Recurso M.1.2 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 1 © LEMA 2007 Recurso M.1.2 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 2 © LEMA 2007 Recurso M.1.2 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 3 © LEMA 2007 Recurso M.1.2 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 4 © LEMA 2007 Recurso M.1.2 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 5 © LEMA 2007 Recurso M.1.2 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 6 © LEMA 2007 Recurso M.1.2 Tarea: Contexto Conocimiento matemático Soluciones Actividad de quien la resuelve MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.2 página 7 © LEMA 2007 Recurso M.1.3 Directrices para la reflexión Respecto al contexto de la tarea: ¿Es real? ¿Es auténtica? ¿O es una reproducción más o menos distorsionada de un segmento de la realidad con un propósito únicamente didáctico? ¿Es interesante para los alumnos? ¿Es relevante para sus vidas (vida diaria, democrática, crítica, profesional)? Respecto al conocimiento matemático implicado: ¿Está determinado por completo? ¿Es posible utilizar distintos elementos de conocimiento matemático (incluso de dominios matemáticos distintos)? Respecto a las soluciones esperadas: ¿Cuántas soluciones se esperan? ¿Cuál es la naturaleza de la(s) solución(es) esperada(s)? ¿Un número, una medida, un gráfico, una expresión algebraica, un cuadro? ¿Hasta qué punto es importante la relación entre la solución obtenida y el punto de partida? Respecto a la actividad del que resuelve el problema: ¿Se espera que él o ella lleven a cabo un procedimiento proporcionado por adelantado como la manera óptima de resolver la tarea? ¿O se espera que explore la situación, construya distintas maneras de trabajar, busque nuevas preguntas, interprete y valide su solución? MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.3 página 1 © LEMA 2007 Recurso M.1.4 Contexto Conocimiento matemático Soluciones Actividad de quien la resuelve TAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4 TAREA 5 TAREA 6 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 1 © LEMA 2007 Recurso M.1.5 Este recurso proporciona algunas sugerencias sobre cómo uno podría trabajar con las tareas contenidas en este módulo. Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Intenta calcular, aproximadamente, el volumen que ocupan las hojas de papel que contienen las firmas. Las suposiciones deben hacerse basándose en el número de firmas por hoja y en si ambas caras del papel se utilizan o no. Por ejemplo: 10 firmas por hoja en una sola cara sólo requerirían 4.000.000 ÷ 10 = 400.000 hojas. ¿Cuál es el volumen que ocupa este número de hojas de papel? Se puede utilizar una caja normal, que contiene 2.500 hojas de papel (las medidas son aproximadas): 31 cm x 23 cm x 25 cm = 25.000 cm3 = 0,025 m3 Esto quiere decir que 400.000 ÷ 2.500 = 160 cajas necesarias, que ocupan, aproximadamente: 160 x 0,025 = 4 m3 Finalmente, necesitamos saber la capacidad de cada furgoneta. Esta información puede encontrarse en una página web de alquiler de furgonetas: “Ford Transit – 5 puertas – Capacidad de carga 5.5m3 (aprox.).” Por lo tanto, una sola furgoneta es suficiente para llevar las firmas al Congreso. Considerando que se ha hecho una estimación por lo bajo del número de firmas por hoja, parece que no se necesitaban 10 furgonetas. Tarea 2: «Frecuencia cardiaca» Se proporcionan dos funciones que describen la relación entre la edad, x, y la Frecuencia Cardiaca Máxima Recomendada (FCMR): MRHR old ( x) 220 x frente a MRHR new ( x) 208 0,7 x Hay que hallar la edad después de la cual la nueva fórmula proporciona una mayor Frecuencia Cardiaca Máxima Recomendada. MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 1 © LEMA 2007 Recurso M.1.5 Una solución algebraica: edad x / MRHRnew ( x) MRHRold ( x) edad x / 208 0,7 x 220 x edad x / 0,3x 12 edad x / x 12 0,3 x 40 Desde los 40 años en adelante la nueva fórmula recomienda una frecuencia cardiaca máxima mayor que la fórmula antigua. EDAD FCMR nueva FCMR antigua También se puede adoptar un enfoque aritmético. La Frecuencia Cardiaca Máxima Recomendada que proporciona cada fórmula puede calcularse utilizando una hoja de cálculo. Los datos muestran que a los 40 años la Frecuencia Cardiaca Recomendada proporcionada por cada fórmula es la misma. Desde los 40 años en adelante la nueva fórmula recomienda una frecuencia cardiaca máxima mayor que la fórmula antigua. 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 201 200,3 199,6 198,9 198,2 197,5 196,8 196,1 195,4 194,7 194 193,3 192,6 191,9 191,2 190,5 189,8 189,1 188,4 187,7 187 186,3 185,6 184,9 184,2 183,5 182,8 182,1 181,4 180,7 180 179,3 178,6 177,9 177,2 176,5 175,8 175,1 174,4 173,7 210 209 208 207 206 205 204 203 202 201 200 199 198 197 196 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 184 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 2 © LEMA 2007 Recurso M.1.5 Tarea 3: «Festival de música» Esta es una tarea muy abierta. Deben hacerse muchas suposiciones para asegurarse de que la tarea es lo suficientemente simple como para intentarlo. Una simplificación posible podría ser distinguir entre el uso de las distintas zonas del festival: zona de equipamiento general (entrada, escenarios, camiones, servicios médicos, bares al aire libre, servicio de seguridad, aseos, etc.), zona en la que la gente estará de pie escuchando los conciertos, zona donde se colocarán las tiendas de campaña, otras zonas: senderos, arbolado... Hay que asignar un porcentaje a cada zona: por ejemplo, se puede asumir que el 50% se podría utilizar para personas de pie y sus tiendas de campaña y el otro 50% para equipamiento general, senderos, arbolado... Esto quiere decir que hay 1.800.000 metros cuadrados disponibles para personas. Trabajando con estos datos, son necesarias nuevas decisiones sobre el espacio necesario para las tiendas y el espacio necesario para los conciertos. Por ejemplo, puede ser razonable asignar 1 metro cuadrado por persona que asista al concierto, aunque las reglas de seguridad pueden sugerir un área mayor. También es necesario calcular el área que ocupa una tienda (las páginas web de fabricantes de tiendas sugieren que una tienda para dos personas puede ocupar entre 5 y 6 metros cuadrados, pero también hay que calcular el espacio entre las tiendas. Diez metros cuadrados por tienda puede ser una buena estimación). Finalmente, puede suponerse que todas las personas que asistan al festival utilizarán tiendas para dormir (esto probablemente no sea así, pero los organizadores tienen que estar preparados por si acaso). Con estas aproximaciones y simplificaciones de la situación, una manera de proceder puede ser fijar un número hipotético de entradas (por ejemplo, 150.000, el número que se vendió en 2005) y calcular el área necesaria: Para los conciertos: 150.000 m2 Para las tiendas: o si es de un solo uso: 10 m 2 * 150.000 1.500.000 m 2 o si es de doble uso: 750.000 m2 Esto sugiere que las suposiciones que hemos hecho tienen que revisarse para confirmar esta estimación, o que el número de entradas vendidas debe aumentarse. MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 3 © LEMA 2007 Recurso M.1.5 Tarea 4: «Gas natural» Para resolver esta tarea necesitamos suposiciones sobre el consumo de gas. El enfoque más simple es suponer que el consumo de gas es constante si tomamos un período largo. No obstante, se pueden considerar distintos ritmos de consumo para períodos distintos. Para desarrollar el primer caso se pueden considerar distintos enfoques. Dependiendo de la competencia matemática, se puede utilizar una simulación aritmética (usando o no una hoja de cálculo) o un enfoque algebraico. En ambos casos, las representaciones gráficas podrían ser útiles para comparar el consumo de gas a lo largo del tiempo. Un modelizador más sofisticado podría utilizar parámetros para controlar y modificar el consumo de gas dependiendo de los resultados que proporcione su modelo. Ejemplos: Mismo consumo (2,5 billones de metros cúbicos) cada año: o Modelo aritmético: 141,8 ÷ 2,5 = 56,72 hay gas para los siguientes 56 años en 2050 las reservas de gas natural estarán vacías (a menos que se encuentren nuevos yacimientos). o Modelo algebraico: sean x los años desde 1993 y G(x) el gas que queda en las reservas. Entonces: G( x) 141,8 2,5x . Las reservas 141,8 estarán vacías cuando G(x) 0 x 56,72 . Entonces, 57 años 2,5 después de 1993, las reservas de gas natural estarán vacías (a menos que se encuentren nuevos yacimientos). Aumentar el consumo (+10%) cada año1: o Modelo aritmético (utilizando una hoja de cálculo): Consumo Reservas o 2006 2007 2008 2,5 2,75 3,025 109,3 2009 2010 2011 3,3275 3,66025 4,02628 106,55 103,525 100,198 96,5373 2012 2013 2014 2015 2016 4,4289 4,87179 5,35897 5,89487 6,48436 92,511 88,0821 83,2103 77,8513 71,9564 65,4721 o Modelo algebraico: sean x los años transcurridos desde 2006 y G(x) el 1,1x 1 1 gas que queda en las reservas. Entonces: G ( x) 109,3 2,5 1,1 1 o Modelo gráfico: 1 Empezando en 2007 y considerando que el consumo de gas desde 1993 hasta 2006 ha sido de 2,5 billones de metros cúbicos anuales de media. Eso quiere decir que habrá 109,3 billones de metros cúbicos a finales de 2006. MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 4 © LEMA 2007 Recurso M.1.5 Consumo ascendente (+10%) 120 100 Billones de metros cúbicos 80 60 Consumo de gas Reservas de gas 40 20 0 200620072008200920102011201220132014201520162017201820192020202120222023 -20 Años Tarea 5: «Huevos de pascua» Daniela ha encontrado 23 huevos. Ha encontrado 9 huevos más que Cris Cris ha encontrado 23 + 9 = 14 huevos. Juani ha encontrado tantos huevos como Cris y Daniela juntos Juani ha encontrado: 23+14=37 huevos. Tarea 6: «Vecinos» El único dato disponible es que hay 8 pisos en el edificio. Más allá de esto, hay que hacer suposiciones para simplificar y estructurar la situación. Encontrar el intervalo en el que se encuentra el número de personas en el bloque de pisos es quizá un mejor enfoque que encontrar una solución única. La fotografía muestra que el bloque tiene una estructura geométrica regular. Quizá podría resultar razonable suponer que hay 4 pisos por planta. Esto quiere decir que hay 32 pisos en total. Partiendo de esto, podría resultar de mucha ayuda tener más información sobre la zona en la que está el edificio. Por ejemplo, si es una zona en la que normalmente todos los pisos están ocupados por completo o es una zona en la que hay muchos pisos vacíos. O podría ser importante la estructura social de la zona: por ejemplo, si hay gente joven, gente mayor, familias jóvenes, inmigrantes... Otra información social, como el número probable de miembros de una familia o el porcentaje de gente que vive sola, podría ser muy útil también y puede estar disponible en Internet. MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 5 © LEMA 2007 Recurso M.1.5 La estimación más baja sería 0. La más alta es difícil, pero no es corriente que más de 6-8 personas vivan en el mismo piso (una gran familia): esto nos lleva a un rango de unas 192-256 personas. Una estimación realista debe incluir personas que vivan solas (1 persona), familias jóvenes (sin hijos) o familias mayores (cuyos hijos o hijas ya no viven con ellos, 2 personas) y familias medias (4-6 personas). Por ejemplo, si la mitad de los pisos los ocupan familias medias, un cuarto por familias de dos miembros y un cuarto personas viviendo solas, habrá entre 88 y 120 personas. Si usamos parámetros, si f son las familias medias (4 miembros), a las personas que viven solas y t las familias de dos miembros, la cantidad total de personas que viven en el piso puede representarse con la expresión algebraica: T ( f , a, t ) 4 f a 2t MODELIZACIÓN ▪ ¿Qué es la modelización? ▪ Recurso M.1.5 página 6 © LEMA 2007