Análisis Dinámico: Integración

Anuncio
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Análisis Dinámico: Integración
Jesús Getán y Eva Boj
Facultat d’Economia i Empresa
Universitat de Barcelona
Marzo de 2014
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
1 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Integración indefinida
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Integración definida
Conceptos y propiedades
Función integral
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
2 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Podemos pensar que el origen de la integración está en la
búsqueda de solución a dos problemas,
1) Dada una función f (x) definida en un dominio D
abierto, halla una función F (x) tal que
F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ D. (Se puede ver como
operación inversa de la derivación).
2) Dada una función f (x) definida en un dominio D, tal
que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ D, dar una definición
del área entre la curva y = f (x) y el eje OX que no
recurra a la intuición geométrica.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
3 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Por simplificar, en lo que sigue estudiaremos el caso de una sola
variable y limitándonos al caso de que la función f sea continua en
D. En algunos momentos estudiamos el caso de una función que
tiene un número de discontinuidades finito en D.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
4 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Sea f (x) una función definida en un intervalo [a, b].
Definition
Llamaremos integral indefinida (brevemente integral) de la
función f (x) definida en [a, b], a una función F (x) tal que
F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) .
La escribiremos
Z
f (x) dx = F (x) + C ,
donde C es una constante.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
5 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Vamos a explicar la presencia de la constante C .
Antes, recordamos el siguiente Teorema
Theorem
Sea f (x) una funcion derivable en un dominio abierto D. Si
f 0 (x) = 0 para todo x ∈ D, entonces f (x) = c para todo x ∈ D y
para alguna constante c.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
6 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Suponemos que G (x) es otra integral de f (x) , entonces
G 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) . Con estas hipótesis podemos
enunciar
Theorem
Si F (x) y G (x) son dos integrales indefinidas de la misma función
f (x) entonces, las funciones F y G difieren en una constante.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
7 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Dem: Dadas F (x) y G (x) definidas para todo x ∈ (a, b) ,
construimos la función diferencia F (x) − G (x). Como ambas son
derivables en (a, b) , la diferencia también lo será. Por tanto
(F (x) − G (x))0 = F 0 (x) − G 0 (x) = f (x) − f (x) = 0,
(1)
y, en vitud del Teorema anterior, tenemos que F (x) − G (x) = C ,
que reescrito nos da
F (x) = G (x) + C .
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
8 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Este resultado nos sugiere que la solución de una integral indefinida
es una familia de funciones que depende de un parámetro C .
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
9 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Propiedades:
Dada la integral
Z
f (x) dx,
podemos enunciar algunas propiedades generales para simplificar el
cálculo de las integrales que se llaman propiedades de linealidad.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
10 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Primera propiedad:
Z
Z
kf (x) dx = k
f (x) dx.
Que se deduce del hecho de que (kF (x))0 = kF 0 (x) .
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
11 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Segunda propiedad:
Z
Z
(f (x) ± g (x)) dx =
Z
f (x) dx ±
g (x) dx.
Que se deduce del hecho de que
(F (x) − G (x))0 = F 0 (x) − G 0 (x) .
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
12 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Tercera propiedad:
Z
Z
(k1 f1 (x) ± · · · ± kn fn (x)) dx = k1
Z
f1 (x) ± · · · ± kn
fn (x) .
Que es una combinación de las reglas anteriores.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
13 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Cálculo de integrales
El problema que resolvemos en esta Subsección es el de encontrar
una función integral F (x) para la integral
Z
f (x) dx.
Con el objeto de calcularlas de una manera sencilla, podemos o
bien clasificarlas en tipos sencillos y fácilmente reconocibles o bien
dar reglas generales de cálculo sencillas.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
14 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Integrales inmediatas
Como regla de clasificación en tipos sencillos y fácilmente
reconocibles, podemos enunciar
Definition
Sea dada la integral
Z
f (x) dx.
Decimos que una integral es inmediata cuando, para solucionarla
sólo se requiere recordar las fórmulas elementales de derivación.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
15 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Veamos un ejemplo:
Calcular
Z
x dx.
Solución
1
F (x) = x 2 + C .
2
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
16 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Denotaremos por u = u (x) una genérica función real de variable
real.
R n 0
R u0
1
u u dx = n+1
u n+1 + C .
dx = ln u + C .
R u 0
R uu 0
e u dx = e u + C .
a u dx = ln1a au + C .
R
R u0
sin (u) u 0 dx = − cos (u) + C .
2 (u) dx = tan (u) + C .
R
R cos
−u 0
0
cos (u) u dx = sin (u) + C .
dx = ctan (u) + C .
2
(u)
R u0
R sin
0
−u
2 dx = arctan u + C .
2 dx = arcctan (u) + C .
R 1+u
R 1+u
0
u
−u 0
√
√
dx = arcsin u + C .
dx = arccos u + C .
1−u 2
R 1−u2 0
tan (u) u dx = − ln cos u + C .
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
17 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Las integrales inmediatas, junto con la propiedad de linealidad de
la integral indefinida y la regla de la cadena del cálculo de
derivadas nos permitirá calcular de manera sencilla muchas
integrales indefinidas.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
18 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Integrales por cambio de variable
Sea dada la integral
Z
f (x) dx.
Con el fin de simplificar la integral, podemos definir una nueva
variable t = g (x) de tal manera que podamos despejar fácilmente
la variable original x, resultando x = h (t) que al derivar nos da
dx = h0 (t) dt.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
19 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Al sustituir en la integral x y dx por los elementos respectivos,
resolver y por último deshacer el cambio, obtenemos
Z
Z
f (x) dx =
f (h (t)) h0 (t) dt = G (t) + C = G (g (x)) + C .
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
20 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Calcular
Z
6
3x 5 e x dx.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
21 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
La solución es:
Hacemos el cambio t = x 6 , entonces dt = 6 x 5 dx de donde
x 5 dx = dt
6.
Al sustituir en la integral
Z
5 x6
3x e
Z
dx =
dt
3
3e
=
6
6
t
Z
3
1 6
e t dt = e t + C = e x + C
6
2
.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
22 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Integrales por partes
Sean dos funciones u = u (x) y v = v (x). Si derivamos su
producto obtenemos
(uv )0 = (u (x) v (x))0 = u 0 (x) v (x) + u (x) v 0 (x) ,
al integrar la expresión se obtiene
Z
0
(u (x) v (x)) dx =
Z
0
Z
u (x) v (x) dx +
Jesús Getán y Eva Boj
u (x) v 0 (x) dx.
Análisis Dinámico: Integración
23 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Reordenando y simplificando da
Z
u (x) v 0 (x) dx = u (x) v (x) −
Z
u 0 (x) v (x) dx,
siendo esta expresión muy útil para la resolución de integrales.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
24 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Calcular
Z
xe x dx.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
25 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
La solución es:
Z
x
x
Z
xe dx = xe −
u=x
dv = e x dx
e x dx = xe x − e x + C .
du = dx
v = ex
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
26 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Integrales polinómicas racionales
Son integrales del tipo
Z
P (x)
dx,
Q (x)
donde P (x) y Q (x) son polinomios con coeficientes reales y los
grados de los polinomios son gradP (x) y gradQ (x).
La forma de resolverlas consiste en transformar los cocientes en
suma de fracciones simples.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
27 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
CASO 1. Si gradP (x) < gradQ (x) .
Descomponemos el polinomio Q (x) en factores primos (i.e.
usando la regla de Ruffini)
Veamos primero el caso en que todas las raı́ces son reales y
simples, por ejemplo
Q (x) = (x − a1 ) (x − a2 ) · · · (x − ak )
y transformamos el cociente en suma de fracciones simples de la
siguiente forma
P (x)
A1
A2
Ak
=
+
+ ··· +
,
Q (x)
x − a1 x − a2
x − ak
donde los coeficientes A1 , A2 , · · · , Ak son a determinar.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
28 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Resultando la integral
Z
P (x)
dx =
Q (x)
Z
A1
dx +
x − a1
Z
A2
dx + · · · +
x − a2
Z
Ak
dx,
x − ak
siendo todas inmediatas.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
29 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Ahora estudiamos el caso de que exista alguna raı́z de multilicidad
l. Por ejemplo
Q (x) = (x − a)l
y transformamos el cociente en suma de fracciones simples de la
siguiente forma
A1
A2
Al
P (x)
=
+
+ ··· +
,
Q (x)
(x − a) (x − a)2
(x − a)l
donde los coeficientes A1 , A2 , · · · , Al son a determinar.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
30 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Resultando la integral
Z
P (x)
dx =
Q (x)
Z
A1
dx +
x − a1
Z
Z
A2
(x − a)
2
dx +· · ·+
Al
(x − a)l
dx,
siendo todas inmediatas.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
31 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
CASO 2. Si gradP (x) ≥ gradQ (x) .
Efectuamos la división de los polinomios, resultando
P (x) = c (x) Q (x) + r (x) donde c (x) es el cociente y el r (x)
resto de la división. Finalmente, resolvemos la integral
Z
P (x)
dx =
Q (x)
Z Z
Z
r (x)
r (x)
c (x) +
dx,
dx = c (x) dx+
Q (x)
Q (x)
donde la última integral, como gradr (x) ≤ gradQ (x) , se resuelve
como en el CASO 1.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
32 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Calcular
Z
5
dx.
x 2 − 3x + 2
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
33 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
La solución es:
Primero miramos los grados de los polinomios y notamos que
gradP (x) = 0 < 2 = gradQ (x) . Por tanto estamos en el Caso 1.
Por Ruffini tenemos que
x 2 − 3x + 2 = (x − 1) (x − 2) ,
entonces la suma de fracciones simples será de la forma
x2
5
A1
A2
=
+
,
− 3x + 2
x −1 x −2
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
34 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Veamos un procedimiento de cálculo de los coeficientes:
5 (x − 1) (x − 2)
A1 (x − 1) (x − 2) A2 (x − 1) (x − 2)
=
+
,
x 2 − 3x + 2
x −1
x −2
al simplificar 5 = A1 (x − 2) + A2 (x − 1) ,
desarrollando 5 = A1 x − 2A1 + A2 x − A2 ,
reagrupando 5 = (A1 + A2 ) x − 2A1 − A2 ,
Aplicando la regla que dice, dos polinomios son iguales si los
coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. Resulta
el sitema de ecuaciones
A1 + A2 = 0
⇒ A1 = −5 y A2 = 5.
−2A1 − A2 = 5
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
35 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
Por tanto, la integral queda como sigue:
Z
5
dx =
2
x − 3x + 2
Z
−5
dx +
x −1
Z
5
dx
x −2
= −5 ln (x − 1) + 5 ln (x − 2) + C .
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
36 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Calcular
Z
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
x 2 − 3x + 2
dx.
x −4
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
37 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Métodos de integración
La solución es:
Primero miramos los grados de los polinomios y notamos que
gradP (x) = 2 ≥ 1 = gradQ (x) . Por tanto estamos en el Caso 2.
Efectuando la división obtenemos que
x 2 − 3x + 2
6
=x +1+
,
x −4
x −4
luego la integral es
Z 2
Z
Z
x − 3x + 2
6
dx = (x + 1) dx +
dx
x −4
x −4
=
x2
+ x + 6 ln (x − 4) + C .
2
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
38 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Definition
Llamaremos integral definida de la función f (x) definida en
[a, b], a
Z b
f (x) dt = F (x)|ba = F (b) − F (a).
a
donde
F 0 (x)
= f (x) para todo x ∈ (a, b) .
Se conoce como Regla de Barrow.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
39 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Dada la integral
Z
b
f (x) dx,
a
podemos enunciar algunas propiedades generales para simplificar el
cálculo de las integrales definidas
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
40 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Primera propiedad: Propiedad aditiva en el intervalo [a, b].
Si c ∈ (a, b) tenemos que
Z
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
Jesús Getán y Eva Boj
b
f (x) dx.
c
Análisis Dinámico: Integración
41 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Segunda propiedad: Sobre los lı́mites de integración
Z
b
Z
f (x) dx = −
a
Jesús Getán y Eva Boj
a
f (x) dx
b
Análisis Dinámico: Integración
42 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Tercera propiedad:
Z
b
Z
a
Jesús Getán y Eva Boj
b
f (x) dx.
kf (x) dx = k
a
Análisis Dinámico: Integración
43 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Cuarta propiedad:
Z
b
Z
a
Jesús Getán y Eva Boj
Z
f (x) dx ±
(f (x) ± g (x)) dx =
a
b
b
g (x) dx.
a
Análisis Dinámico: Integración
44 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Quinta propiedad:
Sean f , g ∈ [a, b] tal que f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b].
Entonces
Z
b
Z
f (x) dx ≤
a
Jesús Getán y Eva Boj
b
g (x) dx.
a
Análisis Dinámico: Integración
45 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Sexta propiedad:
Z
a
b
Conceptos y propiedades
Función integral
Z
f (x) dx ≤
Jesús Getán y Eva Boj
b
|f (x)| dx.
a
Análisis Dinámico: Integración
46 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Ejemplo de función definida a tramos:
3
x si x ∈ [0, 1) ,
Dada la función f (x) =
1 si x ∈ [1, 4] .
Calcular la integral
Z
4
f (x)dx
0
Solución:
Z
0
1
x 3 dx +
Z
4
1dx =
1
Jesús Getán y Eva Boj
x4
4
1
0
+ [x]41 =
13
1
+3=
4
4
Análisis Dinámico: Integración
47 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Función integral
Sea f (x) una función definida en un intervalo [a, b] con la
caracterı́stica de que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].
Definition
Llamaremos función integral de la función f (x) definida en
[a, b], a una función A (x) definida por
Z x
A (x) =
f (t) dt = F (x) − F (a) para todo x ∈ [a, b] .
a
En general la escribiremos
Z x
A (x) =
f (t) dt + C para todo x ∈ [a, b] ,
a
donde C es una constante.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
48 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Conceptos y propiedades
Función integral
Entendemos como función integral a la función que se define
cuando uno de los extremos del intervalo de integración para una
función f (x) es de carácter variable, con tal de que f (x) conserve
su carácter de integrable dentro del intervalo en cuestión.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
49 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
Aplicación al cálculo de áreas
Cálculo del área de una función positiva en un intervalo
Dada f (x) = x + 4, calcular el área en el intervalo [1, 3].
3
Z
1
x2
(x + 4)dx =
+ 4x
2
Jesús Getán y Eva Boj
3
= 12
1
Análisis Dinámico: Integración
50 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
Cálculo del área de una función negativa en un intervalo
Dada f (x) = x 2 − 4x + 3, calcular el área en el intervalo [1, 3]
Z
3
(x 2 − 4x + 3)dx =
1
Área es igual a
x3
− 2x 2 + 3x
3
3
=−
1
4
3
4
3
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
51 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
Cálculo del área de función que alterna signo en un intervalo
Dada f (x) = x 2 − 4x + 3, calcular el área en el intervalo [0, 3]
Z
3
Z
2
(x − 4x + 3)dx =
0
1
Z
2
0
x3
− 2x 2 + 3x
=
3
3
(x − 4x + 3)dx −
1
(x 2 − 4x + 3)dx =
1
x3
−
− 2x 2 + 3x
3
0
Jesús Getán y Eva Boj
3
=
1
4
4
8
− (− ) =
3
3
3
Análisis Dinámico: Integración
52 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
Cálculo del área entre dos funciones
Calcular el área comprendida entre la recta f (x) = x + 3 y la
parábola f (x) = x 2 − 4x + 3.
Primero calculamos los puntos de intersecció de la recta y la
parábola (x, y ) = (0, 5) y (x, y ) = (5, 8).
Podemos ver gráficamente que la recta está por encima de la
parábola. Aunque no es necesario si utilizamos el valor absoluto.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
53 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
5
Z
((x + 3) − (x 2 − 4x + 3))dx =
0
Z
0
5
5
3
5 2
125
x
=
(−x + 5x)dx = − + x
3
2
6
0
2
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
54 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
Generalizando todo lo anterior, tenemos la siguiente regla:
Supongamos dos funciones f (x) y g (x), con puntos de corte de
abcisas x1 , x2 , . . . , xn . El área comprendida entre ambas funciones
se calcula como:
Z
x2
x1
Z x3
f (x) − g (x) dx + f (x) − g (x) dx + · · · +
x2
Z
xn
f (x) − g (x) dx xn−1
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
55 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
Aplicaciones económicas: Coste total con base al coste
marginal.
Sea C 0 (x) = x 3 + 2x el coste marginal de generar la x-ésima
unidad de un cierto producto. Hallar el coste total suponiendo que
los costes fijos son 45 u.m.
¿Cuánto cuesta producir 100 unidades?
Nota: Tambié se puede hacer un ejemplo parecido con el ingreso
marginal.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
56 / 57
Integración indefinida
Integración definida
Aplicación de las integrales
Aplicación al cálculo de áreas
Aplicaciones económicas
La solución es:
Primero calculamos el valor de los costes fijos
Z
C (0)
0
(t 3 + 2t) dt + C = 45 ⇒ C = 45.
0
La función coste total será la suma de los costes variables ms los
costes fijos:
Z x
x4
+ x 2 + 45.
C (x) =
(t 3 + 2t) dt + 45 =
4
0
El coste total de producir 100 unidades es C (100) =
R 100
0
t 3 + 2t dt + 45 =
1004
4
+ 1002 + 45 = 25.010.045 u.m.
Jesús Getán y Eva Boj
Análisis Dinámico: Integración
57 / 57
Descargar