18.3 TRABAJO DE UN MOMENTO DE PAR Considere el cuerpo de la figura 18-10a, el cual se somete a un momento de par M = Fr. Si el cuerpo experimenta un desplazamiento diferencial, entonces el trabajo realizado por las fuerzas del par se puede determinar si se considera el desplazamiento como la suma de una traslación distinta más rotación. Cuando el cuerpo se traslada, el trabajo de cada fuerza lo realiza sólo el componente de desplazamiento a lo largo de la línea de acción de las fuerzas dst, figura 18-10b. Es obvio que el trabajo “positivo” de una fuerza anula el trabajo “negativo” de la otra. Cuando el cuerpo experimenta una rotación diferencial dθ alrededor del punto arbitrario O, figura 18-10c, entonces cada fuerza experimenta un desplazamiento dsθ = (r / 2) dθ en la dirección de la fuerza. Por consiguiente, el trabajo total realizado es 𝑑𝑈𝑀 = 𝐹 ( 𝑟 𝑟 𝑑𝜃 ) + 𝐹 ( 𝑑𝜃 ) = (𝐹𝑟)𝑑𝜃 2 2 = 𝑀𝑑𝜃 (Fig. 18-10) El trabajo es positivo cuando M y dU tienen el mismo sentido de dirección y negativo si estos vectores están en el sentido opuesto. Cuando el cuerpo gira en el plano a través de un ángulo finito θ medido en radianes, desde θ1 hasta θ2, el trabajo de un momento de par es por consiguiente 𝜃2 𝑈𝑀 = ∫ 𝑀𝑑 𝜃 (18.12) 𝜃1 Si el momento de par M tiene una magnitud constante, entonces 𝑈𝑀 = 𝑀(𝜃2 − 𝜃1) (18.13) 18.4 PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA Aplicar el principio de trabajo y energía a cada una de las partículas de un cuerpo rígido y con la suma algebraica de los resultados, puesto que la energía es un escalar, el principio de trabajo y energía para un cuerpo rígido resulta 𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = 𝑇2 (18.14) Esta ecuación establece que la energía cinética inicial de traslación y rotación del cuerpo, más el trabajo realizado por todas las fuerzas externas y momentos de par que actúan en el cuerpo a medida que se mueve desde su posición inicial hasta su posición final, es igual a su energía cinética final de traslación y rotación. Observe que el trabajo de las fuerzas internas del cuerpo no tiene que considerarse. Estas fuerzas actúan en pares colineales iguales pero opuestos, de modo que cuando el cuerpo se mueve, el trabajo de una fuerza anula el de su contraparte. Además, como el cuerpo es rígido, entre estas fuerzas no hay movimiento relativo, de modo que no se realiza trabajo interno. Cuando varios cuerpos rígidos están conectados por pasadores, o por cables inextensibles o engranados unos con otros, puede aplicarse la ecuación 18-14 a todo el sistema de cuerpos conectados. En todos estos casos las fuerzas internas, que mantienen los diversos miembros juntos, no realizan trabajo y por consiguiente se eliminan del análisis. PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El principio de trabajo y energía se utiliza para resolver problemas cinéticos que implican velocidad, fuerza y desplazamiento, puesto que estos términos intervienen en la formulación. Para su aplicación, se sugiere el siguiente procedimiento. Energía cinética (diagramas cinemáticos). • La energía cinética de un cuerpo se compone de dos partes. La energía cinética 1 de traslación se refiere a la velocidad del centro de masa, 𝑇 = 2 𝑚𝑣𝐺 2 y la energía cinética de rotación se determina por el momento de inercia del cuerpo con respecto al centro de masa, 1 𝑇 = 2 𝐼𝐺 𝜔2 . En el caso especial de rotación alrededor de un eje fijo (o rotación alrededor del CI), estas dos energías cinéticas se combinan y pueden expresarse 1 como 𝑇 = 2 𝐼𝑜 𝜔2, donde 𝐼𝑜 es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. • Los diagramas cinemáticos de velocidad pueden ser útiles para determinar 𝑣𝐺 y 𝜔 o para establecer una relación entre 𝑣𝐺 y 𝜔 . Trabajo (diagrama de cuerpo libre). • Trace un diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando se encuentra en un punto intermedio a lo largo de la trayectoria que incluya todas las fuerzas y momentos de par que realizan trabajo en el cuerpo cuando se desplaza a lo largo de la trayectoria. • Una fuerza realiza trabajo cuando se desplaza en su dirección. • Las fuerzas que son funciones de desplazamiento deben integrarse para obtener el trabajo. Gráficamente, el trabajo es igual al área bajo la curva de fuerzadesplazamiento. • El trabajo de un peso es el producto de su magnitud y el desplazamiento vertical, Uw= Wy. Es positivo cuando el peso se mueve hacia abajo. 1 • El trabajo de un resorte es de la forma 𝑈𝑆 = 2 𝑘𝑠 2 , donde k es la rigidez del resorte y s es su alargamiento o compresión. • El trabajo de un par es el producto del momento de par por el ángulo en radianes a través de los que gira, UM = Mθ. • Como se requiere la adición algebraica de los términos de trabajo, es importante especificar el signo apropiado de cada término. Específicamente, el trabajo es positivo cuando la fuerza (momento de par) actúa en la misma dirección que su desplazamiento (rotación); de lo contrario es negativo. Principio de trabajo y energía. • Aplique el principio de trabajo y energía 𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = 𝑇2 . Como ésta es una ecuación escalar, puede utilizarse para determinar sólo una incógnita cuando se aplica a un solo cuerpo rígido. 18.5 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Cuando un sistema de fuerzas que actúa en un cuerpo rígido se compone de sólo fuerzas conservadoras, puede utilizarse el teorema de la conservación de la energía para resolver un problema que de lo contrario se resolvería con el principio de trabajo y energía. Este teorema suele ser más fácil de aplicar puesto que el trabajo de una fuerza conservadora es independiente de la trayectoria y depende sólo de las posiciones inicial y final del cuerpo. Energía potencial gravitacional. Como el peso total de un cuerpo puede considerarse como concentrado en su centro de gravedad, su energía potencial gravitacional se determina al conocer la altura de su centro de gravedad sobre o bajo un plano de referencia horizontal. (18.15) 𝑉𝑔 = 𝑊𝑦𝐺 En este caso la energía potencial es positiva cuando 𝑦𝐺 es positiva hacia arriba, puesto que el peso tiene la capacidad de realizar trabajo positivo cuando el cuerpo regresa al plano de referencia, figura 18-16. Asimismo, si G está bajo el plano de referencia (−𝑦𝐺 ), la energía potencial gravitacional es negativa, puesto que el peso realiza trabajo negativo cuando el cuerpo vuelve al plano de referencia. Fig. 18-17 Fig. 18.16 Energía potencial elástica. La fuerza desarrollada por un resorte elástico también es una fuerza conservadora. La energía potencial elástica que un resorte imparte a un cuerpo conectado cuando el resorte se alarga o comprime desde una posición no deformada (s=0) hasta una posición final s, figura 18-17, es 1 𝑉𝑒 = + 𝑘𝑠 2 2 (18-16) Conservación de la energía. En general, si un cuerpo se somete tanto a fuerzas gravitacionales como elásticas, la energía potencial total puede expresarse como una función potencial representada como la suma algebraica 𝑉 = 𝑉𝑔 + 𝑉𝑒 (18-17) Aquí la medición de V depende de la ubicación del cuerpo con respecto a un plano de referencia seleccionado. Como el trabajo de fuerzas conservadoras puede escribirse como una diferencia de sus energías potenciales, es decir,(∑ 𝑈1−2 )𝑐𝑜𝑛𝑠 = 𝑉1 − 𝑉2 , ecuación 14-16, podemos reescribir el principio de trabajo y energía para un cuerpo rígido como 𝑇1 + 𝑉1 + (∑ 𝑈1−2 )𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠 = 𝑇2 + 𝑉2 (18-18) En este caso (∑ 𝑈1−2 )𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠 representa el trabajo de las fuerzas no conservadoras, como la fricción. Si este término es cero, entonces 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2 (18-19) Esta ecuación se conoce como energía mecánica de conservación. Establece que la suma de las energías potencial y cinética del cuerpo permanece constante cuando el cuerpo se mueve de una posición a otra. También es válida para un sistema de cuerpos rígidos lisos conectados por pasador, libres de fricción, cuerpos conectados por cuerdas inextensibles y cuerpos acoplados con otros cuerpos. En todos estos casos, las fuerzas que actúan en los puntos de contacto se eliminan del análisis, puesto que ocurren en pares colineales iguales pero opuestos y cada par de fuerzas se recorre una distancia igual cuando el sistema se desplaza. Es importante recordar que solamente los problemas que implican sistemas de fuerzas conservadoras pueden resolverse con la ecuación 18-19. Las fuerzas de fricción u otras fuerzas resistentes al avance, las cuales dependen de la velocidad o aceleración, son no conservadoras. El trabajo de fuerzas como ésas se transforma en energía térmica utilizada para calentar las superficies de contacto, y por consiguiente esta energía se disipa en el medio circundante y no puede recuperarse. Por consiguiente, los problemas que implican fuerzas de fricción se resuelven ya sea por el principio de trabajo y energía de la forma de la ecuación 1818, si es pertinente, o por las ecuaciones de movimiento. PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS La ecuación de conservación de la energía se utiliza para resolver problemas que implican velocidad, desplazamiento y sistemas de fuerzas conservadoras. Para su aplicación se sugiere el siguiente procedimiento. Energía potencial. • Trace dos diagramas que muestren el cuerpo localizado en sus posiciones iniciales y final a lo largo de la trayectoria. • Si el centro de gravedad, G, se somete a un desplazamiento vertical, establezca un plano de referencia horizontal fijo con respecto al cual se medirá la energía potencial gravitacional del cuerpo Vg. • Los datos de elevación 𝑦𝐺 del centro de gravedad del cuerpo con respecto al plano de referencia y de la extensión o compresión de cualquier resorte de conexión pueden determinarse con la geometría del problema y anotarse en los dos diagramas. • La energía potencial se determina con 𝑉 = 𝑉𝑔 + 𝑉𝑒 . Donde 𝑉𝑔 = 𝑊𝑦𝐺 , la cual puede 1 ser positiva o negativa y 𝑉𝑒 = + 2 𝑘𝑠 2 , la cual siempre es positiva. Conservación de la energía. • Aplique la ecuación de conservación de la energía 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2. EJERCICIOS: 18-41. El carrete tiene masa de 50 kg y radio de giro Ko = 0.280 m. Si el bloque A de 20 kg es liberado del reposo, determine la distancia que debe caer para que el carrete tenga velocidad angular ω= 5 rad/s. ¿Cuál es la tensión en la cuerda mientras el bloque está en movimiento? Desprecie la masa de la cuerda. VA= 0.2ω = 0.2(5) = 1 m/s T1 + V1 = T 2 + V2 1 1 (0 + 0) + 0 =2 (20)(1)2 + 2 [50(0.280)2 ](5)2 − 20(9.81)𝑠 s = 0.301 m BLOQUE 𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = 𝑇2 1 0 + 20(9.81)(0.301) − 𝑇(0.301) = (20)(1)2 2 𝑻 = 𝟏𝟔𝟑 𝑵 18-42. Cuando la barra esbelta AB de 10 kg tiene posición horizontal se encuentra en reposo y el resorte no está estirado. Determine la rigidez k del resorte de manera que el movimiento de la barra es detenido momentáneamente cuando ésta ha girado hacia abajo 90°. T1 + V1 = T2 + V2 1 1.5 0 + 0 = 0 + (𝑘)(3.3541 − 1.5)2 − 98.1( ) 2 2 k = 42.8 N/m 18-43. La rueda de 50 lb tiene radio de kG = 0.7 pies con respecto a su centro de gravedad G. Si rueda sin deslizar determine su velocidad angular cuando ha girado 90° en sentido de las manecillas del reloj desde la posición mostrada, el resorte AB tiene rigidez k = 1.20 lb/pie y tiene longitud no estirada de 0.5 pies. La rueda es liberada del reposo. T1 + V1 = T2 + V2 1 0 + (1.2)[√(3)2 + (0.5)2 − 0.5]2 2 1 50 1 50 1 (0.7)2 ] 𝜔2 + ( = [ ) 𝜔2 + (1.20)(0.9292 − 0.5)2 2 32.2 2 32.2 2 𝝎 = 𝟏. 𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔 18-44. La puerta está hecha a partir de una pieza cuyos extremos se mueven a lo largo de las guías horizontal y vertical, si la puerta se encuentra abierta, θ = 0°, y entonces es liberada, determine la rapidez con que su extremo A golpea el tope colocado en C. suponga que la puerta es una placa delgada de 180 lb con ancho de 10 pies. T1 + V1 = T2 + V2 1 1 180 1 180 0+0= [ ( ) (8)2 ] 𝜔2 + ( ) (𝜔)2 − 180(4) 2 12 32.2 2 32.2 ω = 6.3776 rad/s 𝑣𝑐 = 𝜔(5) = 6.3776(5) = 𝟑𝟏. 𝟗 𝒎/𝒔 18.45. Las dos barras son liberadas del reposo en la posición θ. Determine sus velocidades angulares en el instante en que están en posición horizontal. Desprecie la masa del rodillo en C. cada barra tiene masa m y longitud L. ENERGÍA POTENCIAL: 𝑉1 = 2( 𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃) = 𝑚𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 𝑉2 = 0 ENERGÍA CINÉTICA: T1 = 0 1 1 𝑇2 = 2 (𝐼𝐴𝐵 )𝐴 𝜔2𝐴𝐵 + 2 (𝐼𝐵𝐶 )𝐶 𝜔2 𝐵𝐶 = 1 1 2 2 1 1 2 2 ( 𝑚𝐿 ) 𝜔 + ( 𝑚𝐿 )𝜔 2 3 2 3 = 1 2 2 𝑚𝐿 𝜔 3 CONSERVACIÓN DE ENERGÍA: T1 + V1 = T2 + V2 0 + 𝑚𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 1 2 2 𝑚𝐿 𝜔 + 0 3 𝟑𝒈 𝜔𝐴𝐵 = 𝜔𝐵𝐶 = 𝜔 = √ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝑳 18.46. Un neumático de automóvil tiene masa de 7kg y radio de giro k G = 0.3. Si es liberado del reposo en el punto A sobre el plano inclinado, determine su velocidad angular cuando alcanza el plano horizontal. El neumático rueda sin deslizar. 𝑣𝐺 = 0.4𝜔 Dato en el punto más bajo. T1 + V1 = T2 + V2 1 0 + 7(9.81)(5) = (7)(0.4𝜔)2 2 1 + [7(0.3)2 ]𝜔2 + 0 2 𝝎 = 𝟏𝟗. 𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔 18.47. La polea de disco compuesto consta de un cubo y un borde exterior unido al disco. Si la polea tiene masa de 3 kg y radio de giro kG = 45 mm, determine la rapidez del bloque A después que ha descendido 0.2 m desde el reposo. Los bloques A y B tienen masa de 2 kg cada uno. Desprecie la masa de las cuerdas. T1 + V1 = T2 + V2 0= 1 1 1 [3(0.045)2 ]𝜔2 + (2)(0.03𝜔)2 + (2)(0.1𝜔)2 − 2(9.81)𝑠𝐴 2 2 2 + 2(9.81)𝑠𝐵 𝜃= 𝑠𝐵 𝑠𝐵 = 0.03 0.1 𝑠𝐵 = 0.3𝑠𝐴 Por lo tanto: 𝑠𝐴 = 0.2𝑚, 𝑠𝐵 = 0.06𝑚 Sustituyendo y resolviendo: 𝜔 = 14.04 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒗𝑨 = 𝟎. 𝟏(𝟏𝟒. 𝟎𝟒) = 𝟏. 𝟒 𝒎/𝒔 18.48. En el instante en que el resorte no está deformado, el centro del disco de 40 kg tiene una rapidez de 4 m/s. Desde este punto determine la distancia d que el disco se mueve hacia abajo por el plano antes de detenerse momentáneamente. El disco rueda sin deslizar. Dato en el punto más bajo. T1 + V1 = T2 + V2 1 1 4 2 1 1 2 (40)(0.3) [ ] ( ) + (40)(4)2 + 40(9.81)𝑑𝑠𝑖𝑛 30° = (200)𝑑 2 2 2 0.3 2 2 100𝑑 2 − 196.2𝑑 − 480 = 0 𝒅 = 𝟑. 𝟑𝟖𝒎 18.50. El conjunto consta de la polea A de 3 kg y la polea B de 10 kg. Si un bloque de 2 kg es suspendido de la cuerda, determine su rapidez después de que desciende 0.5 m partiendo del reposo. Desprecie la masa de las cuerdas y trate las poleas como discos delgados. No ocurre ningún deslizamiento. T1 + V1 = T2 + V2 0= 1 1 1 1 [ (3)(0.03)2 ] 𝜔2𝐴 + [ (10)(0.1)2 ] 𝜔2 𝐵 2 2 2 2 1 2 + (2)(𝑣𝑐 ) − 2(9.81)(0.5) 2 𝑣𝑐 = 𝜔𝐵 (0.1) = 0.03𝜔𝐴 𝜔𝐵 = 10𝑣𝑐 , 𝒗𝒄 = 𝟏. 𝟓𝟐 𝒎/𝒔 𝜔𝐴 = 33.33𝑣𝑐 18.52. La barra esbelta AB de 25 lb está unida a un resorte BC que tiene longitud no estirada de 4 pies. Si la barra es liberada del reposo cuando θ = 30°, determine su velocidad angular en el momento en el que θ = 90°. 𝒍 = √(𝟒)𝟐 + (𝟒)𝟐 − 𝟐(𝟒)(𝟒)𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟓𝟎° = 𝟕. 𝟕𝟐𝟕 𝒇𝒕 T1 + V1 = T2 + V2 1 1 1 25 1 25(2) sin 30° + (5)(7.727 − 4)2 = [ ( ) (4)2 ] 𝜔2 + 25(2) + (5)(4√2 − 4)2 2 2 3 32.2 2 𝝎 = 𝟏. 𝟏𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔 18-54. Una cadena con masa insignificante cuelga de una rueda dentada que tiene masa de 2 kg y radio de giro ko = 50 mm. Si el bloque A de 4 kg es liberado del reposo en la posición s = 1 m, determine la velocidad angular de la rueda en el instante s = 2 m. T1 + V1 = T2 + V2 1 1 0 = (4)(0.1𝜔)2 + [2(0.05)2 ]𝜔2 − 4(9.81)(1) 2 2 𝝎 = 𝟒𝟏. 𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔 18-55. Resuelva el problema 18-54 si la cadena tiene masa de 0.8 kg/m. Para el cálculo desprecie la porción de la cadena que se enrolla sobre la rueda dentada. T1 + V1 = T2 + V2 0 − 4(9.81)(1) − 2[0.8(1)(9.81)(0.5)] 1 1 1 = (4)(0.1𝜔)2 + [2(0.05)2 ]𝜔2 + (0.8)(2)(0.1𝜔)2 − 4(9.81)(2) 2 2 2 − 0.8(2)(9.819(1) 𝝎 = 𝟑𝟗. 𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔 18-56. El disco A está articulado en el punto O y pesa 15 lb. Una barra de 1 pie y que pesa 2 lb, y una esfera de 1 pie de diámetro y peso de 10 lb están soldadas al disco, como se muestra. Si originalmente el resorte está estirado 1 pie y la esfera se libera desde la posición mostrada, determine la velocidad angular del disco cuando ha girado 90°. T1 + V1 = T2 + V2 1 1 1 15 1 1 2 1 2 (4)(1)2 = [ ( ) (2)2 ] 𝜔2 + [ ( ) (1)2 ] 𝜔2 + ( ) (𝑣𝐺 )2𝑅 2 2 2 32.2 2 12 32.2 2 32.2 1 2 10 1 10 + [ ( ) (0.5)2 ] ω2 + ( ) (𝑣𝐺 )2𝑠 − 2(2.5) − 10(3.5) 2 5 32.2 2 32 1 𝜋 2 + (4)(1 + 2 ( )) 2 2 (𝑣𝐺 )𝑠 = 3.5𝜔 , (𝑣𝐺 )𝑅 = 2.5𝜔 Sustituyendo y resolviendo: 𝝎 = 𝟏. 𝟕𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔 18-57. En el instante mostrado, la barra de 50 lb está girando hacia abajo a 2 rad/s. El resorte unido a su extremo siempre permanece vertical debido a la guía de rodillo instalada en C. Si el resorte tiene longitud no estirada de 2 pies y rigidez k = 6 lb/pie, determine la velocidad angular de la barra en el instante en que ha girado hacia abajo 30° por debajo de la horizontal. T1 + V1 = T2 + V2 1 1 50 1 1 1 50 1 ) (6)2 ] (2)2 + (6)(4 − 2)2 = [ ( ) (60)2 ] 𝜔2 + (6)(7 − 2)2 − 50(1.5) [ ( 2 3 32.2 2 2 3 32.2 2 𝝎 = 𝟐. 𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔 18-58. En el instante mostrado, la barra de 50 lb está girando hacia abajo a 2 rad/s. El resorte unido a su extremo siempre permanece vertical debido a la guía de rodillo instalada en C. Si el resorte tiene longitud no estirada de 2 pies y rigidez k = 12 lb/pie, determine el ángulo θ, medido por debajo de la horizontal, que la barra gira entes de detenerse momentáneamente. T1 + V1 = T2 + V2 1 1 50 1 ) (6)2 ] (2)2 + (12)(4 − 2)2 [ ( 2 3 32.2 2 1 = 0 + (12)(4 + 6𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2)2 2 − 50(3𝑠𝑒𝑛30°) 61.2671 = 24(1 + 3𝑠𝑒𝑛𝜃)2 − 150𝑠𝑒𝑛𝜃 37.2671 = −6𝑠𝑒𝑛𝜃 + 216𝑠𝑒𝑛2 𝜃 Por lo tanto, resolviendo la ecuación cuadrática, x = senθ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.4295 𝜽 = 𝟐𝟓. 𝟒°
