NÚMEROS COMPLEJOS - 11
Raíces n–ésimas
El cálculo de las raíces n-ésimas de un número complejo no puede hacerse en forma binómica, pero resulta
muy sencillo en forma polar.
Supongamos que la raíz n-ésima del número complejo z = rα es sβ
n
r α = sβ ⇒ rα = (sβ) = (s ) β n , luego:
n
r = sn ⇒ s =
n
n
r
α+ 360º k
, dando valores enteros a k = 0,1, …, n – 1 se obtienen los n
n
α = βn + 360ºk ⇒ β =
argumentos diferentes que cumplen la condición impuesta.
Un número z = rα tiene n raíces n-ésimas:
n
rα =
( r)
n
α 360º
+
k
n
n
donde k = 0,1, …, n – 1
Los afijos de las n raíces n-ésimas de un número complejo están sobre una circunferencia de radio
cada 2 consecutivos forman un ángulo
360º
.
n
Ejemplo
Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.
r=1⇒
z = 1 + 0i = 10º ⇒
α =
6
1 =1
0º + 360º k
= 60º k donde k = 0,1,2,3,4,5
6
Si k = 0 ⇒ α 1 = 0º ⇒ w1 = 10º = cos 0º + i sen 0º = 1
Si k = 1 ⇒ α 2 = 60º ⇒ w2 = 160º = cos 60º + i sen 60º =
1
3
+
i
2 2
1
3
i
Si k = 2 ⇒ α 3 = 120º ⇒ w3 = 1120º = cos 120º + i sen 120º = − +
2 2
Si k = 3 ⇒ α 4 = 180º ⇒ w4 = 1180º = cos 180º + i sen 180º = – 1
1
3
Si k = 4 ⇒ α 5 = 240º ⇒ w5 = 1240º = cos 240º + i sen 240º = − −
i
2 2
Si k = 5 ⇒ α 6 = 300º ⇒ w6 = 1300º = cos 300º + i sen 300º =
Representación:
-
1
+
2
3 i
1
+
2
-1
-
1
2
3 i
1
3 i
1
2
3 i
1
3
−
i
2 2
n
r y