Tema 3
Apéndice
Tensiones principales en el caso plano y Círculo de Mohr
Partiendo del sistema de ecuaciones que relaciona las componentes de la tensión en el
sistema de referencia {x’, y’} en función de las componentes de la tensión en el sistema
{x, y} (ver página 22 de las transparencias):
σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + 2τ xy sin θ cos θ
σ y ' = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − 2τ xy sin θ cos θ
(1)
τ x ' y ' = (σ y − σ x ) sin θ cos θ + τ xy (cos θ − sin θ )
2
2
Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:
1 + cos 2θ
2
1
−
cos
2θ
sin 2θ =
2
cos 2 θ =
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
(2)
cos 2θ = cos θ − sin θ
2
2
y sustituyéndolas en (1), obtenemos:
σ x' =
σx +σ y
σ y' =
τ x' y' =
2
σx +σ y
2
+
−
σ y −σ x
2
σ x −σ y
2
σ x −σ y
2
cos 2θ + τ xy sin 2θ
cos 2θ − τ xy sin 2θ
(3)
sin 2θ + τ xy cos 2θ
Observaciones:
1. La suma de tensiones normales es un invariante del estado de tensiones, es
decir:
σ x + σ y = σ x' + σ y'
2. Direcciones principales
Existen dos direcciones mutuamente perpendiculares en las que las tensiones de
cortadura son nulas y por lo tanto, sólo existen tensiones normales: σ1 y σ2 (σ1 > σ2). A
esas tensiones se les llama tensiones principales y a las direcciones, direcciones
principales. De la ecuación (3), obtendremos el ángulo θ que forma la dirección
principal 1 con el x:
-1-
Tema 3
τ x' y' =
Apéndice
σ y −σ x
2
sin 2θ + τ xy cos 2θ = 0
⇒
tan 2θ =
2τ xy
(4)
σ x −σ y
y utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:
sin 2θ = ±
cos 2θ = ±
tan 2θ
(1 + tan
2
2θ
1
(1 + tan
2
2θ
)
=±
)
=±
1/ 2
1/ 2
[(σ
[(σ
τ xy
− σ y ) / 4 + τ xy2
2
x
(σ
x
− σ y )/ 2
− σ y ) / 4 + τ xy2
2
x
(5)
]
1/ 2
]
1/ 2
y sustituyéndolas en el sistema de ecuaciones (3), obtendremos los valores de las
tensiones principales:
σ1 =
σ x +σ y
σ2 =
2
σ x +σ y
2
1/ 2
σ x − σ y
+
2
2
+ τ xy2
σ x − σ y
−
2
2
+ τ xy2
1/ 2
(6)
3. Tensión de cortadura máxima
En algunas ocasiones, por ejemplo, en el estudio de las deformaciones plásticas
permanentes, es interesante conocer el valor y el plano sobre el que la tensión de
cortadura es máxima. Para ello, derivaremos la expresión de τx’y’ de la ecuación (3):
dτ x ' y '
dθ
= 0;
(σ y − σ x ) cos 2θ − 2τ xy sin 2θ = 0
⇒
Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:
sin 2θ = ±
cos 2θ = ±
tan 2θ
(1 + tan
2
2θ
)
2θ
)
1
(1 + tan
2
1/ 2
1/ 2
=±
=±
[(σ
[(σ
(σ
x
− σ y )/ 2
− σ y ) / 4 + τ xy2
2
x
τ xy
− σ y ) / 4 + τ xy2
2
x
-2-
]
1/ 2
]
1/ 2
tan 2θ = −
σ x −σ y
2τ xy
(7)
Tema 3
Apéndice
podemos calcular el valor de la tensión máxima de cortadura, como:
τ max
σ x − σ y
= ±
2
2
+ τ xy2
1/ 2
(8)
Observar que, comparando las ecuaciones (4) y (7):
(tan 2θ )τ
max
=−
1
(tan 2θ )σ1
(9)
Esa relación se cumple cuando los ángulos difieren 90º, por lo que dado que en la
ecuación (9) aparece el ángulo doble, la dirección principal 1 y la dirección normal al
plano en el que la tensión de cortadura es máxima forman un ángulo de 45º.
Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (6) obtenemos que:
σ1 =
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y
2
+ τ max
− τ max
(10)
y por lo tanto, sumando estas dos ecuaciones obtenemos que la tensión de cortadura
máxima vendrá dada por la mitad de la diferencia entre las tensiones principales:
τ max =
σ1 − σ 2
2
(11)
4. Círculo de Mohr
Desde el punto de vista teórico, las ecuaciones (1) son suficientes para conocer las
tensiones en cualquier sistema de referencia en el caso de tensión plana. Pero dado que
estas ecuaciones son difíciles de memorizar, Mohr propuso una representación
geométrica de esas ecuaciones. Por lo tanto, el círculo de Mohr no añade nada nuevo a
lo expuesto anteriormente, pero es una herramienta que se utiliza en muchas ocasiones
al estudiar las tensiones.
-3-
Tema 3
Apéndice
Rescribiendo las ecuaciones (3) de la siguiente manera:
σ x' −
σ x +σ y
2
τ x' y' = −
=
σ x −σ y
2
σ x −σ y
2
cos 2θ + τ xy sin 2θ
sin 2θ + τ xy cos 2θ
y sumando y elevando al cuadrado ambas ecuaciones obtenemos:
σ +σ y
σ x ' − x
2
2
σ −σ y
+ τ x2' y ' = x
2
2
+ τ xy2
(12)
Esta ecuación se puede comparar con la ecuación de un círculo:
( x − c )2 + y 2 = r 2
(13)
con centro en (0, c) y radio r:
c=
σ x +σ y
2
σ x − σ y
r =
2
2
+ τ xy2
(14)
1/ 2
Por lo tanto, si representamos las tensiones normales en el eje de abscisas y las
tensiones tangenciales en el eje de ordenadas, la ecuación (12) daría lugar al círculo de
la figura. En este círculo, el punto A tiene coordenadas (σx, τxy) y corresponde al eje x.
El punto B tiene coordenadas (σy, τyx) y corresponde al eje y (La convención de signos
que se utiliza para las tensiones de cortadura es que son positivas en el círculo de Mohr
si generan un momento en el sentido de las agujas del reloj y negativas en el caso
contrario). La recta AB corta al eje de abscisas en el punto C, centro del círculo. Y para
ir del punto A al B hay que girar un ángulo de 180º en el círculo, es decir, que un ángulo
medido en el círculo es el doble del ángulo real que forman las dos direcciones.
Para conocer las tensiones en un sistema de referencia (x’, y’) será suficiente conocer el
ángulo θ entre los ejes x y x’. Para ello, se gira un ángulo 2θ desde el punto A (que
corresponde al eje x) hasta el punto D. Las coordenadas de este punto, que corresponde
al eje x’, serán (σx’, τx’y’). Para obtener el punto que corresponde al eje y’, tendremos
que girar 180º (el doble del ángulo) desde el punto D hasta el punto E, cuyas
coordenadas serán (σy’, τy’x’).
También es fácil comprobar en el círculo de Mohr que los puntos F y G corresponden a
las tensiones principales (en estos puntos la tensión de cortadura es cero) y que el punto
H corresponde al plano en el que la tensión de cortadura es máxima. Para ir del punto F
al punto H hay que girar 90º en el círculo de Mohr. Por lo tanto, se deduce que la
-4-
Tema 3
Apéndice
normal al plano de cortadura máxima está a 45º de las direcciones principales (como se
ha demostrado anteriormente).
H
Por último, es inmediato comprobar en esta construcción geométrica que:
C=
σx +σy
2
=
σ1 + σ 2
2
1/ 2
σ − σ y
+ τ xy2
r = x
2
2
σ1 =
σ2 =
σx +σ y
2
σx +σ y
2
= τ max
+ τ max
− τ max
-5-
