Cantidad de Movimiento OBJETIVOS 1.- Establecer un nuevo modo de enfocar los problemas dinámicos en donde participan dos o más cuerpos que interactúan entre sí. 2.- Conocer y aplicar el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento. 3.- Reformular las leyes de Newton de la Mecánica, en términos de Cantidad de Movimiento e Impulso. uando estudiamos los movimientos mecánicos, su generación, su transmisión, su conservación o variación, vemos que las leyes de la Mecánica estudiadas hasta aquí se ven muy limitadas si el número de cuerpos que participan e interactúan es grande, pues el estudio se vuelve complejo, de manera que predecir resultados de velocidad o aceleración finales es toda una «proeza». En esta parte del curso incluiremos nuevas herramientas que harán más sencillos y directos el análisis de tales casos; para lo cual recurriremos a los conceptos de Cantidad de Movimiento, Impulso y Centro de Masa. Asimismo, veremos como las tres leyes de Newton para la Mecánica se vuelven a reformular con tales conceptos. lID MEDIDAS DEL MOVIMIENTO Luego de un tremendo debate iniciado por los filósofos del siglo XVII, se concluyó que el Universo se regía por dos grandes leyes de conservación: El de la Energía y el de la Cantidad de Movimiento, siendo ambos las dos medidas del movimiento. a) Energía Cinética (mV2/2).- Magnitud escalar cuya transmisión es temporal y se hace por vía del trabajo. La energía resulta ser la medición más genérica del movimiento, y el trabajo es la medida de su variación. b) Cantidad de Movimiento (m v). - Magnitud vectorial cuya transmisión es instantánea, y se hace por vía del impulso. La cantidad de movimiento resulta ser la medida directa del movimiento mecánico, yel impulso es la medida de su variación. 11II CANTIDAD DE MOVIMIENTO (¡;) Esta magnitud es conocida también como Momentum Lineal, y a lo largo del tiempo se la relacionó con el movimiento de un cuerpo. En un inicio se le midió multiplicando el peso por la velocidad (Galileo), RENE DESCARTES (1596 - 1650) Este notable filósofo y matemátIco francés nació el 31 de Marzo de 1596 en La Haya (Touroine). Se formó en el colegio de JesuItas de la Fleche. Debido a su delicado estado de salud, se le permitió de Joven permanecer en cama todo el tiempo que deseaba antes de Ir a la escuela. A los treinta años fué ofIcIal de campo con T11ly; vMó después de largos viajes en los Paises Bajos. En 1649 marchó a Estocolmo por Invitación de la reIna Cristina de Suecia. Es el prIncipal fundador de la Nueva FIlosofía. Los sistemas de coordenadas que él Introdujo se cortan en angulos rectos, y se designan con las letras; x Y-z: llevan su nombre. Tuvo una prolija vida en el campo de las matemátIcas. Se le atribuye la Idea Iineal/zada de la inercia, denomInada Momenfum Lineal; - Todo cuerpo que se mueve tiende a continuar su movimiento en línea tecr». /o que aporecló en sus-Principios de Filosofía(1644). Su obra cumbre fué -Discours de la Methode-. 234 Física-Primer Nivel Félíx Aucallanchi V. DILEMA el volumen de materia (masa) por su rapidez (Descartes), y finalmente la masa del cuerpo por su velocidad (Newton). Así quedó establecido -Escomún observar cómo que la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial que mide el determinados cuerpos en v = O 01 mis movimiento finalmente pier- grado de oposición (inercia) den su velocidad y se detie- que presenta un cuerpo para ~ nen. SI hacemos uno exten~:: sión o todo el Universo, cambiar 'u movimiento. Su valor resulta ser directaconcluiremos que éste debe estor muriendo, lo cual mente proporcional con la resulto Inaceptable, pues si masa y la velocidad de un el Universo es obro de Dios, cuerpo: él debe ser eteav». Este fué el dilema que surgió o mediados del siglo XVII entre los filósofos europeos, lo que los empujó o aceptar lo existencia de uno magnitud, que relacionado con el movimiento debía ser constante(eterna). El problema para ellos era ponerse de acuerdo en ¿Qué se conservo: lo energía clnétlco o lo cantidad de molimiento? I p = m. v 1 (12.1) Unidad (S.I.): (P) = kg.m/s Observacián.« Con la cantidad de movimiento, el concepto de inercia (masa) adopta una naturaleza vectorial debido a la inclusión de la velocidad. "La bala y el tren tienen la misma cantidad de movimiento" Fig 12.1 I!II IMPULSO (J) Esteasunto quedó resuelto 01 descubrirse que lo enerEs conocida también como impulsión, y viene a ser una magnitud gía (entre ellos lo cinétlca) podía cambiar de formo de tipo vectorial que aplicado a un cuerpo hace que éstos experimenten pero en esencia seguía sien- algún cambio en su movimiento. El impulso nos indica el grado de do constante. efectividad que posee una fuerza para poner en movimiento a un cuerpo o para detenerlo, en un intervalo de tiempo definido. Así pues, su valor es directamente proporcional con la fuerza F aplicada y con el tiempo (M) que duró su ~ aplicación: OJO! Tonto en el Trabajo como en el Impulso, lo fuerzo resul= Át (12.2) to ser el agente motriz, y su presencio solo se explico Unidad (S.I.): (1) = N.s. por lo Interacclón existente entre los cuerpos. Observaciones.« En relación al ejemplo de la Fig 12.2. se puede IJ F. 1 decir que: MUY INTERESANTE 1) Los impulsos pueden transmitir movimientos en intervalos de tiempo muy cortos. SI analizamos los unidades del Impulso, descubriremos 2) Al graficar una Fuerza verque ellos son equivalentes o sus el Tiempo podemos comlos unidades de lo Cantidad probar que el área bajo la curva de Movimiento. Veamos: newton.segundo = ~ m N.s = kg. s (kg.'; ]s nos proporciona el impulso que recibe un cuerpo en un intervalo de tiempo dado. rATea = Impulso I Fig 12.2 Cantidad de Movimiento ATENCION!! TEOREMADELIMPULSOYLACANTIDAD DE MOVIMIENTO • _ (J) Según el ejemplo de la Fig 12.2, el lanzador aplica un impulso ~ la bola de masa m, y debido a ello le cambia su velocidad de v¡ = O a vr; esto significa que el impulso provocó un cambio en la cantidad de movimiento de la bola. En base_al ejemplo de la Fig. 12.3a podemos apreciar que la fuerza resultante R es aplicada en un tiempo Il.t, luego, utilizando la 2da Ley de Newton tendremos: má => e R; m. ~v ~t =.R => mVr -mv¡ =J => m(vr-v¡)=R Pr -p¡ =} ; ó; .~t I~=J I 235 1) Por razones pedagógicas, la relacIón (12.3) se ha demostrado considerando un movImiento rectilíneo (Flg. 12.30). 2) En la Fig 12.3b se pueqe notar que el Impulso ( J ) señala hacIa el Interior de la curva (concavIdad). Su valor puede encontrarse mediante la relacIón (3.2) para un vector diferencIa: (12.3) «Si sobre un cuerpo o sistema de partículas actúa un impulso externo éste tendrá un valor igual al cambio producido en la cantidad de movimiento del cuerpo o sistema». (b) p, :--~tr : ~ p¡ p¡-rriV¡ ¡--c=¡ : J ~ , 1:>' pr=mvr 11II SISTEMA DE PARTICULAS Fig 12.3 Cuando un sistema físico está compuesto de varios cuerpos o partículas, el estudio de su movimiento se simplifica si encontramos la Cantidad de Movimiento Total del Sistema (PT) Y el de su Centro de Masa. Resulta que el movimiento del Centro de Masa es equivalente al que realiza todo el sistema. Luego, a partir de ésto se definen: a)Cantidad de Movimiento del Sistema.- Por ser la cantidad de movimiento una magnitud vectorial, se establece la siguiente suma: (12.4) IPT=p.+P1+: •.+PDI ; ó ; [PT=mil+mi"l+ ...+mnvnl b)Velocidad del Centro de Masa.- Se demuestra que la cantidad de movimiento del Centro de Masa coincide con la Cantidad de Movimiento del Sistema. Luego: (12.5) (12.6) IM _ 1 =P I Ln¡v. 1 T·V CM )'CM=~ T donde MT = Lm¡ CENmo DE MASA (C.M.] Esel lugar del espacIo en donde se consIdera concentrada toda la masa de un sistema de partículas. La ubicacIón del C.M. se determIna por medIo de las relacIones vIstas en el item 8.13. _ Lm¡x¡ x=-Lfl1¡ I.m¡y¡ y=-Lm¡ 236 FéJixAucallanchi Física-Primer Nivel V. FUERZAS INTERNAS c)Aceleración del Centro de Masa.- La velocidad del Centro de Masa varía a través del tiempo solo con la presencia de una aceleración, y Se considera que una ésta se relaciona con la masa de todo el sistema y con la resultante de fuerza es interna sies la que aplica una partícula del sistodas las fuerzas externas del siguiente modo: tema sobre otra que también pertenece al mismo (12.7) MT.iiT =R donde: R "LF "Lm¡ii¡ sistema. Lasfuerzas Internas se caracterizan además porque: !miil QT =l'.ñt 1)La resultante de todas (12.8) I ellas es nula dentro de un ~ sistema. PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA 2) Pueden producir variaciones en la cantidad de CANTIDAD DE MOVIMIENTO movimiento de las partículas que componen un De acuerdo con lo establecido en el Teorema del Impulso y la sistema, pero no alteran la cantidad de movimien- Cantidad de Movimiento, se tiene que: to del mismo. R .!1t= Pf y si: R= (Resultante de las fuerzas externas) I 1, • = O ~ FUERZAS EXTERNAS Son aquellas que ejercen los agentes externos al sistema sobre una partícula del mismo. Las fuerzas externas pueden variar la cantidad de movimiento total de un sistema. p¡, = 0= Pf - p¡ ~ !i¡'= ir I (12.9) Lo que equivale a decir que: «Si la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo o sistema de partículas es nula, entonces la cantidad de movimiento total se conserva». Observaciones> Dado que la cantidad de movimiento (p ) es una cantidad vectorial, entonces el principio establecido por la relación (12.9) puede expresarse de distintos modos: ="L(mv)dapuis~ (12.10) 111) !"L(mv)antes 211) Al trabajar en el plano, se tiene que: SISTEMA AISLADO Se dice que un sistema de partículas es aislado si la resultante de las fuerzas externas a él es nula. Si un sistema es aislado, entonces desde un marco de referencia inerclal se observará que su Centro de Masa se encuentro en reposo (v = O J, o moviéndose con velocidad constante. Los casos mostrados en la Fig. 12.4 están libres de fricción, y por tanto corresponden a sistemas aislados, de manera que en ellos se cumple que la cantidad de movimiento total se conserva. En el caso (c) de la Flg. 12.4, los componentes del sistema aislado parten del reposo, y por ello la coordenada x del Centro de Masa se mantiene Inalterable en todo momento. ! I (12.11) (12.12) a) "L(mvx)antes ="L(mvx)~ "L(mvy)antes = "L(mvy)despu& vA=4m1s "8=3m1s --<=>- ,B -.....c::::- (B) v = vx +v y' Luego: 1\ I vA=3m1.r l'¡¡=4mIs ---c:::---....c::- ~;f-!32 }!¿ Antes b) Fig 12.4 2 7 Cantidad de Movimiento nlOflLEMAS RESUELTOS (ptA NRTE) Probo 1.- Una raqueta logra golpear una pelota de tenis de 200 g desviando su dirección según como se Indica. Si v1 = 35 mis y v2 = 75 mis. ¿Qué fuerza media experimentó la pelota, si la duración del contacto fué M = 0,04 s? A) 300 N O) 100 N B)500 N E)600 N C)200N Resolución.En base a los datos podemos reconocer las cantidades de movimiento inicial y final: Ipll = m,vI = (0,2 kg) (35 mis) = 7 kg.mls IP21= mV2 = (0,2 kg) (75 mis) = 15 kg.mls Luego, utilizando el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento dado por la relación (12.3) tendremos que el impulso (1) que experimenta la pelota se calcula como un vector diferencia: ::) 111 = 20 N.s A continuación calculamos la fuerza (F) que aplicó la raqueta y que propició el impulso (J ) obtenido. Luego, empleando la relación (12.2) que define a este último, tendremos que: J F=/1t IFI=!.{!= /1t 20N.s 0,04 s ::) IF' = 500 N RPTA. B Probo 2.- UnacrnetrcikXJorads¡xro txias de 40 g CXX'llJ)(] vekx:;icJocJ de 5aJ mis. ElsoIdcx::Jo q.Je mCTJtienesujetala crnetrcikXJoraCXX'l1asmeros p.,I€iCk3 ejerceruna fuerzamáxima de 200 N sxxe la crnetrdkXJora.DetermrYJ el rroaro rirneIO de txxs q.Je puede cisxra en lTI minuto. A) 400 B) 500 C) 600 O) 300 E)200 Resolución.Se sabe que las balas inicialmente están en reposo (v¡ = O), Y luego de recibir el impulso de la ametralladora adquieren la velocidad de ve = 500 mis. Luego, las cantidades de movimiento inicial y final de cada bala es: p¡ = O, y: Pr -= mv = (0,04 kg) (500 mis) ::) Pr = 20 kg.mls Asimismo, reconocemos que el intervalo I:!.t que existe entre disparo y disparo es: I1t = 1 minln = 60 s/n, siendo "n" el número de balas percutadas en un minuto. Luego, por condición del problema se tendrá que si "n" es máximo, la fuerza (F) que puede sujetar a la ametralladora produce el impulso (1), que estará dado por la relación (12.2): J = F.1:!.t ::) J = (600 N). 60 s n .Ifl·;t(.o,,:iún 238 FélixAucallanchl V. Física-Primer Nivel Seguidamente aplicaremos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento dado por la relación (12.3): J = Pf - p¡ ~ (200 N) 60s m m = 20 kg . - - Okg . n s s - ~ n Probo 3.- Si un cuerpo de 2 kg en el IQstantet = O s , tiene una velocidad v = - 4i (mis); se pide encontrar su velocidad en el Instante t = 8 s, si durante ese tiempo experimentó una fuerza variable paralela al eje x y que viene dada por el gráfic.? adjunto Fuerza - vs - Tiem~. A) - 10 I (mis) D) + 22 ¡(mis) B) + 12 I (mis) E) - 52 i (mis) C) - 14 I (mis) = 600 RPTA. C F(N) 10 ------------6 t(s) O 4 8 Resolución.En el item 12.3 se explicó que el área bajo la curva Fuerzavs- Tiempo nos dá el impulso (l); luego, por el esquema adjunto podemos decir que: 6+10) (lO) (4) J = Area trapecio + Area triángulo = ( -2- 4 + --2J = + 52 N.s ~ J ~ F(N) ¡ ,, 10! = 52 1 (Eje "x" positivo) 6 Luego, por condición del problema, este impulso dá lugar a un cambio en la velocidad, y por consiguiente en la cantidad de movimiento del cuerpo, siendo vf su velocidad final. Ahora, si utilizamos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento, o J = Pf - p¡ ~ J =m (Vf-V¡) ~ 521 =2 [Vf-(-41)] ~ vr : 4 t(s) (8) tendremos: =22 ¡ (mis) Probo 4.- Uncuerpo, según la figura, reposa sobre una superficie perfectamente lisa (sin fricción) y horizontal. Su centro de gravedad está en G como indica la figura. Siel cuerpo se inclina .G ligeramente, cae al piso. ¿Dónde quedará su centro de gravedad G . A)EnP B)Dependiendo de hacia qué lado se haya p R s Q producido el impulso, en Q o S C) En T D) En R E)Muy lejos de dichos puntos, pues no hay fricción. RPTA.D T UNI88 Resolución.Despreciando el impulso inicial que permitió la inclinación de la barra, diremos que ésta no expe-rimenta fuerzas externas en el eje horizontal (x); por tanto, el Centro de Masa (C.M) de la barra inicialmente estaba en reposo en dicho eje: v =0, y conservará dicho estado en virtud al Principio d; Conservación de la Cantidad de Movimiento establecido para un sistema de partículas. Así: Rx = LF" = O ~ Px = constante = M,vCM Pero: vCM = Vx ~ vCM = O ~ XCM = constante' Uso p Si: RPTA. D T Cantidad de Movimiento 239 Observación.- En el eje vertical (y) la barra experimenta fuerzas externas: Peso y Normal, que por no estar equilibradas producen una resultante Ry que impulsa la barra hacia abajo. Luego, en dicho eje el Centro de Masa experimenta un movimiento acelerado. Probo 5.- Unhombre y un muchacho que pesan 800 N Y400 N respectivamente, están sobre un piso sinrozamiento. Sidespués de que se empujan uno al otro, el hombre se a/~a con una velocidad de 0,5 mis respecto al piso, ¿Qué cñstcmctoto: separa despues de 5 segundos? A) 7,5 m B) 9 m C) 6 m D) 10,5 m E) N.A. Resolución.El sistema formado por el hombre y el muchacho constituyen un sistema aislado, dado que sobre ellos no hay fuerzas externas que produzcan impulso neto, pues solo están sujetos a fuerzas internas. Luego, aplicando el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tendremos: (Phombre + Pmuchacho)antes = ( Pbornbre M (O) + m (O) = M (- vH) + mVrn donde: M vrn = 80 kg, m => = (!~)0,5 => vm = (M/m) vH H = 40 kg Y vH = 0,5 mis. Luego: vrn ~1 + Prnuchacho)dcSPUéS I'h .• '.' .........•..... - = eH + ern = (vH + vm) t = (0,5 111 .r: ....." ~ ANTES v =:}--~:;;_''';~'''':''~+~iSÓ''::¡ ~ = 1 mis A continuación calcularemos la distancia que los separa al cabo det = 5 s, utilizando para ello el esquema adjunto y la relación (4.1) para los espacios recorridos: d - ~ + 1) 5 => d i " "~,'!l'_.,t.c, ..~.', :~' .• ' .. f.-, ... ~.• t-- = 7,5 m ,"". -- .. = DES/'U ES ,T.J",,",.. '..' =~~'"""'"",..,.."*~~~ : ri: .. el! - -===__ ---" •.• RPTA.A Probo 6.- Un hombre de 60 kg que vtojo de pie sobre una plataforma de 240 kg avanzan en línea recta y horizontal a rozan de 20 mis. Siel hombre empieza a correr respecto de la plataforma y en el mismo sentido de su movimIento a razón de 5 mis, ¿Cuál será la velocidad de la plataforma durante el evento? Despreciar el rozamiento de la plataforma con el piso. A) 19 mis B) 18 mis C) 15 mis D) 12 mis Resolución.Dado que el sistema conserva su cantidad de movimiento, diremos que la velocidad que tiene la plataforma durante el evento es vp' Luego, el hombre respecto del piso tendrá una velocidad vp+u. Ahora, utilizando la relación (12.9) tendremos: Pantes = Pdespué s => (M +m)v = M vp +m y reemplazando datos: (240 + 60) 20 = 240 vp vp= 15m!s + 60 (vp + 5) RPTAC (vp +u) E) 10 mis 240 Fé/lxAucallanchi V. Física-Primer Nivel Probo 7.- Marlon y Rocío se lanzan al agua simultáneamente desde una balsa. Losmódulos de sus velocidades respectivas son iguales a 6 mis y 5 mis. y sus masas son 75 kg Y 52 kg respectivamente. ¿Con qué velocidad se moverá la balsa, si la joven lo hace hacia el Norte y el joven hacia el Sur? Masa de la balsa A) 2 mis: hacia el Sur O) 1 mis: hacia el Sur = 95 kg. C] O mis: no se mueve B) 1 mis: hacia el Norte E)2 mis: hacia el Norte Resolución.Considerando despreciable la fuerza de rozamiento de la balsa con el agua, diremos que el sistema compuesto por la balsa y los jóvenes experimentan una fuerza resultante nula (el peso del sistema se equilibra con el empuje del agua). Luego, podemos decir que éste es un sistema aislado, y por consiguiente conserva su cantidad de movimiento. Asimismo, podemos reconocer que antes del lanzamiento de los jóvenes el M I!R sistema estaba en reposo (v = O); luego, aplicando el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento dado por la relación (12.9), tendreSUR NOHTE mos: ~-_. =:) O=mM vM +mB - vB +mR vR y escribiendo escalarmente tendríamos: la ecuación obtenida 75 (6) - 52 (5) RPTA.E 95 Probo 8.- Una partícula de masa m es lanzada verticalmente hacia abajo desde una altura h con una velocidad Inicial v. Si co/lslona elásticamente con una mesa de altura c < h puesta sobre el piso. ¿Cuál es el módulo de su velocidad, justo después que rebota? A)vclh B)v C] J2g(h-C) Resolución.La partícula llega a la mesa luego de caer libremente la altura (h - e); luego, la velocidad con que incide sobre la mesa estará dada por la relación (5.2): vi = v2 + 2 g (h - e) =:) Vi = E) J2g(h-c)+v2 O) J2ghc -----l-r. J v--+-2-g-(-h-:"'-c-) r y por tratarse de un choque elástico (e = 1) Y frontal, se verificará que la velocidad de rebote (vr) será: h ~g t~;~'=t (h-c) 2 UNI94-2 : e RPTA.E -+- Cantidad de Movimiento lfB COLISIONES 241 DEBES SABER QUE: Cuando un bate golpee Llamamos así a aquellos fenómenos de corta duración, y que se una pelota de beisbol, cade producen cada vez que dos cuerpos con movimiento relativo interactúan uno recibe del otro une variable, de corto por contacto, generándose entre ellos fuerzas impulsivas variables y fuerza duración, y que puede muy intensas, las mismas que originan deformaciones y aceleraciones tomar valores considerable· muy grandes, lo cual produce variaciones considerables en la veloci- mente grandes. dad de los cuerpos. A pesar de ello, y por lo visto hasta aquí, las fuerzas impulsivas son fuerzas internas, y por consiguiente la cantidad de movimiento total de los cuerpos es la misma antes y después de la colisión. Según la dirección de los movimientos, las colisiones pueden ser: A) Colisiones directas.- Se les conoce también como choques frontales o en una dimensión, y son aquellos en donde los cuerpos se mueven sobre una misma recta antes y después del choque (Fig. 12.5a). B) Colisiones oblicuas» También se les conoce como choques oblicuos . o en dos dimensiones, y se caracterizan porque los cuerpos se mueven en direcciones o rectas distintas antes y después del choque (Fig. 12.5b). Ant~* FUERZA MEDIA La fuerza media que se produce durante una colisión se define como la fuerza constante que actuando durante el mismo tiempo que empleó el contacto, produciría el mismo Impulso. !~. Pv Des~~ ~ IPn= Pn I Fuerza F ~ -- F -- -- a) 11II COEFICIENTE Impulsivo -:---+--+---, b o DE RESTITUCION (e) Se le denomina también coeficiente de percusión, y viene a ser un número adimensional propuesto por Isaac Newton para poder relacionar las velocidades relativas de dos cuerpos antes y después de chocar. Así, el coeficiente de restitución es la razón entre estas velocidades, de manera que: v-=i/21 ~ --c;e Velocidad relativa de alejamiento Antes Velocidad relativa de acercamiento v (*) Lasáreas bajo las dos cur- vas deben ser iguales. {0 W ~ crE V2f -vu e= v -v 1i 2I 1 (12.13) O:S;e:S;l Dura,·te W VII Después En general se verifica que: (2 Fig 12.6 FUERZAS IMPULSIVAS Se les denomina también fuerzas impulsaras, y son las que se producen durante una colisión o explosión. Su duración es muy breve, y sus valores son relativamente grandes. 242 Física-Primer Nivel ¿COMO MEDIR e? Un procedimiento experimental y sencillo para medir el coeficiente de restitución (e) entre dos cuerpos de materiales A y 8 consiste en aplicar /0 siguiente re/ación. Félix Aucallanchi 11&1 TIPOS V. DE COLISIONES El valor de e está íntimamente vinculado con la pérdida de energía cinética Así entonces, las colisiones según el valor de e pueden clasificarse en: a) Colisiones elásticas.- Son aquellas en donde los cuerpos luego de la colisión conservan la misma energía cinética. Asimismo, la deformación experimentada por los cuerpos durante el choque solo es temporal, observándose que cada uno recupera su forma original terminada la colisión. Además se verifica que: le=1} b)Colisiones inelásticas.- En estos choques los cuerpos presentan deformaciones luego de su separación. Esto es una consecuencia del trabajo realizado por las fuerzas impulsivas, lo que conduce a una disminución de la energía cinética total de los cuerpos. Además se observará que: 10<e<11 c)Colisiones completamente inelásticas.- Se les llama también choques plásticos, y se caracterizan porque los cuerpos durante la colisión reciben un trabajo por parte de las fuerzas internas que los obliga a mantenerse unidos y continuar su movimiento en esa forma. Esto nos sugiere que la energía cinética total de los cuerpos es menor después del choque, y ello debido a una fuga de energía bajo la forma de calor. Asimismo, se comprueba que: I e=O 1111!1 LEY DE REFLEXION 1 EN LAS COLISIONES Durante una colisión oblicua de un cuerpo con la superficie de otro de mayor masa, como por ejemplo una pared o el piso de una habitación, se verifica que las direcciones del movimiento cambian dependiendo de dos factores: 1) Del coeficiente de rozamiento entre las superficies en contacto (1-1). 2) Del coeficiente de restitución existente entre los cuerpos (e). Así pues, puede probarse que los ángulos de incidencia (Li) y de reflexión (Lr) están relacionados así: Le v, v, - Velocidad InIciIJI Yelocldad de Rebote Fig 12.7 (*) Esta relación es válida: 'V i> O°. Si i = 0° => r = 0° Cantidad de Movimiento IllllVELOCIDAD DE REBOTE Utilizando el ejemplo general mostrado en la Fig. 12.7, podemos determinar el módulo de la velocidad con que rebota la pelota a partir de datos específicos, por 10 cual se presentan los siguientes casos: a) Dados los valores de 11y e, los ángulos de incidencia (l) y de reflexión (r), y la velocidad de incidencia (vi)' se tendrá que la velocidad de rebote (vr) es: b) Si el piso es liso (11 = O) Y son conocidos el ángulo i, y el coeficiente e, se tiene que: = e) Si las superficies son lisas (11 O) Y el choque es elástico (e=I), la velocidad de rebote no depende del ángulo i : l"r=V¡ = d) Si el ángulo de incidencia es i 00, la pelota choca frontalmente con el piso, entonces, independientemente de la aspereza relativa (11) de los cuerpos se cumplirá que: • REFORMUlACION DE LAS LEYESDE NEWfON Sir Isaac Newton, en su obra cumbre: «Principios Matemáticos de la Filosofía Natural», postuló entre otras cosas, sus tres leyes de la Mecánica, las cuales se han presentado en los capítulos 7 y 9. Sin embargo, la esencia de los mismos en su forma original estuvieron sustentadas en los conceptos de Impulso y Cantidad de Movimiento vistos recién aquí; de este modo estas leyes se enunciarían así: llí1) Ley de la Inercia.- «Si sobre un cuerpo no actúa ningún impulso externo, dicho cuerpo conservará su cantidad de movimiento». = Si J = O => P constante 2¡!¡¡)Ley de la Fuerza.- «El ritmo de cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la fuerza neta aplicada, y tiene lugar en la mi-sma dirección». ·li = !!.p Al ;ó : li = Mmv) Al 3m) Ley de la Acción y la Reacción- «Los impulsos que experimentan dos cuerpos que interactúan entre sí producen en ellos la misma variación en su cantidad de movimiento, pero en direcciones opuestas». J acción = - J reacción 243 ATENCiÓN Durante un choque como el mostrado en la Flg. 12.7, se verificará que la Normal, la Recta de incIdencIa y la Recta de reflexión, se encuentran ubIcados en un mIsmo plano el cual será a su vez perpendicular a la superficIe de reflexIón. 244 Féllx Aucal/anchi Física-Primer Nivel V. PROBLEMAS RESUELTOS (ZN PARTE) Probo 9.- Una pelota cae vertIcalmente al piso, y al rebotar en él se observa que solo se eleva hasta la mitad de la altura inicial. SI la velocidad justo antes del choque es de 20 rnts. ¿Cuál es la velocidad después del Impacto? _ A] 12,1 rnls 8] 13,1 mts C] 14,1 rtüs O] 15,1 mts E] N.A. UNFV 91 Resolución.De acuerdo con los datos se tiene que las alturas inicial (h.) y final (hf) logradas por la pelota son tales que: h, = h(2. Luego, el coeficiente de restitución entre la pelota y el piso estará dada por la relación experimental: e= J2 {h; = Jh¡12 V-';; e=2 h¡ Seguidamente calcularemos la velocidad del rebote (vr), reconociendo que la velocidad de incidencia es v. = 20 mis y que el choque es frontal, luego por la relacion dada en el item 12.11 para estos casos, tendremos: => Probo 10.- La figura muestra la colisión de los bloques 1 y 2. Entonces, el coeficiente de restitución bloques es: RPTA.C vr - 14,1 mis entre A] 0,1 E] 0,5 0]0.4 C]O,3 8]0,2 UNI94-2 los 20mls ---<:>- FO 1 2 12m/s ---<:>- 16m1s ---{:::> 1 Resolución.Aplicando directamente e= la relación (12.13) para el cálculo del coeficiente de restitución V2! - vlf = (16m/s) - (12m/s) (20m/s) - (Om/s) e =0,2 (e) tendremos: RPTA.B Probo 11.- Dosmasas m y 2m se desplazan con movimiento uniforme sobre una misma recta, coll.sIonando elásticamente. SIpara la masa 2m la velocidad final es el doble de la inicial, la relación (velocidad finaljl{ve/ocidad inic/alj para la masa m en valor absoluto es: . '.~ A] 1/5 8] 112 C] 1 O] 2 E]4 UNI94-1 Resolución.- = Sean mi =.m y m2 = 2 m las masas de los bloques; asimismo, sean Vii' vIP v i = V Y v2f 2v sus velocidades inicial y final respecti vamente para cada bloque. Ahora, utilizando primero ¡a relación (12.13) para el coeficiente de restitución (e = 1), y luego el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tenemos: Cantidad de Movimiento => b) m¡vli + m2v2i => = m¡vlf v¡i+V¡f=3v 245 ..... (I) + m2v2f mV¡i + 2 m.v = m,vlf + 2 m.2 v => v¡i-vlf=2v (2) y resolviendo (1) y (2) obtenemos: vii = %v y v¡! =~ RPTA.A Probo 12.- Dos cuerpos Inelástlcos tienen uno masa total de 12 kg, moviéndose en sentidos opuestos con velocidades de 4 mIs y -6 rtüs. Colislonon y adquieren uno velocidad común de + 114rrüs. ¿Enqué relación están los masas de los cuerpos? A) 614 B) 513 C) 813 O) 615 E)514 UNI 83 - 1 Resolución> Utilizando directamente la relación (12.10) para el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, y siendo el choque completamente inelástico (los cuerpos quedan unidos), tendremos que: m¡lI¡ +~v2 = (m¡ +~) v => m¡ (+4)+~(- 6)= 15m¡ (m¡ +~) (+¡) mI = 25~ _.! mz - 3 RPTA.B Prob. 13.- Uno bolo de masa m se disparo contra un bloque de masa M como se muestro en lo figuro. Después de lo colisión el centro de masas del conjunto (m + M) se desplazo hasta uno altura h. Encuentro lo velocidad de lo bolo en función de m, My h. A) m+M J2 gh m O) m+M m JQii E) M J2 gh m C) J2~gh UNI89 I Resolucién> I Averigüemos primero la velocidad v· que adquieren el bloque y la bala juntos inmediatamente después del im-pacto de ésta sobre aquella, para lo cual utilizaremos la Conservación de la Energía Mecánica, dado que el sistema no experimenta trabajo por parte de las fuerzas externas no conservati vas (por ejemplo, la tensión en las cuerdas). Luego: E~ = E;' => t(m+ M) v; = (m+ M) gh 246 ~ FélixAucallanchi V. Física-Primer Nivel Vi = Jz gh ..... (1) y ahora, emplearemos el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento para el momento del impacto de la bala contra el bloque: = (Pbala (Pbala + Pbloque ~ mv+M(O)=(m+M)v¡ ) antes + Pbloque) despué s (2) Reemplazando (1) en (2) y depejando la velocidad de la bala (v), tendremos: (M+ m) RPTA.A Probo 14.- Sabiendo que el sistemaporte del reposo ¿Conqué velocidad abandona el bloque a la rampa que es curva? No hay rozamiento y además: h= 5 metros, M = 9 m y g = 10mfs2. A) 8 mis D) 9 mis B) 18 mis E)4 mis r m h C) 16 mis Resolución.En primer lugar debemos reconocer que por la ausencia de una fuerza resultante externa, el sistema constituído por el bloque y la rampa conserva la cantidad de movimiento, tal que su velocidad vr estará dada así: M (?) + m (O) = M ( - vr) + mv ~ m vr = M v ..... (1) Asimismo. notamos que el sistema no experimenta trabajo por parte de fuerzas no conservati vas, por consiguiente la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética de la rampa y del bloque mismo. Así pues: l mgh = -mv 2 2 l 2 +2 Mv r Reemplazando v=(~)J2ih M+m (2) (1) en (2) y despejando v, tendremos: ~ V = 9 mis RPTA.D Cantidad de Movimiento 1.- Se tienen tres cuerpos recta, de manera que: A: mA = 6 kg, vA moviéndose en línea = 5 mis = 12 kg; ve n. Se dá volantines en el piso. III. Se saca el abrigo y lo lanza hacia adelante. = 2,5 mis Indique lo incorrecto: Entonces, el cuerpo que menos se resiste a cambiar la dirección de su movimiento es: A) A B)B C)C D)AyB E) AyC 2.- Usted debe recibir entre sus manos una biblia de 1 kg soltada desde 2 m de altura. Entonces, para que el impacto le produzca el menor dolor, el contacto con ella.deberá ser: (elija un valor) A)lO-ls B)lO-4s C)2.1O-2s 6.- Suponga que usted está en el centro de un lago helado. Entonces, para salir de él: 1. Camina hacia afuera. B: mB = 3 kg, vB = 9 mis C: me D) 10-2 s E) 10-3 S 3.- Una persona está parada sobre una balanza y ésta da una lectura L. Luego la persona toma un impulso hacia arriba y salta. Entonces: ( ) L no cambia de valor. A) I Y III B) D) 1 Y n E) Todas la siguiente oración: y no necesa- 8.- Si las esferas mostradas son idénticas y elásticas, después del choque las bolas que se moverán son: ) L disminuye de valor durante el impulso. B) C, D, E C) B,C,D,E Señalar verdadero (V) o falso (F): C) FVF C) 11I A~ Velocidad; energía. B) Energía; cantidad de movimiento. C) Aceleración; impulso. D) Cantidad de movimiento; energía. E) Masa; energía. A) D,E B) VFV n y III 7.- Complete correctamente «Un cuerpo puede poseer riamente », ) L primero aumenta y luego se anula. A) FyV 247 D) FFV E) FFF D) E E) Faltan datos 4.- Un hombre aplica con sus manos una fuerza neta de 200 N sobre una pared durante 0,45 s. Luego, el impulso recibido por la pared es en N.s: A)9 B)90 C) 900 D)45 9.- En la figura se muestran dos bolas de billar. Si "B" está en reposo, ¿qué gráfico indica mejor las trayectorias antes y después del choque elástico? E) O 5.- ¿Por qué un buen futbolista obtiene la máxima velocidad y recorrido con un tiro suave? A) Por una menor fuerza. B) Por una mayor fuerza. C) Por un mayor tiempo de contacto. D) D) Por un menor tiempo de contacto. E) Por un menor impulso. ~ E~ Félix Auco/lonchi Física-Primer Nivel 248 V. PROBLEMAS PRO'UESTOS B) La velocidad del centro de masa. (en mis) NIVEL! 01.- Una fuerza de 20N actúa sobre un cuerpo durante 0,5 segundos. Luego, el cambio (en kg.mls) que produce en la cantidad de movimiento de aquel será . A) II B)9 C) 10 O) 12 E)20 02.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente con una velocidad IV 11 = 4 mis. Si luego su velocidad se convierte en 1v,l = 3 mis, ¿Cuál es el impulso (en Ns) que recibiÓ si : VI tt 2 v A)-6 B)12 C)6 0)18 E)-20 8 mis (r------- ··15 A) 1;3 04.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente con una velocidad Iv 11 = 4//1ls. Si luego su velocidad se convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso (en Ns) que recibió si : VI t.L v 2 A) 40 B) -36 C) -18 0)36 A) 2 m v B) 6 C) Ji O) 6Ji3 E) 4 2 mis (i) (2) ,e /~ 37° . A)0,5 B) I 3 mis 5 mis (i) (2) "'--C:> -<:--'" Después C)O,4 O) 0,2 E) 0,8 10.- Si el piso es liso, hallare en el choque mostrado. A) 1/2 B) 6/11 O) 5/8 11.- Si el rebote es elástico, hallar el coeficiente de rozamiento (J-1) en el siguiente choque. C) 611: 0)36 E) 36 rt -<J.---J"< Antes E) 9/16 O ......• 8m1s 6 mis "'--C:> A)6 6 ------- ~ 10m/s 09.- Calcular el coeficiente de restitución (e) en la siguiente colisión: C)4/9 F~N) . O) 3;7 06.- Si un sistema físico experimenta una fuerza externa F que varía con el tiempo según como se muestra en la figura, hallar el impulso (en Ns) que recibe el sistema entre I = Os y I = 105. B) 1811: ...~ B) 14;4 E)-42 05.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente con una velocidad Iv 11 = 4//115. Si luego su velocidad se convierte en Iv ,1 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso (en Ns) que recibió si : V 1 Y 2 forman 60° E) 26; 1 A) 5;10 E) 4;17 E) 36 O) 6; l,5 B) La velocidad del centro de masa. (en mis) A) 15 O) 18 C) 3;2 A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis) C) 12;3 C) 24 B)2;3 08.- Dado el siguiente sistema de partículas de masas iguales (m = 2 kg), se pide encontrar para el instante mostrado: 03.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente con una velocidad Iv 11 = 4 mis. Si luego su velocidad se convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso (en Ns) que recibió si : V 1 .1 v 2 B) 30 5 mis' 12 t (s) ~ 07.- Dado el siguiente sistema de partículas de masas iguales (m = 2 kg), se pide encontrar para el instante mostrado: A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis) A) 1/2 B) /3/2 C) /3 /4 ~"cb -, , , O) 1/4 E) 2/3 30° 1i¡11 i. ;,,6 I Cantidad de Movimiento NIVEL 2 A) 8 mis 12.- Para detener a un cuerpo es necesario aplicarle un impuso de 300 N.s. Si solo se dispone de una fuerza de 1,5 N, ¿Durante qué tiempo será necesario aplicar la fuerza para conseguir dicho propósito? B) 12 mls A) 200 s B) 250 s C) 100 s O) 150 s E) 300s 249 C) 41111s O) 14 II1ls E) 6 mis 13.- Un balón de futbol de 0,5 kg se lanza con una velocidad de 20 II1ls. Un guardavallas desea retenerlo pero sin sentir mucho dolor, para lo cual lo "embolsa" retrocediendo un par de pasos. Si el proceso duraü.c s, ¿Qué fuerza media recibió el guardavallas? 18.- Dos bolas chocan de modo que luego del impacto v = 4 mis y v., = 6 mis, siendo r», = 5 kg Y mJ = 4 kg. J:uál es la medida del ángulo 8, si las trayectorias son las indicadas? A) 20 N E) 30 N A) 35° 14.- Un cuerpo de 6 kg es afectado por una fuerza constante durante 10 s, tal que al final de la aplicación adquiere una velocidad de 20 mis. ¿Qué valor posee dicha fuerza? B) 36° A) II N B) 25 N B) 13N C) ION C) ION O) 35 N O) 12N E)N.A siendo su velocidad tanaencial de 4TlIls. Si su masa es de 2 kg, ¿Qué impulso ~'ecibe por parte de la cuerda al pasar de A hasta B? 2.16 N.s 19.- Una bola golpea a otra que se encontraba inicialmente en reposo, de modo que cada una se separa con velocidades de 3m!~ y 5 mis y de manera que sus direcciones forman 60°. ¿Cuál es el valor de vo? Las masas de las bolas son iguales. A) 51/11s B B) 3 2 N.s O) 38° E) 39° 15.- Una bola atada a una cuerda gira con M.C.U., A) C) 37° B) 4mls C)2J3N.s \ \ \ O) 5 2 N.s E) 1 1 8J2 N.s O) 71111s 16.- Sabiendo que el choque es inelásticos con e = 0,6 Y las bolas son idénticas, ¿Qué velocidad presenta la bola 2 después del choque? A) 5,2mls (-7) B) 6,2mls (~) C) 6,41111s (-7) C) 6mls No hay rozamiento. o E) N.A 20.- Dos coches' de igual masa se desplazan con velocidades VI = 12mls y VJ = 16mls por rectas que se cortan perpendicularmen-te. Si ellos colisionan de modo que quedan unidos. ¿Qué ángulo El forma la dirección de su movimiento con el eje y después del choque? Reposo A) 35° VI O) 7,4l11ls (~) B) 37° E) N.A C)36° 17.- Sabiendo que las masas de la pluma y el bloque son iguales y que ellos quedan adheridos después de la colisión, ¿Cuál es la velocidad final del sistema? 0)38° E) 39° \L-...c> Yl le / " ~/ ,/ -- -----.i-'----------- : v,jé x 250 Fisica-Primer nivel Félix Aucallanchí NNEL3 21.- La figura muestra tres partículas de masas iguales (1 kg) sobre las que actúan las fuerzas indicadas: I~I= 15 N, I~I= 3 N, I~I= 6 N. Lucgo,la aceleración del centro de masa es: (en m/s2) A)(3; J2) 25.- Un carro de masa M = 500 kg va con una velocidad v = 15 I/I/S. ¿Con qué velocidad v· en m/s debe dispararse en el mismo sentido a una masa m = 50 kg para que el carro retroceda en la misma recta y con la misma rapidez inicial? (No hay fricción y todas las velocidades se miden respecto de la Tierra). A)150 y B)(2;1) B) 205 C) (1 ; 2) C) 580 0)(2; 0)250 2) V. ~ M E) 315 E) (6; 3) x 22.- Una granada se desplaza horizontalmente a razón de 10 II//s, y explota según como se indica. Si el fragmento central se mueve a razón de 18/11/s, ¿Qué velocidad en /II/s posee el fragmento inferior? y: A) 10 B) 8 C) 12 ~ _~: O) 16 ~ ¿ :3 B) 2 ; 4 m/s : / C) 3 ; 2/11/s ~2_ '0.:::/3 i C) 4g/5 E)g O) 2g/5 24.- Un proyectíl es disparado y tiene una trayectoria parabólica. Al llegar al punto más alto B de su trayectoria, el proyectil se parte en dos fragmentos idénticos. Uno de ellos, "el primero", por efecto de la explosión retorna a la posición inicial cuya trayectoria coincide con la de ida. Entonces, el "segundo" cae en C cuya abscisa es: . A) 2 a B) 4a C) 3 a / .. .- .. B / I I D) 5 a E) N.A. !g y A Q---4 ,, <, -, -, -, el 0)4;1/11/5 t 8m +- 27.- En la figura, las masas están en reposo y el 23.- Una granada estalla en el aire dividiéndose en dos fragmentos de masasm, y 1/12 (1/1, = 31/1,). Ambos son disparados verticalmente con velocidades vI y v, el primero hacia arriba y el segundo hacia abajo. La aceleración del centro de masa luego de la explosión será: B) g/S 16m/s ~ E) 5 ; 0,5 m/s '\ ~ A) g/3 /II/S m :'~600 ~ mI', A) 1 ; 8 I ~~~1!° __ E) N.A. 26.- Si e = 0,5, determinar el número de impactos y la velocidad al cabo de 5 segundos (El tiempo se toma a partir del primer impacto) J.l = O. -, , \ C x,., choque es elástico. Si no hay rozamiento, ¿Cuál es la altura h que alcanza el bloque M? (M = 3 m). A)H 1 B) 3 H/8 C) 3 H/4 0)H/4 t t ~·_M~--~----l _ E) H/3 28.- Si en el problema anterior el choque fuera completamente inelástico, ¿Qué alturah alcanzarán los bloques juntos? A)H/2 O) 4H/5 B) HII6 E) 2 H/3 C) H/4