Modelo estocástico de calidad de agua

Capítulo: Grandes metrópolis y sus infraestructuras (GMI)
DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN
DE UN MODELO ESTOCÁSTICO DE CALIDAD DE AGUA
Matías Goyeneche1, Sebastián Santisi 2
Resumen  Se desarrolló e implementó un modelo estocástico de calidad de agua en términos de
concentración de oxígeno disuelto y de demanda bioquímica de oxígeno, capaz de utilizarse para evaluar
el cumplimiento de normas de calidad de agua especificadas según percentiles de concentraciones (como
las de la Unión Europea y el Reino Unido) en ríos y canales. El modelo realiza experimentos de Monte
Carlo sobre un modelo hidrodinámico estacionario de transporte, balance y evolución de las cargas. El
escenario estocástico se simula en base a distribuciones paramétricas de entrada correlacionadas de
diversas formas, obteniéndose como resultado los cuantiles de las concentraciones mencionadas. Este
nuevo modelo surgió de la necesidad de combinar las capacidades de diferentes modelos disponibles y,
entre otras características, incorpora la demanda béntica de oxígeno y permite considerar diferentes
tipos de abstracciones que afectan el equilibrio del sistema a la vez que gana flexibilidad por su
implementación en un lenguaje dinámico, moderno y portable como Python.
Index Terms  River water quality, stochastic model, dissolved oxygen, biochemical oxygen demand
INTRODUCCIÓN
La calidad de las aguas de un río o cualquier otro cuerpo superficial de agua puede
establecerse en función de la concentración de oxígeno disuelto (OD) presente en él.
Además de ser un componente básico para el desarrollo de la mayoría de las formas de
vida acuática, el hecho de ser afectado por muchos de los demás parámetros que inciden
en la calidad del agua, convierte al OD en un buen indicador global de la salud de un
cuerpo de agua.
Por este motivo, desde hace años se estudia los procesos del OD en cuerpos de agua
y los impactos que los distintos tipos de descargas de contaminantes producen sobre él.
En particular, la materia orgánica, generalmente proveniente de descargas cloacales e
industriales, medida en términos de la demanda bioquímica de oxígeno (DBO), juega un
papel preponderante en el consumo del oxígeno disuelto, por lo que es común la
asociación de ambos parámetros al estudiar la calidad de los cursos de agua.
En la actualidad existe una gran variedad de modelos matemáticos que simulan las
cinéticas del OD y de la DBO. Estos modelos, comúnmente denominados modelos de
calidad de agua, deben resolver una serie de problemas: el hidrodinámico, referido al
movimiento de las partículas, el de la mezcla de las cargas que intervienen en la calidad
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Matías Goyeneche, Halcrow Ltd. Buenos Aires, matiasgoyeneche@gmail.com
Sebastián Santisi, Halcrow Ltd. Buenos Aires, ssantisi@fi.uba.ar
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del agua y el de los procesos que experimentan estas cargas y la variación en el tiempo
y espacio de los fenómenos simulados[1].
Por otra parte, el enfoque estocástico mediante el tratamiento estadístico de las
variables de entrada permite definir los resultados de concentraciones obtenidos en
términos de percentiles. De esta manera, se puede evaluar durante qué porcentaje
del tiempo representado en la simulación se obtendrán valores por encima o por debajo
de algún valor de concentración de referencia. Éste es el enfoque que adoptan algunas
normas de calidad de agua, como las del Reino Unido y las de la Unión Europea[5].
Con esto en mente, se desarrolló e implementó un modelo estocástico,
unidimensional estacionario para el estudio de la calidad de agua en términos de
concentraciones de OD y DBO para ríos y canales de llanura (entendidos como aquellos
de pendiente suave, escurrimiento lento, sección ancha y relativamente poco
profunda[2]).
El modelo desarrollado combina las capacidades de diferentes modelos existentes,
(particularmente el SIMCAT y el QUASAR) e incorpora nuevas, destacándose la
inclusión de la demanda béntica de oxígeno, la corrección por bajas concentraciones de
OD y la modelación de la difusión longitudinal.
MODELACIÓN
Para caracterizar las cuencas, se eligió como esquema de modelación una estructura
compuesta de tramos y abstracciones. Los primeros definen la morfología de la red y los
segundos le añaden propiedades puntuales.
FIGURA. 1
ESQUEMÁTICO DE UNA CUENCA REAL CON TRES BIFURCACIONES QUE DESEMBOCA EN UN ESTUARIO,
DONDE
SON CAUDALES DE CABECERA,
CAUDALES DIFUSOS,
DESCARGAS PUNTUALES
Y
LA ZONA DE INFLUENCIA DEL ESTUARIO.
Una cuenca (Figura 1) se modela como diferentes tramos, donde cada tramo
representa un segmento de río sin bifurcaciones. Cada tramo puede nacer hasta de dos
tramos distintos, y desembocar en uno, dando lugar a una estructura en forma de árbol
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que converge a un último tramo (Figura 2). Además, se permite la posibilidad, como
caso especial, de bifurcar un tramo en dos, derivándose una fracción del caudal en cada
uno.
FIGURA. 2
MODELIZACIÓN DE LA CUENCA DE LA FIGURA I EN EL MODELO, EN DONDE
SON TRAMOS
SECUENCIALES,
TRAMOS DIFUSIVOS, CAUDALES DE CABECERA,
CAUDALES DIFUSOS,
DESCARGAS PUNTUALES Y ES EL FINAL DE LA RED.
En cada tramo se define el tramo hijo en donde éste descarga y se definen
propiedades físicas como su longitud, coeficientes de velocidad, de decaimiento de
sustancias, caudales de base, caudales difusos, etcétera.
Luego, sobre los tramos pueden definirse abstracciones. Las abstracciones son
eventos que ocurren en una determinada progresiva del tramo. Ejemplos de
abstracciones son las descargas cloacales, descargas pluviales o la modificación de
alguna variable de control del tramo aguas abajo de dicha abstracción.
Los tramos admiten dos modalidades de resolución diferentes: secuencial o difusiva.
En los tramos secuenciales se resuelven ecuaciones de evolución de sus variables
acopladas a ecuaciones de transporte sólo en el sentido del caudal y modelan un
esquema sin difusión, el cual es apropiado para muchas situaciones y requiere poca
potencia de cálculo. Por su parte, en los tramos difusivos se resuelven las ecuaciones de
advección-difusión en el sentido longitudinal.
Dado que el modelo funciona de forma estocástica, todas las variables de entrada al
mismo se pueden caracterizar según distribuciones de probabilidad, medias, varianzas y
percentiles.
ECUACIONES
La resolución de los tramos en la modalidad secuencial se realiza mediante las
ecuaciones de OD y DBO de Streeter-Phelps, modificadas para tener en cuenta la
corrección de Michaelis-Menten[3] por bajas concentraciones de oxígeno disuelto y el
término de demanda béntica, por lo que las ecuaciones diferenciales resultantes son:
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C DBO
  k  C DBO
t
(1)
Def OD
C
  DBO  r  Def OD  DB
t
t
(2)
en las que CDBO es la concentración de DBO, k es la constante de degradación de la materia
orgánica, COD es la concentración de oxígeno disuelto, KO es la constante de semisaturación del oxígeno disuelto, DefOD es el déficit de concentración de OD, r es el
coeficiente de reaireación y DB es la demanda béntica.
La constante de degradación de la DBO k se afectó según factor de corrección por
bajas concentraciones de OD de Michaelis-Menten[3], sustituyéndose por el término k’:
k'  k 
COD 2
(3)
COD 2  KO
El déficit de concentración de oxígeno disuelto se calcula como S - COD, siendo S el
valor de saturación del oxígeno disuelto, para cuyo cálculo existen diferentes expresiones
en función de la temperatura[3].
El coeficiente de reaireación puede calcularse por diferentes métodos. Entre los más
utilizados están los de Owens, Churchill y O’Connor-Dobbins[3], aplicables según las
características del río, que calculan el coeficiente en función de la velocidad y de la
profundidad del escurrimiento.
La resolución de las ecuaciones diferenciales se realiza mediante la resolución analítica
para tramos discretos. La naturaleza secuencial traslada las condiciones de borde aguas
debajo desde los tramos superiores. El paso de tiempo de la discretización se toma del
tiempo de viaje entre tramos, calculado a partir de la velocidad del escurrimiento, que
depende del caudal circulante y de las características físicas del tramo.
Advección-difusión
Para los tramos difusivos se representó la cinética completa de la evolución mediante
las siguientes ecuaciones:
C DBO
 2 C DBO
C
 D
 U  DBO  k' C DBO  absDBO
t
x
x 2
COD
 2 COD
C
 D
 U  OD  k' C DBO  DB  absOD
t
x
x 2
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en donde U es la velocidad, D el coeficiente de difusión longitudinal, absDBO y absOD
son los aportes de DBO y OD de las diferentes abstracciones modeladas y los otros
términos son los definidos en (1), (2) y (3).
Dado que el modelo resuelve el caso estacionario, se eligió discretizar las
ecuaciones mediante el método de las diferencias finitas, y resolverlas de forma
explícita. Las mismas se hacen evolucionar sobre el dominio del tiempo desde
condiciones iniciales nulas hasta que alcanzan el equilibrio.
Un valor típico del coeficiente de difusión D para un río de llanura en sus tramos
interiores está en el orden de los 5 a los 10m2/s[4]. Si este río desagua en un gran cuerpo
de agua que genere flujo y reflujo por efecto de marea, este valor puede crecer en uno o
más órdenes de magnitud. En las Figuras A.1 a 2 del anexo, se muestra la influencia de
la difusión longitudinal en un tramo en el que se producen descargas de DBO y OD. A
modo ilustrativo, se adoptaron valores de D de entre 0 y 100m2/s.
Los tramos difusivos suman una complejidad de cálculo importante, dado que su
resolución implica un recorrido iterativo a lo largo del tramo repetidas veces y cada
escenario estocástico parte de nuevas condiciones de contorno. Por esta razón, el
modelo sólo permite la ubicación de los tramos difusivos en el último tramo del río. De
esta manera puede modelarse con mayor exactitud la desembocadura del tramo en un
río de mayor envergadura, en un estuario o en el océano, condición en la que la
influencia de la difusión es realmente importante[4]. A su vez el modelo no permite
hacer interactuar dos tramos difusivos entre sí, ni puede definirse un tramo difusivo que
descargue sobre uno secuencial.
Método de Monte Carlo
El enfoque estocástico que permite el cálculo de los percentiles de concentraciones y
caudales se basa en la aplicación del método de Monte Carlo sobre las ecuaciones
determinísticas descriptas previamente.
La aplicación de Monte Carlo para este problema consiste en generar hipotéticas
condiciones de borde, según las distribuciones estadísticas asociadas a las variables de
entrada, y resolver con ellas el modelo estacionario. A cada escenario generado se lo
llama tiro, y se realizan reiterados tiros para analizar luego la estadística de los
resultados.
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La ventaja de utilizar Monte Carlo pasa por la simplicidad de los valores de entrada
y salida, por la atemporalidad de los resultados y por la generación de casos extremos
no detectables en análisis determinísticos sobre series de tiempo, entre otros.
En la implementación, para cada tiro se genera una semilla aleatoria, que puede
usarse a su vez para simular variables aleatorias pertenecientes a otras distribuciones,
correlacionadas a ella. El modelo es capaz de simular variables uniformes, normales y
log-normales, entre otras. Cada abstracción posee una determinada correlación por
omisión con respecto a la semilla del tiro, lo cual permite, por ejemplo, que todos los
caudales de cabecera para un mismo tiro sean consistentes entre sí, dándole realismo al
escenario simulado.
IMPLEMENTACIÓN
Lenguaje y paradigmas
La aplicación fue implementada en el lenguaje de programación Python, debido a la
flexibilidad de desarrollo y portabilidad aportada por éste. Se utilizó el paradigma
orientado a objetos donde se requiriera abstracción, pero a la vez se intentó mantener la
simplicidad de las estructuras aprovechando listas y diccionarios de tipos básicos
mientras ello no generara pérdida de legibilidad.
En la elección de los algoritmos y estructuras de datos se hizo foco en la economía
de recursos, para poder manejar de manera eficiente la información de los tiros
realizados a medida que se avanzara por las ramas del árbol en la resolución del
problema. Debe señalarse que, dada la salida estadística del modelo, es necesario
generar percentiles de los resultados para cada tiro en cada sección, lo cual requiere
almacenar los valores y acceder a ellos de forma ordenada; esto fue tomado en cuenta
para determinar la mejor forma de resolver y recorrer el árbol.
El archivo descriptor del esquema a simular es de texto plano y está basado en los
archivos de entrada de SIMCAT. Como salida se genera un reporte tabular de
percentiles y promedios para caudal, DBO y OD en función de la sección de la cuenca.
Cálculo
La estructuración de los bloques de cálculo se realizó respetando un encapsulamiento
según etapas funcionales. La secuencia utilizada para resolver cada tramo luego de
elegirlo mediante el recorrido recursivo del árbol es:

Propagación de las soluciones de los tramos padres del tramo a resolver.
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
Cálculo de las descargas de cabecera y difusas para el tramo en función de las
distribuciones estadísticas adoptadas.

Simulación secuencial o difusiva.

Impresión de resultados del tramo.

Almacenamiento de los resultados para el tramo hijo.
La resolución de la simulación secuencial itera avanzando a lo largo del tramo, a
pasos regulares, resolviendo para cada tiro dos procesos mutuamente excluyentes:
abstracciones y transporte. Durante el procesamiento de las abstracciones se interpreta
la funcionalidad de cada una de ellas: de ser modificadora de las variables de control,
éstas se actualizan, de ser una descarga se simulan sus parámetros y se realiza la mezcla.
Durante el procesamiento del transporte, se calculan los coeficientes de las ecuaciones,
se resuelven las ecuaciones cinéticas para cada tiro, y por último se inyectan los
caudales difusos.
La implementación de la solución difusiva itera para cada tiro calculando el tramo
completo. Primero se preprocesan cada una de las abstracciones generando vectores de
contorno discretizados según el paso espacial y luego se resuelve iterativamente hasta la
convergencia, según el error requerido. Durante el preprocesamiento se modifican
variables de control y se simulan las descargas.
Las partes comunes dentro de los dos modos se encuentran encapsuladas en
funciones que son consumidas por ambos, unificándose el modo de evolucionar
variables, calcular coeficientes y simular abstracciones.
Paralelización
Si bien casi todo el proceso es trivialmente paralelizable, se han implementado técnicas
para explotar esta característica sólo para la resolución de los tramos difusivos. En la
resolución difusiva se hace uso intensivo de rutinas iterativas, siendo ese el único
bloque de la aplicación donde se tienen tiempos de simulación mesurables en segundos,
estando el tiempo de armado varios órdenes de magnitud por debajo del de resolución.
La paralelización se implementó pensando en el aprovechamiento de procesadores
multinúcleo, a través subprocesos de sistema operativo. Se utilizaron las herramientas
del módulo multiprocessing de Python, realizándose las comunicaciones con el hilo
principal mediante las colas provistas por la interfaz. Dado que la cantidad de
iteraciones para lograr la convergencia en cada subproceso varía en cada tiro se eligió
iterar sobre un pool de tantos subprocesos como núcleos disponibles en el procesador.
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Extensiones a las abstracciones
El agregado de nuevas abstracciones puede realizarse mediante intervenciones sencillas
en las etapas correspondientes. Durante la fase de aplicación, dentro del modelo se
agregaron estaciones de reaireación, con complejas ecuaciones de gobierno, mediante la
inclusión puntual de acotadas líneas de código.
La implementación de las variables de estado como diccionarios y la flexibilidad de
Python para agregar objetos de manera dinámica hace relativamente sencilla la
modificación de cualquier característica del modelo.
APLICACIÓN
Como nota de aplicación se presentan, en las Figuras A.3 a 5 del anexo, las salidas de
una corrida del modelo, para la cual se cargaron los datos correspondientes a un río de
llanura que desemboca en un cuerpo de agua que le impone la condición de borde en
términos de difusión. En este ejemplo, el tramo difusivo se definió a partir de la
progresiva 30,6km (como se indica con una línea vertical rayada), para contemplar el
efecto de la incursión de la marea, con un valor difusivo de 100m2/s.
Se presentan los resultados para los percentiles 10, 50 y 90 de las variables caudal,
concentración de DBO y concentración de OD. Los resultados para este ejemplo de
aplicación son consistentes con los entregados por otros modelos preexistentes.
REFERENCIAS
[1] Cox, B.A., “A review of currently available in-stream water-quality models and their
applicability for simulating dissolved oxygen in lowland rivers”, The Science of Total
Environment Journal, 2003, pp. 335-377.
[2] Vide, J.P.M., “Ingeniería de ríos”, 2005.
[3] Bowie, G. L. et al., “Rates, constants and kinetics formulations in surface water quality
modelling”, 1985.
[4] Fischer, H. et al., “Mixing in inland and coastal waters”, 1979.
[5] Ganoulis, J, “Risk analysis of water pollution”, 2009.
COPYRIGHT
“Copyright © 2010. Matías Goyeneche, Sebastián Santisi: Los autores delegan a UADI/CAI la licencia para reproducir este
documento para los fines del Congreso ya sea que este artículo se publique de forma completa, abreviada o editada en la pagina web
del congreso, en un CD o en un documento impreso de las ponencias del Congreso Mundial y Exposición INGENIERÍA 2010ARGENTINA.”
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ANEXO DE FIGURAS
[mg/l]
D=0
11.0
D=5
10.0
D=10
D=50
9.0
D=100
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 [km]
FIGURA. A.1
CONCENTRACIÓN DE DBO EN UN TRAMO GENÉRICO PARA DIFERENTES VALORES DEL COEFICIENTE DE
DIFUSIÓN EXPRESADO EN M2/S.
[mg/l]
D=0
D=5
7.0
D=10
D=50
6.0
D=100
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 [km]
FIGURA. A.2
CONCENTRACIÓN DE OD EN UN TRAMO GENÉRICO PARA DIFERENTES VALORES DEL COEFICIENTE DE
DIFUSIÓN EXPRESADO EN M2/S.
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[mg/l]
16.0
Q 10%
Q 50%
Q 90%
15.0
14.0
13.0
12.0
11.0
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48 [km]
FIGURA. A.3
RESULTADO EN PERCENTILES DE CAUDAL PARA LA SIMULACIÓN DE EJEMPLO.
[mg/l]
BOD 10%
BOD 50%
BOD 90%
14.0
13.0
12.0
11.0
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48 [km]
FIGURA. A.4
RESULTADO EN PERCENTILES DE DBO PARA LA SIMULACIÓN DE EJEMPLO.
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[mg/l]
DO 10%
DO 50%
DO 90%
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48 [km]
FIGURA. A.5
RESULTADO EN PERCENTILES DE OD PARA LA SIMULACIÓN DE EJEMPLO.
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