x S Cv = n S x t µ − = - Universidad Nacional Agraria La Molina

Universidad Nacional Agraria La Molina
Facultad de Ingeniería Agrícola – DRAT
IA-4026 Hidrología Aplicada
Ing. Eduardo A. Chávarri Velarde
CLASE X
ANÁLISIS PROBABILISTICO DE LAS VARIABLES PRECIPITACIÓN TOTAL ANUAL Y
CAUDAL MEDIO ANUAL
1. Longitud necesaria de registro
Diversos investigadores como Rubinstein et al, han estudiado el problema de encontrar el
período más racional para obtener valores estables y mutuamente comparables de los diversos
elementos meteorológicos y concluyen que para el caso de la precipitación, un periodo de 30
años es aún insuficiente para obtener un promedio estable de precipitación total mensual, pero
son suficientes para un promedio de precipitación total anual.
Cuantitativamente se puede utilizar el parámetro estadístico: Coeficiente de Variación (Cv),
definido como:
Cv =
S
x
, para indicar que valores menores a 0.20 indican para la mayoría de
los propósitos una aceptable longitud de la serie y una moderada variabilidad. Valores de Cv
mayores a 0.25 puede indicar que la serie de datos de lluvia anual es muy corta para obtener
de ella estimaciones confiables.
Shuh Chai Lee (1956), utilizó la estadística de la media para estimar la longitud de registro
necesario para determinar el valor medio de los datos dentro de ciertos límites seleccionados
de la media poblacional (µ) , comúnmente el 5% o 10%, esto implicaría que
0.95
x
y 1.05
x
o 0.90
x
y 1.1
x estaría entre
x , respectivamente.
Para probar los anterior se puede utilizar la distribución t de Student, ν=n-2 grados de libertad,
siendo n el tamaño de la muestra o también el valor buscado y un nivel de significancia α. El
estadístico t está definido por la siguiente ecuación:
t=
2
Despejando n se obtiene n =
S
t  
x
2
  µ 
1 −  
  x 
x−µ
S
n
t 2 (Cv )2
2
ó
e2
Donde Cv es el coeficiente de variación y 'e' es el límite de exactitud deseado y por lo tanto
x (1-e) y x (1+e) son los llamados límites de confianza de µ.
Como el valor de t es función de n, la ecuación anterior se resuelve por tanteos. Por otra parte
el nivel de significancia α es función del nivel de confianza deseado, o la probabilidad adoptada
para que la media del registro de tamaño 'n' este dentro del límite 'e'.
1
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Por ejemplo
Se desea conocer la longitud de registro necesario para que con una probabilidad del 90%, la
media de la estación climatológica X, esté dentro del 10% de la media verdadera, si se sabe
que para un periodo de registro de 38 años se tiene una media de 745 mm con una desviación
estándar típica de 283.5 mm.
t 2 (Cv )2
Reemplazando en la ecuación n =
, y sabiendo que Cv = (283.5/745)2 y e = 0.10,
e2
entonces n = 14.4808 t2
Por lo tanto se requiere un registro de 41 años para obtener una media en la estación X, que
difiera de la verdadera en 10% con una probabilidad del 90%.
n (años)
media (mm)
desviación estandar (mm)
Alfa
n
38
39
40
41
42
43
44
45
38
745.00
283.50
0.10
t
1.688
1.687
1.686
1.685
1.684
1.683
1.682
1.681
n
41.28
41.22
41.16
41.11
41.06
41.01
40.97
40.92
Error (%)
-8.62
-5.68
-2.90
-0.26
2.24
4.63
6.90
9.06
2. Funciones de distribución utilizadas en el análisis probabilístico de precipitaciones totales
anuales y caudales medios anuales
2.1 Selección de la función de distribución más adecuada
Aunque existe un número importante de distribuciones de probabilidad empleadas en
hidrología, son sólo unas cuantas las comúnmente utilizadas, debido a que los datos
hidrológicos de diversos tipos han sido probados en repetidas ocasiones ajustarse
satisfactoriamente a ciertos modelos teóricos.
Pauta:
a. Las distribuciones de probabilidad más adecuadas para aproximar series anuales de
precipitación o descargas son la normal y la log normal, según el siguiente criterio:
Coeficiente de oblicuidad (g)
-1.5 a -0.2
-0.2 a 0.5
Normal
Log-normal
Normal Si Cs<0.2
Weibull Si Cs>0.2
Cv
0.00 a 0.25
0.25 a 2.00
Siendo:
Coeficiente de oblicuidad (g),
Indice de variabilidad (Iv),
2
Iv =
g=
1
n −1
n
∑ (log x − log x )
3
i
(n − 1)(n − 2)(Iv )3
[∑ (log xi − log x) ]
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Cs =
Coeficiente de asimetría,
a3 =
n
(n − 1)((n − 2) )
a3
S3
∑ (xi − x)
3
2.2 Utilidad
Después de ajustar una cierta distribución de probabilidades a un registro de precipitación total
anual o descarga media anual, ésta se utiliza para obtener la probabilidad de tener lluvias
anuales o descargas medias anuales menores que un cierto valor previamente seleccionado y
también valores mayores que otra determinada magnitud. Tales determinaciones son valiosas
para el diseño de sistemas hidráulicos como por ejemplo en proyectos de irrigación.
Si por ejemplo los límites inferior y superior de lluvia de acuerdo a la tolerancia de un cultivo
son conocidos, entonces puede ser evaluada la probabilidad de falla de tal cultivo debido a la
sequía o al exceso de lluvia.
Los registros de precipitación de un determinado mes o época son bastante susceptibles de
análisis probabilístico, semejante al descrito para las lluvias anuales, sin embargo, en este caso
interesa por lo general construir gráficas que indiquen las lluvias mensuales para determinadas
probabilidades de ocurrencia, por ejemplo para el 50%, 75% y 95%.
Es así que para proyectos de irrigación se utilizan valores de precipitación con probabilidad de
ocurrencia o persistencia correspondiente al 75% y para proyectos hidroenergéticos se utiliza
95%.
Por ejemplo, para el río Santa, siendo evaluadas las descargas medias mensuales para
diferentes niveles de probabilidad de ocurrencia o persistencia.
3
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DESCARGAS MEDIAS AL 25%,50% y 75% DE PERSISTENCIA DEL RIO SANTA
ESTACION CONDORCERRO
1978/2000
450
400
DESCARGAS (m3/s)
350
300
250
200
150
100
50
0
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Q75%
122,104
ENE
158,507
173,923
140,745
77,821
47,963
38,808
38,355
41,212
53,213
70,605
87,796
Q50%
142,460
292,714
315,505
230,104
103,222
62,003
44,978
41,389
48,476
63,553
94,293
114,403
Q25%
219,999
350,225
391,206
312,688
124,017
64,729
51,588
45,040
53,962
96,195
114,259
176,884
Qmedio
183,297
295,233
313,978
231,253
104,270
59,422
45,641
42,178
48,379
72,191
101,835
139,925
TIEMPO (Meses)
3. Concepto y selección del periodo de retorno
El objetivo primario del análisis estadístico de datos hidrológicos es la determinación del
llamado periodo de retorno en un cierto evento hidrológico de una magnitud dada x. El periodo
de retorno Tr se define como el lapso promedio entre la ocurrencia de un evento igual o mayor
a una magnitud dada.
Como en hidrología se utilizan muestras integradas por los eventos hidrológicos anuales, se
podrá plantear la siguiente ecuación basándose en el concepto de probabilidad.
P( X ≥ x ) =
1
Tr
La ecuación anterior indica que si un evento hidrológico X igual o mayor que x, ocurre una vez
en Tr años, su probabilidad de excedencia es 1/Tr, es decir que si una excedencia ocurre en
promedio una vez cada 25 años, la probabilidad de que tal evento ocurra en cualquier año es
1/25.
4. Ecuación general del análisis hidrológico de frecuencias
Ven Te Chow (1951) propuso que toda variable X de una serie hidrológica puede ser
expresada de la siguiente manera:
X = x + K (S )
X
= 1 + K (Cv)
x
Siendo :
X
: Variable aleatoria
: Valor medio de la serie
x
S
: Desviación típica de la serie
Cv
: Coeficiente de variación de la serie
K
: Factor de frecuencia
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La ecuación anterior es aplicable a casi todas las ecuaciones de probabilidad empleadas en
hidrología.
La incertidumbre debida al desconocimiento de la distribución de probabilidades de los datos
es un tema de controversia, sin embargo existen test o pruebas estadísticas para resolver este
problema como son las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y Chi-cuadrado.
Asimismo el comparar gráficamente la distribución de probabilidades empíricas y la teórica
propuesta, conjuntamente con el juicio ingenieril y la experiencia en hidrología, pueden
conducir en forma más precisa y rápida a seleccionar la distribución teórica más adecuada a
los datos.
5. Distribuciones de probabilidad adecuadas a lluvias y escurrimientos anuales
5.1 Distribución normal y Log-normal
La distribución normal es simétrica, con forma de campana; su distribución representa los
errores accidentales alrededor de la media y por eso se conoce como Ley de Errores o de
Gauss.
La distribución Log-normal es simétrica con sesgo hacia la derecha y equivale a una
distribución normal en la cual la variable se reemplaza por su valor logarítmico. Al igual que la
distribución normal, la log-normal es función de sólo dos parámetros estadísticos, la media y la
desviación estándar.
La función de distribución de probabilidad normal se define como:
F ( x) =
1
2Πσ
1  x−µ 
− 

e 2 σ 
2
dx
Donde µ y σ son los parámetros de la distribución.
Para el cálculo numérico de las distribuciones normal y log-normal se utilizan las siguientes
ecuaciones:
- Para la distribución normal
X = x + K (S )
- Para la distribución log-normal
log X = log x + K ( Iv)
El factor de frecuencia K es conocido también con el nombre de variable estandarizada para el
caso de la distribución normal, está en función de la probabilidad P(X<=x) o del periodo de
retorno Tr, mediante la siguiente tabla.
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P(X<=x) %
99.9
99.8
99.0
98.0
95.0
90.0
80.0
50.0
20.0
10.0
5.0
2.0
1.0
0.1
Tr (años)
1000.00
500.00
100.00
50.00
20.00
10.00
5.00
2.00
1.25
1.11
1.05
1.02
1.01
1.00
K=Z
3.0902
2.8782
2.3264
2.0538
1.6449
1.2816
0.8416
0
-0.8416
-1.2816
-1.6449
-2.0538
-2.3264
-3.0902
La metodología de aplicación consistirá en calcular x y S, cuando se quiere ajustar a una
distribución normal y log x e Iv cuando se quiere ajustar a una distribución log-normal,
respectivamente.
A continuación se calculan los valores de la variable X (lluvia anual) para los periodos de
retorno de los factores de frecuencia o variable estandarizada.
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Ejemplo:
Consideremos la precipitación total anual registrada en la Estación Tacalaya, Cuenca del río
Locumba, Departamento de Tacna.
Año
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
Media
Desv.Est.
Estación : Tacalaya
Cuenca : Locumba
Departamento : Tacna
Pp.Total Anual (mm) Log(Pp.Total Anual)
542.9
2.735
603.8
2.781
646.4
2.811
225.3
2.353
356.0
2.551
310.2
2.492
462.8
2.665
345.9
2.539
666.9
2.824
503.2
2.702
665.0
2.823
427.7
2.631
285.0
2.455
325.2
2.512
544.9
2.736
615.0
2.789
506.8
2.705
420.2
2.623
494.9
2.695
700.2
2.845
629.9
2.799
562.5
2.750
543.3
2.735
454.7
2.658
367.5
2.565
361.4
2.558
355.5
2.551
308.3
2.489
504.1
2.703
351.8
2.546
111.4
2.047
657.6
2.818
736.4
2.867
472.5
2.647
151.9
0.170
7
Factor de Frecuencia
P(X<=x) %
Tr (años)
K=Z
99.9
1000.00
3.0902
99.8
500.00
2.8782
99.0
100.00
2.3264
98.0
50.00
2.0538
95.0
20.00
1.6449
90.0
10.00
1.2816
80.0
5.00
0.8416
50.0
2.00
0
20.0
1.25
-0.8416
10.0
1.11
-1.2816
5.0
1.05
-1.6449
2.0
1.02
-2.0538
1.0
1.01
-2.3264
0.1
1.00
-3.0902
24/05/04
Mediante Factor de Frecuencia
Normal
Log-Normal
941.8
23.831
909.6
22.990
825.8
20.936
784.4
19.991
722.3
18.652
667.2
17.537
600.3
16.277
472.5
14.112
344.7
12.236
277.9
11.356
222.7
10.678
160.6
9.962
119.2
9.512
3.2
8.357
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N°Orden
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Prob.Empírica (%)
Weibull
3
6
9
12
15
18
21
24
26
29
32
35
38
41
44
47
50
53
56
59
62
65
68
71
74
76
79
82
85
88
91
94
97
Prob.Emp.Excedencia
P(X>=x)
97
94
91
88
85
82
79
76
74
71
68
65
62
59
56
53
50
47
44
41
38
35
32
29
26
24
21
18
15
12
9
6
3
Distribución
Normal
759.5
710.2
677.8
652.8
631.8
613.6
597.2
582.1
568.0
554.7
542.0
529.8
518.0
506.4
495.0
483.7
472.5
461.3
450.0
438.6
427.0
415.2
403.0
390.3
377.0
362.9
347.8
331.4
313.2
292.3
267.2
234.9
185.5
Series ordenadas de mayor a menor
Pp.Total Anual Log(Pp.Total Anual)
736.4
2.867
700.2
2.845
666.9
2.824
665.0
2.823
657.6
2.818
646.4
2.811
629.9
2.799
615.0
2.789
603.8
2.781
562.5
2.750
544.9
2.736
543.3
2.735
542.9
2.735
506.8
2.705
504.1
2.703
503.2
2.702
494.9
2.695
462.8
2.665
454.7
2.658
427.7
2.631
420.2
2.623
367.5
2.565
361.4
2.558
356.0
2.551
355.5
2.551
351.8
2.546
345.9
2.539
325.2
2.512
310.2
2.492
308.3
2.489
285.0
2.455
225.3
2.353
111.4
2.047
Distribución
Log-normal
19.442
18.400
17.747
17.258
16.860
16.519
16.219
15.949
15.700
15.469
15.251
15.045
14.847
14.656
14.471
14.290
14.112
13.937
13.762
13.589
13.414
13.237
13.058
12.874
12.685
12.487
12.279
12.056
11.812
11.540
11.222
10.824
10.244
Ajuste de datos a Distribución normal y log-normal
Distribución Normal
Distribución Log-normal
800
700
600
500
400
300
200
100
0
25
20
15
10
5
0
20
40
60
Probabilidad (X<=x)
8
24/05/04
80
0
100
Pp.Ajuste
Log.normal
Pp.Total Anual (mm)
Prob.Emp.No Excedencia P(X<=x)