1. Sistemas Físicos 1. Sistemas Físicos _________________________ 1 1.1. Introducción ___________________________________________ 2 1.2. Sistemas Mecánicos _______________________________________ 3 1.3. Sistemas Eléctricos _______________________________________ 5 1.4. Sistemas Hidráulicos ______________________________________ 7 1.5. Sistemas Múltiples ______________________________________ 12 1 1.1. Introducción Sistemas lineales y no lineales. No existen sistemas lineales Pero, .... en este curso simplificaremos todos los sistemas a sistemas lineales. 2 1.2. Sistemas Mecánicos Ejemplo 1. Traslación Mecánica Ley de Newton ma F [1.1] ma t bv t kx t p t [1.2] d 2 x t dx t m b kx t p t dt 2 dt [1.3] m d 2 x t dt 2 f dx t dt kx t p t g m seg 2 Nseg m m seg N m m N [1.4] [1.5] 3 Ejemplo 2. Rotación Mecánica Ley de Newton J P [1.6] Ahora quiero ver cómo varía la velocidad J t b t P t [1.7] rad Nm Nmseg 2 rad 2 Nmseg seg seg [1.8] 4 1.3. Sistemas Eléctricos Ejemplo 3. Circuito Eléctrico Ley de Kirchhoff L di 1 Ri idt e dt C [1.9] tensión en el condensador ec 1 idt C [1.10] H A seg A 1 F Aseg V [1.11] En términos de carga eléctrica, dq 2 di 1 dq 1 d q dq 1 L Ri idt L dt R q L R q dt C dt dt C dt dt C d d 2q dq 1 L R qe dt dt C [1.12] [1.13] 5 comparar esta ecuación con la de traslación mecánica. Ejemplo 4. Sismógrafo mx0 b x0 xi k x0 xi 0 y x0 xi my by ky 0 6 1.4. Sistemas Hidráulicos Ejemplo 5. Nivel de Líquidos Qo K H linealizando qo R0 h la constante dv qi qo dt dh A qi Ro h dt 7 Ejemplo 6. Sistema de Dos Tanques q1 A1 h1 h2 R1 dh1 q q1 dt h2 q2 R2 A2 dh2 q1 q2 dt 8 Ejemplo 7. Sistema Neumático Se define Kg d P m 2 variaciòn de diferencia de presión de gas R dq variaciòn de caudal Kg seg Kg dm d m3 variaciòn de la masa de gas acumulado 3 C V m dp dp variaciòn de presión de gas Kg 2 m 9 en una aproximación, se puede considerar d 1 dp nRgasT para una misma temperatura, esta variación es constante En la figura, se intenta controlar la presión interior, variando la presión de entrada R d P pi po dq q0 C dm qdt d V dpo dpo dpo Cdpo qdt dpo pi po dt R dp RC o po pi dt C 10 11 1.5. Sistemas Múltiples Ejemplo 8. Sistemas múltiples m1 x1 b1 x1 x2 k1 x1 u1 m2 x2 b1 x2 x1 k2 x2 u2 12 Ejemplo 9. Acelerómetro la caja está unida a la estructura del avión mx0 b x0 xi k x0 xi mgsen 0 y x0 xi my by ky mxi mg sen nuevas variables z y mg sen k w xi mz bz kz mw b k z z z w m m 13 Ejemplo 10. Tren de Engranajes J11 f11 T1 Tm J 22 f 22 T3 T2 igualdad de trabajos T11 T2 2 T2 T1 N2 N1 J 33 f33 Tl T4 T4 T3 N4 N3 3 2 N3 N N 1 1 3 N4 N2 N4 14 N N N J11 f11 1 J 22 f 22 1 3 J 33 f33 Tl Tm N2 N2 N4 N12 N12 N 32 N12 N12 N 32 N12 N 32 J1 N 2 J 2 N 2 N 2 J 3 1 f1 N 2 f 2 N 2 N 2 f3 1 N 2 N 2 Tl Tm 2 2 4 2 2 4 2 4 J1eq1 f1eq1 T1eql Tm 15 Ejemplo 11. Tanque Agitado Fi , Ti h Fst Q T F ,T Masa total de líquido en el tanque V Ah donde, : densidad del líquido (se supone independiente de la temperatura) V : volumen del líquido 16 A, h : área del recipiente y altura del líquido E U int K cin P pot como el tanque no se mueve dK dP 0, dt dt dE dU 0 dt dt para líquidos dU dH dt dt siendo H la entalpía total del líquido en el tanque y es, H Vc p T Tref Ahc p T Tref donde c p : capacidad calórica del líquido en el tanque Tref : la temperatura a la cual la entalpía específica es cero. 17 Se definen las siguientes variables de estado: xT h T parámetros constantes: , A, c p , Tref Balance de masa: d Ah Fi F dt Ah F F Fi , F : caudales de entrada y salida i Balance de energía: Acum. de energía energía de entrada energía de salida energía del vapor tiempo tiempo tiempo tiempo dH d Ahc p T Tref Fi c p T Tref Fi c p T Tref Q dt dt siendo Q la energía calórica por unidad de tiempo del vapor 18 suponiendo Tref 0 A dhT Q FT FT i i dt cp A dhT dT dh dT Q Ah AT Ah T Fi F FT FT i i dt dt dt dt cp Ah dT Q Fi Ti T dt cp Las ecuaciones de estado son: Ah Fi F Q AhT F T T i i cp variables de estado: xT h T variables de salida (medidas): yT h T variables de entrada (manipuladas): u T Q F 19 d T Ti perturbaciones (no controladas): Fi parámetros constantes: , A, c p , Tref Analizar: - equilibrio - una reducción de Ti - una reducción de Fi Linealización en un punto de trabajo. Equilibrio Ah Fi F 0 Q AhT F T T 0 i i c p Fi F F0 F0 Ti 0 T0 Q0 cp 20 desarrollo en serie entorno al punto de equilibrio h Fi F dh F F dh F F 1 F F 1 F F 1 F F i 0 0 i 0 0 i dF A A A A A 0 dFi Fi Fi Q Q T Ti T Ti T Ah c p Ah Ah c p Ah 0 T T F F i Fi Fi 0 i Ti Ti 0 i T T0 Ah 0 Ah 0 Ah 0 1 c p Ah F Q 1 i Q Q0 Ti T 2 h h0 c p A h A 0 0 F Ti 0 T0 Fi 0 Fi 0 1 Q0 1 i0 T Fi Ti T Q Ti 0 T0 2 h Ah0 Ah0 Ah0 c p Ah0 c p A h0 A 21 h 0 T a21 h 1 T 0 0 h 0 b12 Q 0 bd 12 Ti a22 T b21 0 F bd 21 bd 22 Fi 0 h 1 T 22 Ejemplo 12. Columna de Destilación Binaria - mezcla líquida (saturada) de A yB mol Flujo molar de entrada - Ff min - c f fracción molar de A - 23 Simplificaciones - Vapor en plato, despreciable - Pérdidas de la columna, despreciable Ecuaciones de Estado - Para el Plato de entrada: i f Masa total: dM f Ff L f 1 V f 1 L f V f dt Ff L f 1 L f Componente A d M f xf dt F c f f L f 1 x f 1 V f 1 y f 1 L f x f V f y f 24 - Para el Plato Superior: i N Masa total: dM N FR VN 1 LN VN FR LN dt Componente A d M N xN FR xD VN 1 y N 1 LN xN VN y N dt - Para el Plato Inferior: i 1 Masa total: dM 1 L2 L1 V V1 L2 L1 dt Componente A d M 1 x1 L2 x2 Vyb L1 x1 V1 y1 dt 25 - Para el resto de los Platos: i 2 N 1, i f Masa total: dM i Li 1 Li Vi 1 Vi Li 1 Li dt Componente A d M i xi Li 1 xi 1 Vi 1 yi 1 Li xi Vi yi dt - Para el Tambor (drum) de Reflujo Masa total: dM RD VN FR FD dt Componente A d M RD xRD VN y N FR FD xD dt 26 - Para la Base de la Columna Masa total: dM B L1 V FB dt Componente A d M B xB dt L1 x1 Vy B FB xB Estas son las ecuaciones de estado que describen la dinámica de la columna. Las variables de estado son: Cantidades de líquido (holdups): N 2 Concentraciones en líquido: N 2 27 Falta definir: Ecuaciones de equilibrio: yi xi 1 1 xi i 1, 2, , f ,, N , B Relaciones hidráulicas (fórmula de Francis para represas): Li f M i i 1, 2, , f ,, N 28 Definición de variables y objetivos: Perturbaciones: - Ff , c f Objetivos: - Mantener en valores deseados xD , xB , M RD , M B Las composiciones se especifican por consideraciones de calidad Las cantidades restantes, por consideraciones operativas (inundación o vaciado) 29 Cuidado con especificar más independientes (grados de libertad). objetivos que el número de variables Objetivos posibles: - Mantener FD , xD , M RD y M B , o - Mantener FB xB M RD M B , , y ,o Objetivo imposibles: - Mantener FD , xD , FB , xB , M RD y M B simultáneamente 30 31 - Planta más compleja. Origen de las perturbaciones 32 Ejercicios 33 34 Ejemplo 13. Servomotores Dos tensiones desfadas 90 grados. Fase fija: 60, 400, 1000 Hz. El signo de Ec da el sentido de giro y el par generado es proporcional a la amplitud de Ec. Relación torque-velocidad. Para cierto entorno se puede considerar lineal. J J m n2 J c b bm n 2bc T K n K c Ec J b J b K n K c Ec 35 36 Ejemplo 14. Motor Controlado Por Armadura K f if T K f i f K i ia Kia e fcem eb K b La ia R a ia eb ea J b T Kia 37 38 Ejemplo 15. Motor de CC controlado por Campo K f if T K f i f K i ia K 2i f L f if R f i f e f J b T K 2i f 39 Ejemplo 16. Sistema Hidráulico Relación no lineal Q f X , P [1.14] 40 Linealización sobre un punto de operación Q f X , P Q Q Q X X X P P Q X X P X X P P P P [1.15] Se podrían tomar incrementos Q Q q X X x [1.16] P P p q k1 x k 2 p [1.17] Volúmenes A dy q dt [1.18] velocidad de salida dy q dt A [1.19] 41 A dy k1 x k2 p dt [1.20] La fuerza desarrollada por el pistón es F Ap A dy k x A 1 k2 dt [1.21] La ecuación de la carga my by F A k1 x A y k2 A2 Ak my b y 1 x k2 k2 [1.22] [1.23] 42 Cuádruple Tanque 3,7 1 62 s 1 y1 y 4,7 1 1 2 30s 1 90s 1 3,7 1 2 23s 1 62s 1 u1 u 4,7 2 2 90 s 1 43